Aula 2 - Física Experimental

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Prof. Rafael rocha da silva
Física Experimental
ERRO
Introdução 
Os instrumentos de medida podem ter diferentes graus de precisão, mas, por mais preciso que qualquer instrumento seja, os dados experimentais sempre contém erros.
A tarefa de determinação do erro em uma grandeza medida não é simples, porque o ato de medir é sempre acompanhado da interferência dos mais diversos fatores. 
Isto faz com que o valor real do erro na grandeza medida permaneça desconhecido.
A teoria de erros limita-se a estimar o erro máximo de que a medida pode ser acometida.
2
Introdução 
Qualquer experimentador que faça medições não pode deixar de aplicar os métodos matemáticos de tratamento dos dados experimentais.
Com o objetivo voltado para uma padronização, as normas que a seguir são apresentadas, apesar de não serem únicas, deverão ser seguidas nas disciplinas de Física Experimental.
3
Classificação dos erros
Quando se realiza uma medida, esta possui um erro advindo do aparelho, além da inerência de outros tipos de erros. 
Não se deve, no entanto, confundir erro com engano, também chamado erro grosseiro. 
Este aparece devido à falta de habilidade do experimentador, e é perfeitamente evitável. 
Deve-se interpretar o termo ERROS, então, como representativo daqueles erros que são inevitáveis. 
4
Classificação dos erros
Existem várias classificações de erros na literatura, sendo que a nomenclatura também é variada, por isto, classificam-se os diversos tipos de erros em três categorias:
a) Erro de Escala: é o erro devido ao limite de precisão do instrumento de medida. Também conhecido como incerteza TIPO B (σB = σinstrumento).
Alguns autores consideram esse erro como sendo igual à metade da escala, caso não haja um limite definido. 
Em uma régua milimetrada esse erro seria de 0,5 mm, e em uma régua centimetrada seria de 0,5 cm. 
Por exemplo: 583,4 mm,  (583,4 + 0,5) mm.
5
Classificação dos erros
b) Erro Sistemático: é aquele que perturba todas as medidas sempre da mesma forma, fazendo com que os valores obtidos se afastem do valor provável em um sentido definido, sempre para mais ou sempre para menos. 
Por exemplo, um ponteiro de medidor analógico que esteja torto ou descalibrado para a direita sempre indicará leituras maiores do que as corretas. 
6
Classificação dos erros
c) Erro Randômico ou Aleatório: é aquele que ocorre totalmente ao acaso, portanto, sem qualquer sentido ou previsibilidade. Também conhecido como incerteza TIPO A (σA = σestatístico);
Esse erro é o resultado da soma de pequenas perturbações que são inevitáveis, tais como vibrações, calor, campos externos, oxidações, e outros fatores fora do controle do experimentador e, na maioria das vezes, de seu conhecimento.
7
Erro Total
O erro máximo na medida, também chamado desvio da medida, representado por Δx, é a soma de todos os erros: 
Erro máximo = Δx = erroescala + errosistemático + errorandômico 
Considerando o erro sistemático minimizado por motivos de práticas laboratoriais ou por calibração do equipamento, temos:
Δx = erroescala + errorandômico = σB + σA 
8
Erro relativo
Em inúmeras situações são feitas medições para comparar o resultado com um valor anteriormente definido.
O erro absoluto de uma medida pode levar a desinformação, quando é feita a comparação com um valor de referência ou tabelado.
9
Erro relativo
Quando temos que comparar medidas de grandezas diferentes, o erro relativo percentual (ou erro percentual) reduz todas a uma mesma linguagem de comparação: a percentagem de erro com relação ao valor tabelado ou de referência.
10
Erro absoluto x relativo
Exemplo :Considere que as especificações dimensionais de uma folha de papel do tipo ofício são as seguintes: 
 Largura (referência) = 215,900 mm ; 
 Altura (referência) = 279,400 mm 
Espessura (referência) = 0,010 mm 
Para verificar a qualidade da produção de uma indústria, um funcionário pega uma folha como amostra e, usando um micrômetro, obtém as medidas: 
 Largura (lida) = 215,404 mm 
 Altura (lida) = 280,002 mm
 Espessura(lida) = 0,011 mm 
Erro Absoluto
11
Erro absoluto x relativo
Erro Relativo
Lembramos que, como todo erro, o erro relativo percentual tanto pode ser para cima quanto para baixo do valor de referência.
O maior erro está na medida da espessura, aliás, bem maior do que nas medidas das outras dimensões. 
Além disso, ao contrário do que mostra a comparação entre os erros absolutos, o erro percentual na medida da largura é maior do que na medida da altura.
12
Erro absoluto x relativo
Quando temos que comparar medidas de grandezas diferentes, o erro percentual reduz todas a uma mesma linguagem de comparação: a percentagem de erro com relação ao valor tabelado ou de referência.
Erro
Absoluto
Relativo(%)
Largura
0,496
0,2297 %
Altura
0,602
0,2154 %
Espessura
0,001
10,0 %
13
Medidas Experimentais
Durante a realização de uma série de medidas, considerando que os erros grosseiros foram minimizados, o experimentador é obrigado a avaliar corretamente o erro aleatório (incerteza TIPO A), e incluí-lo nos dados obtidos no experimento.
Vamos estudar a Teoria de Erros, baseada no procedimento estatístico usualmente indicado para o tratamento de medidas experimentais, que deverá ser seguida para informar o resultado de uma série de medidas de uma certa grandeza física. 
14
Média ou valor mais provável
 A média de n medidas de igual confiabilidade de uma grandeza x, de valor verdadeiro X, é dada por:
 se aproxima tanto mais do valor verdadeiro X quanto maior for n. 
Portanto, é usual chamar-se a média aritmética das n medidas de valor mais provável da grandeza.
 
 
 
 
15
Média ou valor mais provável
 Exemplo: 
Média salarial dos funcionários de uma empresa.
Valor R$
Nº de empregados
600,00
12
900,00
7
1200,00
5
1800,00
6
4500,00
8
TOTAL
38
Também conhecida como média ponderada!
16
Desvio de uma medida 
É a diferença entre o valor obtido na i-ésima medida (xi) e o valor mais provável da grandeza, ou média:
 Esse desvio tanto pode ser positivo quanto negativo, de modo que é mais adequado considerá-lo em módulo para estimar efetivamente o desvio:
Neste caso, chama-se de desvio absoluto de uma medida.
 
17
Desvio médio 
É a média aritmética dos módulos dos desvios absolutos de cada medida:
O motivo de adotar o valor absoluto do desvio de cada medida é que se busca sempre encontrar o erro máximo possível. 
A soma dos desvios das medidas com seus valores negativos e positivos podem cancelar-se totalmente, resultando em uma média nula, o que não é a informação correta. 
18
Desvio padrão da medida 
Informa a incerteza com que um dado conjunto de medidas é realizado, e não a média. 
Informa sobre a precisão do instrumento de medida e o rigor do processo daquele particular conjunto de medidas. 
Fornece uma estimativa sobre a confiabilidade da média X(MÉDIO).
O desvio padrão da medida dá uma informação sobre a “largura” do valor mais provável da medida, baseada no conjunto de medidas realizadas. 
19
Desvio padrão da medida 
A apresentação do resultado de um conjunto de medidas da grandeza x, deve-se informar a precisão atribuída ao valor verdadeiro calculado a partir de n medidas de igual confiabilidade na forma:
errorandômico = σx = σA 
20
Informação do resultado de um conjunto de medidas de uma grandeza x
1º) Realização das medidas (coleta de dados, ou determinação dos xi); 
2º) Cálculo da média (X médio) , ou valor mais provável da medida; 
3º) Cálculo dos desvios de cada medida em relação à média (Δxi); 
4º) Cálculo dos valores de (Δxi)2 para cada medida; 
5º) Cálculo do desvio padrão da medida (σx);
6º) Informação do resultado no formato: 
21
Informação do resultado de um conjunto de medidas de uma grandeza x
Exemplo:
Considere que a medição do comprimento L de objetos idênticos, realizada por um grupo de alunos com o auxílio de uma régua centimetrada,
forneceu as seguintes leituras:
i
Li(cm)
i
Li(cm)
i
Li(cm)
i
Li(cm)
i
Li(cm)
1
241,0
11
240,8
21
241,1
31
240,9
41
240,7
2
241,2
12
240,9
22
241,1
32
241,0
42
240,8
3
241,3
13
241,4
23
241,6
33
240,7
43
241,0
4
240,6
14
241,2
24
240,9
34
240,8
44
241,0
5
241,3
15
241,1
25
241,2
35
241,1
45
240,9
6
241,7
16
240,4
26
240,5
36
241,0
46
241,3
7
241,1
17
241,3
27
240,7
37
241,5
47
240,9
8
240,9
18
241,5
28
240,8
38
240,6
48
241,2
9
240,5
19
240,7
29
241,4
39
241,2
49
241,1
10
240,8
20
241,0
30
241,0
40
241,4
50
240,6
Informação do resultado de um conjunto de medidas de uma grandeza x
Reescrevendo a tabela:
f
Li(cm)
ΔLi(cm)
(ΔLi)2(cm2)
1
240,4
-0,6
0,36
2
240,5
-0,5
0,25
3
240,6
-0,4
0,16
4
240,7
-0,3
0,09
5
240,8
-0,2
0,04
6
240,9
-0,1
0,01
7
241,0
0,0
0,00
6
241,1
0,1
0,01
5
241,2
0,2
0,04
4
241,3
0,3
0,09
3
241,4
0,4
0,16
2
241,5
0,5
0,25
1
241,6
0,6
0,36
1
241,7
0,7
0,49
1) Média:
Informação do resultado de um conjunto de medidas de uma grandeza x
Desvio médio:
f
Li(cm)
ΔLi(cm)
(ΔLi)2(cm2)
1
240,4
-0,6
0,36
2
240,5
-0,5
0,25
3
240,6
-0,4
0,16
4
240,7
-0,3
0,09
5
240,8
-0,2
0,04
6
240,9
-0,1
0,01
7
241,0
0,0
0,00
6
241,1
0,1
0,01
5
241,2
0,2
0,04
4
241,3
0,3
0,09
3
241,4
0,4
0,16
2
241,5
0,5
0,25
1
241,6
0,6
0,36
1
241,7
0,7
0,49
Informação do resultado de um conjunto de medidas de uma grandeza x
Se considerássemos os desvios de cada medida com seu sinal, teríamos um DESVIO MÉDIO NULO!
f
Li(cm)
ΔLi(cm)
(ΔLi)2(cm2)
1
240,4
-0,6
0,36
2
240,5
-0,5
0,25
3
240,6
-0,4
0,16
4
240,7
-0,3
0,09
5
240,8
-0,2
0,04
6
240,9
-0,1
0,01
7
241,0
0,0
0,00
6
241,1
0,1
0,01
5
241,2
0,2
0,04
4
241,3
0,3
0,09
3
241,4
0,4
0,16
2
241,5
0,5
0,25
1
241,6
0,6
0,36
1
241,7
0,7
0,49
Informação do resultado de um conjunto de medidas de uma grandeza x
Desvio padrão da medida
f
Li(cm)
ΔLi(cm)
(ΔLi)2(cm2)
1
240,4
-0,6
0,36
2
240,5
-0,5
0,25
3
240,6
-0,4
0,16
4
240,7
-0,3
0,09
5
240,8
-0,2
0,04
6
240,9
-0,1
0,01
7
241,0
0,0
0,00
6
241,1
0,1
0,01
5
241,2
0,2
0,04
4
241,3
0,3
0,09
3
241,4
0,4
0,16
2
241,5
0,5
0,25
1
241,6
0,6
0,36
1
241,7
0,7
0,49
Informação do resultado de um conjunto de medidas de uma grandeza x
Finalmente:
f
Li(cm)
ΔLi(cm)
(ΔLi)2(cm2)
1
240,4
-0,6
0,36
2
240,5
-0,5
0,25
3
240,6
-0,4
0,16
4
240,7
-0,3
0,09
5
240,8
-0,2
0,04
6
240,9
-0,1
0,01
7
241,0
0,0
0,00
6
241,1
0,1
0,01
5
241,2
0,2
0,04
4
241,3
0,3
0,09
3
241,4
0,4
0,16
2
241,5
0,5
0,25
1
241,6
0,6
0,36
1
241,7
0,7
0,49
Informação do resultado de um conjunto de medidas de uma grandeza x
Êpa! Tá faltando algum erro???!!!
Se a régua é centimetrada, o erroescala = 0,5 cm, portanto ele deve ser acrescido aos demais erros, e assim:
f
Li(cm)
ΔLi(cm)
(ΔLi)2(cm2)
1
240,4
-0,6
0,36
2
240,5
-0,5
0,25
3
240,6
-0,4
0,16
4
240,7
-0,3
0,09
5
240,8
-0,2
0,04
6
240,9
-0,1
0,01
7
241,0
0,0
0,00
6
241,1
0,1
0,01
5
241,2
0,2
0,04
4
241,3
0,3
0,09
3
241,4
0,4
0,16
2
241,5
0,5
0,25
1
241,6
0,6
0,36
1
241,7
0,7
0,49
Propagação de erros
Considere uma grandeza física Y (medida indireta) que depende de n outras grandezas físicas X1, X2, ..., Xn. (medidas diretas). 
Y = f (x1, x2, ... xn)
A diferencial desta função (ou variação da função), em termos de cada uma das variações das variáveis (ou diferenciais de cada variável), é definida como:
Propagação de erros
Considerando que:
é a derivada parcial da função com relação à i-ésima variável,
Encontramos a equação do erro determinado, considerando que as variações das i-ésimas variáveis são positivas:
Propagação de erros
Exemplo:
Vamos calcular o volume dessa calota, sabendo que a expressão matemática que relaciona essas grandezas é:
De maneira que:
Propagação de erros
Assim, encontramos o erro:
Substituindo os valores de r e h na expressão, encontramos o volume:
De acordo com as regras de operação com algarismos significativos, o resultado deverá ter 4 algarismos: