sistemas de partículas

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SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Nos capítulos anteriores tratamos os objetos em estudo como sendo 
partículas puntiformes, tendo massa, mas não levamos em conta sua 
dimensão. Esta restrição não é tão ruim, porque todos os pontos de um objeto 
em movimento de translação pura se move de maneira idêntica e não faz 
diferença se o tratamos como partícula ou como um corpo com uma certa 
extensão. No entanto, nem sempre esta restrição é válida. Por exemplo, 
quando um objeto tem movimento de rotação e translação simultaneamente 
ou quando suas partes vibram, umas em relação às outras, não será válido 
tratar o objeto todo como uma única partículas. Ainda assim neste casos 
mais complexos, existe um ponto do corpo cujo movimento, sob a ação de 
forças externas, pode ser analisado como uma única partícula. Este ponto é 
chamado de centro de massa.
¾ O centro de massa de um sistema de duas partículas
Fig1.(a) Fig1.(b)
A fig1.(a) mostra duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma 
distância d. Foi escolhido a origem do eixo x coincidindo com m1. 
Define-se a posição do centro de massa por:
2
cm
1 2
mx d
m m
= +
2 cm 1
1 cm 2
1 2
Veja que se 0, só existe uma partícula de massa e a posição do centro de massa 
coincidi com a posição da particula. Por outro lado, se 0 , posição da massa .
Quando cm
m x m
m x d m
m m x
⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ 12 , o centro de massa fica no ponto médio entre elas.d=
A fig1.(b) mostra uma situação mais geral em que a origem do sistema de 
coordenadas foi deslocado para a esquerda. A posição do centro de massa 
é agora definido por:
1 1 2 2
cm
1 2
m x m xx
m m
+= +
Para um sistema de duas partículas a coordenada do centro de massa é:
1 1 2 2
Mass
cm
a To
1
l
2
ta
 ; m x m xx M m m
M
+= = +���	��
¾ O centro de massa de um sistema de n partículas
Podemos aplicar a mesma definição do centro de massa a uma situação mais 
geral em que n partículas estão em diferentes pontos do eixo x. Neste caso: 
1 1 2 2
cm cm
1
1 
n
n n
i i
i
m x m x m xx x m x
M M =
+ + += ⇒ = ∑"
1 2onde é a massa total do sistema.nM m m m= + + +"
Quando as partículas estão distribuídas em três dimensões são necessárias 
três coordenadas para especificar a localização do centro de massa.
cm cm cm
1 1 1
1 1 1 ; ; 
n n n
i i i i i i
i i i
x m x y m y z m z
M M M= = =
= = =∑ ∑ ∑
A posição do centro de massa de um sistema de partículas pode ser 
expressa por um vetor posição:
cm 1 1 2 2 cm
1
1 1( ) ou 
n
n n i i
i
r m r m r m r r m r
M M =
= + + + = ∑G G G G G G"
A velocidade do centro de massa:
( )
 cm 1 2
cm 1 2
cm 1 1 2 2 cm
1
1
1 1 ou
n
n
n
n n i i
i
d r d rd r d rv m m m
dt M dt dt dt
v m v m v m v v m v
M M =
 = = + + +  
= + + + = ∑
G GG GG "
G G G G G G"
A aceleração do centro de massa:
( )
 cm 1 2
cm 1 2
cm 1 1 2 2 cm
1
1 
1 1 ou = 
n
n
n
n n i i
i
d v d vd v d va m m m
dt M dt dt dt
a m a m a m a a m a
M M =
 = = + + +  
= + + + ∑
G GG GG "
G G G G G G"
Reescrevendo a equação acima na forma:
 1 1 2 2 3 3 cmn nm a m a m a m a M a+ + + + =G G G G G"
 1 2 3 cmnF F F F M a+ + + + =
G G G G G"
 int cm
forças internas forças externas
 extF F M a+ =∑ ∑G G G�	
 �	
Todas as forças internas constituem pares de ação e pela terceira Lei de 
Newton elas se cancelam mutuamente. 
¾ Segunda Lei de Newton para um sistema de n partículas:
 
, cm, 
cm , cm, 
, cm, 
 
 
 
ext x x
ext ext y y
ext z z
F Ma
F M a F Ma
F Ma
 == = =
∑∑ ∑∑
G G
O movimento de translação de um sistema de partículas pode ser 
analisado aplicando-se as leis de Newton como se toda a massa 
estivesse concentrada no centro de massa do sistema e a força externa 
estivesse aplica neste ponto.
Para o caso em que 0 :extF =∑ G
Se a resultante das forças externas que atuam num sistema de 
partículas for nula, então o centro de massa do sistema move-se com 
velocidade constante.
Problema 2: Onde está o centro de massa das três partículas mostradas na 
figura abaixo.
m1
m2
m3
Solução
1 2 3Massa Total: 15M m m m kg= + + =
1 1 2 2 3 3
cm
1 1 2 2 3 3
cm
3 0 8 1 4 2 1,1
15
3 0 8 2 4 1 1,3
15
m x m x m xx m
M
m y m y m yy m
M
+ + × + × + ×= = =
+ + × + × + ×= = =
O vetor posição é dado por:
 cm
ˆ ˆ(1,1 ) (1,3 )r m i m j= +G
¾ Centro de Massa do objetos Sólidos
Para determinarmos o centro de massa de objetos sólidos é conveniente 
substituímos os somatórios das expressões anteriores por integrais: 
 cm cm cm
1 1 1 ; ; x xdm y ydm z zdm
M M M
= = =∫ ∫ ∫
Na forma vetorial, podemos escrever o vetor posição do centro de massa por:
 cm
1r r dm
M
= ∫G G
Exemplo1: Determine o centro de massa de uma vareta uniforme de massa M e 
comprimento L. 
Solução: Uma vez que M é a massa total 
da vareta, a massa de um elemento de 
comprimento dx é:
 
dx Mdm M dx dx
L L
λ= = =
 
2
cm 0
0
1 1 1
2 2
L
LM x Lx xdm xdx
M M L L
= = = =∫ ∫ cm
 Como esperado, 
devido a simetria. 
 
2
Lx =
Exemplo2: Uma tira de um material é curvada na forma de um semicírculo de 
raio R. Determine seu centro de massa.
Solução: Uma vez que o comprimento total do arco é 
πR, a densidade de massa è λ = M /πR.
 
 
( / ) . O elemento 
 tem coordenada . Logo
dm ds Rd M d
dm y Rsen
λ λ φ π φ
φ
= = =
=
 
 
 
 
cm
0
cm
0
1 1 ( )
2 0,637
My y dm Rsen d
M M
R Ry sen d R
π
π
φ φπ
φ φπ π
= =
= = =
∫ ∫
∫
O centro de massa não está no arco e fica fora dele.
¾Momento Linear de uma partícula
O momento linear de uma partícula é um vetor p definido como o produto de 
sua massa pela sua velocidade. 
p mv=G G
Segunda Lei de Newton: A taxa de variação do momento linear de um corpo é 
igual à força resultante que atua neste corpo e tem a mesma direção e sentido 
desta força.
 
R
d pF F
dt
= =∑ GG G
Para uma única partícula de massa constante, temos
 
 ( ) d p d d vF mv m F ma
dt dt dt
= = = ⇒ =
G GG GG G
Energia Cinética:
 
2
21 
2 2
pK mv K
m
= ⇒ =
¾Momento Linear de um sistema de partículas
Considere agora um sistema de n partícula, cada uma com sua massa, velocidade e 
momento linear. As partículas podem interagir umas com as outra e podem também 
estar sujeitas a forças externas. O sistema como um todo possui um momento linear 
total P, definido por:
 
1 2 1 1 2 2 2
cm 
n nP p p p m v m v m v
P M v
= + + + = + + +
=
G G G G G G G" "G G
Derivando em relação ao tempo, temos:
 
 
cm
cm
d vdP M M a
dt dt
= =
G G G
Segunda lei de Newton para uma sistema de partículas.
 
ext
d PF
dt
=∑
GG
¾ Conservação do Momento Linear
Suponha que a soma das forças externa que agem sobre um sistema seja nula 
(isto é, o sistema seja isolado) e que o número de partículas que compõem o 
sistema seja constante (isto é, o sistema é fechado). 
 Da equação 0 constanteext
d P d PF P
dt dt
= ⇒ = ⇒ =∑
G GG G
Este importante resultado, chamado Lei de Conservação do Momento Linear, 
também pode ser escrito na forma:
 (sistema isolado e fechado)i fP P=
G G
Problema 39: Uma bala de 3,45 g é atirada horizontalmente sobre dois blocos
em repouso sobre uma mesa sem atrito, como mostra a figura abaixo. A bala 
passa através do primeiro bloco, de 1,22 kg de massa, e fica cravada no 
segundo bloco, de massa 1,78 kg. Os blocos adquirem as velocidades de 
0,630 m/s e 1,48 m/s respectivamente, conforme figura. Desprezando a massaremovida do primeiro bloco pela bala, determine (a) a velocidade da bala 
imediatamente após emergir do primeiro bloco e (b) sua velocidade original.
0bv 1m 2m
2 2
2
2
3
3
 
 ( )
 
3, 45 10 1,78 1,48 /
3,45 10
 746 /
i f
b b b
b
b
b
b
b
P P
m v m m v
m mv v
m
kg kgv m s
kg
v m s
−
−
=
= +
+=
× += ×
≅
b) Usando a conservação do momento 
na colisão entre a bala e a massa m2
Solução
a) Usando a conservação do momento 
na colisão entre a bala e a massa m2
0 1 1
2 1
0 2 1 0
 
1 963 /
i f
b b b b
b b
b b
P P
m v m v m v
m mv v v v m s
m m
=
= +
 = + + ⇒ ≅  