Importantes Propriedades de Determinantes.docx

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ENG 122 – ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIVIÇOSA
Propriedades de determinantes
det(A) = det(AT)
Para provar esta propriedade utilizaremos o fato de que o determinante pode ser definido fixando-se (1, 2, 3, ..., n) como permutação fundamental tanto nos índices das linhas quanto nos índices das colunas.
Se A = (aij) então AT = (bij), onde bij = aji.
Temos:
Se A tem uma linha (ou coluna) nula então det A = 0
Prova: cada termo que ocorre em cada parcela da soma no cálculo do determinante contém um (e único) elemento de cada linha e de cada coluna, portanto o determinante também é nulo.
Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz por uma constante r, seu determinante fica multiplicado por r
Prova: em cada termo ocorre um único elemento da linha (ou coluna) que foi multiplicada por k (conforme raciocínio aplicado na propriedade anterior). Assim temos que:
Se A é uma matriz n×n e r é um escalar então det(rA) = rndet(A)
Para mostrar essa propriedade basta aplicarmos a anterior a todas as linhas (ou colunas), assim teremos que:
Trocando a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal
Ex.: o determinante de uma matriz A2x2 é dado por:
det A = a11 . a22 – a21 . a12
fazendo permutação entre as duas linhas da matriz o novo determinante será:
det A = a21 . a12 – a11 . a22
Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0
Trocando duas linhas iguais de A e chamando a matriz resultante de B. Obviamente A = B, o que implica det A = det B. Mas, pela propriedade anterior, det A = - det B. Temos, portanto, que isso só é valido quando det A = 0:
det A = - det A <=> det A = 0
Trocando a linha i por linha i + r(linha j), não se altera o determinante (o mesmo vale para colunas em lugar de linhas)
det AB = det A x det B
Mostre que isso é válido. Utilize uma matriz 2x2 e uma 3x3.
Se uma matriz tem duas linhas (ou colunas) proporcionais, então tem determinante igual a zero.
Essa propriedade é decorrência direta de propriedades 5 e 2.
Observemos que o primeiro determinante é o determinante da matriz (aij), onde no lugar de cada elemento da linha i colocamos a soma .
Ex.: 
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal.