409266 Lista 1

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1a Lista de Exerc´ıcios de GAAV - Engenharia Civil
Prof. Cirilo
1 - MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
1. Considere as seguintes matrizes de ordem 3:
A =
 1 0 00 2 0
0 0 4
, A =
 4 0 00 2 0
0 0 1
.
Mostre que AB = BA.
2. Se A, B sa˜o matrizes de ordem n e se AB = BA, prove que:
(a) (A− B)2 = A2 − 2AB+ B2;
(b) (A− B)(A+ B) = A2 − B2;
(c) (A− B)(A2 +AB+ B2) = A3 − B3.
3. Mostre que se
A =
(
2 3
1 4
)
,
enta˜o A2 − 6A+ 5I2 = 0 (matriz nula).
4. Mostre que as matrizes
A =
(
1 1y
y 1
)
,
onde y ∈ R, y 6= 0. Mostre que A satisfaz a equac¸a˜o X2 = 2X.
5. Sejam:
A =
(
2 1 0
1 2 1
)
, B =
(
0 0 2
6 4 2
)
e C =
(
3 2 0
0 1 0
)
matrizes 2× 3. Calcule 3(A− 12B) + C.
6. Determine uma matriz X de ordem 2× 3 tal que 12(X+A) = 3(X+ (B−A)) −C, sendo A,
B e C as matrizes do exerc´ıcio anterior.
7. Para cada nu´mero real α considere a matriz:
Tα =
(
cosα −senα
senα cosα
)
(a) Mostre que TαTβ = Tα+β;
(b) Calcule T−α.
8. Determine todas as matrizes que comutam com a matriz
A =
(
1 1
0 0
)
,
ou seja, todas as matrizes X de ordem 2× 2 tais que AX = XA.
9. Em cada item verifique se a matriz A e´ invers´ıvel e, se o for, determine sua inversa (por
meio das operac¸o˜es elementares):
(a) A =
 1 2 10 1 2
1 1 1

1
(b) A =
 1 2 20 1 2
1 3 4

(c) A =
 1 1 −12 1 1
3 −1 1

10. Mostre que a matriz real
A =
 1 0 0a 1 0
b c 1

e´ invers´ıvel para todo a, b, c ∈ R e que:
A−1 =
 1 0 0−a 1 0
ac− b −c 1
 .
11. Verifique quais das seguintes matrizes sa˜o invers´ıveis e determine as suas inversas (por
meio das operac¸o˜es elementares):
A =
(
1 2
2 2
)
, B =
 1 0 11 1 0
0 2 1
 e C =

0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 1 −1
0 2 0 3

12. Resolver os sistemas abaixo:
(a)

x+ y+ z = 1
x− y+ 2z = 2
x+ 6y+ 3z = 3
(b)

x+ y+ z = 1
x− y+ z = −2
2y = −3
(c)

5x− 2y+ 2z = 2
3x+ y+ 4z = −1
4x− 3y+ z = 3
(d)

x+ y+ z = 1
x− y− z = 2
2x+ y+ z = 3
13. Determinar o valor de a para que o sistema linear abaixo admita uma u´nica soluc¸a˜o e
determina´-la: 
x+ y = 1
2x+ y = 2
3y = a
14. Em cada item, verifique se o sistema pode ser resolvido pela regra de Cramer, se o for,
resolva-o usando esse me´todo:
(a)

x+ 2y+ z = 1
y+ 2z = −4
x+ y+ z = 2
(b)

x+ y− z = 0
2x+ y+ z = 1
3x− y+ z = 1
2
(c)
{
x− y = 4
x+ y = 0
(d)

x+ y+ z = 2
x− y+ z = 0
y+ 2z = 0
(d)

x− y+ z+ t = 0
x+ y− z+ t = 1
−x+ y+ z− t = 0
2x− y− z+ 3t = 1
15. Determine m ∈ R de modo que, o sistema abaixo possa ser resolvido pela regra de Cramer:
x− y+ z = 2
x+ 2z = 1
x+ 2y+mz = 0
16. calcule det(A) nos seguintes casos (nas matrizes de ordem maior ou igual a 3 use o me´todo
dos cofatores):
(a) A =
(
1 1
2 3
)
(b) A =
(
4 1
2 0
)
(c) A =
 1 3 12 1 0
0 1 1

(d) A =
 1 2 12 1 3
1 0 1

(e) A =
 2 3 41 1 2
0 0 2

(f) A =

1 0 0 0
3 2 0 0
1 1 4 0
4 0 1 −1

(g) A =

1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 4 0
0 0 0 2

(h) A =
 3 4 01 1 0
2 0 2

(i) A =

2 1 3 0
1 2 1 0
0 0 2 1
3 1 1 4

17. Em cada item do exerc´ıcio anterior, verifique se A e´ uma matriz invert´ıvel. Em caso
afirmativo, calcule A−1 (usando a matriz adjunta).
3
18. Sem ca´lculo, prove que a matriz
A =
 3 −6 x1 −2 y
2 −4 z

tem determinante igual a zero quaisquer que sejam x, y, z ∈ R.
19. Calcule o cofator do elemento x na matriz
A =

0 1 0 3
1 2 1 1
2 1 0 0
3 x 2 1

20. Determine a matriz dos cofatores da matriz
A =
 1 2 10 1 2
2 3 1

21. Calcular, se existir, a inversa de A (usando sua adjunta) e use essa inversa para resolver
AX = B nos seguintes casos:
(a) A =
(
1 1
2 3
)
B =
(
1
4
)
(b) A =
 1 2 11 0 1
2 1 0
 B =
 31
2

(c) A =

1 1 2 0
0 2 0 1
0 0 3 2
0 0 0 4
 B =

4
3
2
1

22. Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo.
a) A =
 1 2 1 0−1 0 3 5
1 −2 1 1

b) A =

2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8

4