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A Para´bola Refereˆncias
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
Coˆnicas - A Para´bola
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior
20 de dezembro de 2014
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
A Para´bola Refereˆncias
A Para´bola
Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F na˜o pertencente a d .
A para´bola e´ o lugar geome´trico dos pontos do plano que sa˜o equidistante
de F e d .
Assim, se P ′ e´ o pe´ da perpendicular baixada de um ponto P do plano
sobre a reta d , temos P pertence a para´bola se, e somente se,
d(P, F ) = d(P, P ′)⇒ |−→PF | = |−−→PP ′|.
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
A Para´bola Refereˆncias
Elementos:
Foco: e´ o ponto P.
Diretriz: e´ a reta d.
Eixo: e´ a reta que passa pelo foco e e´ perpendicular a` diretriz.
Ve´rtice: e´ o ponto V de intersec¸a˜o da para´bola com o seu eixo.
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A Para´bola Refereˆncias
Equac¸a˜o da Para´bola de Ve´rtice na Origem do Sistema
1o caso: O eixo da para´bola e´ o eixo dos y
Seja P(x , y) um ponto qualquer da para´bola de foco F = (0, p2 ). Da
definic¸a˜o de para´bola, temos que |
−→
PF | = |
−−→
PP ′| ou |
−→
FP | = |
−−→
P ′P |.
Como P ′ = (x ,− p2 ), vem que |(x − 0, y −
p
2 )| = |(x − x , y +
p
2 )|
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A Para´bola Refereˆncias
⇒ √(x − 0)2 + (y − p
2
)2 =
√
(x − x)2 + (y +
p
2
)2
⇒ (x − 0)2 + (y − p
2
)2 = (x − x)2 + (y +
p
2
)2
⇒ x2 + y2 − py + p
4
= y2 + py +
p
4
⇒ x2 = 2py
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A Para´bola Refereˆncias
Essa equac¸a˜o e´ chamada equac¸a˜o reduzida da para´bola e constitui a forma
padra˜o da equac¸a˜o da para´bola de ve´rtice na origem tendo para eixo o
eixo dos y .
Obs.
Como x2 ≥ 0 temos que os sinais p e y sa˜o iguais:
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A Para´bola Refereˆncias
2o caso: O eixo da para´bola e´ o eixo dos x
Seja P(x , y) um ponto qualquer da para´bola de foco F = ( p2 , 0), obtemos,
de forma ana´loga ao 1o caso, a equac¸a˜o reduzida:
y2 = 2px
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A Para´bola Refereˆncias
Obs.
Novamente, atrave´s do estudo do sinal, temos:
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A Para´bola Refereˆncias
Translac¸a˜o de eixos
Seja O ′(h, k) um ponto no plano cartesiano xOy . vamos introduzir um
novo sistema x ′O ′y ′ tal que os eixos O ′x ′ e O ′y ′ tenham a mesma
unidade de medida, a mesma direc¸a˜o e sentido dos eixos Ox e Oy . Um
sistema pode ser obtido do outro, atrave´s de uma translac¸a˜o de eixos.
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A Para´bola Refereˆncias
Seja P um ponto qualquer do plano tal que suas coordenadas sa˜o:
x e y em relac¸a˜o ao sistema xOy
x ′ e y ′ em relac¸a˜o ao sistema x ′O ′y ′.
Pela figura, temos x = x ′ + h e y = y ′ + k ou x ′ = x − h e y ′ = y − k.
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A Para´bola Refereˆncias
Essas sa˜o as fo´rmulas de translac¸a˜o e que permitem transformar coor-
denadas de um sistema para outro.
A principal finalidade da transformac¸a˜o de coordenadas e´ modificar a forma
de equac¸o˜es.
Por exemplo, considere a para´bola de equac¸a˜o x ′2 = 4y ′ referida no sis-
tema x ′O ′y ′, onde O ′(3, 2), isto e´, h = 3 e k = 2. Como x ′ = x − 3
e y ′ = y − 2 temos que a equac¸a˜o dessa para´bola em relac¸a˜o ao sistema
xOy e´
x ′2 = 4y ′ ⇒ (x−3)2 = 4(y−2)⇒ x2−6x+9 = 4y−8 ⇒ x2−6x−4y+17 = 0.
Reciprocamente, dada a para´bola x2 − 6x − 4y + 17 = 0 no sistema xOy ,
usando x = x ′ + 3 e y = y ′ + 2 podemos encontra a equac¸a˜o dessa
para´bola no sistema x ′O ′y ′.
x2−6x−4y+17 = 0 ⇒ (x ′+3)2−6(x ′+3)−4(y ′+2)+17 = 0 ⇒ x ′2 = 4y ′.
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A Para´bola Refereˆncias
Mediante uma adequada translac¸a˜o de eixos, a equac¸a˜o em x e y transforma-
se numa equac¸a˜o em x ′ e y ′ bem mais simples, e ambas com o mesmo
gra´fico.
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A Para´bola Refereˆncias
Equac¸a˜o da Para´bola de Ve´rtice Fora da Origem do
Sistema
1o caso: O eixo da para´bola e´ paralelo ao eixo dos y
Considere uma para´bola de ve´rtice V (h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y ,
onde h e k sa˜o as coordenadas de V em relac¸a˜o ao sistema xOy .
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A Para´bola Refereˆncias
Seja P(x , y) um ponto qualquer dessa para´bola. Consideremos um novo
sistema x ′O ′y ′ com origem O ′ em V . Temos que a equac¸a˜o dessa
para´bola em relac¸a˜o ao sistema x ′O ′y ′ e´
x ′2 = 2py ′ ⇒︸︷︷︸ x ′ = x − hy ′ = y − k
(x − h)2 = 2p(y − k).
Essa e´ a forma padra˜o da equac¸a˜o de uma para´bola de ve´rtice V (h, k) e
eixo paralelo ao eixo dos y .
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A Para´bola Refereˆncias
2o caso: O eixo da para´bola e´ paralelo ao eixo dos x
De modo ana´logo ao caso anterior, teremos:
(y − k)2 = 2p(x − h)
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A Para´bola Refereˆncias
Equac¸a˜o da Para´bola na Forma Expl´ıcita
Sabemos que a equac¸a˜o de uma para´bola de ve´rtice V (h, k) e eixos para-
lelos ao eixo y tem a forma padra˜o: (x − h)2 = 2p(y − k).
Por exemplo, para V (2,−1) e p = 18 temos que
(x − 2)2 = 2 · 1
8
· (y + 1) ⇒ x2 − 4x + 4 = 1
4
(y + 1)
⇒ 4x2 − 16x + 16 = y + 1⇒ y = 4x2 − 16x + 15
Dessa forma, uma equac¸a˜o na forma padra˜o pode ser apresentada sob a
forma:
y = ax2 + bx + c
chamada de forma expl´ıcita da equac¸a˜o da para´bola cujo eixo e´ paralelo
ao eixo Oy .
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A Para´bola Refereˆncias
Reciprocamente, dada uma equac¸a˜o na forma expl´ıcita, podemos transforma-
la na forma padra˜o. Logo o gra´fico de y = ax2 + bx + c , com a 6= 0, e´
sempre uma para´bola de eixo paralelo ao eixo dos y .
Analisaremos o gra´fico da para´bola de equac¸a˜o y = 4x2 − 16x + 15.
Transformando essa equac¸a˜o na forma padra˜o, temos
y = 4x2 − 16x + 15 ⇒ 4x2 − 16x = y − 15⇒ 4(x2 − 4x) = y − 15⇒ 4(x2 − 4x + 4) = y − 15 + 4(4)⇒ 4(x − 2)2 = y − 15 + 16⇒ 4(x − 2)2 = y + 1
⇒ (x − 2)2 = 1
4
· (y + 1)
logo, o ve´rtice e´ V (2,−1) e 2p = 14 ⇒ p = 18 .
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A Para´bola Refereˆncias
Para esboc¸ar o gra´fico, temos que calcular as intersec¸o˜es da para´bola com
os eixos coordenados:
Para x = 0, temos y = 15, logo (0, 15) e´ o ponto onde a para´bola corta o
eixo y .
Para y = 0, temos que as ra´ızes de 4x2 − 16x + 15 = 0 sa˜o 32 e
5
2 , logo
( 32 , 0) e (
5
2 , 0) sa˜o os pontos onde a para´bola corta o eixo x .
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A Para´bola Refereˆncias
Como p2 =
1
16 , temos que o foco e´ F (0+ 2,
1
16 − 1), ou seja, F (2,−
15
16 ) e a
diretriz tem equac¸a˜o y = −1 − 116 , ou seja, y = −
17
16 . Quando a equac¸a˜o
da para´bola estiver na forma expl´ıcita y = ax2 + bx + c , para determinar
o ve´rtice V (h, k) podemos usar a fo´rmula:
h = −
b
2a
e para determinar a ordenada correspondente k , fazemos x = h na equac¸a˜o
da para´bola.
Exemplo
Calcule o ve´rtice da para´bola y = 4x2 − 16x + 15.
Temos que h = −
−16
2(4)
= 2, fazendo x = h = 2 na equac¸a˜o da para´bola,
temos k = 4(2)2 − 16(2) + 15 = −1. Portanto, o ve´rtice da para´bola e´ o
ponto V (2,−1).
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A Para´bola Refereˆncias
Exerc´ıcio
1 Determine aequac¸a˜o da para´bola de ve´rtice V (0, 0) e foco F (1, 0).
2 determine a equac¸a˜o da para´bola de ve´rtice V (3,−1) sabendo que
y − 1 = 0 e´ a equac¸a˜o de sua diretriz.
3 Determine a equac¸a˜o da para´bola que passa pelos pontos (0, 1),
(1, 0) e (3, 0), conforme a figura.
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A Para´bola Refereˆncias
Refereˆncias
STEINBRUCH, A., WINTERLE, P., Geometria Anal´ıtica, 2oed.,
Pearson, Sa˜o Paulo, 1987.
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	A Parábola
	Referências