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Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
Distaˆncias
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior
20 de dezembro de 2014
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Distaˆncias
Definic¸a˜o
A distaˆncia d entre os pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) e´ o mo´dulo do
vetor
−−−→
P1P2, isto e´:
d(P1,P2) = |
−−−→
P1P2| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.
Exemplo
Calcule a distaˆncia entre os pontos P1(7, 3, 4) e P2(1, 0, 6).
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Distaˆncia de um Ponto a uma Reta
Seja r uma reta definida por um ponto P1(x1, y1, z1) e pelo vetor diretor−→v = (a, b, c) e seja P0(x0, y0, z0) um ponto qualquer do espac¸o. Os
vetores −→v e −−−→P1P0 determinam um paralelogramo cuja a altura corresponde
a` distaˆncia d de P0 a r que pretendemos calcular.
Sabemos que a a´rea A de um paralelogramo e´ dada por
A = |−→v |d ;
A = |−→v ×−−−→P1P0|.
da´ı temos |−→v |d = |−→v ×−−−→P1P0|⇒ d = d(P0, r) = |−→v ×−−−→P1P0|
|−→v | .
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Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Distaˆncia entre Duas Retas
1 Retas Concorrente: A distaˆncia d entre duas retas r e s
concorrentes e´ nula.
2 Retas Paralelas: A distaˆncia d entre duas retas r e s, paralelas, e´ a
distaˆncia de um ponto qualquer P0 de uma delas a` outra reta, isto e´,
d(r , s) = d(P0, s), P0 ∈ r
ou
d(r , s) = d(P0, r), P0 ∈ s.
3 Retas Reversas: Consideremos duas retas r e s reversas: a reta r
definida por um ponto P1(x1, y1, z1) e o vetor diretor−→u = (a1, b1, c1) e a reta s pelo ponto P2(x2, y2, z2) e pelo vetor
diretor −→u = (a2, b2, c2).
Os vetores −→u , −→v e −−−→P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) determinam
um paralelep´ıpedo.
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Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
A altura desse paralelep´ıpedo corresponde a distaˆncia d entre as retas r e
s. Sabemos que o volume V de um paralelep´ıpedo e´ dado por
V = |−→u ×−→v |d ;
V = |(−→u ,−→v ,−−−→P1P2)|.
Da´ı temos, |−→u ×−→v |d = |(−→u ,−→v −−−→P1P2)|
⇒ d = d(r , s) = |(−→u ,−→v ,−−−→P1P2)|
|−→u ×−→v | .
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Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Distaˆncia de um Ponto a um Plano
Sejam P0(x0, y0, z0) um ponto e pi : ax +by +cz +d = 0 um plano. Sejam
A o pe´ da perpendicular conduzida de P0 sobre o plano pi e P(x , y , z) um
ponto qualquer desse plano.
Como −→n = (a, b, c) e´ normal ao plano pi, logo −→n //−−→AP0. A distaˆncia d do
ponto P0 ao ponto pi e´
d(P0, pi) = |
−−→
AP0| =
∣∣∣∣−−→PP0 · −→n|−→n |
∣∣∣∣ = |ax0 + by0 + cz0 + d |√a2 + b2 + c2 .
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Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Distaˆncia entre dois Plano
A distaˆncia entre dois planos e´ definida apenas quando os planos forem
paralelos.
Dado dois planos pi1 e pi2, paralelos, a distaˆncia d entre eles e´ a distaˆncia
de um ponto qualquer de um dos planos ao outro plano, isto e´
d(pi1, pi2) = d(P0, pi2), P0 ∈ pi1
ou
d(pi1, pi2) = d(P0, pi1), P0 ∈ pi2
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Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Distaˆncia de uma reta a um Plano
A distaˆncia de uma reta a um planos e´ definida apenas quando a reta e´
paralelo ao plano.
Dada uma reta r paralela um plano pi, a distaˆncia d da reta ao plano e´ a
distaˆncia de um ponto qualquer da reta ao plano, isto e´
d(r , pi) = d(P0, pi), P0 ∈ r .
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Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Exerc´ıcio
1 Calcule a distaˆncia do ponto P0(2, 0, 7) a` reta
r :
x
2
=
y − 2
2
=
z + 3
1
.
2 Calcule a distaˆncia entre as retas
r :
{
y = 1
x + 2 = z−4−2
e s :
 x = 3y = 2t − 1
z = −t + 3
3 Calcule a distaˆncia do ponto P0(−4, 2, 5) ao plano
pi 2x + y + 2z + 8 = 0.
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Distaˆncia Entre Dois Pontos Refereˆncias
Refereˆncias
STEINBRUCH, A., WINTERLE, P., Geometria Anal´ıtica, 2oed.,
Pearson, Sa˜o Paulo, 1987.
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	Distância Entre Dois Pontos
	Referências