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A Hipe´rbole Refereˆncias
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
Coˆnicas - A Hipe´rbole
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior
14 de dezembro de 2014
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
A Hipe´rbole Refereˆncias
A Hipe´rbole
Hipe´rbole e´ o lugar geome´trico dos pontos de um plano cuja diferenc¸a
das distaˆncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano e´ cons-
tante. Sejam F1 e F2 dois pontos distintos no plano, tais que a distaˆncia
d(F1,F2) = 2c . Seja a ∈ R tal que 2a < 2c .Ao conjunto de todos os
pontos P do plano tais que:
|d(P,F1) − d(P,F2)| = 2a ⇒ ||−−→PF1| − |−−→PF2|| = 2a
da´-se o nome de Hipe´rbole.
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A Hipe´rbole Refereˆncias
Como se veˆ, a hipe´rbole e´ uma curva de dois ramos. na verdade, da
equac¸a˜o um ponto P esta´ na hipe´rbole se, e somente se,
d(P,F1) − d(P,F2) = ±2a
Quando P estiver no ramo da direita, a diferenc¸a e´ 2a e, em caso contra´rio,
sera´ −2a.
Consideremos a reta que passa por F1 e F2 e sejam A1 e A2 os pontos de
intersec¸a˜o da hipe´rbole com esta reta. Consideremos outra reta perpendi-
cular a esta passando pelo ponto me´dio C do segmento F1F2.
A hipe´rbole e´ uma curva sime´trica em relac¸a˜o a esta duas retas e em
relac¸a˜o ao ponto C .
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A Hipe´rbole Refereˆncias
Pela simetria, temos que d(A1,F1) = d(A2,F2) e da definic¸a˜o, vem que
d(A1,A2) = 2a.
Elementos
Focos: sa˜o os pontos F1 e F2.
Distaˆncia focal: e´ a distaˆncia 2c entre os focos.
Centro: e´ o ponto me´dio do segmento F1F2.
Ve´rtice: sa˜o os pontos A1 e A2.
Eixo real ou transverso: e´ o segmento A1A2 de comprimento 2a.
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A Hipe´rbole Refereˆncias
Eixo imagina´rio ou conjugado: e´ o segmento B1B2 de comprimento 2b.
O valor de b e´ definido pela relac¸a˜o:
c2 = a2 + b2
onde, a, b e c sa˜o as medidas dos lados do triaˆngulo retaˆngulo B2CA2.
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A Hipe´rbole Refereˆncias
As retas r e s, que conte´m as diagonais do retaˆngulo acima de dimenso˜es
2a e 2b, chama-se ass´ıntotas da hipe´rbole.
O aˆngulo θ na figura acima e´ chamado de abertura da hipe´rbole.
Chama-se Excentricidade da hipe´rbole ao nu´mero e dado por e =
c
a
,
como c > a logo e > 1.
A excentricidade da hipe´rbole esta´ intimamente relacionada com sua aber-
tura.
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A Hipe´rbole Refereˆncias
Equac¸a˜o da Hipe´rbole de Centro na Origem do
Sistema
1o coso: O eixo real esta´ sobre o eixo dos x
Seja P(x , y) um ponto qualquer de uma hipe´rbole de focos F1(−c , 0) e
F2(c , 0). Por definic¸a˜o ||
−−→
PF1| − |
−−→
PF2|| = 2a.
Em coordenadas: |
√
(x + c)2 + (y − 0)2 −
√
(x − c)2 + (y − 0)2 = 2a.
Como c2 = a2 + b2, obtemos
x2
a2
−
y2
b2
= 1.
Essa e´ a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole de centro na origem e eixo real
sobre o eixo dos x .
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2o coso: O eixo real esta´ sobre o eixo dos y
Com procedimento ana´logo ao 1o caso, obtemos a equac¸a˜o reduzida
y2
a2
−
x2
b2
= 1
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Equac¸a˜o da Hipe´rbole de Centro fora da Origem
1o caso: O eixo real e´ paralelo ao eixo dos x
Consideremos uma hipe´rbole de centro C (h, k) e seja P(x , y) um ponto
qualquer dessa hipe´rbole.
Como a equac¸a˜o
x2
a2
−
y2
b2
= 1 e´ a equac¸a˜o de uma hipe´rbole de centro
C (0, 0) e eixo real sobre o eixo x , quando o eixo real for paralelo ao eixo
x e o centro for C (h, k) a sua equac¸a˜o passa a ser
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1.
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1o caso: O eixo real e´ paralelo ao eixo dos x De forma ana´loga, temos:
(y − k)2
a2
−
(x − h)2
b2
= 1
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As Sec¸o˜es Coˆnicas
Chama-se sec¸a˜o coˆnica ao conjunto de pontos que formam a intersec¸a˜o
de um plano com uma superf´ıcie coˆnica.
Quando uma superf´ıcie coˆnica e´ seccionada por um plano pi qualquer que
na˜o passa pelo ve´rtice O, a sec¸a˜o coˆnica sera´
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(a) uma circunfereˆncia se pi for perpendicular ao eixo e da superf´ıcie;
(b) uma elipse se pi for obl´ıquo ao eixo e, cortando apenas uma das
folhas da superf´ıcie;
(c) uma para´bola se pi for paralelo a uma geratriz da superf´ıcie;
(d) uma hipe´rbole se pi for paralelo ao eixo e.
(a) (b) (c) (d)
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No caso do plano pi passar pelo ve´rtice O, obtemos as coˆnicas degenerada:
(e) um ponto se pi so´ tem o ponto O em comum com a superf´ıcie;
(f) uma reta se pi tangencia a superf´ıcie coˆnica;
(g) duas retas se pi forma com o eixo um aˆngulo menor do que este faz
com a geratriz.
(e) (f) (g)
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Superf´ıcies Qua´dricas
A equac¸a˜o do 2o grau em treˆs varia´veis
ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q = 0
onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c , d , e ou f e´ diferente de
zero, representa uma superf´ıcie qua´drica ou simplesmente uma qua´drica.
Essa equac¸a˜o, apo´s passar por uma mudanc¸a de coordenadas (rotac¸a˜o e
translac¸a˜o) adquire um aspecto que nos permite reconhecer as qua´dricas.
As coˆnicas sa˜o:
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Elipso´ide
O elipso´ide e´ uma superf´ıcie representada pela equac¸a˜o
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
onde a, b e c sa˜o positivos.
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Hiperbolo´ide de Uma Folha
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 1,
x2
a2
−
y2
b2
+
z2
c2
= 1 e −
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
e´ a forma canoˆnica da equac¸a˜o do hiperbolo´ide de uma folha ao longo dos
eixos z , y e x , respectivamente.
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A Hipe´rbole Refereˆncias
Hiperbolo´ide de duas Folha
−
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 1,
x2
a2
−
y2
b2
−
z2
c2
= 1 e −
x2
a2
−
y2
b2
+
z2
c2
= 1
e´ a forma canoˆnica da equac¸a˜o do hiperbolo´ide de duas folhas ao longo
dos eixos y , x e z , respectivamente.
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A Hipe´rbole Refereˆncias
Parabolo´ide El´ıptico
x2
a2
+
y2
b2
= cz ,
x2
a2
+
z2
c2
= by e
y2
b2
+
z2
c2
= ax
e´ a forma canoˆnica da equac¸a˜o do parabolo´ide el´ıptico ao longo dos eixos
z , y e x , respectivamente.
Cirilo Gonc¸alves Ju´nior Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial
A Hipe´rbole Refereˆncias
Parabolo´ide Hiperbo´lico
y2
b2
−
x2
a2
= cz ,
z2
c2
−
x2
a2
= by e
z2
c2
−
y2
b2
= ax
e´ a forma canoˆnica da equac¸a˜o do parabolo´ide hiperbo´lico ao longo dos
eixos z , y e x , respectivamente.
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A Hipe´rbole Refereˆncias
Exerc´ıcio
1 Uma hipe´rbole tem focos em F1(−5, 0) e F2(5, 0) e a medida do eixo
real e´ igual a 6. Determine a equac¸a˜o dessa hipe´rbole.
2 Obter a equac¸a˜o reduzida resultante de uma translac¸a˜ode eixos,
determinar os elementos e esboc¸ar o gra´fico da equac¸a˜o
7x2 − 9y2 + 28x + 54y − 116 = 0.
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A Hipe´rbole Refereˆncias
Refereˆncias
STEINBRUCH, A., WINTERLE, P., Geometria Anal´ıtica, 2oed.,
Pearson, Sa˜o Paulo, 1987.
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	A Hipérbole
	Referências