5.dinâmica da partícula 2

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DINÂMICA DA PARTÍCULA
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A 2o lei de Newton
1 - INTRODUÇÃO
A equação do movimento de uma partícula sólida
A velocidade terminal
Casos particulares ou os regimes de escoamento
Exercícios
2 – A EQUAÇÃO DO MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA SÓLIDA 
ou
2
3
dp
r
rs
Partícula caindo no seio de um fluido,
Fe – Empuxo
Fk – Força resistiva
Fp – Força peso
Da conservação da quantidade de movimento
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Ou seja
(1)
Define-se coeficiente de arraste (Cd)
Ou seja
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velocidade do fluido
velocidade da partícula
Força resistiva está relacionada à velocidade relativa ( ) 
Daí o coeficiente de arraste
Onde A = área da partícula projetada na direção do escoamento
f (Rep, forma)
E a força de arraste será
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Substituindo Fk na equação do movimento (equação 1)
equação do movimento de uma partícula sólida
Para esfera : 
Como CD é função (Rep, esfericidadea)
Rep = f (r,dp, m), 
Forma da partícula (fator de forma)
Ou seja
onde 
CD = f(Rep, esfericidade)
 (2)
3 – A VELOCIDADE TERMINAL (Vt)
Onde vt = velocidade terminal
Substituindo na equação do movimento (equação 2)
“Em um campo gravitacional, a medida que a partícula cai, a sua velocidade cresce ate que as forças acelerativas e resistivas se igualam. Quando isso acontece a velocidade da partícula permanence constante durante o restante da queda. A velocidade constante assumida pela partícula é a sua velocidade terminal”
Logo, com vconstante
(3)
e assim,
Velocidade terminal
(4)
4 – OS CASOS PARTICULARES DA DINÂMICA DA PARTÍCULA SÓLIDA
0 < Rep < 0,4
onde
Substituindo na expressão de vt
Caso 1 –Escoamento lento de uma esfera caindo em um fluido em repouso (Regime de Stokes)
(equações para o cálculo da velocidade terminal)
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Caso 2 –Região Intermediária - (Klyachko, Langmuir) 
0,4 < Rep < 500
Caso 3 –Região de Newton
500 < Rep < 2 x 105
Onde vt = velocidade terminal
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Rep
CD
Stokes
Interm.
Newton
esfera
turbulento
1
500
2.105
24/Rep
0,44
0,20
Regimes característicos de escoamento ao redor de uma esfera isolada (Cremasco pg 164) 
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Tipos de problemas 
1o Tipo: dados dp, rs e r para calcular vt 
Gráfico Kunii/Levenspiel pg 77 
Exemplo: Calcular a velocidade terminal para partículas esféricas de quartzo caindo em água sabendo que 
dp = 5mm rs = 2,6g/cm3 rágua = 1 g/cm3 
Segundo Kunii/Levenspiel
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2o Tipo: dados vt , rs, r e m para calcular dp
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Exemplo: Calcular o diâmetro de uma partícula (esférica) de galena que cai em um leito de água com velocidade terminal de 4,0cm/s, sabendo que:
 
vgalena = 4,0cm/s rgalena = 7,5g/cm3 rágua = 1 g/cm3 mágua = 0,01 g/cm3		
Exercício: Determinar a velocidade de queda de uma partícula (rs = 3,8g/cm3) com diâmetro de 75 mm, com esfericidade 0,8 em um elutriador operando com velocidade ascendente de líquido (água) a 0,25cm/s.		
Exercício: Em uma moagem foram obtidas partículas com dimensões variando entre 28 e 100 mesh. A massa específica do sólido que foi moído é de 3,0 g/cm3 e a esfericidade 0,8. Diante destes dados calcule:
A Vazão de água que se deve ter em um elutriador de 4in de diâmetro para separar partículas menores que 150mm
Como se deve efetuar a operação quando, com a mesma vazão de água, se empregar um líquido muito viscoso? 
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Um elutriador é um tubo vertical através do qual ascende um fluido a uma determinada velocidade enquanto a mistura sólida que se quer separar é alimentada no topo da coluna.