Lista de Exercicios 03 ED

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais – Engenharia 
Professor: Ildeu Rolla França 
 
Assunto: Aplicações de Equações Diferenciais de primeira ordem e equações de 
Bernoulli 
 
Exercícios 
 
1) Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao 
número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, 
quando ela triplicará? Quando quadruplicará? 
 
2) A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer 
tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a 
população em 30 anos? 
 
3) O isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à 
quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3,3 horas. Se 1 grama de 
chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo 
desaparecer? 
 
4) Quando um raio de luz vertical passa através de uma substância transparente, a taxa 
na qual sua intensidade I decresce é proporcional a I(t), em que t representa a espessura 
do meio (em metros). No mar, a intensidade a 3 metros abaixo da superfície é 25% da 
intensidade inicial Io do raio incidente. Qual é a intensidade do raio a 15 metros abaixo 
da superfície? 
 
5) Em um pedaço de madeira queimada, ou carvão, verificou-se que 85,5% do C-14 
tinha se desintegrado. Determine a idade aproximada da madeira. (Foi o que 
arqueologistas usaram para datar pinturas pré-históricas em uma caverna em Lascaux, 
na França.) 
 
6) Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70°F, e colocado 
do lado de fora, em que a temperatura é de 10°F. Após 0,5 minuto, o termômetro 
marcava 50°F. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t=1 minuto? 
Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15°F? 
 
7) Um tanque contém 200 litros de fluido no qual são dissolvidos 30 g de sal. Uma 
solução salina contendo 1 g de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a 
uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a 
quantidade de gramas de sal Q(t) no tanque em qualquer instante. 
 
8) Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2 g de sal 
por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura 
é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal A(t) no tanque em 
qualquer instante. 
9) Um tanque está parcialmente cheio com 100 litros de fluido nos quais 10 g de sal são 
dissolvidos. Uma solução salina contendo 0,5 g de sal por litro é bombeada para dentro 
do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. A mistura é então drenada a uma taxa de 4 
litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque após 30 minutos. 
 
10) Uma solução de ácido nítrico flui a uma vazão constante de 6 L/min em um grande 
tanque que mantinha de início 200 L de uma solução de ácido nítrico a 0,5%. A solução 
é mantida bem agitada e sai a uma vazão de 8 L/min. Se a solução entrando no tanque é 
de 20% de ácido nítrico, determine o volume do ácido após t minutos. Quando a 
porcentagem de ácido nítrico no tanque alcançará 10%? 
 
11) Uma piscina cujo volume é de 37.854 litros contém água que é 0,01% cloro. 
Começando em t = 0, a água encanada contendo 0,001% de cloro é bombeada a uma 
vazão de 19 L/min. A água da piscina sai com a mesma vazão. Qual é a porcentagem de 
cloro após uma hora? Quando a água da piscina terá 0,002% de cloro? 
 
12) Começando no instante t = 0, água fresca é bombeada na vazão de 11 L/min em um 
tanque de 227 L inicialmente cheio de salmoura. A cada vez menos salgada mistura 
resultante transborda na mesma vazão para um tanque de 227 L que continha apenas 
água pura, e daí por fim escorre para o solo. Considerando uma mistura perfeita nos 
dois tanques, quando a água terá, no segundo tanque, um gosto mais salgado? E 
exatamente qual será o seu teor de sal em comparação com a salmoura original? 
 
13) Um corpo caindo em um fluido relativamente denso, óleo, por exemplo, está sob a 
ação de três forças (veja a Figura-1 abaixo): uma força de resistência R, um empuxo B e 
seu peso w devido à gravidade. O empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pelo 
objeto. Para um corpo esférico de raio a se movimentando lentamente, a força de 
resistência é dada pela lei de Stokes, | | , onde v é a velocidade do corpo e 
é o coeficiente de viscosidade do fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Corpo caindo em um fluido denso. 
(a) Encontre a velocidade limite de uma esfera sólida de raio a e densidade caindo 
livremente em um meio de densidade e coeficiente de viscosidade . 
(b) Em 1910, R. A. Millikan estudou o movimento de gotículas de óleo caindo em um 
campo elétrico. Um campo de intensidade E exerce uma força Ee em uma gotícula com 
carga e. Suponha que E foi ajustado de modo que a gotícula é mantida estacionária 
( ) e que w e B são dados como acima. Encontre uma expressão para e. Millikan 
repetiu esse experimento muitas vezes e, a partir dos dados coletados, deduziu a carga 
de um elétron. 
 
 
14) Resolva as equações diferenciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
 
1 – 7,9 anos; 10 anos 
2 – 760 
3 – 11 horas 
4 – ( , ou ( é aproximadamente 0,1% de Io 
5 – 15600 anos 
6 – T(1) = 36,7°F, aproximadamente 3,06 minutos. 
7 – ( ⁄ 
8 – ( ⁄ 
9 – 64,38g 
10 – ( ( ( 
11 – 0,0097% ; 73,24 h 
12 – ⁄ 
13 – a) 
 ( ⁄ b) ( ⁄ 
14 – a) ( ⁄ 
 b) 
 
( ⁄ 
 c) 
 d) 
 
( ⁄