Resumo Derivada e Integral

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DERIVADAS E INTEGRAIS 
 
Existem dois problemas fundamentais em cálculo: o primeiro é encontrar a inclinação de uma 
curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob a curva. 
 
 
Derivada 
 
Interpretação física: O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação 
instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, 
da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de variação de 
temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento. 
 
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por: 
 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑥𝑜) = 𝑓′(𝑥𝑜) = lim
𝑥→𝑥𝑜
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑜)
𝑥 − 𝑥𝑜
 
 
Interpretação Geométrica: a derivada de uma 
função f em um ponto a fornece o coeficiente 
angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f 
no ponto (a, f(a)). 
 
 
 
 
 
Regras de derivação 
 
Derivada da soma: 
 
 Se 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), então 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) 
 
Derivada do produto: 
 
 Se 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥), então 𝑦′ = 𝑓′(𝑥). 𝑔′(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) 
 
Derivada do quociente: 
 
 Se 𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, então 𝑦′ =
𝑓′(𝑥).𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
 
Regra da cadeia: 
 
 Se 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)), então 𝑦′ = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥) 
 
 
 
Algumas derivadas: 
 
f(x) = c, sendo c uma constante, então 𝑓′(𝑥) = 0 
 
𝑔(𝑥) = 𝑐. 𝑓(𝑥) onde c é uma constante, então 𝑔′(𝑥) = 𝑐. 𝑓′(𝑥) 
 
f(x) = x, então 𝑓′(𝑥) = 1 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, onde 𝑛 ∈ 𝑅∗, então 𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), então 𝑓′(𝑥) = cos(𝑥) 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥), então 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integral definida 
 
A área de uma figura plana qualquer pode ser calculada 
aproximando a figura por polígonos, cujas áreas podem 
ser calculadas pelos métodos da geometria elementar. Isto 
nos motiva a considerar, agora, o problema de calcular a 
área de uma região R do plano, limitada por duas retas 
verticais x = a e x = b, pelo eixo x e pelo gráfico de uma 
função f (x), limitada e não negativa no intervalo 
fechado[a,b], conforme figura a seguir: 
 
 
 
Para isso, vamos fazer uma partição P do intervalo [a,b] , isto é, vamos dividir o intervalo [a,b] 
em n subintervalos, por meio dos pontos x0 , x1 , x2 , ... , xi 
 
 
 
O comprimento do i – ésimo subintervalo 
[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], é dado por ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1. 
Vamos construir retângulos de base 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 
e altura 𝑓(𝑐𝑖) onde 𝑐𝑖 é um ponto do intervalo 
[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. 
 
Observe que, aumentando o número de 
retângulos, pode-se obter uma melhor 
aproximação para a área A da região R . 
 
 
Assim, a soma das áreas dos n retângulos, denotada por 𝑆𝑛, será: 
 
𝑆𝑛 = 𝑓(𝑐1). ∆𝑥1 + 𝑓(𝑐2). ∆𝑥2+ . . . +𝑓(𝑐𝑛). ∆𝑥𝑛 = ∑ 𝑓(𝑐𝑖). ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Quando n cresce, é “razoável” esperar que a soma das áreas dos retângulos aproxime da 
área A sob a curva. Deste modo, definimos a medida da área A da região R, como sendo 
 
𝐴 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑐𝑖). ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Ou ainda, 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑐𝑖). ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Onde a e b são chamados limites de integração, sendo a o limite inferior e b o limite superior. 
 
 
OBSERVAÇÃO 
 
A integral não significa necessariamente uma área. Dependendo do problema, ela pode 
representar grandezas, como: volume, quantidade de bactérias presentes em certo instante, 
trabalho realizado por uma força, momento e centro de massa (ponto de equilíbrio). 
 
 
Propriedades da integral definida 
 
∫ 𝑘. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
 
∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
Algumas integrais 
 
∫ 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑥 |𝑎
𝑏 
 
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
 |
𝑎
𝑏
 
 
∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) |𝑎
𝑏 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= −cos (𝑥) |𝑎
𝑏