Exercícios Resolvidos Probabilidade

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Prova 1 - Introdução à Probabilidade e Estatística
Prof. André Timpanaro
Problema 1 (20 pontos)
(1) Uma classe tem 15 alunos e 13 alunas. Se 6 dos estudantes da classe forem escolhidos ao acaso,
qual é a probabilidade que exatamente 4 alunos e 2 alunas sejam escolhidos?
(2) Uma classe tem 16 alunos e 14 alunas. Se 7 dos estudantes da classe forem escolhidos ao acaso,
qual é a probabilidade que exatamente 4 alunos e 3 alunas sejam escolhidos?
(3) Uma classe tem 12 alunos e 14 alunas. Se 6 dos estudantes da classe forem escolhidos ao acaso,
qual é a probabilidade que exatamente 2 alunos e 4 alunas sejam escolhidos?
(4) Uma classe tem 14 alunos e 13 alunas. Se 6 dos estudantes da classe forem escolhidos ao acaso,
qual é a probabilidade que exatamente 3 alunos e 3 alunas sejam escolhidos?
(5) Uma classe tem 15 alunos e 12 alunas. Se 7 dos estudantes da classe forem escolhidos ao acaso,
qual é a probabilidade que exatamente 3 alunos e 4 alunas sejam escolhidos?
(6) Uma classe tem 13 alunos e 12 alunas. Se 5 dos estudantes da classe forem escolhidos ao acaso,
qual é a probabilidade que exatamente 3 alunos e 2 alunas sejam escolhidos?
Solução:
A escolha dos alunos é feita sem reposição, de forma que o problema pode ser resolvido sem levar
a ordem do sorteio em conta. Para a situação em que temos NH alunos e NM alunas, totalizando
um número N = NH + NM de estudantes e eu quero a probabilidade de escolher um grupo
com GH alunos e GM alunas, totalizando G = GH + GM pessoas no grupo, então temos que o
tamanho do espaço amostral vai ser o número de maneiras de escolher G estudantes dentre os N
disponíveis: |Ω| = (NG). Para calcular o tamanho do evento precisamos multiplicar o número de
maneiras de escolher GH alunos dentre os NH disponíveis com o número de maneiras de escolher
GM alunas dentre as NM disponíveis: |E| =
(
NH
GH
)(
NM
GM
)
. A partir daí calculamos a probabilidade
como P = |E||Ω| e expandimos as combinações em fatoriais:
P =
(
NH
GH
)(
NM
GM
)(
N
G
) = NH !NM !G!(N −G)!
N !GH !GM !(NH −GH)!(NM −GM )!
Os valores particulares para as diferentes versões são:
(1)
|Ω| =
(
28
6
)
, |E| =
(
15
4
)(
13
2
)
, P =
(
15
4
)(
13
2
)(
28
6
) = 15!.13!.6!.22!
28!.4!.11!.2!.11!
' 0, 2826
(2)
|Ω| =
(
30
7
)
, |E| =
(
16
4
)(
14
3
)
, P =
(
16
4
)(
14
3
)(
30
7
) = 16!.14!.7!.23!
30!.4!.12!.3!.11!
' 0, 3254
(3)
|Ω| =
(
26
6
)
, |E| =
(
12
2
)(
14
4
)
, P =
(
12
2
)(
14
4
)(
26
6
) = 12!.14!.6!.20!
26!.2!.10!.4!.10!
' 0, 287
(4)
|Ω| =
(
27
6
)
, |E| =
(
14
3
)(
13
3
)
, P =
(
14
3
)(
13
3
)(
27
6
) = 14!.13!.6!.21!
27!.3!.11!.3!.10!
' 0, 3517
(5)
|Ω| =
(
27
7
)
, |E| =
(
15
3
)(
12
4
)
, P =
(
15
3
)(
12
4
)(
27
7
) = 15!.12!.7!.20!
27!.3!.12!.4!.8!
' 0, 2536
(6)
|Ω| =
(
25
5
)
, |E| =
(
13
3
)(
12
2
)
, P =
(
13
3
)(
12
2
)(
25
5
) = 13!.12!.5!.20!
25!.3!.10!.2!.10!
' 0, 3553
Problema 2 (20 pontos)
(1) Eu tenho 20 caixas e 10 bolas que são colocadas nas caixas ao acaso. Qual a probabilidade que
todas as bolas acabem em caixas diferentes?
(2) Eu tenho 22 caixas e 11 bolas que são colocadas nas caixas ao acaso. Qual a probabilidade que
todas as bolas acabem em caixas diferentes?
(3) Eu tenho 24 caixas e 12 bolas que são colocadas nas caixas ao acaso. Qual a probabilidade que
todas as bolas acabem em caixas diferentes?
(4) Eu tenho 18 caixas e 9 bolas que são colocadas nas caixas ao acaso. Qual a probabilidade que
todas as bolas acabem em caixas diferentes?
(5) Eu tenho 16 caixas e 8 bolas que são colocadas nas caixas ao acaso. Qual a probabilidade que
todas as bolas acabem em caixas diferentes?
(6) Eu tenho 14 caixas e 7 bolas que são colocadas nas caixas ao acaso. Qual a probabilidade que
todas as bolas acabem em caixas diferentes?
Solução:
Nesse problema é importante perceber que não estamos sorteando uma bola para cada caixa, mas
sim uma caixa para cada bola (uma vez que cada caixa pode receber mais do que uma bola).
Como eu posso sortear uma mesma caixa para mais do que uma bola esse é um sorteio com
reposição e portanto devemos levar em conta a ordem do sorteio a fim de obter um espaço amostral
equiprovável. Para o tamanho do espaço amostral, se temos C caixas e B bolas, como eu tenho
C caixas possíveis que podem ser sorteadas para cada bola, então |Ω| = CB . Já para o tamanho
do evento precisamos contar quantas maneiras eu posso escolher B das C caixas sem repetição e
levando em conta a ordem do sorteio, o que vai ser o número de arranjos de B elementos dentre
C: |E| = C!(C−B)! . A partir daí calculamos a probabilidade como P = |E||Ω| . Uma forma alterna-
tiva de resolver esse problema é usar a regra da multiplicação, sempre multiplicando a cada bola
sorteada a probabilidade que a caixa sorteada ainda não tenha sido sorteada para nenhuma das
bolas anteriores:
P =
C
C
.
(C − 1)
C
.
(C − 2)
C
. . . . .
(C −B + 1)
C
=
C!
(C −B)!CB
Os valores particulares para as diferentes versões são:
(1)
P =
20!
10!2010
' 0, 06547
(2)
P =
22!
11!2211
' 0, 04819
(3)
P =
24!
12!2412
' 0, 03547
(4)
P =
18!
9!189
' 0, 08895
(5)
P =
16!
8!168
' 0, 1208
(6)
P =
14!
7!147
' 0, 1641
Problema 3 (20 pontos)
(1) Se eu jogar 5 vezes um dado de 8 faces, qual é a probabilidade de observar o número 1 pelo
menos uma vez?
(2) Se eu jogar 5 vezes um dado de 6 faces, qual é a probabilidade de observar o número 1 pelo
menos uma vez?
(3) Se eu jogar 5 vezes um dado de 4 faces, qual é a probabilidade de observar o número 1 pelo
menos uma vez?
(4) Se eu jogar 7 vezes um dado de 8 faces, qual é a probabilidade de observar o número 1 pelo
menos uma vez?
(5) Se eu jogar 7 vezes um dado de 6 faces, qual é a probabilidade de observar o número 1 pelo
menos uma vez?
(6) Se eu jogar 7 vezes um dado de 4 faces, qual é a probabilidade de observar o número 1 pelo
menos uma vez?
Solução:
Se E for o evento O número 1 é observado pelo menos uma vez, então o seu complemento EC
será O número 1 não é observado nenhuma vez. Se o dado tem F faces, a probabilidade que não
saia o número 1 em uma rolagem será F−1F . Pela regra da multiplicação, se eu rolar o dado N
vezes, a chance que não saia 1 em nenhuma dessas rolagens é a chance que em cada uma das
N rolagens tenha saído um número diferente de 1, o que acontece com probabilidade
(
(F−1)
F
)N
.
Como essa é a probabillidade que o eventoEC aconteça, então a probabilidade do eventoE pedida
pelo enunciado será
P = 1−
(
F − 1
F
)N
Os valores particulares para as diferentes versões são:
(1)
P = 1−
(
7
8
)5
' 0, 4871
(2)
P = 1−
(
5
6
)5
' 0, 5981
(3)
P = 1−
(
3
4
)5
' 0, 7627
(4)
P = 1−
(
7
8
)7
' 0, 6073
(5)
P = 1−
(
5
6
)7
' 0, 7209
(6)
P = 1−
(
3
4
)7
' 0, 8665
Problema 4 (20 pontos)
(1) Um exame de sangue tem uma probabilidade de 92% de detectar uma doença se ela estiver
presente em um paciente. Porém esse exame também tem uma probabilidade de 4% de detectar um
falso positivo em um paciente que não tem a doença. Se a incidência dessa doença na população for
de 10%, qual é a probabilidade que uma pessoa esteja doente se ela recebe um resultado positivo
nesse exame?
(2) Um exame de sangue tem uma probabilidade de 93% de detectar uma doença se ela estiver
presente em um paciente. Porém esse exame também tem uma probabilidade de 3% de detectar um
falso positivo em um paciente que não tem a doença. Se a incidência dessa doença na população for
de 10%, qual é a probabilidade que umapessoa esteja doente se ela recebe um resultado positivo
nesse exame?
(3) Um exame de sangue tem uma probabilidade de 96% de detectar uma doença se ela estiver
presente em um paciente. Porém esse exame também tem uma probabilidade de 8% de detectar um
falso positivo em um paciente que não tem a doença. Se a incidência dessa doença na população for
de 10%, qual é a probabilidade que uma pessoa esteja doente se ela recebe um resultado positivo
nesse exame?
(4) Um exame de sangue tem uma probabilidade de 91% de detectar uma doença se ela estiver
presente em um paciente. Porém esse exame também tem uma probabilidade de 7% de detectar um
falso positivo em um paciente que não tem a doença. Se a incidência dessa doença na população for
de 10%, qual é a probabilidade que uma pessoa esteja doente se ela recebe um resultado positivo
nesse exame?
(5) Um exame de sangue tem uma probabilidade de 99% de detectar uma doença se ela estiver
presente em um paciente. Porém esse exame também tem uma probabilidade de 3% de detectar um
falso positivo em um paciente que não tem a doença. Se a incidência dessa doença na população for
de 10%, qual é a probabilidade que uma pessoa esteja doente se ela recebe um resultado positivo
nesse exame?
(6) Um exame de sangue tem uma probabilidade de 98% de detectar uma doença se ela estiver
presente em um paciente. Porém esse exame também tem uma probabilidade de 7% de detectar um
falso positivo em um paciente que não tem a doença. Se a incidência dessa doença na população for
de 10%, qual é a probabilidade que uma pessoa esteja doente se ela recebe um resultado positivo
nesse exame?
Solução:
Vamos atribuir os seguintes nomes aos eventos relevantes
• D: O paciente está doente
• S = DC : O paciente está saudável
• Pos: O resultado do exame foi positivo
• Neg = PosC : O resultado do exame foi negativo
São apresentados no problema os seguintes dados:
• A probabilidade que o teste dê positivo em uma pessoa doente (positivo verdadeiro), ou seja
P (Pos|D)
• A probabilidade que o teste dê positivo em uma pessoa saudável (falso positivo), ou seja
P (Pos|S)
• A incidência da doença na população, ou seja a probabilidade que uma pessoa sortead ao
acaso tenha a doença, P (D)
e podemos deduzir a partir desses dados as probabilidades dos complementares. Para esse prob-
lema vamos precisar apenas de P (S) = 1 − P (D). O que estamos interessados em calcular é a
probabilidade que um paciente que recebeu um exame positivo esteja doente, ou seja P (D|Pos).
Usando quebra em casos podemos calcular a probabilidade que uma pessoa aleatória que faça o
teste receba um resultado positivo: P (Pos) = P (Pos|D)P (D) + P (Pos|S)P (S). De posse
dessa probabilidade podemos usar o teorema de Bayes para chegar na probabilidade pedida:
P (D|Pos) = P (Pos|D)P (D)
P (Pos)
Os valores particulares para as diferentes versões são:
(1)
P (Pos|D) = 0, 92 P (Pos|S) = 0, 04 P (D) = 0, 1⇒ P (S) = 0, 9
P (Pos) = P (Pos|D)P (D)+P (Pos|S)P (S) = 0, 92.0, 1+0, 04.0, 9 = 0, 092+0, 036 = 0, 128
P (D|Pos) = P (Pos|D)P (D)
P (Pos)
=
0, 092
0, 128
=
92
128
= 0, 71875
(2)
P (Pos|D) = 0, 93 P (Pos|S) = 0, 03 P (D) = 0, 1⇒ P (S) = 0, 9
P (Pos) = P (Pos|D)P (D)+P (Pos|S)P (S) = 0, 93.0, 1+0, 03.0, 9 = 0, 093+0, 027 = 0, 120
P (D|Pos) = P (Pos|D)P (D)
P (Pos)
=
0, 093
0, 120
=
93
120
= 0, 775
(3)
P (Pos|D) = 0, 96 P (Pos|S) = 0, 08 P (D) = 0, 1⇒ P (S) = 0, 9
P (Pos) = P (Pos|D)P (D)+P (Pos|S)P (S) = 0, 96.0, 1+0, 08.0, 9 = 0, 096+0, 072 = 0, 168
P (D|Pos) = P (Pos|D)P (D)
P (Pos)
=
0, 096
0, 168
=
96
168
' 0, 5714
(4)
P (Pos|D) = 0, 91 P (Pos|S) = 0, 07 P (D) = 0, 1⇒ P (S) = 0, 9
P (Pos) = P (Pos|D)P (D)+P (Pos|S)P (S) = 0, 91.0, 1+0, 07.0, 9 = 0, 091+0, 063 = 0, 154
P (D|Pos) = P (Pos|D)P (D)
P (Pos)
=
0, 091
0, 154
=
91
154
' 0, 5909
(5)
P (Pos|D) = 0, 99 P (Pos|S) = 0, 03 P (D) = 0, 1⇒ P (S) = 0, 9
P (Pos) = P (Pos|D)P (D)+P (Pos|S)P (S) = 0, 99.0, 1+0, 03.0, 9 = 0, 099+0, 027 = 0, 126
P (D|Pos) = P (Pos|D)P (D)
P (Pos)
=
0, 099
0, 126
=
99
126
' 0, 7857
(6)
P (Pos|D) = 0, 98 P (Pos|S) = 0, 07 P (D) = 0, 1⇒ P (S) = 0, 9
P (Pos) = P (Pos|D)P (D)+P (Pos|S)P (S) = 0, 98.0, 1+0, 07.0, 9 = 0, 098+0, 063 = 0, 161
P (D|Pos) = P (Pos|D)P (D)
P (Pos)
=
0, 098
0, 161
=
98
161
' 0, 6087
Problema 5 (20 pontos)
(1) Uma cidade possui 10 mil votantes, distribuídos em 4 bairros. A quantidade de votantes em cada
bairro e a porcentagem dessas pessoas que vão votar no candidato a prefeito do partido X está dada
na seguinte tabela
Bairro 1 Bairro 2 Bairro 3 Bairro 4
Quantidade de votantes 1000 3000 4000 2000
Porcentagem votando no candidato 35% 40% 55% 30%
Se eu escolher um votante aleatório dessa cidade, qual a probabilidade que ele vá votar no candidato
do partido X?
(2) Uma cidade possui 10 mil votantes, distribuídos em 4 bairros. A quantidade de votantes em cada
bairro e a porcentagem dessas pessoas que vão votar no candidato a prefeito do partido X está dada
na seguinte tabela
Bairro 1 Bairro 2 Bairro 3 Bairro 4
Quantidade de votantes 2000 3000 1000 4000
Porcentagem votando no candidato 45% 60% 50% 35%
Se eu escolher um votante aleatório dessa cidade, qual a probabilidade que ele vá votar no candidato
do partido X?
(3) Uma cidade possui 10 mil votantes, distribuídos em 4 bairros. A quantidade de votantes em cada
bairro e a porcentagem dessas pessoas que vão votar no candidato a prefeito do partido X está dada
na seguinte tabela
Bairro 1 Bairro 2 Bairro 3 Bairro 4
Quantidade de votantes 4000 3000 2000 1000
Porcentagem votando no candidato 25% 50% 40% 40%
Se eu escolher um votante aleatório dessa cidade, qual a probabilidade que ele vá votar no candidato
do partido X?
(4) Uma cidade possui 10 mil votantes, distribuídos em 4 bairros. A quantidade de votantes em cada
bairro e a porcentagem dessas pessoas que vão votar no candidato a prefeito do partido X está dada
na seguinte tabela
Bairro 1 Bairro 2 Bairro 3 Bairro 4
Quantidade de votantes 4000 2000 1000 3000
Porcentagem votando no candidato 60% 35% 45% 50%
Se eu escolher um votante aleatório dessa cidade, qual a probabilidade que ele vá votar no candidato
do partido X?
(5) Uma cidade possui 10 mil votantes, distribuídos em 4 bairros. A quantidade de votantes em cada
bairro e a porcentagem dessas pessoas que vão votar no candidato a prefeito do partido X está dada
na seguinte tabela
Bairro 1 Bairro 2 Bairro 3 Bairro 4
Quantidade de votantes 3000 2000 1000 4000
Porcentagem votando no candidato 50% 70% 25% 45%
Se eu escolher um votante aleatório dessa cidade, qual a probabilidade que ele vá votar no candidato
do partido X?
(6) Uma cidade possui 10 mil votantes, distribuídos em 4 bairros. A quantidade de votantes em cada
bairro e a porcentagem dessas pessoas que vão votar no candidato a prefeito do partido X está dada
na seguinte tabela
Bairro 1 Bairro 2 Bairro 3 Bairro 4
Quantidade de votantes 3000 1000 4000 2000
Porcentagem votando no candidato 60% 45% 55% 25%
Se eu escolher um votante aleatório dessa cidade, qual a probabilidade que ele vá votar no candidato
do partido X?
Solução:
Esse problema poderia ser feito por quebra em casos, levando em conta que as probabilidades que
um votante aleatório fosse de cada um dos 4 bairros seria 10%, 20%, 30% ou 40%. Outra maneira
seria calcular quantos votantes o candidato a prefeito tem em cada bairro e depois considerar o
sorteio na cidade inteira.
Resolvendo através da contagem do número de votantes NV do candidato, os valores particulares
para as diferentes versões são:
(1)
NV = 0, 35.1000 + 0, 4.3000 + 0, 55.4000 + 0, 3.2000 = 350 + 1200 + 2200 + 600 = 4350⇒
P =
4350
10000
= 0, 435
(2)
NV = 0, 45.2000 + 0, 6.3000 + 0, 5.1000 + 0, 35.4000 = 900 + 1800 + 500 + 1400 = 4600⇒
P =
4600
10000
=0, 46
(3)
NV = 0, 25.4000 + 0, 5.3000 + 0, 4.2000 + 0, 4.1000 = 900 + 1500 + 800 + 400 = 3600⇒
P =
3600
10000
= 0, 36
(4)
NV = 0, 6.4000 + 0, 35.2000 + 0, 45.1000 + 0, 5.3000 = 2400 + 700 + 450 + 1500 = 5050⇒
P =
5050
10000
= 0, 505
(5)
NV = 0, 5.3000 + 0, 7.2000 + 0, 25.1000 + 0, 45.4000 = 1500 + 1400 + 250 + 1800 = 4950⇒
P =
4950
10000
= 0, 495
(6)
NV = 0, 6.3000 + 0, 45.1000 + 0, 55.4000 + 0, 25.2000 = 1800 + 450 + 2200 + 500 = 4950⇒
P =
4950
10000
= 0, 495