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Disciplinas: MAP 0216 - Introduc¸a˜o a` Ana´lise Real MAT 0206 - Ana´lise Real Semestre: 2014/2 Professor: Rodrigo Bissacot - Sala 147A - IME-USP mail: rodrigo.bissacot@gmail.com Monitores: Marina Cenamo Salles - mail: marinacs@gmail.com Edgardo Pe´rez - mail: edgardomath@gmail.com (responsa´vel pelo fo´rum) Carlos Cardozo - mail: ccardozo@ime.usp.br (monitorias nas quartas feiras durante os meses de setembro e outubro). Monitorias: Terc¸as: das 18 h a`s 20:00 hs - Marina e Edgardo - sala: B04 Quartas: das 18 h a`s 20:00 hs - Edgardo e Carlos - sala: a` ser definida. Su´mula da Disciplina: https://sistemas.usp.br/jupiterweb/jupDisciplina?sgldis=MAP0216 Avaliac¸a˜o: 3 provas + Listas. Em cada uma das avaliac¸o˜es o estudante pode somar ate´ 1,5 pontos atrave´s das listas de exerc´ıcios e as provas valera˜o no mı´nimo 8,5 cada uma. A me´dia final Mf e´ calculada atrave´s da me´dia aritme´tica das avaliac¸o˜es. Ou seja, Mf = A1+A2+A3 3 onde, Ai = Pi + Li sendo Pi a nota obtida na prova i e Li a nota das listas referente a`quela prova (i = 1, 2, 3). Os alunos que na˜o atingirem 5,0 mas que ficarem com me´dia entre 3,0 e 5,0 podera˜o fazer recuperac¸a˜o, as regras ainda sera˜o definidas. Um comenta´rio importante: As listas de exerc´ıcios fazem parte do conteu´do do curso, ou seja, resultados importantes sera˜o trabalhados atrave´s das listas e estes resultados podem ser usados nas provas sem a necessidade de prova´-los novamente. Mesmo os que na˜o pretendem entregar as listas de exerc´ıcios devem estar a par do conteu´do destas. As listas de exerc´ıcios e informac¸o˜es sobre o curso sera˜o disponibilizados em: https://sites.google.com/site/matbissacot/Home/teaching/analise2014 1 Lista 1: (Conjuntos e Func¸o˜es) - DATA DA ENTREGA: 22.08.2014 Lembre que se A e B sa˜o conjuntos temos que: A ∪B = {x; x ∈ A ou x ∈ B} A ∩B = {x; x ∈ A e x ∈ B} 1. Sejam A e B conjuntos. Mostre que as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes: (i) A ⊆ B (ii) A ∩B = A (iii) A ∪B = B. 2. Sejam A,B e C conjuntos. Mostre que A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C). 3. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Mostre que f e´ injetora se, e somente se, f possui uma inversa a` esquerda. Lembro que dizemos que g : Y → X e´ uma inversa a` esquerda para f : X → Y quando g ◦ f = IdX , onde IdX e´ a func¸a˜o identidade de X em X. 4. Sejam f : X → Y e g : Y → Z func¸o˜es. Mostre que: (a) Se f e g sa˜o injetoras, enta˜o g ◦ f e´ injetora. (b) Se g ◦ f e´ injetora, enta˜o f e´ injetora. (c) Se g ◦ f e´ injetora e f e´ sobrejetora, enta˜o g e´ injetora. (d) Se g ◦ f e´ sobrejetora e g e´ injetora, enta˜o f e´ sobrejetora. 5. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Mostre que f e´ injetora se, e somente se, para todo A ⊆ X, f−1(f(A)) = A. 6. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Prove que f e´ sobrejetora se, e somente se, para todo conjunto Z e todo par de func¸o˜es g : Y → Z e h : Y → Z, g ◦ f = h ◦ f enta˜o temos que g = h. 7. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Mostre que f e´ injetora se, e somente se, para todo par de subconjuntos A e B de X, vale f(A\B) = f(A)\f(B). Obs: Lembro que f(A) = {y ∈ Y ; ∃ x ∈ A tal que f(x) = y}. 8. Seja f : A → B uma func¸a˜o, (Aλ)λ∈L uma famı´lia de subconjuntos de A e (Bµ)µ∈M uma famı´lia de subconjuntos de B. Mostre que: (a) f( ⋂ λ∈L Aλ) ⊆ ⋂ λ∈L f(Aλ) (b) f−1( ⋃ µ∈M Bµ) = ⋃ µ∈M f−1(Bµ) 9. Exiba uma func¸a˜o f : X → Y e dois subconjuntos A,B do conjunto X tais que f(A ∩B) 6= f(A) ∩ f(B). 10. Sejam A,B e C conjuntos, mostre que: A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C) 2 11.(Produzindo co´pias disjuntas) Sejam A,B subconjuntos(na˜o necessa- riamente disjuntos) de um conjunto X seja x ∈ X tal que x /∈ A∪B. Mostre que existe um conjunto X ′ e subconjuntos A′, B′ disjuntos em X ′ tais que existem bijec¸o˜es de A em A′ e entre B e B′. Exiba as bijec¸o˜es.(precisa mos- trar que de fato sa˜o bijec¸o˜es) Sugesta˜o: Considere o produto cartesiano X × X e os subconjuntos {x} ×A e B × {x}. Pontuac¸a˜o: A lista sera´ avaliada no ma´ximo em 10 pontos, mas as questo˜es 4 e 11 valem 2 pontos cada. Quem tirar 13 na lista na˜o fica com os 3 pontos para o futuro, a inflac¸a˜o ira´ corroer esses dois pontos... Bom trabalho! 3
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