Cálculo II-Teoremas-Fundamentais (Lista de Ex)

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E. E. MAUÁ E. E. MAUÁ E. E. MAUÁ E. E. MAUÁ 
CÁLCULO II CÁLCULO II CÁLCULO II CÁLCULO II ---- EFB 103 EFB 103 EFB 103 EFB 103 ———— BBBB5555 
 
 
 
TEOREMAS FUNDAMENTAISTEOREMAS FUNDAMENTAISTEOREMAS FUNDAMENTAISTEOREMAS FUNDAMENTAIS 
GREEN GREEN GREEN GREEN ———— STOKES STOKES STOKES STOKES ---- GAUSSGAUSSGAUSSGAUSS 
 
 
1.1.1.1. Usando o teorema de Green , calcule a circuitação do campo: 
 = +
� �� 2F(x, y, z) xy i x j 
na fronteira de 
 − − + ≥

− + ≤
2y x x 2 0
y 3x 2 0
 R: 4/3 
 
2.2.2.2. Usando o teorema de Green, calcule a circuitação do campo: 
 = − + −
� �� z 2F(x, y, z) (senx y) i (e x ) j 
sobre a circunferência x2 + y2 = a2, no sentido anti-horário R: pi a2 
 
3.3.3.3. Usando o teorema de Green, calcule a integral: 
 + +∫�
C
y cos x dx (ax senx)dy 
na fronteira de 
 + ≤
 ≥
2 2x y 4
y 0
 R: 2pi a 
 
4.4.4.4. Calcule a circuitação de: 
 = −
� �� 2F(x, y, z) 2xy i x yj 
 no triângulo de vértices (0,0); (1,0); (0,1) R: - 5/12 
 
5.5.5.5. Calcule a integral de linha: − +∫�
2
C
( x x)dy 
 onde C é a curva fechada limitada pela reta y = 2x e pela parábola x = 2y2 R: 1/5 
 
6.6.6.6. Calcule 2
C
( x x)dy− +∫� onde C é a fronteira da região mostrada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.7.7.7. Usando o teorema de Green , calcule a circuitação do campo: 
 = +
� ��
F(x, y, z) cos y i cos x j 
na fronteira do retângulo de vértices 
pi pi pi pi
(0,0);( ,0);( , );(0, )
3 3 2 3
 R: pi  
− 
 
11
2
6 4
 
 
8.8.8.8. Mostre que a área de uma região limitada por uma curva fechada (simples) é dada por: 
 = −∫�
C
1
A xdy ydx
2
 
 
9.9.9.9. Usando o teorema de Green, calcule a área da região limitada pela circunferência 
x2 + y2= a2. 
 
10.10.10.10. Calcule a área de uma elipse de semi-eixos a e b. R= piab 
 
11.11.11.11. Usando o teorema de Green, mostre que o centro de massa de uma siperfície plana 
homogênea de área A que tem por fronteira uma curva fechada C (suave por partes) é dado 
por: 
2
cm
C
2
cm
C
1
X x dy
A
1
Y y dx
A

=

 =

∫
∫
�
�
 
 
12.12.12.12. Usando o teorema de Green, determine o centro de massa de um semi-círculo homogêneo 
de raio R. R: (0, 4R/3pi) 
13.13.13.13. Considere o campo 2 2 2 2
y x
F(x, y, z) i j
x y x y
= −
+ +
� ��
 . Para este campo, F 0∇ ∧ =
� � �
. 
 
 Verifique que o Teorema de Green não se aplica para uma circunferência de raio 1 com 
centro na origem. Explique o porquê. 
 
14.14.14.14. Usando o Teorema de Stokes, calcule a circuitação do campo: 
= + + + + +
� ���
F(x, y, z) x i (x y) j (x y z) k 
na fronteira da curva: 
 + =

=
2 2x y 1
z 2y
 R: 3pi 
 
15.15.15.15. Usando o Teorema de Stokes, calcule a circuitação do campo: 
= − + − + −
� ���
F(x, y, z) (z y) i (x z) j (y x) k 
na fronteira da curva: 
 + =

+ =
2 2x y 1
z 2x 0
 R: 6pi 
 
 
 
16.16.16.16. Usando o Teorema de Stokes, calcule a circuitação do campo: 
 = − + +
� ���
F(x, y, z) y i xj z k 
sobre a circunferência x2 + y2 =4 R: 8pi 
 
17.17.17.17. Usando o Teorema de Stokes, calcule a circuitação do campo: 
 = + +
� ���2 2 2F(x, y, z) y i x j x k 
sobre 0 triângulo de vértices (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1), usando x e y como parâmetros. R: - 1/3 
 
18.18.18.18. Calcule a circuitação do campo 
F(x, y,z) y i x k= +
� ��
 
sobre a cicunferência de raio 2 e centro na origem no plano xy, 
a. usando a definição, 
b. usando o teorema de Stokes. 
c. O teorema de Green se aplica neste exercício? 
 
19.19.19.19. Usando o Teorema de Stokes, calcule a circuitação do campo: 
 = + +
� ���
F(x, y, z) x i xyj z k 
na fronteira de: 
+ + =
 ≤ ≤
 ≤ ≤
x y 2z 2
0 x 1
0 y 1
 R: 1/2 
 
20.20.20.20. Usando o Teorema de Stokes, calcule a circuitação do campo: 
 = − + + +
� ��� 2 2 3F(x, y, z) y(x z) i (2x z ) j y cos xz k 
na fronteira do quadrado 
≤ ≤
 ≤ ≤

=
0 x 2
0 y 2
z 5
 R: 32 
 
21.21.21.21. Calcule o fluxo do campo: = + + +
� ���
F(x, y, z) (y z) i z j y k através da superfície: 
 
 = +

= −

= +
2 2x u v
y u v
z u v
 
≤ ≤
 ≤ ≤
0 v a
0 u v
 R: 2a3/3 
 
22.22.22.22. Calcule o fluxo do campo: = + +
� ���3F(x, y, z) 3z i 2xz j y k através da superfície: 
 
=

= +

=
2
x u
y u v
z v
 
≤ ≤
 ≤ ≤
0 v b
0 u 3v
 R: 3(b5-a5) 
 
 
23.23.23.23. Calcule o fluxo do campo: = + −
� ��� 3F(x, y, z)y i 2x j 4xz k através da superfície: 
 
=

= −

=
2
x u
y u v
z v
 
≤ ≤
 ≤ ≤
a u b
0 v 2u
 R: b4-a4 
 
24.24.24.24. Dado o campo vetorial F(x, y,z) axj=
� �
, onde a uma constante, calcule: 
 a. 
1S
( F).ndA∇∧∫∫
� � � onde S1 é um hemisfério de raio R com centro na origem. 
 b. 
2S
( F).ndA∇∧∫∫
� � � onde S2 é o círculo de raio R, no plano xy. 
 c. 
C
F.dr∫
� �
� onde C é a fronteira comum de S1 e S2. 
 
 
 
 
 
O que se pode concluir? 
 
25.25.25.25. Calcule o fluxo do campo F(x, y, z) x i (x y) j (x y z) k= + + + + +
� ���
 através de um cubo de 
arestas a, paralelas aos eixos coordenados e com centro na origem, 
a. usando a definição, 
b. usando o teorema da divergência. R: 
 
26.26.26.26. Calcule o fluxo do campo; F(x, y, z) (2x y z) i (x 2y z) j (x y 2z) k= + + + + + + + +
� ���
 através de 
um cubo de arestas 2a, paralelas aos eixos coordenados e com centro no ponto (a, a, a) 
a. usando a definição, 
b. usando o teorema da divergência. R: 
 
27.27.27.27. Aplicando o teorema de Gauss, calcule o fluxo d campo = + +
� ���2 2 2F(x, y, z) x yz i xy z j xyz k 
 através do cubo limitado pelos planos: x = 0, x = 1, y = 0 , y = 2, z = 0, z =3. R: 27 
 
28.28.28.28. Aplicando o teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo vetorial: = + +
� ���
F(x, y, z) x i y j z k 
 através da fronteira de:
+ + ≤
 ≥
 ≥
 ≥
x y z a
x 0
y 0
z 0
 R: a3/2 
 
 
 
29.29.29.29. Usando o teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo vetorial: = + +
� ���2F(x, y, z) x i xz j z k 
 através da fronteira de:
 + ≤
 ≤ ≤
2 2x y 1
0 z 1
 R: pi 
 
30.30.30.30. Calcule o fluxo do campo = − + − + −
� ���
F(x, y, z) (x y) i (y z) j (z x) k através de um cone com 
base de raio R e altura H com eixo coincidindo com o eixo z e base sobre o plano xy. R: piR2H 
 
31.31.31.31. Calcule o fluxo do campo = + + + + +
� ���
F(x, y, z) x i (x 2y) j (x 2y 3z) k através de um cilindro 
de raio R e altura H com eixo coincidindo com o eixo z e base sobre o plano xy R: 6piR2H 
 
32.32.32.32. Uma carga elétrica puntiforme positiva Q é fixada num ponto O do espaço. O campo elétrico 
num ponto P a uma distância r do ponto O é dado pela Lei de Coulomb: 
=
piε
�
r2
0
1 Q
E ê
4 r
 
onde rê é o vetor unitário radial. Determine o fluxo do campo elétrico através de uma 
esfera com o centro no ponto O e raio r, demonstrando assim, a lei de Gauss para o 
Eletromagnetismo. 
 
 
 
 
 
 
 
33.33.33.33. O campo elétrico numa região do espaço é descrito por: E(x, y, z) a (x i yj)= +
� ��
 
a. determine o fluxo deste campo através de um cilindro fechado de raio R e altura H, 
com eixo sobre o eixo z e base sobre o plano xy. 
b. Qual a carga elétrica no interior do cilindro? 
c. Determine a dimensão de a e verifique todas as outras dimensões. 
 
34.34.34.34. O campo elétrico numa região do espaço é descrito por: 2 2 2E(x, y, z) a (x i y j z k)= + +
� ���
 
a. determine o fluxo deste campo através de um cubo de aresta L mostrado na figura. 
b. Qual a carga elétrica no interior do cubo ? 
c. Determine a dimensão de a e verifique todas as outras dimensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
35.35.35.35. As equações de Maxwell na forma diferencial são dadas por: 
0
0
.E
.B 0
BE
t
jE
B
t
ρ∇ =
ε
∇ =
∂∇ ∧ = −
∂
∂∇ ∧ = +
∂ ε
�
�
�
� �
� �
� �
 
Mostre que elas podem ser escritas na forma integral: 
0S
S
C S
0 0 o
C S
q
E.ndA
B.ndA 0
d
E.d l B.ndA
dt
d
B.d l E.ndA I
dt
=
ε
=
= −
= ε µ + µ
∫∫
∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
� �
� �
� � � �
� � � �
�
�
�
�
 
36.36.36.36. Usando as equações de Maxwell, verifique a equação da continuidade: . j
t
∂ρ∇ = −
∂
� � 
 
37.37.37.37. Um fluído escoa com velocidade v� num tubo cilíndrico de secção reta S. Calcule 
S
v .ndA∫∫
�� e 
interprete o resultado. 
 
38.38.38.38. A velocidade de escoamento de um fluído é descrita por 2 2v(x, y,z) a (x y ) j 2xyk= + −
��� 
a. Verifique se o fluxo é solenoidal ,isto é, . v 0∇ =
� � . 
b. Verifique se o fluxo é rotacional,isto é v 0.∇ ∧ ≠
� �� 
c. Calcule a vazão atravé da superfície z = 1 — x2- y2 com 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. 
 
39.39.39.39. Considere um fluído de densidade (x, y,z, t)ρ escoando com velocidade v(x, y,z, t)� . Mostre 
que é obedecida a equação da continuidade: 
. j
t
∂ρ∇ = −
∂
� � 
onde j (x, y,z, t) v= ρ
� �
. 
 
40.40.40.40. Considere uma roda girando em torno do eixo z com velocidade angular kω = ω
��
. A 
velocidade do ponto da roda cujo vetor posição é r� , é descrita pelo campo de velocidades 
v r= ω∧
�� � . 
a. Escreva v� usando coordenadas cartesianas. 
b. Mostre que 1 v
2
ω = ∇ ∧
�� �
. 
c. Faça um esboço do campo de velocidades.