CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PROVA DISCURSIVA

Prévia do material em texto

1Uma partícula se move no espaço segundo uma função vetorial, posição que depende do tempo. Para determinar o vetor velocidade dessa partícula, derivamos a função posição em relação ao tempo e para encontrarmos o vetor aceleração derivamos a função velocidade em relação ao tempo. Se a função posição é
Resposta esperada
Devemos derivar a função vetorial uma vez para encontrar o vetor velocidade
Minha resposta
Para obter a velocidade da derivada basta derivar uma vez: v(t)=s′(t)=−6sin(3t)i −3cos(t)j +2e2tk Repetindo o procedimento derivando pela segunda vez para obter a derivada da aceleração: a(t)=v′(t)=−18cos(3t)i +3sin(t)j +4e2tk
Tabela de Derivada e Integral - Cálculo
Clique para baixar
2Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que define a sua borda e essa curva pode não ser elementar. Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem ser aplicados.
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em duas dimensões sobre uma partícula. O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula. O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de saída.
Minha resposta
O teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva, ou seja, ele estabelece uma relação entre a integral dupla de uma região e a integral de linha ao longo de sua fronteira. A utilização do teorema permite calcular a área delimitada por uma curva parametrizada e fechada. O teorema de Stokes estabelece uma relação entre uma integral de superfície com uma integral em torno da curva dada pela fronteira da superfície de integração. Como exemplo de utilização, o teorema pode ser usado para calcular o fluxo de um campo dado como rotacional de outro campo. O teorema de Gauss estabelece uma relação entre uma integral tripla, numa região sólida (W) de R3, com uma integral de superfície na sua fronteira (∂W). Este teorema é um instrumento poderoso para os modelos matemáticos que descrevem alguns fenômenos físicos como fluxo de fluidos, fluxo de campos elétricos ou magnéticos e fluxo de calor. O teorema de Gauss é vastamente utilizado em cálculos físicos que envolvem campos vetoriais, equações de continuidade e quadrado inverso.