ALGEBRA I

Prévia do material em texto

TÓPICO 03: MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO
DEFINIÇÃO 01
Ponto de máximo relativo (ou local) da função, quando f(x0) ≥ f(x) 
para todos os x pertencentes a I.
DEFINIÇÃO 02
Ponto mínimo relativo (ou local) da função, quando f(x0) ≤ f(x) para 
todos os x pertencentes a I.
VERSÃO TEXTUAL DO FLASH
Em Administração ou Economia é comum encontrarmos 
situações onde queremos encontrar os pontos de máximo ou mínimo 
de determinadas funções. Um administrador está normalmente 
interessado em maximizar os lucros de uma empresa quando vai 
decidir sobre a quantidade a ser produzida, por exemplo. Em outra 
situação, ele pode também querer minimizar certos tipos de custos de 
produção. Neste sentido, ele está tentando achar os pontos de máximo 
e mínimo das funções lucro e custo, respectivamente, para 
determinada quantidade a ser produzida. Neste tópico iremos estudar 
aplicações da derivada para determinar os valores de máximo e 
mínimo de uma função.
EXTREMOS RELATIVOS
Para melhor entendermos como se encontra os máximos e mínimos das 
funções necessitamos primeiro das seguintes definições:
Em algumas situações um ponto crítico também pode ser encontrando 
quando a função f não é derivável em x0. Uma função num formato de um V, 
por exemplo, com x0 determinado pela quina do V. Neste curso, no entanto, 
daremos mais importância aos pontos críticos encontrados pela derivação da 
função para certos intervalos de valores.
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 06: APLICAÇÕES DE DERIVADAS
CLIQUE AQUI PARA VER OS EXEMPLOS
CLIQUE AQUI PARA VER OS EXEMPLOS
EXEMPLO 1
Seja a função f(x) = x3 - 3x 2, x R. Determinar os pontos 
críticos de f. 
RESOLUÇÃO: Sabemos que f(x) = x3 - 3x 2 é uma função 
polinomial derivável em todo x R. Calculando f'(x) = 3x 2 - 6x. 
Agora f'(x) = 0 implica que 3x 2 - 6x = 0. Podemos ainda escrever 
3x.(x - 2) = 0, o que indica que x = 0 e x = 2 são pontos críticos da 
função.
EXEMPLO 2
Calcular os pontos críticos da função f(x) = x3 + x2 - x + 1, no 
intervalo [-2, ½ ].
RESOLUÇÃO: Encontramos primeiro a derivada: f'(x) = 3x 2
+ 2x - 1 e igualamos esta função derivada á 0. Temos que: 3x 2 + 
2x - 1 = 0. Resolvendo esta função do segundo grau, encontramos 
as raízes x = -1 e x = 1/3. Como estes pontos estão dentro do 
intervalo [-2, ½], então estes são os pontos críticos da função.
EXEMPLO 3
Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente, e f
(x) = x 3 - 6x 2 + 9x + 1.
RESOLUÇÃO: Resolvendo a derivada temos que f'(x) = 3x 2
- 12x + 9. Agora fazendo f'(x) = 0, temos 3x 2 - 12x + 9 = 0. 
Resolvendo esta equação do segundo grau encontramos as raízes: x 
= 3 e x = 1. Logo, podemos também reescrever f'(x) da seguinte 
forma: f'(x) = 3(x - 1)(x - 3). Agora utilizamos o sistema de sinais 
para verificar qual o valor de f'(x) para determinados valores de x.
e f'(x) Conclusão
x < 1 + f é crescente
x = 1 0 ponto crítico de f
1 < x < 3 - f é decrescente
x = 3 0 ponto crítico de f
x > 3 + f é crescente
Portanto, f(x) é crescente em (-∞, 1] e [3, ∞) e decrescente em 
[1,3]. Também x = 3 e x = 1 são extremos da função (pontos 
críticos).
Podemos ainda utilizar o conceito de derivada e de pontos críticos para 
determinar se uma função é crescente ou decrescente em um determinado 
intervalo.
OLHANDO DE PERTO
TEOREMA
Seja f(x) uma função derivável no intervalo de valores (a, b), então:
a. Se f'(x) = 0 em (a, b), então f(x) é constante em (a, b);
b. Se f'(x) > 0 em (a, b), então f(x) é crescente em (a, b);
c. Se f'(x) < 0 em (a, b), então f(x) é decrescente em (a, b);
Podemos observar melhor esta relação com o seguinte gráfico:
Notamos que para x < 0, temos que 
f'(x) < 0 (inclinação negativa), e 
consequentemente f(x) é decrescente 
para os valores de x menor que 0. 
Também temos que para x > 0, f'(x) > 0 
(inclinação positiva), e a função f(x) está 
crescendo. Quando x = 0, a função 
encontra um ponto crítico (neste caso um 
ponto de mínimo relativo). Neste ponto, 
f'(x) = 0.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. João Mario Santos de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual