PONTE DE PALITO DE PICOLÉ

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BEATRIZ BRASILEIRO DE QUEIROZ 
BRUNA SIQUEIRA BLUM 
LARISSA VICENTE 
MARIA CAROLINE CRISÓSTOMO DE ALMEIDA 
 
 
 
 
 
 
PONTE TRELIÇADA DE PALITO DE PICOLÉ: 
MODELO TIPO WARREN MODIFICADA 
 
 
 
 
 
 
 
Telêmaco Borba - PR 
2018 
 
 
BEATRIZ BRASILEIRO DE QUEIROZ 
BRUNA SIQUEIRA BLUM 
LARISSA VICENTE 
MARIA CAROLINE CRISÓSTOMO DE ALMEIDA 
 
 
 
 
 
 
 
PONTE TRELIÇADA DE PALITO DE PICOLÉ: 
MODELO TIPO WARREN MODIFICADA 
 
 
Trabalho apresentado à para a disciplina 
de Interdisciplinar, do curso de 
Engenharia Civil, da Faculdade de 
Telêmaco Borba, como requisito parcial 
para aprovação desta disciplina. 
 
Orientador: Prof. Ms. Kevin Mauricio 
Menon Ribeiro e Prof. Ms. Marcel Andrey 
de Goes 
 
 
 
 
Telêmaco Borba - PR 
2018
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Tipos de treliça utilizadas em pontes. ...................................................... 15 
Figura 2 - Ponte da Boa Vista em Recife. ................................................................ 19 
Figura 3 - Ponte de Sant’Ana. .................................................................................. 16 
Figura 4 - Barra de treliças sujeitas à esquerda, à tração; e à direita, à compressão 
................................................................................... Erro! Indicador não definido.7 
Figura 5 - Composição de uma treliça. ..................................................................... 18 
Figura 6 - Ponte treliçada do tipo Warren Modificada. .............................................. 20 
Figura 7 - Diagrama de Corpo Livre – DCL .............................................................. 30 
Figura 8 - Análise dos ângulos internos da treliça .................................................... 31 
Figura 9 - Nó A ......................................................................................................... 32 
Figura 10 - Nó D ...................................................................................................... 33 
Figura 11 - Nó C ...................................................................................................... 34 
Figura 12 - Parte Critica ........................................................................................... 35 
Figura 13 - Nó O ...................................................................................................... 36 
Figura 14 - Representação da seção transversal do palito ....................................... 44 
Figura 15 - Gabarito de montagem .......................................................................... 48 
Figura 16 - Montagem da primeira parte da treliça ................................................... 49 
Figura 17 - Auxilio dos pesos para fixação dos palitos ............................................. 50 
Figura 18 - Retirada da estrutura do gabarito ........................................................... 50 
Figura 19 - União das partes laterais da ponte ......................................................... 51 
Figura 20 – Colagem dos demais palitos, união de dois palitos e emendas ............. 52 
Figura 21 - Laterais treliçadas da ponte ................................................................... 53 
Figura 22 - Gabarito do teto e piso da ponte ............................................................ 53 
Figura 23 - Montagem dos quadrinhos ................................................................... 54 
Figura 24 - Piso e teto da ponte ............................................................................... 55 
Figura 25 - Placa de isopor para as laterais da ponte .............................................. 55 
Figura 26 - Colagem do teto e piso da ponte ........................................................... 56 
Figura 27 - Ponte finalizada ................................................................................... 346 
Figura 28 – Cronograma das atividades................................................................... 34 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 - Força submetida em cada barra .................. Erro! Indicador não definido. 
Tabela 2 - Tensão e Deformação em torno da área crítica ...................................... 41 
Tabela 3 - Área, Espessura e Quantidade de Palito em Cada BarraÁrea das barras
................................................................................................................................. 46 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................ 11 
2 OBJETIVOS...............................................................................................13 
2.1 OBJETIVO GERAL .................................................................................. 13 
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................... 13 
3 REFERENCIAL TEÓRICO ...................................................................... 14 
3.1 ABORDAGEM HISTÓRICA ..................................................................... 14 
3.2 DEFINIÇÃO DE TRELIÇAS ..................................................................... 15 
3.2.1 Tipo de Treliça da Ponte ....................................................................... 19 
3.3 LEVANTAMENTO DE DADOS DO MATERIAL ....................................... 20 
4 MATERIAIS E METÓDOS ....................................................................... 21 
4.1 MATERIAIS ............................................................................................. 21 
4.2 METÓDOS .............................................................................................. 21 
4.2.1 Esquema do Projeto e Estimativa do Peso............................................21 
4.2.2 Área Crítica da Ponte...............................................................................22 
4.2.3 Método de Cálculo....................................................................................22 
4.2.3.1 Diagrama de corpo livre (DCL)...................................................................22 
4.2.3.2 Ângulo Interno............................................................................................23 
4.2.3.3 Equilíbrio estático.......................................................................................23 
4.2.3.3.1 Reações de apoio......................................................................................23 
4.2.3.4 Cálculo dos nós.........................................................................................24 
4.2.3.5 Tensão (σ).................................................................................................24 
4.2.3.6 Deformação (ɛ)..........................................................................................25 
4.2.3.7 Carga Crítica (𝑃𝐶) .....................................................................................25 
4.2.3.8 Área das barras....................................................................................... 26 
 
 
4.2.3.9 Espessura das barras................................................................................26 
4.2.3.10 Coeficiente de Segurança.......................................................................... 26 
4.2.3.11 Quantidade Total de Palitos....................................................................... 27 
4.2.3.12 Pesagem.................................................................................................... 27 
5 PROJETO DA PONTE DE PALITOS MEMORIAL DESCRITIVO DE 
MONTAGEM ......................................................................................... 28 
5.1 JUSTIFICATIVAPARA A ESCOLHA DO DESING DA PONTE ................ 28 
6 MEMÓRIA DE CÁLCULO ....................................................................... 30 
6.1 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ............................................................... 30 
6.2 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO .................................................... 31 
6.3 CÁLCULO DOS NÓS ............................................................................... 32 
6.4 COEFICIENTE DE SEGURANÇA ............................................................ 37 
6.5 TENSÃO EM TORNO DA ÁREA CRITICA ............................................... 38 
6.6 DEFORMAÇÃO MÁXIMA EM TORNO DA ÁREA CRITICA ..................... 39 
6.7 CÁLCULO DA CARGA CRITICA .............................................................. 41 
6.8 ÁREA DAS BARRAS ................................................................................ 42 
6.8.1 Barras em tração........................................................................................43 
6.8.2 Barras em compressão..............................................................................43 
6.9 ESPESSURA DAS BARRAS... ................................................................. 44 
6.9.1 Barras em tração ...................................................................................... 45 
6.9.2 Barras em compressão. ........................................................................... 45 
6.10 PESO DA PONTE....................................................................................... 47 
7 MEMORIAL DESCRITIVO DE MONTAGEM..............................................48 
7.1 METÓDO DE MONTAGEM.........................................................................28 
8 CRONOGRAMA..........................................................................................57 
9 CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................... 58 
 REFERÊNCIAS ..........................................................................................59 
 
 
 ANEXOS 
 ANEXO A – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ......................................... 61 
 ANEXO B – PROJETO DA PONTE DE PALITO DE PICOLÉ ................. 62 
 ANEXO C – UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE FTOOL ................................63 
 
 
 
 
11 
1 INTRODUÇÃO 
A engenharia civil é uma área profissional que vem sendo cada vez mais 
aperfeiçoada com o passar do tempo entre suas gerações. É vulgarmente chamada 
de construção civil e é considerada uma ciência relativamente nova, surgindo a 
partir do séc. XVIII na Europa, mas foi somente respeitada como formação em Paris 
na École Nationale des Ponts et Chausseés. (UFRN, 2010) 
Considerada como obra de arte, a ponte tem como objetivo facilitar o 
tráfego de veículos, superando um determinado obstáculo como por exemplo: 
mares, rios, vales e lagos, assim dando continuidade à via. O projeto de uma ponte 
ou grande estrutura é o produto de um processo criativo constituído de uma 
sequência de alternativas, onde cada uma procura melhorar a anterior, até que se 
atinja uma solução suficientemente boa para ser construída. (STUCCHI, 2006) 
Uma ponte pode ser dividida em três partes principais: infraestrutura, 
mesoestrutura e superestrutura. A superestrutura é a parte da ponte destinada a 
vencer o obstáculo. Mesoestrutura, também chamado de elemento de apoio é o 
elemento colocado entre a infraestrutura e a superestrutura, destinado a transmitir 
as reações de apoio e permitir determinados movimentos da superestrutura. A 
infraestrutura é a parte da ponte que recebe as cargas da superestrutura através 
dos aparelhos de apoio e as transmite ao solo. (FREITAS, 1981) 
Portanto, para a produção da ponte de palitos de picolé, escolheu – se o 
modelo de ponte em treliça do tipo Warren, havendo modificações em seu formato 
original, afim de obter maior resistência. Para a montagem da ponte utilizou - se 
palitos de picolé em madeira e cola branca, passando depois pelo teste de carga. 
Essa carga foi determinada através de análises estruturais, cálculos de resistência 
do palito individual aplicando o método de estudo dos nós, assim como o cálculo 
das reações de apoio da estrutura nas condições de equilíbrio estático, a 
determinação dos esforços solicitantes, tensões e deformações. 
O planejamento, construção e execução deste projeto corresponde e 
influencia diretamente às disciplinas estudadas atualmente, como a Mecânica e a 
Resistência dos Materiais, onde, através de seus respectivos cálculos possibilitou – 
se o iniciar projeto. 
 
 
12 
Sendo assim, o projeto da ponte de palito de picolé em questão, foi alterado 
de maneira que a mesma suporte uma carga superior do que a estipulada 
anteriormente. No entanto, aumentou - se o seu comprimento juntamente com a 
quantidade de palitos de madeira. 
Segundo O' Connor (1976) a qualidade de uma ponte pode ser medida pelo 
êxito com que satisfaz os objetivos básicos implícitos em seu projeto: funcional, 
estrutural, econômico e estético. Levando em consideração essas informações e 
partindo da resolução de cálculos estruturais, desenhos técnicos e conhecimento 
teórico, realizou - se a construção da ponte do tipo Warren Modificada. 
 
 
 
 
 
13 
2 OBJETIVOS 
2.1 OBJETIVO GERAL 
Construir uma ponte treliçada utilizando palitos de picolé e cola branca, 
capaz de vencer um vão livre de 100 cm e suportar em seu ponto central uma carga 
mínima de 20 kg. 
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 Fundamentar teoricamente e verificar como funciona o processo de 
construção de uma ponte em treliça; 
 Verificar os conceitos físicos e matemáticos envolvidos; 
 Detalhar passo a passo como será feita a construção do protótipo; 
 Compreender como a ponte em treliça se comporta sob atuação do 
carregamento aplicado em sua estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
3 REFERENCIAL TEÓRICO 
3.1 ABORDAGEM HISTÓRICA 
A construção de pontes vem sendo concretizada pelo homem há muito 
tempo e pode ser classificada com uma técnica de grande relevância no 
desenvolvimento de uma região. As pontes são estruturas capazes de ligar pontos 
de mesmo nível separados por diferentes tipos de barreiras naturais. (CESAR ET. 
AL., 2015) 
As primeiras pontes passaram a existir de forma natural pela queda de 
troncos sobre os rios, processo imediatamente imitado pelo homem, resultando 
então em pontes feitas de troncos de árvores ou pranchas e, eventualmente, de 
pedras, usando apoios muito simples e vigas mestras. (RODRIGUES, 2012) 
Segundo o ex-presidente norte-americano Franklin Roosevelt (1931) “A 
construção de pontes sempre foi um importante indicativo para o progresso de uma 
civilização”. Sem ela, as pessoas seriam obrigadas a gastar mais tempo ou se 
aventurar para chegar a seus destinos. Para além de sua finalidade, as pontes 
maravilham pela beleza e simbologia. Não ao acaso, são avaliadas como obras de 
arte especiais pela engenharia. (APUD LAZZARI, 2008) 
Na acepção de uma ponte um dos aspectos a ser analisado é o sistema 
estrutural, assim podemos ter pontes em vigas biapoiadas, em vigas biapoiadas 
com balanço, em vãos contínuos, em arco, estaiadas, suspensas e treliçadas. 
(FERNANDES; CORREIA, 2017) 
Até à Revolução Industrial não houve grandes avanços neste tipo de 
estruturas, mas durante a revolução industrial, devido à falta de disponibilidade de 
ferro forjado na Europa e devido à expansão das ferrovias, os engenheiros foram 
obrigados a desenvolver sistemas mais práticos para a construção de pontes de 
grandes vãos, mas com um baixopeso próprio. (CESAR ET. AL., 2015) 
 
 
 
 
15 
3.2 DEFINIÇÃO DE TRELIÇAS 
Apresenta-se como conceito fundamental de treliça e estruturas treliçadas a 
ideia que estruturas treliçadas são dispostas em triângulos e que podem ser feitas 
de materiais distintos desde que ofereçam resistência mecânica. Coadunando com 
o autor referenciado, as treliças são exemplos de estruturas em que todas as barras 
são retas e rotuladas em suas extremidades (apontados como “nós”), de maneira 
que em cada barra desenvolva somente força normal (constante), que podem ser 
de tração ou compressão. (AZEVEDO ET. AL., 2016) 
Pode-se observar na Figura 1, algumas das formas clássicas de estruturas 
treliçadas que foram empregadas desde a Revolução Industrial (século XIX). Na 
época do desenvolvimento das treliças, estas diferenciavam-se pelas suas formas, 
pelos materiais, pela capacidade de resistirem a altos esforços e ainda por 
apresentarem amplos vãos. Ainda hoje, as treliças designam-se pelos nomes de 
quem as aprimorou. (GONÇALVES ET. AL. GOMES 2005) 
Figura 1 - Tipos de treliça utilizadas em pontes 
 
Fonte: Adaptado de Gonçalves et. al. Gomes (2005) 
 
 
16 
A primeira treliça usada em pontes e erguida em aço surgiu em 1840, nos 
Estados Unidos. No Brasil, o uso de pontes em treliças de aço deu-se entre 1850 e 
1880. Pode-se fazer referência, por exemplo, a Ponte da Boa Vista em Recife 
(1850) e a Ponte de Sant’Ana (1860), expostas nas Figuras 2 e 3, respectivamente. 
(PINHO; BELLEI, 2007) 
Figura 2 – Ponte da Boa Vista em Recife 
 
Fonte: Chico Miranda (2010) 
 
Figura 3 – Ponte de Sant’Ana 
 
Fonte: Rdvetc (2009) 
 
As treliças manifestam-se como um conjunto estrutural mais econômico que 
às vigas, sendo um dos principais tipos de estruturas de engenharia. Estes sistemas 
estruturais foram usados durante séculos para vencer grandes vãos. Por exemplo, o 
 
 
17 
engenheiro romano Apollodorus construiu sobre o Rio Danúbio por volta de 105 
d.C., uma ponte de treliça de múltiplos vãos. (SCHMIDT E BORESI, 1999) 
Em seu livro Leet, Uang, Gilbert, 2010 fala que a treliça é uma solução 
estrutural simples. Na suposição de projeto, os componentes individuais de uma 
treliça simples são sujeitos somente a forças de tração e compressão e não a forças 
de flexão, portanto, na maior parte das vezes, as vigas de uma ponte treliçada são 
delgadas. As treliças são combinadas por várias pequenas vigas que juntas podem 
aguentar uma grande quantidade de peso e vencer grandes distâncias. (PEREIRA, 
2014) 
Nas treliças convém que o peso das barras (carregamento) são aplicados 
nos nós, deste modo metade do peso de cada barra é aplicada em cada um dos 
seus nós, aos quais a barra está unida. As barras são unidas por meio de 
vinculações aparafusadas ou mesmo soldadas, contudo é comum supor-se que 
estas sejam unidas por meio de rótulas, de tal modo sendo, as forças que atuam em 
cada extremidade de cada barra reduzem-se a uma única força. (SERRA, 2010) 
 A forma como as barras estão dispostas na treliça torna-a um sistema 
eficaz para suportar estas cargas, ou seja, uma treliça pode suportar cargas 
pesadas em referência com o seu peso próprio. (GOMES, 2016) 
Devido a este argumento, considera-se que as únicas forças aplicadas a 
uma barra de uma treliça são forças únicas, aplicadas em cada extremidade desse 
mesmo elemento, orientadas ao longo do eixo da barra. Cada barra pode ser 
tratada como um elemento sujeito a duas forças opostas compressão e tração como 
mostrado na Figura 4. (LEGGERINI, 2007) 
Figura 2 - Barra de treliças sujeitas à esquerda, à tração; e à direita, à compressão 
 
Fonte: Adaptado de Souza (1982) 
 
A compressão e a tração estão presentes em todas as pontes, e é função 
do projeto da ponte suportar essas forças sem o risco de que a ponte vergue ou 
 
 
18 
rache. Vergar é o que ocorre quando a força de compressão ultrapassa a 
capacidade de um objeto em suportar essa força de compressão, e rachar é 
consequência do excesso de tração sobre o objeto. (SOUZA, 1982) 
A melhor modo de trabalhar com essas forças é dissipá-las ou transferi-las. 
Dissipar força é propaga-la sobre uma grande área, fazendo com que nenhum 
ponto tenha de suportar o impacto da força concentrada. Transferir força é mudá-la 
de uma área de fraqueza para uma área de força, ou seja, uma área projetada para 
suportar a força. São as forças axiais, nos elementos da treliça, que resistem 
especialmente às cargas aplicadas. (HIBBELER, 2013) 
Segundo estudo realizado por Gonçalves et. al. Gomes (2004) as treliças 
admitem algumas simplificações: 
• As articulações entre as barras que constituem o sistema faz-se através 
de rótulas sem atrito (articulações consideradas perfeitas e barras consideradas 
indeformáveis); 
• As cargas e os apoios aplicam-se preferencialmente nos nós da estrutura, 
embora em casos especiais possam existir outras formas de carregamento; 
• O eixo de cada uma das barras contém o centro das articulações das suas 
extremidades (os eixos devem cruzar-se todos no mesmo ponto). 
Quando se constatam estas três condições as barras da estrutura treliçada 
ficam sujeitas apenas a esforços normais, considerando-se treliças ideais. Esta é a 
grande diferença das treliças para outras configurações estruturais, as treliças estão 
sujeitas apenas a forças axiais (compressão ou tração). (GONÇALVES ET. AL. 
GOMES, 2005) 
Ainda que possa existir flexão e forças de corte, isto porque, as suposições 
anteriormente formuladas nunca se constatam completamente, uma vez que as 
articulações internas (por mais perfeitas que estas sejam) apresentam sempre uma 
certa resistência ao movimento de rotação das barras que nela concorrem, mas 
estes efeitos podem ser desprezados, pois apresentam valores muito pequenos. 
(SZÜCS, 2015) 
A treliça é constituída pelo banzo inferior (conjunto de elementos que forma 
a parte inferior), banzo superior (conjunto de elementos que forma a parte superior), 
 
 
19 
montantes (barras verticais) e diagonais (barras inclinadas), como se pode 
visualizar na Figura 5. (PACHECO, 2011) 
Figura 5 - Composição de uma treliça 
 
Fonte: pontes.blogspot.com (2014) 
 
O contraventamento horizontal é posto nos planos dos banzos superior e 
inferior para transmitir ações horizontais influentes no sistema. Além disso, devem 
ser colocados contraventamentos verticais intermediários (montantes). Estes 
auxiliam na distribuição das cargas inclinadas ao sistema lateral e podem também 
ser benéficas durante a construção, para manter a estrutura em esquadro enquanto 
inacabada. (PACHECO, 2011) 
Na maior parte dos casos, o projeto, construção e levantamento de uma 
ponte treliçada é relativamente simples. No entanto, uma vez instaladas, as treliças 
ocupam uma grande quantidade de espaço em relação às pontes de vigas. 
(FERNÁNDEZ, 2010) 
3.2.1 Tipo De Treliça Utilizado No Projeto Da Ponte 
A treliça Warren é a mais comum quando se precisa de uma estrutura 
simples e contínua, por esta razão este é o estilo escolhido para a elaboração da 
ponte de palito proposta neste trabalho, como mostra a figura 6. (SANTANA, 2017) 
 
 
20 
Figura 6 - Ponte treliçada do tipo Warren Modificada 
 
Fonte: Danilo Segall Cesar et. al. (2015) 
 
Estas treliças são usadas para vencer vãos entre 50 e 100 metros. Quando 
se projetam pontes com pequenos vãos, do mesmo modo pode se utilizar as 
treliças do tipo Warren modificada, uma vez que não é necessário usar elementos 
verticais (para amarrar a estrutura). O que não sucederá em pontes com grandes 
vãos, estes elementos verticais são necessários para dar maior resistência.(DANILO SEGALL CESAR ET. AL.,2015) 
3.3 LEVANTAMENTO DE DADOS DO MATERIAL 
Os dados de dimensão e resistência do palito de picolé em madeira 
apresentados a seguir foram elencados por Duplat et. al. (2008) e são expostos 
abaixo. 
As dimensões do palito são aproximadamente: 
 105 mm de comprimento; 
 10 mm de largura; 
 2 mm de espessura; 
 Palito de picolé feito de madeira do tipo Pinus Oocarpa. 
 A resistência à tração do palito é de 90 kgf ou 882,9 N; 
 A resistência à compressão de uma composição formada por dois 
palitos de 105 mm é de 27 kgf ou 264,87 N, resultando numa tensão 
normal média de ruptura de 7,88 Mpa; 
 Módulo de elasticidade (E) da madeira é de 7350 Mpa. 
 
 
 
21 
4 MATERIAIS E METÓDOS 
4.1 MATERIAIS 
 Palitos de picolé em madeira com dimensões de aproximadamente 
105 mm de comprimento, 10 mm de largura e 2 mm de espessura; 
 1 tubo de cola branca Cascorez de 1 Kg; 
 3 Pincéis para auxiliar na passagem de cola; 
 2 Placas de isopor para montagem dos gabaritos; 
 Prendedores de roupa e pesos para auxiliar na fixação durante a 
secagem dos palitos; 
 Alfinetes para auxiliar a fixação dos palitos no gabarito de isopor. 
 
4.2 METÓDOS 
4.2.1 Esquema do Projeto e Estimativa do Peso 
 
Para a elaboração do projeto da ponte de palitos de picolé, primeiramente 
precisou-se fazer os estudos e análises da fundamentação teórica para a realização 
da ponte. Com base nos estudos realizados foi feito a escolha da treliça da ponte, 
por ter uma estrutura simples e contínua e visando suas características físicas e 
econômicas, o modelo escolhido foi a ponte do tipo Warren Modificada. Utilizou-se o 
software de cálculo estrutural Ftool para a representação e o auxílio dos cálculos 
elaborados (ver Anexo C). Foram desenhados em folha A3 o projeto e sua estrutura 
em vista frontal, lateral, superior e perspectiva, para se obter melhor noção do 
layout da ponte. 
Para a construção da ponte, realizará uma minuciosa seleção de palitos, já 
que os mesmo não apresentam uniformidades, serão utilizados apenas palitos que 
apresentarem medidas mais próximas e visivelmente uma alta resistência. 
 
 
22 
Com base no fato de que a ponte deverá suportar no mínimo 20 Kg, os 
autores estipularam uma carga de 60 Kg. Como a ponte possuíra duas faces, a 
carga será dividida igualmente para cada face, logo o cálculo da carga foi dividido 
por dois e para transformar a carga em peso multiplicou-se a carga pelo valor da 
gravidade, adotando o valor de 9,81 m/s², como descrito no tópico 6.1. 
 
4.2.2 Área Crítica da Ponte 
 
Analisando o diagrama de corpo livre (anexo A) da estrutura da ponte de 
palito de picolé identifica-se onde seria aplicada a carga estipulada e a região que 
seria a área crítica do rompimento, no qual seria a área em volta do ponto de 
aplicação da força. Desconsiderando então o ponto de colagem dos palitos, 
baseando-nos no formato da ponte e sabendo que toda treliça tem como função a 
distribuição da força ao longo da sua estrutura, podemos estimar que o ponto que 
suportará maior carga seria o centro onde será aplicada toda a força, identificamos 
então o ponto de rompimento. Toda essa análise foi baseada de acordo com o 
critério de que todos os pontos da ponte serão montados de forma homogenia, por 
isso foi concluído que o rompimento da ponte seria em seu centro. 
 
4.2.3 Método de Cálculo 
A seguir demonstra – se os cálculos seguidos para o início do projeto da 
ponte: 
4.2.3.1 Diagrama de corpo livre (DCL) 
 Esquema onde é possível fazer análise do corpo isoladamente, 
representando os vetores de todas as forças externas e de reações que atuam 
sobre o corpo a ser estudado. 
 
 
 
 
23 
4.2.3.2 Ângulo Interno 
 
 Com base nas treliças é possível identificar o ângulo interno: 
tan 𝛼 =
altura
comprimento
 
 
tan 𝜃 =
comprimento
altura
 
 
4.2.3.3 Equilíbrio estático 
 
 Quando a somatória de todas as forças que atuam sobre a treliça é 
nula, ou seja, zero. 
∑ 𝐹𝑥 = 0; ∑ 𝑭𝒚 = 0 ; ∑ 𝑀 = 0; 
Onde: 
∑ 𝐹𝑥 = 0: somatório de forças na direção horizontal igual a zero; 
∑ 𝐹𝑦 = 0: somatório de forças na direção vertical igual a zero; 
∑ 𝑀 = 0: somatório dos momentos em relação a um ponto qualquer igual a 
zero. 
 
4.2.3.3.1 Reações de apoio 
 
São responsáveis pelo vínculo da estrutura ao solo ou a outras partes da 
mesma, de modo a ficar assegurada sua imobilidade. As reações de apoio foram 
determinadas através das condições de equilíbrio, considerando as condições 
matemáticas que a estrutura tem que atender. 
Tipo de apoio existente na ponte: 
 
 
24 
Apoio Móvel ou Rolete: Impede o movimento de translação na direção 
perpendicular à base do apoio. 
 
4.2.3.4 Cálculo dos nós 
 
Esse método consiste em determinar os esforços em todas as barras que 
formam a ponte, através do equilíbrio sucessivo de cada um dos seus nós 
carregado pelas forças exteriores, reações ou forças interiores (esforços) das barras 
que nele convergem. A partir desse cálculo é possível identificar a solicitação em 
cada barra, sendo tração ou compressão. 
 
 Tração: Quando uma força é aplicada perpendicularmente à seção 
transversal do material, com tendência a produzir um alongamento 
no mesmo. 
 Compressão: Quando uma força é aplicada perpendicularmente à 
seção transversal do material, com tendência a produzir um 
encurtamento no mesmo. 
 
4.2.3.5 Tensão (σ) 
 Representa a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) 
que passa por um determinado ponto. 
 
𝜎 = 
𝐹
𝐴0
 
 
Onde: 
 𝜎 = tensão 
 𝐹 = força 
 𝐴0= área inicial 
 
 
25 
4.2.3.6 Deformação (ɛ) 
 
 Significa uma mudança na forma e/ou no tamanho de um corpo quando uma 
força externa é aplicada sobre ele. 
𝜀 = 
𝑃. 𝐿
𝐴. 𝐸
 
Onde: 
𝜀 = deformação 
𝐿 = comprimento 
𝐴 = área 
𝐸 = módulo de elasticidade 
 
4.2.3.7 Carga Crítica (𝑃𝐶) 
 
 É a carga axial máxima que uma coluna pode suportar antes de ocorrer a 
flambagem (encurvadura de um elemento estrutural). 
 
𝑃𝐶 =
𝜋2 × 𝐸 × 𝐼
𝐿2
 
Onde: 
𝑃𝐶 = carga crítica 
𝐸 = módulo de elasticidade 
𝐼 = momento de inércia 
𝐿 = comprimento 
 
 
 
 
 
26 
4.2.3.8 Área das barras 
 
A área de cada barra é calculada a partir da equação: 
 
𝐴 =
𝐹 × 𝐶𝑆
𝜎
 
Onde: 
𝐴 = área da barra 
𝐹 = força (solicitação) de cada barra 
𝐶𝑆 = coeficiente de segurança 
𝜎 = tensão do palito de madeira 
 
4.2.3.9 Espessura das barras 
 
 Com base na área das barras e no comprimento da seção transversal da 
mesma, é possível encontrar a espessura da barra: 
 
𝑒 = 
𝐴
𝑙
 
Onde: 
𝑒 = espessura dos palitos 
𝐴 = área da barra 
𝑙 = comprimento da seção transversal 
 
4.2.3.10 Coeficiente de Segurança 
 
 É uma margem numérica a qual comumente se coloca em projetos de 
 
 
27 
engenharia, que dependendo da magnitude do projeto pode ser grande ou 
pequeno. De acordo com as normas para o projeto, utilizou – se um coeficiente de 
segurança de 15% aplicado nas barras da estrutura. 
 
4.2.3.11 Quantidade Total de Palitos 
 
 A partir da quantidade de palitos em cada barra, cobertura e piso da ponte, 
foi possível calcular a quantidade total de palitos utilizados na construção da ponte. 
 
4.2.3.12 Pesagem 
 
Baseando – se no peso do palito de madeira e multiplicando pela 
quantidade total de palitos, obteve – se o peso da pontesem cola. Para identificar o 
peso da ponte com cola, multiplicou – se a quantidade total de palitos por um 
coeficiente de 15% em relação ao peso da cola contido na estrutura da ponte. 
 
 
 
 
 
28 
5 PROJETO DA PONTE DE PALITOS 
5.1 JUSTIFICATIVA PARA A ESCOLHA DO DESIGN DA PONTE 
O designer de uma ponte é essencial tanto quanto os seus cálculos, mesmo 
sendo quase impossível medir ou definir valores estéticos. Existem critérios que 
alcançam aprovação geral e unânime, onde uma aparência agradável é capaz de 
expressar um valor real aos olhos de quem o vê e aprecia. A principal qualidade de 
uma ponte é medida pela sua capacidade de satisfazer alguns objetivos, tais como: 
funcionalidade, economia, eficiência estrutural e estética. 
Pensando nisso, escolheu-se o modelo e projeto de ponte do tipo Warren 
Modificada (ver Anexo b), visando suas características físicas e econômicas. Esse é 
um dos modelos considerados mais baratos do mercado, além de ter maior leveza 
em relação a outros modelos devido a maneira em que é projetado e possuir a 
resistência necessária que uma ponte deve comportar. 
Realizando-se uma análise estrutural por meio de um desenho livre de um 
dos lados das treliças (ver Anexo A), com o intuito de demonstrar os esforços em 
cada barra (ver anexo C) e os possíveis pontos críticos de um modelo de ponte, 
para esta análise não levou-se em conta que os palitos serão colados, ou seja, o 
ponto de colagem, provavelmente, seria esse o local mais passível a falhas e que 
iria requerer uma maior atenção, portanto este justifica o fato da utilização da treliça 
tipo Warren Modificada, pois os montantes empregados na treliça desempenhará o 
papel de distribuir a carga aplicada para as demais barras da ponte, proporcionando 
mais estabilidade a estrutura. 
Desconsiderando então o ponto de colagem dos palitos, baseando-nos no 
formato da ponte e sabendo que toda treliça tem como função a distribuição da 
força ao longo da sua estrutura, podemos estimar que o ponto que suportará maior 
carga seria o centro onde será aplicada toda a força, identificamos então o ponto de 
rompimento. Toda essa análise foi baseada de acordo com o critério de que todos 
os pontos da ponte serão montados de forma homogenia, por isso foi concluído que 
o rompimento da ponte seria em seu centro. Levando em consideração que a região 
crítica é identificada no ponto crítico da estrutura no qual seria área em volta do 
 
 
29 
ponto de aplicação da força, como demonstrado no DCL. 
 
 
 
30 
6 MEMÓRIA DE CÁLCULO 
6.1 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
O diagrama de corpo livre, também conhecido como DCL, é uma 
representação simples do desenho da estrutura com todas as forças externas e 
forças de reações. 
Figura 7 - Diagrama de Corpo Livre – DCL 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
A carga estipulada será de 60 Kg, mas para a análise é necessário apenas 
à consideração de metade da treliça, considerando que ela é simétrica. 
Então, transformando a carga em uma força, temos: 
𝐹 =
60
2
× 9,81 
𝑭 = 𝟐𝟗𝟒, 𝟑 𝑵 
Analisando os triângulos formados pelas treliças é possível determinar os 
ângulos internos: 
 
 
 
 
 
31 
Figura 8 - Análise dos ângulos internos da treliça 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
tan 𝛼 =
0,09
0,095
 
𝐭𝐚𝐧 𝜶 = 𝟒𝟑, 𝟒𝟓° 
 
tan 𝜃 =
0,095
0,09
 
𝐭𝐚𝐧 𝜽 = 𝟒𝟔, 𝟓𝟒° 
 
6.2 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 
Analisando os dados apresentados no diagrama de corpo livre pode-se 
calcular as reações de apoio a partir da soma do momento das forças causadas no 
ponto A e da soma das forças em y. 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 
 
 
32 
( −294,3) × (0,5975) + 𝐵𝑌 × (1,195) = 0 
1,195 𝐵𝑌 = 175,84 
𝐵𝑌 = 
175,84
1,195
 
𝑩𝒀 = 𝟏𝟒𝟕, 𝟏𝟓 𝑵 
 
∑ 𝐹𝑌 = 0 
𝐴𝑌 − 294,3 + 𝐵𝑌 = 0 
𝐴𝑌 = 294,3 − 147,15 
𝑨𝒀 = 𝟏𝟒𝟕, 𝟏𝟓 𝑵 
 
6.3 CÁLCULO DOS NÓS 
Aplicando o método dos nós para determinar as forças, temos: 
Figura 9: Nó A 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
 𝐹1𝑋 = 𝐹1 × cos 43,45 
𝐹1𝑌 = 𝐹1 × sin 43,45 
 
 
33 
∑ 𝐹𝑌 = 0 
147,15 + 𝐹1𝑌 = 0 
𝐹1 × sin 43,45 = −147,15 
𝐹1 =
−147,15
sin 43,45
 
𝑭𝟏 = −𝟐𝟏𝟑, 𝟗𝟔 𝑵 
 
∑ 𝐹𝑋 = 0 
𝐹2 + 𝐹1𝑋 = 0 
𝐹2 = −𝐹1 × cos 43,45 
𝐹2 = −(−213,96) × cos 43,45 
𝑭𝟐 = 𝟏𝟓𝟓, 𝟑𝟐 𝑵 
 
Assim, pode-se analisar que a 𝐹1 está em compressão e a 𝐹2 está em 
tração. 
Figura 10: Nó D 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
∑ 𝐹𝑌 = 0 
𝑭𝟑 = 𝟎 
 
 
34 
 
∑ 𝐹𝑋 = 0 
−𝐹2 + 𝐹6 = 0 
𝐹6 = 𝐹2 
𝑭𝟔 = 𝟏𝟓𝟓, 𝟑𝟐 𝑵 
 
Assim, 𝐹6 está em tração. 
Figura 11: Nó C 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
𝐹1𝑋 = 𝐹1 × sin 46,57 
𝐹1𝑌 = 𝐹1 × cos 46,57 
𝐹5𝑋 = 𝐹5 × sin 46,57 
𝐹5𝑌 = 𝐹5 × cos 46,57 
 
∑ 𝐹𝑌 = 0 
−𝐹3 − 𝐹5𝑌 − 𝐹1𝑌 = 0 
𝐹5𝑌 = −𝐹1𝑌 − 0 
𝐹5 × cos 46,57 = −𝐹1 × cos 46,57 
 
 
35 
𝐹5 =
−(−213,96) × cos 46,57
cos 46,57
 
𝑭𝟓 = 𝟐𝟏𝟑, 𝟗𝟔 𝑵 
 
∑ 𝐹𝑋 = 0 
−𝐹1𝑋 + 𝐹4 + 𝐹5𝑋 = 0 
𝐹4 = 𝐹1 × sin 46,54 − 𝐹5 × sin 46,54 
𝐹4 = (−213,96) × sin 46,57 − 213,96 × sin 46,54 
𝑭𝟒 = −𝟑𝟏𝟎, 𝟔𝟎 𝑵 
Portanto, tem-se que 𝐹5 está sofrendo tração e 𝐹4 compressão. 
Para o cálculo parte crítica, é necessário o cálculo do somatório das forças 
em y no nó O, onde está aplicando a carga. O nó O é composto pelas barras B25, 
B26, B27, B29 e B30, representadas na figura 13. 
A figura 12 representa a parte crítica. 
Figura 12 - Parte Crítica 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
 
36 
 
Figura 13 - Nó O 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
𝐹25𝑌 = 𝐹25 × cos 46,54 
𝐹29𝑌 = 𝐹29 × cos 46,54 
 
∑ 𝐹𝑌 = 0 
294,3 − 𝐹27 − 𝐹29𝑌 − 𝐹25𝑌 = 0 
𝐹27 = 294,3 − 𝐹29 × cos 46,54 − 𝐹25 × cos 46,54 
𝐹27 = −294,3 − 213,96 × cos 46,54 — 213,96 × cos 46,54 
𝑭𝟐𝟕 = −𝟐𝟗𝟒, 𝟑 𝑵 
 
Assim, 𝐹27 está sofrendo compressão. 
 
 
 
 
37 
6.4 COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
Aplicando o coeficiente de segurança de 15%: 
 Na barra 1: 
𝐹1 = −213,96 × 1,15 
𝑭𝟏 = −𝟐𝟒𝟔, 𝟎𝟓 𝑵 (𝑪) 
 Na barra 2: 
𝐹2 = 155,32 × 1,15 
𝑭𝟐 = 𝟏𝟕𝟖, 𝟔𝟏 𝑵 (𝑻) 
 Na barra 3: 
𝐹3 = 0 × 1,15 
𝑭𝟑 = 𝟎 𝑵 
 Na barra 4: 
𝐹4 = −310,60 × 1,15 
𝑭𝟒 = −𝟑𝟓𝟕, 𝟏𝟗 𝑵 (𝑪) 
 Na barra 5: 
𝐹5 = 213,96 × 1,15 
𝑭𝟓 = 𝟐𝟒𝟔, 𝟎𝟓 𝑵 (𝑻) 
 Na barra de aplicação da carga: 
𝐹27 = −294,3 × 1,15 
𝑭𝟐𝟕 = −𝟑𝟑𝟖, 𝟒𝟒 𝑵 (𝑪) 
 
Por simetria, pode-se relacionar as barras da treliça. A tabela abaixo 
apresenta as solicitações sofridas em cada barra e o coeficiente de segurança nelas 
aplicado. 
 
 
 
38 
Tabela 1 - Força Submetida em Cada Barra 
Barras Forças Submetidas (N) Coeficiente de 
Segurança (N) 
Solicitação 
 
B1/B9/B17/B25 -213,96 -246,05 Compressão 
B2/B6/B10 155,32 178,61 Tração 
B3/B7/B11 0 0 - 
B4/B8/B12 -310,60 -357,19 Compressão 
B5/B13/B21/B29 213,96 246,05 Tração 
B33/B41/B49 -213,96 -246,05 Compressão 
B14/B18/B22 155,32 178,61 Tração 
B15/B19/B23 0 0 - 
B16/B20/B24 -310,60 -357,19 Compressão 
B37/B45/B52 213,96 246,05 Tração 
B26/B30/B34/B38 155,32 178,61 Tração 
B31/B35/B39 0 0 - 
B28/B32/B36 -310,60 -357,19 Compressão 
B42/46/B50/B53 155,32 178,61 Tração 
B43/B47/B51 0 0 - 
B40/B44/B48 -310,60 -357,19 Compressão 
Fonte: Os autores (2018) 
 
6.5 TENSÃO EM TORNO DA ARÉA CRITICA 
Baseando-se no formato da treliça apresentada, sabe-se que o ponto que 
aguentaria a maior carga seria o centro, ou seja, o nó O, como está demonstrado no 
DCL, identificando então a zona crítica, onde ocorrerá o rompimento. 
Considerando as medidas aproximadas do palito, temos: Comprimento: 0,105 m 
 Largura: 0,01 m 
 Espessura: 0,002 m 
Para o cálculo da tensão é necessário o cálculo da área do palito, sendo: 
𝐴 = 𝑏 × 𝑒 
𝐴 = 0,105 × 0,002 
𝑨 = 𝟐, 𝟏 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒎𝟐 
 
 
 
39 
Pela definição de tensão, tem-se: 
𝝈 = 
𝑭
𝑨
 
 Na barra 25: 
𝜎25 =
−213,96
2,1 × 10−4
 
𝝈𝟐𝟓 = −𝟏, 𝟎𝟏𝟖 𝑴𝑷𝒂 
 Na barra 26: 
𝜎26 =
155,32
2,1 × 10−4
 
𝝈𝟐𝟔 = 𝟕𝟑𝟗, 𝟔𝟏 𝑲𝑷𝒂 
 Na barra 27: 
𝜎27 =
−294.3
2,1 × 10−4
 
𝝈𝟐𝟕 = −𝟏, 𝟖𝟕 𝑴𝑷𝒂 
 Na barra 29: 
𝜎29 =
213,96
2,1 × 10−4
 
𝝈𝟐𝟗 = 𝟏, 𝟎𝟏𝟖 𝑴𝑷𝒂 
 Na barra 30: 
𝜎30 =
155,32
2,1 × 10−4
 
𝝈𝟑𝟎 = 𝟕𝟑𝟗, 𝟔𝟏 𝑲𝑷𝒂 
 
6.6 DEFORMAÇÃO MÁXIMA EM TORNO DA ARÉA CRITICA 
Para o cálculo da deformação é necessário à informação do módulo de 
elasticidade do palito, o comprimento da barra analisada e a área da barra que já foi 
calculada no tópico 6.5. 
 
 
40 
 Módulo de elasticidade do palito: 7350 MPa. 
 Comprimento da barra: 0,105 m. 
 Área da barra: 2,1× 10−4. 
Com base na definição da deformação, tem-se: 
𝜹 =
𝑷 × 𝑳
𝑨 × 𝑬
 
 Na barra 25: 
𝛿25 =
(−213,96 × 0,105)
(2,1 × 10−4) × (7350 × 106)
 
𝛿25 =
−22,46
1,54 × 106
 
𝜹𝟐𝟓 = −𝟏, 𝟒𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟓 𝒎 
 Na barra 26: 
𝛿26 =
(155,32 × 0,105)
(2,1 × 10−4) × (7350 × 106)
 
𝛿26 =
16,30
1,54 × 106
 
𝜹𝟐𝟔 = 𝟏, 𝟎𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟓 𝒎 
 Na barra 27: 
𝛿27 =
(−294,3 × 0,105)
(2,1 × 10−4) × (7350 × 106)
 
𝛿27 =
−30,90
1,54 × 106
 
𝜹𝟐𝟕 = −𝟐 × 𝟏𝟎
−𝟓 𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 Na barra 29: 
𝛿29 =
(213,96 × 0,105)
(2,1 × 10−4) × (7350 × 106)
 
𝛿29 =
22,46
1,54 × 106
 
𝜹𝟐𝟗 = 𝟏, 𝟒𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟓 𝒎 
 Na barra 30: 
𝛿30 =
(155,32 × 0,105)
(2,1 × 10−4) × (7350 × 106)
 
𝛿30 =
16,30
1,54 × 106
 
𝜹𝟑𝟎 = 𝟏, 𝟎𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟓 𝒎 
A tabela 2 apresenta a tensão e a deformação máxima em torno da área 
crítica. 
Tabela 2 - Tensão e Deformação em torno da área crítica 
Barras Tensão (Pa) Deformação (m) 
 
B25 −1,018 × 106 −1,45 × 10−5 
B26 739,61 × 103 1,05 × 10−5 
B27 −1,87 × 106 −2 × 10−5 
B29 1,018 × 106 1,45 × 10−5 
B30 739,61 × 106 1,05 × 10−5 
Fonte: Os autores (2018) 
 
6.7 CÁLCULO DA CARGA CRITICA 
De acordo com a teoria de flambagem de colunas elásticas, a carga crítica 
(ou a carga máxima de compressão) é calculada usando a seguinte equação: 
𝑷𝑪 =
𝝅𝟐 × 𝑬 × 𝑰
𝑳𝟐
 
Para esse cálculo é necessário a informação do módulo elástico do palito 
de madeira e o cálculo do momento de inércia da seção transversal. 
 
 
42 
 Módulo de elasticidade do palito: 7350 MPa. 
Calculando o momento de inércia da seção transversal, temos: 
𝑰 =
𝒃 × 𝒉𝟑
𝟏𝟐
 
𝐼 =
10 × 23
12
 
𝑰 = 𝟔, 𝟔𝟔 × 𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟒 
Em seguida, calcula-se a carga crítica: 
𝑃𝐶 =
𝜋2 × (7350 × 106) × 6,66 × 10−6
(0,105)2
 
𝑷𝑪 = 𝟒𝟑, 𝟖𝟐 × 𝟏𝟎
𝟔 𝑵 
Neste caso, podemos dizer que as barras que sofrerem compressão, não 
irão flambar. 
6.8 ARÉA DAS BARRAS 
Para o cálculo da área de cada barra é necessário à tensão de tração e de 
compressão do palito. 
 Tensão de tração do palito: 52,55 MPa. 
 Tensão de compressão em 1 palito: 2,86 MPa. 
 Tensão de compressão em 2 palitos: 7,88 MPa. 
Com a informação da tensão é possível descobrir a área e a partir da área 
se descobre a espessura da barra. Também é necessário aplicar o coeficiente de 
segurança. 
𝑨 =
𝑭 × 𝑪𝑺
𝝈
 
 
 
 
43 
6.8.1 Barras em tração 
 Barra 2: 
𝐴2 =
(155,32) × (1,15)
52,55 × 106
 
𝐴2 =
178,61
52,55 × 106
 
𝑨𝟐 = 𝟑, 𝟑𝟗 × 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎𝟐 
 Barra 5: 
𝐴5 =
(213,96) × (1,15)
52,55 × 106
 
𝐴5 =
246,05
52,55 × 106
 
𝑨𝟓 = 𝟒, 𝟔𝟖 × 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎𝟐 
 
6.8.2 Barras em compressão 
 Barra 1: 
𝐴1 =
(−213,96) × (1,15)
7,88 × 106
 
𝐴1 =
−246,05
7,88 × 106
 
𝑨𝟏 = −𝟑, 𝟏𝟐 × 𝟏𝟎
−𝟓 𝒎𝟐 
 Barra 4: 
𝐴4 =
(−310,60) × (1,15)
7,88 × 106
 
𝐴4 =
(−357,19)
7,88 × 106
 
𝑨𝟒 = −𝟒, 𝟓𝟑 × 𝟏𝟎
−𝟓 𝒎𝟐 
 
 
 
44 
 Barra 27: 
𝐴27 =
(−294,3) × (1,15)
7,88 × 106
 
𝐴27 =
(−338,44)
7,88 × 106
 
𝑨𝟐𝟕 = −𝟒, 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎
−𝟓 𝒎𝟐 
 
6.9 ESPESSURA DAS BARRAS 
Por meio da área das barras calculadas no tópico anterior e analisando o 
comprimento da seção transversal do palito é possível calcular a espessura das 
barras da treliça a fim de obter quantos palitos serão necessários para suportar as 
forças submetidas em cada barra. 
𝒆 = 
𝑨
𝒍
 
 Comprimento da seção transversal do palito: 10 mm. 
Figura 14 - Representação da seção transversal do palito 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
 
 
45 
6.9.1 Barras em tração 
 
 Barra 2: 
𝑒2 =
3,39 × 10−6
0,01
× 1000 
𝒆𝟐 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟗 𝒎𝒎 
 Barra 5: 
𝑒5 =
4,68 × 10−6
0,01
× 1000 
𝒆𝟓 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟖 𝒎𝒎 
 
6.9.2 Barras em compressão 
 Barra 1: 
𝑒1 =
−3,12 × 10−5
0,01
× 1000 
𝒆𝟏 = −𝟑, 𝟏𝟐 𝒎𝒎 
 Barra 4: 
𝑒4 = 
−4,53 × 10−5
0,01
× 1000 
𝒆𝟒 = −𝟒, 𝟓𝟑 𝒎𝒎 
 Barra 27: 
𝑒27 =
−4,29 × 10−5
0,01
× 1000 
𝒆𝟐𝟕 = −𝟒, 𝟐𝟗 𝒎𝒎 
Com a espessura de cada barra calculada é possível descobrir quantos 
palitos serão necessários para que a barra suporte a força estimada e com base na 
simetria é possível criar uma tabela. As barras que não sofrem tração ou 
compressão será necessário apenas 1 palito e a barra onde será aplicada a força 
 
 
46 
serão necessários 6 palitos para sua construção. 
Com base na simetria da treliça, pode-se relacionar na tabela 3 a área, a 
espessura e a quantidade de palitos necessários em cada barra. 
Tabela 3 - Área, Espessura e Quantidade de Palito em Cada Barra 
Barras Área (m²) Espessura (mm) Quantidade de Palito 
(un) 
 
B27 −4,29 × 10−5 -4,29 5 
B1/B9/B17/B25 −3,12 × 10−5 -3,12 4 
B2/B6/B10 3,39 × 10−6 0,339 1 
B3/B7/B11 0 - 1 
B4/B8/B12 −4,53 × 10−5 -4,53 5 
B5/B13/B21/B29 4,68 × 10−6 0,468 1 
B33/B41/B49 −3,12 × 10−5 -3,12 4 
B14/B18/B22 3,39 × 10−6 0,339 1 
B15/B19/B23 0 - 1 
B16/B20/B24 −4,53 × 10−5 -4,53 5 
B37/B45/B52 4,68 × 10−6 0,468 1 
B26/B30/B34/B38 3,39 × 10−6 0,339 1 
B31/B35/B39 0 - 1 
B28/B32/B36 −4,53 × 10−5 -4,53 5 
B42/46/B50/B53 3,39 × 10−6 0,339 1 
B43/B47/B51 0 - 1 
B40/B44/B48 −4,53 × 10−5 -4,53 5 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Nas barras que necessitam apenas de 1 palito, utiliza-se 2 palitos por conta 
do design da ponte e para que tenha equilíbrio. 
Utilizando o somatório da quantidade de palitos em cada barra, com a barra 
de aplicação da força e as superfícies de cima e de baixo da treliça, multiplicando 
por 2, podemos calcular a quantidade total de palitos para a construção da treliça: 
𝑃𝑇 = 56 + 56 + 48 + 120 + 28 + 10 + 281 + 180 
𝑷𝑻 = 𝟕𝟕𝟗 𝒑𝒂𝒍𝒊𝒕𝒐𝒔 
Serão necessários 779 palitos para a construção total da treliça. 
 
 
 
 
 
47 
6.10 PESO DA PONTE 
 
Com a quantidade total de palitos necessários para a construção da ponte, 
é possível calcular o seu peso. Para este cálculo é necessário à informação de 
quanto peso um palito. 
 1 palito = 1g 
𝑃𝑇 = 779 × 1 
𝑷𝑻 = 𝟕𝟕𝟗 𝒈 
 
Portanto, o peso total da ponte sem cola é de 779 gramas. 
Levando em consideração a cola é necessário aplicar 15% no peso total da 
ponte, assim temos: 
𝑃𝐶 = 779 × 1,15 
𝑷𝑪 = 𝟖𝟗𝟓, 𝟖𝟓 𝒈 
O peso total da ponte com cola é de 895,85 gramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
7 MEMORIAL DESCRITIVO DE MONTAGEM 
7.1 METÓDO DE MONTAGEM 
O primeiro passo para a montagem da ponte foi a seleção dos palitos de 
picolé devido àfalta de igualdade dos mesmos, estes foram minuciosamente 
separados principalmente para a construção da parte crítica da estrutura da ponte, 
que é a treliça. 
Após essa seleção foi desenvolvido um gabarito em uma placa de isopor 
para a montagem da ponte, neste gabarito desenhou-se a metade da vista frontal 
do projeto em tamanho real, como mostra a Figura 15. 
Figura 15 – Gabarito de montagem 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Com o gabarito pronto deu-se início a montagem da primeira parte da vista 
frontal da ponte, portanto, para auxiliar na montagem utilizou-se alfinetes para que 
os palitos não saíssem do lugar na hora de passar cola nos mesmos. 
Primeiramente colou-se os palitos na parte do banzo superior e inferior da 
ponte, após colou-se os palitos da vertical que são a montante da estrutura e em 
seguida colou-se as diagonais da treliça. 
A figura 16 representa os passos descritos acima. 
 
 
49 
Figura 16 – Montagem da primeira parte da treliça 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Em seguida, colocou-se pesos em cima da estrutura para auxiliar na fixação 
da cola branca utilizada para colar os palitos e esperou-se aproximadamente 30 
minutos para retirar a estrutura do gabarito. As Figura 17 e Figura 18, 
respectivamente ilustram este procedimento. 
 
 
 
50 
Figura 17 – Auxilio dos pesos para fixação dos palitos 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Figura 18 – Retirada da estrutura do gabarito 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Posteriormente a montagem da primeira metade da treliça, foram feitas 
mais três partes destas, seguindo-se os procedimentos acima descritos. Após as 
quatro metades da parte frontal da ponte estarem devidamente secas uniu-se estas 
partes com o auxílio de pregadores de roupa para melhor fixação da cola, assim 
obtivéssemos as duas partes frontais inteiras da ponte, como ilustra a Figura 19. 
 
 
 
 
 
51 
Figura 19 - União das partes laterais da ponte 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Assim que as laterais estavam prontas deu-se início a colagem dos demais 
palitos na estrutura da treliça, para que assim a lateral ficasse com a quantidade de 
palitos que obteve-se nos cálculos. Entretanto, para que conseguíssemos montar a 
estrutura foi necessário a utilização de dois palitos nas partes dos banzos superior e 
inferior, onde no cálculo da quantidade de palitos estas partes teriam apenas um 
palito. 
 E para as diagonais esquerda da treliça uniu-se dois palitos um no outro 
para que assim chegássemos na quantidade de quatro palitos, valor obtido através 
dos cálculos. O mesmo aconteceu para a parte do segundo banzo superior que 
segundo os valores adquiridos nos cálculos seriam necessários cinco palitos. 
No entanto, havendo essa diferença nas quantidades de palito da estrutura 
da treliça precisou-se utilizar emendas de palitos cortados em partes pequenas para 
que pudéssemos fazer o nivelamento dos palitos. 
A Figura 20 ilustra as descrições feitas acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Figura 20 – Colagem dos demais palitos, união de dois palitos e emendas 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
 
 
53 
Seguindo as descrições feitas no decorrer desta seção do projeto chegou-
se à conclusão das duas laterais treliçadas da ponte, como mostra a Figura 21. 
Figura 21 – Laterais treliçadas da ponte 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Com isso demos início a uma nova etapa, a montagem do teto e piso da 
ponte, para isso foi-se necessário desenvolver um gabarito em medidas reais para 
fixar os palitos, como mostrado na Figura 22. 
Figura 22 – Gabarito do teto e piso da ponte 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Em seguida, para o teto necessitou-se de dez quadrinhos de palitos para 
chegarmos a medida de teto da ponte e onze quadrinhos para o piso da ponte. A 
Figura 23 ilustra a montagem e os quadrinhos. 
 
 
54 
Figura 23 – Montagem dos quadrinhos 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Posteriormente a este passo pode-se fazer a união desses quadrinhos para 
chegarmos ao resultado final do teto e piso da ponte, para melhor estabilidade 
destas duas estruturas colocamos palitos em diagonais, como ilustra a Figura 24. 
 
 
 
 
 
55 
Figura 24 – Piso e teto da ponte 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Com todas as estruturas necessárias da ponte pronta para sua montagem 
final, necessitou-se de uma placa de isopor para que as laterais da ponte ficassem 
em pé, como mostrado na Figura 25. 
Figura 25 – Placa de isopor para as laterais da ponte 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Com a estrutura fixada na placa de isopor pode-se colar a parte do teto da 
ponte e aguardou-se aproximadamente cinco horas para que a estrutura estivesse 
com a cola seca, após retirou-se a estrutura da placa para a colagem do piso, assim 
chegou-se ao resultado final, a ponte com todas as estruturas unidas, conforme 
apresentado respectivamente na Figura 26 e Figura 27. 
 
 
 
 
 
56 
Figura 26 – Colagem do teto e piso da ponte 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
Figura 27 – Ponte finalizada 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
9 CRONOGRAMA 
Figura 28 – Cronograma das Atividades 
 
Fonte: Os autores (2018) 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
8 CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS 
A construção de um protótipo de ponte utilizando palitos de picolé, embora 
aparentemente seja simples, acrescenta um conjunto de conhecimentos, tendo em 
vista a necessidade de um estudo minucioso das propriedades do material no caso, 
o palito de picolé em madeira, assim como considerar as vantagens e desvantagens 
da geometria a ser empregada. A partir do desenvolvimento do estudo e projeto 
inicial da ponte foi possível empregar os conhecimentos adquiridos e desenvolvidos 
nas disciplinas de resistência dos materiais e mecânica dos sólidos, identificando os 
principais componentes de uma ponte treliçada e espera-se que seja possível na 
etapa de construção do protótipo observar como ela trabalha e como seus 
componentes contribuem para que a estrutura suporte a carga. 
Esse mesmo estudo é aplicado no projeto de uma ponte real, que, além do 
que está sendo trabalhado, demandam de maior atenção para a deformação com a 
variação da temperatura, a escolha do material a ser utilizar, dadas suas 
propriedades e custos, ou seja, é imprescindível construir uma ponte durável, que 
atenda às necessidades da região e que custe o mínimo possível. 
Com os cálculos e analises realizados, espera-se que a ponte construída 
suporte a carga a que será solicitada, no entanto, é importante advertir que os 
cálculos são fundamentados em aproximações, já que os palitos não são uniformes 
e tendo em vista que não é levado em consideração a cola, elemento no qual está 
baseada a união de todos os membros da estrutura. De tal modo, ressalta-se que 
podem ocorrer resultados inesperados devido ao fator da colagem e execução. 
Portanto, espera-se que por meio do projeto e execução do protótipo seja 
possível adquirir uma visão de como é projetada uma ponte real e como a estrutura 
se comporta, e verificar como a qualidade de construção afeta no desempenho da 
composição estrutural da ponte. 
 
 
 
 
 
 
59 
REFERÊNCIAS 
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2015. 288 p. Artigo Cientifico (Graduação em Engenharia Civil) - UNIVIÇOSA, Minas 
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Estudo das Pontes em Viga. 2017. Disponível em: 
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de Madeira. Disponível em: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/18/18134/tde-
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Mecânica Aplicada. Departamento de engenharia Civil do Instituto Superior de 
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de Diplomação (Graduação em Engenharia Civil) – Departamento de Engenharia 
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Estrutural. 3 ed. Po.rto Alegre: AMGH. 
 
 
60 
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Científicos, c1976. 2.v. 
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STUCCHI, F.R. Notas de aula Pontes e Grandes Estruturas. São Paulo: 
Universidade de São Paulo, 2006. 
SZUCS, CARLOS ALBERTO. Estruturas de Madeira. 2015. Disponível em: 
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UFRN. Trajetória e Estado da Arte da Formação em Engenharia, Arquitetura e 
Agronomia. 2ª ed. 2010. Disponível em: 
https://www.passeidireto.com/arquivo/19022676/engenharia-civil-volume-1. Acesso 
em: 27 ago. 2018. 
 
 
 
61 
ANEXOS 
ANEXO A – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
ANEXO B – PROJETO DA PONTE DE PALITOS DE PICOLÉ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
ANEXO C – UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE FTOOL. 
 
Diagrama de Corpo Livre (DCL). 
 
Forças Sujeitas em Cada Barra. 
 
 
Deformação Sofrida na Ponte.