Teoria da Relatividade e Tensores

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Teoria da Relatividade
O espac¸o de Minkowski
Roge´rio
rogerio.cavalcanti@ufabc.edu.br
July 12, 2016
1/33
2/33
vetores
formas bilineares
espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
O que de fato e´ um tensor?
Em livros mais antigos: Um tensor de segunda ordem e´ um objeto
de dois ı´ndices que se transforma como
Tµν =
3∑
α=0
3∑
β=0
ΛµαΛ
ν
βT
αβ
Mas o que isso quer dizer?
Roge´riorogerio.cavalcanti@ufabc.edu.br Teoria da Relatividade O espac¸o de Minkowski
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formas bilineares
espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
O que de fato e´ um tensor?
Em livros mais antigos: Um tensor de segunda ordem e´ um objeto
de dois ı´ndices que se transforma como
Tµν =
3∑
α=0
3∑
β=0
ΛµαΛ
ν
βT
αβ
Mas o que isso quer dizer?
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espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
O que de fato e´ um tensor?
Em livros mais antigos: Um tensor de segunda ordem e´ um objeto
de dois ı´ndices que se transforma como
Tµν =
3∑
α=0
3∑
β=0
ΛµαΛ
ν
βT
αβ
Mas o que isso quer dizer?
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formas bilineares
espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Objetivos
vetores → quadrivetores;
formas bilineares → me´trica de Minkowski;
rotac¸o˜es → transformac¸o˜es de Lorentz;
espac¸o dual → subir e descer ı´ndice;
tensores → se transforma como...
Para isso precisaremos revisitar alguns conceitos de a´lgebra linear.
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espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Objetivos
vetores → quadrivetores;
formas bilineares → me´trica de Minkowski;
rotac¸o˜es → transformac¸o˜es de Lorentz;
espac¸o dual → subir e descer ı´ndice;
tensores → se transforma como...
Para isso precisaremos revisitar alguns conceitos de a´lgebra linear.
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Objetivos
vetores → quadrivetores;
formas bilineares → me´trica de Minkowski;
rotac¸o˜es → transformac¸o˜es de Lorentz;
espac¸o dual → subir e descer ı´ndice;
tensores → se transforma como...
Para isso precisaremos revisitar alguns conceitos de a´lgebra linear.
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Objetivos
vetores → quadrivetores;
formas bilineares → me´trica de Minkowski;
rotac¸o˜es → transformac¸o˜es de Lorentz;
espac¸o dual → subir e descer ı´ndice;
tensores → se transforma como...
Para isso precisaremos revisitar alguns conceitos de a´lgebra linear.
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mudanc¸a de referencial
produto interno
Objetivos
vetores → quadrivetores;
formas bilineares → me´trica de Minkowski;
rotac¸o˜es → transformac¸o˜es de Lorentz;
espac¸o dual → subir e descer ı´ndice;
tensores → se transforma como...
Para isso precisaremos revisitar alguns conceitos de a´lgebra linear.
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Tensores
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mudanc¸a de referencial
produto interno
Objetivos
vetores → quadrivetores;
formas bilineares → me´trica de Minkowski;
rotac¸o˜es → transformac¸o˜es de Lorentz;
espac¸o dual → subir e descer ı´ndice;
tensores → se transforma como...
Para isso precisaremos revisitar alguns conceitos de a´lgebra linear.
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
O que e´ um vetor?
Cla´ssica: vetores sa˜o objetos com um ı´ndice que se transformam
como
xµ =
3∑
α=0
Λµαx
α
A´lgebra linear: vetor e´ um elemento de um espac¸o vetorial.
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produto interno
O que e´ um vetor?
Cla´ssica: vetores sa˜o objetos com um ı´ndice que se transformam
como
xµ =
3∑
α=0
Λµαx
α
A´lgebra linear: vetor e´ um elemento de um espac¸o vetorial.
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mudanc¸a de referencial
produto interno
O que e´ um vetor?
Cla´ssica: vetores sa˜o objetos com um ı´ndice que se transformam
como
xµ =
3∑
α=0
Λµαx
α
A´lgebra linear: vetor e´ um elemento de um espac¸o vetorial.
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espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Fato 1
Fixar um referencial e´ equivalente a fixar uma base para o espac¸o,
de modo que uma mudanc¸a de base e´ apenas uma mudanc¸a de
referencial.
Voltando a` definic¸a˜o cla´ssica de vetor,
xµ =
3∑
α=0
Λµαx
α
e´ exatamente como se calcula as componentes de um vetor sob
uma transformac¸a˜o linear, em particular sob uma mudanc¸a de base.
A matriz Λµν representa uma mudanc¸a de base particular,
voltaremos a ela em breve.
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definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Fato 1
Fixar um referencial e´ equivalente a fixar uma base para o espac¸o,
de modo que uma mudanc¸a de base e´ apenas uma mudanc¸a de
referencial.
Voltando a` definic¸a˜o cla´ssica de vetor,
xµ =
3∑
α=0
Λµαx
α
e´ exatamente como se calcula as componentes de um vetor sob
uma transformac¸a˜o linear, em particular sob uma mudanc¸a de base.
A matriz Λµν representa uma mudanc¸a de base particular,
voltaremos a ela em breve.
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Fato 1
Fixar um referencial e´ equivalente a fixar uma base para o espac¸o,
de modo que uma mudanc¸a de base e´ apenas uma mudanc¸a de
referencial.
Voltando a` definic¸a˜o cla´ssica de vetor,
xµ =
3∑
α=0
Λµαx
α
e´ exatamente como se calcula as componentes de um vetor sob
uma transformac¸a˜o linear, em particular sob uma mudanc¸a de base.
A matriz Λµν representa uma mudanc¸a de base particular,
voltaremos a ela em breve.
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Um produto interno e´ uma aplicac¸a˜o que age em dois vetores e
leva a um numero real,
· : V × V → R
(u, v) 7→ u · v
Um produto interno pode tambe´m ser representado e calculado
como o produto de um vetor linha por um vetor coluna
(u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Um produto interno e´ uma aplicac¸a˜o que age em dois vetores e
leva a um numero real,
· : V × V → R
(u, v) 7→ u · v
Um produto interno pode tambe´m ser representado e calculado
como o produto de um vetor linha por um vetor coluna
(u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3
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espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Produtos internos nos permite estudar conceitos geome´tricos do
espac¸o, como aˆngulos e comprimentos.
|u| = √u · u e cos θ = u · v|u||v| .
O espac¸o Rn munido desse produto interno e´ chamado de espac¸o
Euclidiano.
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Produtos internos nos permite estudar conceitos geome´tricos do
espac¸o, como aˆngulos e comprimentos.
|u| = √u · u e cos θ = u · v|u||v| .
O espac¸o Rn munido desse produto interno e´ chamado de espac¸o
Euclidiano.
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
O produto interno permite determinar mudanc¸as de referencial que
preservam comprimentos e aˆngulos (rotac¸o˜es)
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espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Rotac¸o˜es sa˜o mudanc¸as de base (referencial) que preservam o
produto interno. Isto significa que se a matriz A representa uma
rotac¸a˜o no Rn e u, v ∈ Rn, enta˜o Au · Av = u · v. Na
representac¸a˜o de vetores linha e coluna
(u1, u2, u3) = A
TA
v 1v 2
v 3
 = (u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3,
∴ Au · Av = u · v⇒ AT = A−1
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Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Rotac¸o˜es sa˜o mudanc¸as de base (referencial) que preservam o
produto interno. Isto significa que se a matriz A representa uma
rotac¸a˜o no Rn e u, v ∈ Rn, enta˜o Au · Av = u · v. Na
representac¸a˜o de vetores linha e coluna
(u1, u2, u3) = A
TA
v 1v 2
v 3
 = (u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3,
∴ Au · Av = u · v⇒ AT = A−1
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definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Rotac¸o˜es sa˜o mudanc¸as de base (referencial) que preservam o
produto interno. Isto significa que se a matriz A representa uma
rotac¸a˜o no Rn e u, v ∈ Rn, enta˜o Au · Av = u · v. Na
representac¸a˜o de vetores linha e coluna
(u1, u2, u3) = A
TA
v 1v 2
v 3
 = (u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3,
∴ Au · Av = u · v⇒ AT = A−1
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definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
Rotac¸o˜es sa˜o mudanc¸as de base (referencial) que preservam o
produto interno. Isto significa que se a matriz A representa uma
rotac¸a˜o no Rn e u, v ∈ Rn, enta˜o Au · Av = u · v. Na
representac¸a˜o de vetores linha e coluna
(u1, u2, u3) = A
TA
v 1v 2
v 3
 = (u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3,
∴ Au · Av = u · v⇒ AT = A−1
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formas bilineares
espac¸o dual
Tensores
definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
O termo rotac¸o˜es e´ generalizado e usado em va´rias a´reas da f´ısica.
Em mecaˆnica quaˆntica, para que a normalizac¸a˜o da func¸a˜o de
probabilidade seja preservada, a evoluc¸a˜o temporal dos operadores
ou da func¸a˜o de onda e´ constru´ıda de modo que representem
rotac¸o˜es no espac¸o de Hilbert.
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definic¸a˜o
mudanc¸a de referencial
produto interno
O termo rotac¸o˜es e´ generalizado e usado em va´rias a´reas da f´ısica.
Em mecaˆnica quaˆntica, para que a normalizac¸a˜o da func¸a˜o de
probabilidade seja preservada, a evoluc¸a˜o temporal dos operadores
ou da func¸a˜o de onda e´ constru´ıda de modo que representem
rotac¸o˜es no espac¸o de Hilbert.
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Tensores
generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
O produto interno pode ser generalizado para as chamadas formas
bilineares.
Sejam U e V espac¸os vetoriais reais. Dizemos a aplicac¸a˜o
g : U × V → R e´ uma forma bilinear se e´ linear em cada um de
seus argumentos, ou seja, se ∀u,u′ ∈ U, v, v′ ∈ V e λ ∈ R valem:
1 g(u + u′, v) = g(u, v) + g(u′, v);
2 g(u, v + v′) = g(u, v) + g(u, v′);
3 g(u, λv) = g(λu, v) = λg(u, v);
Uma forma bilinear e´ dita ser sime´trica se
g(u,u′) = g(u′,u), ∀u,u′ ∈ U.
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Tensores
generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
O produto interno pode ser generalizado para as chamadas formas
bilineares.
Sejam U e V espac¸os vetoriais reais. Dizemos a aplicac¸a˜o
g : U × V → R e´ uma forma bilinear se e´ linear em cada um de
seus argumentos, ou seja, se ∀u,u′ ∈ U, v, v′ ∈ V e λ ∈ R valem:
1 g(u + u′, v) = g(u, v) + g(u′, v);
2 g(u, v + v′) = g(u, v) + g(u, v′);
3 g(u, λv) = g(λu, v) = λg(u, v);
Uma forma bilinear e´ dita ser sime´trica se
g(u,u′) = g(u′,u), ∀u,u′ ∈ U.
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generalizac¸a˜o de produtos internos
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me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
O produto interno pode ser generalizado para as chamadas formas
bilineares.
Sejam U e V espac¸os vetoriais reais. Dizemos a aplicac¸a˜o
g : U × V → R e´ uma forma bilinear se e´ linear em cada um de
seus argumentos, ou seja, se ∀u,u′ ∈ U, v, v′ ∈ V e λ ∈ R valem:
1 g(u + u′, v) = g(u, v) + g(u′, v);
2 g(u, v + v′) = g(u, v) + g(u, v′);
3 g(u, λv) = g(λu, v) = λg(u, v);
Uma forma bilinear e´ dita ser sime´trica se
g(u,u′) = g(u′,u), ∀u,u′ ∈ U.
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espac¸o dual
Tensores
generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Dados u, v ∈ R3,
u · v = (u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3 = 3∑
k=1
ukv
k
︸ ︷︷ ︸
produto interno
,
g(u, v) = (u1, u2, u3)
g11 g12 g13g21 g22 g23
g31 g32 g33
v 1v 2
v 3
 = 3∑
k=1
3∑
l=1
gklu
kv l
︸ ︷︷ ︸
forma bilinear g
Com isso podemos concluir que o produto interno e´ um caso
particular de forma bilinear, quando g = I .
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rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Dados u, v ∈ R3,
u · v = (u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3 = 3∑
k=1
ukv
k
︸ ︷︷ ︸
produto interno
,
g(u, v) = (u1, u2, u3)
g11 g12 g13g21 g22 g23
g31 g32 g33
v 1v 2
v 3
 = 3∑
k=1
3∑
l=1
gklu
kv l
︸ ︷︷ ︸
forma bilinear g
Com isso podemos concluir que o produto interno e´ um caso
particular de forma bilinear, quando g = I .
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generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
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rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Dados u, v ∈ R3,
u · v = (u1, u2, u3)
v 1v 2
v 3
 = u1v 1 + u2v 2 + u3v 3 = 3∑
k=1
ukv
k
︸ ︷︷ ︸
produto interno
,
g(u, v) = (u1, u2, u3)
g11 g12 g13g21 g22 g23
g31 g32 g33
v 1v 2
v 3
 = 3∑
k=1
3∑
l=1
gklu
kv l
︸ ︷︷ ︸
forma bilinear g
Com isso podemos concluir que o produto interno e´ um caso
particular de forma bilinear, quando g = I .
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Tensores
generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Voltando a` relatividade restrita
Imagine agora uma fonte de luz na posic¸a˜o (x0, y0, z0) emite uma
frente de onda no instante t0.
Apo´s t segundos a distaˆncia percorrida pela frente de onda sera´
c∆t = c(t − t0) metros, que em termos de coordenadas espaciais
sera´√
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 =
√
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.
Imagine agora a mesma frente de onda observada por um outro
referencial inercial O′. Neste outro referencial, apo´s t ′ segundos a
frente de onda tera´ percorrido c∆t ′ =
√
∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2.
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formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Voltando a` relatividade restrita
Imagine agora uma fonte de luz na posic¸a˜o (x0, y0, z0) emite uma
frente de onda no instante t0.
Apo´s t segundos a distaˆncia percorrida pela frente de onda sera´
c∆t = c(t − t0) metros, que em termos de coordenadas espaciais
sera´√
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 =
√
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.
Imagine agora a mesma frente de onda observada por um outro
referencial inercial O′. Neste outro referencial, apo´s t ′ segundos a
frente de onda tera´ percorrido c∆t ′ =
√
∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2.
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me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Voltando a` relatividade restrita
Imagine agora uma fonte de luz na posic¸a˜o (x0, y0, z0) emite uma
frente de onda no instante t0.
Apo´s t segundos a distaˆncia percorrida pela frente de onda sera´
c∆t = c(t − t0) metros, que em termos de coordenadas espaciais
sera´√
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 =
√
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.
Imagine agora a mesma frente de onda observada por um outro
referencial inercial O′. Neste outro referencial, apo´s t ′ segundos a
frente de onda tera´ percorrido c∆t ′ =
√
∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2.
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formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Voltando a` relatividade restrita
Imagine agora uma fonte de luz na posic¸a˜o (x0, y0, z0) emite uma
frente de onda no instante t0.
Apo´s t segundos a distaˆncia percorrida pela frente de onda sera´
c∆t = c(t − t0) metros, que em termos de coordenadas espaciais
sera´√
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 =
√
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.
Imagine agora a mesma frente de onda observada por um outro
referencial inercial O′. Neste outro referencial, apo´s t ′ segundos a
frente de onda tera´ percorrido c∆t ′ =
√
∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2.
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vetores
formas bilineares
espac¸o dual
Tensores
generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Comparando o resultado nos dois referenciais podemos observar
que
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = 0 = ∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2 − (c∆t ′)2.
Ou seja
∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2 − (c∆t ′)2 = 0
independentemente do referencial.
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espac¸o dual
Tensores
generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Comparando o resultado nos dois referenciais podemos observar
que
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = 0 = ∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2 − (c∆t ′)2.
Ou seja
∆x ′2 + ∆y ′2 + ∆z ′2 − (c∆t ′)2 = 0
independentemente do referencial.
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espac¸o dual
Tensores
generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Imagine a mesma situac¸a˜o anterior, mas agora trocando a frente
de onda por uma part´ıcula que viaja com velocidade v < c .
De maneira inteiramente ana´loga ter´ıamos
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (v∆t)2 = 0, e desta expressa˜o, substituindo
apenas v por c , teremos
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 < 0.
Suponha agora que em a distaˆncia espacial
√
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2
seja maior do que a percorrido pela luz em t segundos. Dessa
forma ter´ıamos, analogamente
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 > 0.
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generalizac¸a˜o de produtos internos
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me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Imagine a mesma situac¸a˜o anterior, mas agora trocando a frente
de onda por uma part´ıcula que viaja com velocidade v < c .
De maneira inteiramente ana´loga ter´ıamos
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (v∆t)2 = 0, e desta expressa˜o, substituindo
apenas v por c , teremos
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 < 0.
Suponha agora que em a distaˆncia espacial
√
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2
seja maior do que a percorrido pela luz em t segundos. Dessa
forma ter´ıamos, analogamente
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 > 0.
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Tensores
generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Imagine a mesma situac¸a˜o anterior, mas agora trocando a frente
de onda por uma part´ıcula que viaja com velocidade v < c .
De maneira inteiramente ana´loga ter´ıamos
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (v∆t)2 = 0, e desta expressa˜o, substituindo
apenas v por c , teremos
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 < 0.
Suponha agora que em a distaˆncia espacial
√
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2
seja maior do que a percorrido pela luz em t segundos. Dessa
forma ter´ıamos, analogamente
∆x2 + ∆y2 + ∆z2 − (c∆t)2 > 0.
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rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Imagine a mesma situac¸a˜o anterior, mas agora trocando a frente
de onda por uma part´ıcula que viaja com velocidade v < c .
De maneira inteiramente ana´loga ter´ıamos
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (v∆t)2 = 0, e desta expressa˜o, substituindo
apenas v por c , teremos
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 < 0.
Suponha agora que em a distaˆncia espacial
√
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2
seja maior do que a percorrido pela luz em t segundos. Dessa
forma ter´ıamos, analogamente
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 > 0.
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generalizac¸a˜o de produtos internos
formas bilineares × intervalo
me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Ou seja, para distaˆncias maiores, iguais ou menores do que a
percorrida pela luz em um intervalo de tempo ∆t valem,
respectivamente
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = a2 > 0
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = 0
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = −b2 < 0
E´ poss´ıvel mostra que nu´meros reais a e b acima tambe´m sa˜o
independentes do referencial (ver Schutz).
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rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Ou seja, para distaˆncias maiores, iguais ou menores do que a
percorrida pela luz em um intervalo de tempo ∆t valem,
respectivamente
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = a2 > 0
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = 0
∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 = −b2 < 0
E´ poss´ıvel mostra que nu´meros reais a e b acima tambe´m sa˜o
independentes do referencial (ver Schutz).
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rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Com isso conclu´ımos que ∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 e´ invariante
sob mudanc¸as de referencial.
Esta e´ uma quantidade fundamental em relatividade geral ou
restrita e e´ chamada de intervalo. Intervalos sa˜o classificados como
tipo luz (= 0), tipo tempo (< 0) ou tipo espac¸o (> 0).
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Com isso conclu´ımos que ∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 e´ invariante
sob mudanc¸as de referencial.
Esta e´ uma quantidade fundamental em relatividade geral ou
restrita e e´ chamada de intervalo. Intervalos sa˜o classificados como
tipo luz (= 0), tipo tempo (< 0) ou tipo espac¸o (> 0).
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Com isso conclu´ımos que ∆x2 + ∆y 2 + ∆z2 − (c∆t)2 e´ invariante
sob mudanc¸as de referencial.
Esta e´ uma quantidade fundamental em relatividade geral ou
restrita e e´ chamada de intervalo. Intervalos sa˜o classificados como
tipo luz (= 0), tipo tempo (< 0) ou tipo espac¸o (> 0).
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me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
A partir de agora fixemos c = 1 e a notac¸a˜o x0 = t, x1 = x , x2 = y
e x3 = z . Se tomarmos o intervalo da discussa˜o anterior partindo
da origem do sistema de coordenadas no instante x0 = 0, teremos
− (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = σ
onde σ = a2, σ = 0 ou σ = −b2.
Note que exceto pelo sinal negativo do primeiro termo, esta
expressa˜o se parece muito com um produto interno.
De fato, seja x = (x0, x1, x2, x3) um vetor de R4 e η essa forma
bilinear, enta˜o
η(x , x) = (x0, x1, x2, x3)

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

︸ ︷︷ ︸
matriz de η

x0
x1
x2
x3

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A partir de agora fixemos c = 1 e a notac¸a˜o x0 = t, x1 = x , x2 = y
e x3 = z . Se tomarmos o intervalo da discussa˜o anterior partindo
da origem do sistema de coordenadas no instante x0 = 0, teremos
− (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = σ
onde σ = a2, σ = 0 ou σ = −b2.
Note que exceto pelo sinal negativo do primeiro termo, esta
expressa˜o se parece muito com um produto interno.
De fato, seja x = (x0, x1, x2, x3) um vetor de R4 e η essa forma
bilinear, enta˜o
η(x , x) = (x0, x1, x2, x3)

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

︸ ︷︷ ︸
matriz de η

x0
x1
x2
x3

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rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
A partir de agora fixemos c = 1 e a notac¸a˜o x0 = t, x1 = x , x2 = y
e x3 = z . Se tomarmos o intervalo da discussa˜o anterior partindo
da origem do sistema de coordenadas no instante x0 = 0, teremos
− (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = σ
onde σ = a2, σ = 0 ou σ = −b2.
Note que exceto pelo sinal negativo do primeiro termo, esta
expressa˜o se parece muito com um produto interno.
De fato, seja x = (x0, x1, x2, x3) um vetor de R4 e η essa forma
bilinear, enta˜o
η(x , x) = (x0, x1, x2, x3)

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

︸ ︷︷ ︸
matriz de η

x0
x1
x2
x3

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A partir de agora fixemos c = 1 e a notac¸a˜o x0 = t, x1 = x , x2 = y
e x3 = z . Se tomarmos o intervalo da discussa˜o anterior partindo
da origem do sistema de coordenadas no instante x0 = 0, teremos
− (x0)2 + (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = σ
onde σ = a2, σ = 0 ou σ = −b2.
Note que exceto pelo sinal negativo do primeiro termo, esta
expressa˜o se parece muito com um produto interno.
De fato, seja x = (x0, x1, x2, x3) um vetor de R4 e η essa forma
bilinear, enta˜o
η(x , x) = (x0, x1, x2, x3)

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

︸ ︷︷ ︸
matriz de η
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x0
x1
x2
x3

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Assim como o espac¸o vetorial Rn munido do produto interno usual
e´ chamado de espac¸o Euclidiano n−dimensional, o espac¸o vetorial
R4 munido da forma bilinear η acima e´ chamado de espac¸o de
Minkowski. A forma bilinear acima e´ conhecida como me´trica de
Minkowski.
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me´trica de Minkowski
rotac¸o˜es no espac¸o de Minkowski
Se transformac¸o˜es lineares que satisfazem ATA = I preservam a o
produto interno Euclidiano, a pergunta natural agora e´:
quais sa˜o as transformac¸a˜o lineares que preservam a me´trica de
Minkowski?
Assim como no espac¸o Euclidiano, basta impor que
η(Λx ,Λx) = η(x , x).
Portanto a me´trica de Minkowski e´ preservada por matrizes Λ que
satisfazem a ΛTηΛ = η.
E´ poss´ıvel mostrar (Lista!) que as matrizes Λ que preservam a
me´trica de Minkowski sa˜o justamente as transformac¸o˜es de Lorentz
escritas em forma matricial.
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Se transformac¸o˜es lineares que satisfazem ATA = I preservam a o
produto interno Euclidiano, a pergunta natural agora e´:
quais sa˜o as transformac¸a˜o lineares que preservam a me´trica de
Minkowski?
Assim como no espac¸o Euclidiano, basta impor que
η(Λx ,Λx) = η(x , x).
Portanto a me´trica de Minkowski e´ preservada por matrizes Λ que
satisfazem a ΛTηΛ = η.
E´ poss´ıvel mostrar (Lista!) que as matrizes Λ que preservam a
me´trica de Minkowski sa˜o justamente as transformac¸o˜es de Lorentz
escritas em forma matricial.
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Se transformac¸o˜es lineares que satisfazem ATA = I preservam a o
produto interno Euclidiano, a pergunta natural agora e´:
quais sa˜o as transformac¸a˜o lineares que preservam a me´trica de
Minkowski?
Assim como no espac¸o Euclidiano, basta impor que
η(Λx ,Λx) = η(x , x).
Portanto a me´trica de Minkowski e´ preservada por matrizes Λ que
satisfazem a ΛTηΛ = η.
E´ poss´ıvel mostrar (Lista!) que as matrizes Λ que preservam a
me´trica de Minkowski sa˜o justamente as transformac¸o˜es de Lorentz
escritas em forma matricial.
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Se transformac¸o˜es lineares que satisfazem ATA = I preservam a o
produto interno Euclidiano, a pergunta natural agora e´:
quais sa˜o as transformac¸a˜o lineares que preservam a me´trica de
Minkowski?
Assim como no espac¸o Euclidiano, basta impor que
η(Λx ,Λx) = η(x , x).
Portanto a me´trica de Minkowski e´ preservada por matrizes Λ que
satisfazem a ΛTηΛ = η.
E´ poss´ıvel mostrar (Lista!) que as matrizes Λ que preservam a
me´trica de Minkowski sa˜o justamente as transformac¸o˜es de Lorentz
escritas em forma matricial.
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Voltando a` “definic¸a˜o” cla´ssica de vetores, dizer que vetores sa˜o
objetos que se transformam como
xµ =
3∑
α=0
Λµαx
α (1)
significa dizer que em mudanc¸as de base (referencial), as
componentes do vetor no novo referencial sa˜o obtidas pelas
transformac¸o˜es lineares representadas pelas matrizes Λ, que sa˜o as
pro´prias transformac¸o˜es de Lorentz.
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espac¸o dual
Tensores
O que significa levantar e abaixar ı´ndices? Para entender o que isso
significa precisamos retomar mais um conceito de a´lgebra linear, o
chamado espac¸o dual.
Dado um espac¸o vetorial V , associamos um espac¸o vetorial V ∗
chamado de espac¸o dual de V , tal que, ∀α ∈ V ∗
α : V → R
u 7→ α(u)
Elementos do espac¸o dual sa˜o chamados de funcionais lineares,
covetores, vetores covariantes ou 1-forma, dependendo do
contexto. Eles representam aplicac¸o˜es lineres que agem em
vetores, resultando em nu´meros reais.
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Tensores
Exemplo: Sejam u ∈ R4 e α ∈ (R4)∗ tal que α = (1, 2, 0, 1), enta˜o
α(u) = α

u1
u2
u3
u4
 = 4∑
k=1
αku
k = u1 + 2u2 + u4,
Note a semelhanc¸a entre essa expressa˜o e o produto interno.
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espac¸o dual
Tensores
Espac¸os munidos de formas bilineares e seus respectivos duais se
relacionam atrave´s da pro´pria forma bilinear. De fato, nestes
espac¸os definimos uma aplicac¸a˜o linear denominada correlac¸a˜o
τ : V → V ∗, que define naturalmente um funcional bilinear
g : V × V → R atrave´s de
τ : V → V ∗
v 7→ τv : V → R
u 7→ τv(u) ≡ g(v,u).
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espac¸o dual
Tensores
A relac¸a˜o estabelecida entre a correlac¸a˜o e a forma bilinear nos
permite usar a segunda para relacionar as componentes de
elementos do espac¸o vetorial a`s de elementos do espac¸o dual e vice
versa. Isso e´ o que e´ conhecido como levantar e abaixar ı´ndices.
Usualmente as componentes de vetores sa˜o chamadas de
contravariantes (´ındice em cima) e de funcionais lineares chamadas
de covariantes (´ındices embaixo).
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espac¸o dual
Tensores
Voltando ao R3,
g(u, v) = (u1, u2, u3)
g11 g12 g13g21 g22 g23
g31 g32 g33
v 1v 2
v 3
 ≡ (u1, u1, u3)
v 1v 2
v 3

onde
u1 = u
1g11 + u
2g21 + u
3g31
u2 = u
1g12 + u
2g22 + u
3g32
u3 = u
1g13 + u
2g23 + u
3g33.
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espac¸o dual
Tensores
De modo geral vale
uµ =
∑
k
gµku
k ,
analogamente,
uµ =
∑
k
gµkuk .
Onde gµk sa˜o as componentes da matriz inversa de g .
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espac¸o dual
Tensores
Tensores
O produto tensorial entre espac¸os vetoriais U e V e´ um espac¸o W
com uma aplicac¸a˜o bilinear
⊗ : U × V → W
(u, v) 7→ u⊗ v
tal que, se {ei : i = 1, . . . , n} e {fj : j = 1, . . . ,m} sa˜o bases de U
e V respectivamente, enta˜o os mn elementos da forma ei ⊗ fj ,
com 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m, formam uma base de W . Tensores de
W ≡ U ⊗V sera˜o enta˜o escritos como cominac¸a˜o linear de ei ⊗ fj ,
T =
∑
µ
∑
ν
Tµνeµ ⊗ fν .
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espac¸o dual
Tensores
Tensores podem ser covariantes, contravariantes ou mistos,
dependendo dos espac¸os vetoriais que compo˜em o produto
tensorial.
A mudanc¸a de referencial de tensores e´ dada pelo produto tensorial
das matrizes de mudanc¸a de base dos espac¸os que compo˜em o
produto tensorial.
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Tensores
No exemplo anterior,se A e B sa˜o matrizes de mudanc¸a de base
de U e V respectivamente, enta˜o o tensor T na nova base sera´
T′ = A⊗ B
(∑
µ
∑
ν
Tµνeµ ⊗ fν
)
=
∑
µ
∑
ν
Tµν(Aeµ)⊗ (Bfν)
=
∑
µ
∑
ν
Tµν
(∑
α
Aαµeα
)
⊗
∑
β
Bβνfβ

=
∑
µ
∑
ν
∑
α
∑
β
TµνAαµB
β
νeα ⊗ fβ
=
∑
α
∑
β
(∑
µ
∑
ν
AαµB
β
νT
µν
)
eα ⊗ fβ
=
∑
α
∑
β
T ′αβeα ⊗ fβ
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Tensores
Portanto a componente T ′αβ do tensor T′ se relaciona com as
componentes do tensor T atrave´s de
T ′αβ =
∑
µ
∑
ν
TµνAαµB
β
ν . (2)
Essa expressa˜o para as componentes de um tensor sob uma
mudanc¸a de base e´ usada nos textos mais antigos como a pro´pria
definic¸a˜o de tensor.
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espac¸o dual
Tensores
Assim como no caso dos vetores, as componentes covariantes de
um tensor podem ser relacionadas com as contravariantes
utilizando a me´trica,
Tαβ =
∑
µ
∑
ν
gαµgβνT
µν
ou
Tαβ =
∑
µ
∑
ν
gαµgβνTµν
Roge´riorogerio.cavalcanti@ufabc.edu.br Teoria da Relatividade O espac¸o de Minkowski
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vetores
formas bilineares
espac¸o dual
Tensores
O produto tensorial pode ser continuado U1 ⊗ U2 ⊗ · · · ⊗ Un,
produzindo tensores de ordem superior
H =
∑
α1
∑
α2
· · ·
∑
αn
Hα1α2···αn(e1)α1 ⊗ (e2)α2 ⊗ · · · ⊗ (en)αn ,
Que apesar de terem mais componentes, possuem exatamente a
mesma estrutura de tensores de segunda ordem.
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	vetores
	definição
	formas bilineares intervalo
	espaço dual
	Tensores