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Nossos Relat�rios/Pr�tica 1 - Perda de Carga na Serpentina/Lab - Serpentina - final.docx
SINOPSE
Finalidade e Objetivos
Serpentinas são comumente utilizadas na indústria química, pois com elas pode se reduzir a área física ocupada em uma instalação industrial e não alterar a área de transferência de calor. São acessórios que proporcionam um escoamento turbulento, permitindo altas taxas de transferência de calor em pequenas áreas devido à sua geometria. Contudo, ao escoar, o fluido perde energia e, isso impacta no dimensionamento de equipamentos tais como bombas e compressores. A experiência realizada consiste no estudo e na determinação da perda de carga e do comprimento equivalente de uma serpentina de cobre e comparar os modelos de cálculo de fator de atrito existentes.
Descrição da Experiência
O experimento foi realizado utilizando uma serpentina feita de fio de cobre de diâmetro interno de ¼” e o externo de 5/16” cujo comprimento é de 7,73 m distribuídos em 10 espiras espaçadas entre si de 2 cm. O diâmetro da serpentina é de 22,5 cm. A faixa de rugosidade varia de 0,00015 a 0,00025 cm, porém será adotado o valor intermediário de 0,0002 cm, pois não são conhecidas as especificações corretas do material.
O fluido que escoa pela serpentina é água. Esta entra no sistema através de uma torneira que funciona como regulador de vazão. A pressão de entrada do fluido é determinada através de um manômetro acoplado à serpentina. 
A vazão mássica é determinada através do recolhimento da água após sua passagem pela serpentina por meio de um bécher de 1L durante um determinado intervalo de tempo cronometrado, sendo o volume de água recolhido nunca inferior a 500 mL. Então se pesa o bécher a cada coleta em uma balança (previamente tarada a cada coleta). Calcula-se a vazão mássica pela divisão da massa de água pelo tempo de coleta.
A temperatura de realização do experimento é monitorada por um termômetro imerso no recipiente que contem a serpentina e anotada para determinação de propriedades físico-químicas necessárias.
Com o auxílio do manômetro fez-se um range de variação de 16 a 1 psig, repetindo-se a coleta de água e pesagem 3 vezes a cada valor de pressão. Daí calculou-se a vazão mássica para cada coleta e realizou-se a média aritmética. É importante ressaltar que a média calculada não pode diferir mais de 0,5 g.s-1 das coletas realizadas para aquela pressão.
Equações Envolvidas nos Cálculos
Para a determinação do fator de atrito e posterior comparação utilizaram-se as seguintes equações:
Equação de Srinivasan (específica para serpentinas)
			
Equação de Blasius
É importante ressaltar que a equação de Srinivasan utiliza as dimensões reais da serpentina, como será abordado posteriormente.
Após a obtenção dos fatores de atrito, utilizou-se para o cálculo da perda de carga a seguinte equação:
Equação de Darcy – Weisbach
Qualidade dos Resultados Crus
Foram tomadas certas medidas para assegurar a confiabilidade nos dados experimentais, sendo elas a pesagem do bécher em uma balança previamente tarada a cada pesagem, pois diminui o erro envolvendo a água residual retida em cada coleta. Também não houve coleta com um volume inferior a 500mL, para minimizar os erros de medição de tempo e flutuações na incerteza da balança. E, após cada coleta não se permitiu que a diferença entre a média obtida diferenciasse das amostras em mais que 0,5g.s-1.
Comparação dos Resultados
Através dos dados medidos no experimento e com o fator de atrito calculado pela equação de Blasius determinou-se o comprimento equivalente do sistema, quea, após reduzido o comprimento equivalente dos acidentes, resultou no comprimento equivalente da serpentina, igual a 1069.17 cm. 
Para comparar os modelos de Blasius e de Srinivasan, plotou-se as curvas de perda de carga para cada modelo, comparativamente com os valores encontrados experimentalmente, para percebermos que os dois modelos se aproximam muito para vazões baixas, porém começam a se afastar a medida que a vazão aumenta.
Conclusão
Com os resultados obtidos, percebemos que as duas correlações se aproximam bastante a vazões pequenas, chegando a um erro percentual de 4,28%. No entanto, para altas vazões, a diferença percentual chega a 12,60%, maior valor encontrado nos dados coletados experimentalmente. Esse valor está dentro da margem de folga, que pode variar de 10 a 20%. 
No entanto, para vazões muito maiores do que as estudadas, os modelos podem apresentar resultados muito distintos, sendo um novo estudo necessário para a verificação da compatibilidade dos modelos na faixa de vazões de interesse.
Recomendações
Para a realização experiência são válidas as seguintes observações:
O manômetro deve ser verificado regularmente, pois não pode haver oscilação de pressão, devido ao fato de a tubulação do laboratório ser comum ao resto do prédio;
O tempo de coleta deve ser superior a 10 segundos, para que se consiga recolher uma massa de água razoável, superior a 500mL;
A temperatura do sistema deve ser verificada para cada medida;
A pessoa que realiza a coleta de água deve ser a mesma a operar o cronômetro, evitando assim erros de medição maiores.
INTRODUÇÃO
Finalidades e Objetivos
O objetivo desta prática experimental é calcular a perda de carga e o comprimento equivalente de uma serpentina helicoidal e comparar os modelos de cálculo de fator de atrito existentes. 
Este estudo é de grande importância devido à frequente utilização de serpentinas em processos industriais, tanto para resfriamento quanto para aquecimento, pois apresentam uma elevada taxa de transferência de calor, necessitando de uma pequena área física para a realização da troca térmica. Podemos citar como exemplo de utilização, reatores com serpentina no seu interior, utilizadas com a finalidade de dissipar o calor do meio reacional.
Ao analisarmos o escoamento de um fluido em um tubo curvado, temos um gradiente de pressão entre a parede externa, onde obtemos a pressão máxima, e a parede interna, onde obtemos a pressão mínima. Este gradiente aparece devido à variação de força centrífuga existente no tubo. A força de atrito nas paredes e a queda de pressão são mais acentuadas, comparativamente com tubos retos. Dessa forma, o estudo da perda de carga em serpentinas é necessário para que se possa melhor dimensionar o sistema de bombeamento do fluido que passa pela serpentina.
Existem vários relatos na literatura sobre o estudo do fenômeno de escoamento em serpentinas, onde as equações de Moody, Haaland, Chen-Schachan, Blasius, e outras, levam em consideração os acidentes existentes, tais como válvulas, contrações, expansões, entradas e saídas (de tubulações e equipamentos) etc. Já a equação de Srinivasan propõe a determinação do fator de atrito característico de uma serpentina utilizando simplesmente suas reais dimensões, tais como diâmetro interno do fio de cobre e o diâmetro da serpentina. 
Após o tratamento dos dados experimentais, se realizará a comparação dos resultados obtidos através da equação empírica de Srinivasan e a equação de Blasius, com a finalidade de observar suas particularidades e apontar possíveis incompatibilidades.
RESUMO TEÓRICO
Introdução Teórica
O escoamento de um fluido em uma tubulação pode ser laminar ou turbulento. O escoamento é dito laminar quando o movimento do fluido se dá em filetes paralelos entre si e as velocidades em cada ponto são invariáveis em módulo, direção e sentido. Ele ocorre quando o fluido está a velocidades baixas. Já o escoamento turbulento é observado a partir de uma determinada velocidade de escoamento do fluido e se caracteriza pela inexistência de regularidade no movimento do mesmo, ou seja, ele se move em todas as direções, com velocidades variáveis em módulo e direção.Para se definir se o escoamento é laminar ou turbulento utiliza-se um parâmetro
adimensional criado especialmente para este fim, o número de Reynolds, que é calculado da seguinte forma:
,
ou, em termos da vazão mássica,
Onde: 
Re = número de Reynolds;
V = velocidade de escoamento do fluido;
= massa específica do fluido;
D = diâmetro interno da tubulação;
= viscosidade dinâmica do fluido;
G = vazão mássica de escoamento do fluido.
Tendo o valor de Reynolds, podemos determinar o regime de escoamento do fluido no interior de uma tubulação com nas seguintes faixas:
Re <2000 : regime é laminar
Re > 4000: regime é turbulento
Se Reynolds estiver entre 2000 e 4000 diz-se que está na faixa crítica (regime de transição), sobre a qual ainda se possui muito pouca informação.
Correlações Experimentais
O teorema de Bernoulli pode ser deduzido a partir de um balanço de energia em um volume de controle como segue:
Figura 1: Representação esquemática de entradas e saídas em um volume de controle.
A equação de Bernoulli relaciona as variações de pressão com as de velocidade e elevação ao longo de uma linha de corrente. Por não considerar a ação de efeitos dissipativos, suas previsões se aproximam da realidade física na medida em que a dissipação irreversível de energia tende a zero. 
As hipóteses restritivas adotadas na dedução da equação de Bernoulli são as seguintes: fluidos incompressíveis, escoamento permanente; escoamento não viscoso (ou seja, escoamento sem atrito) e escoamento isotérmico.
Com as considerações assumidas, podemos escrever o balanço de energia da seguinte maneira:
Onde:
variação da energia do volume de controle na unidade de tempo;
somatório do calor trocado pelo sistema por unidade de tempo
		é positivo (calor recebido no volume de controle)
		é negativo (calor cedido pelo volume de controle)
somatório do trabalho trocado pelo sistema por unidade de tempo
		é negativo (trabalho realizado no fluido)
		é positivo (trabalho realizado pelo fluido)
somatório de todas as vazões mássicas entrando no sistema, multiplicado pelas correspondentes entalpia específica e energia específica
idem para a saída do sistema
entalpia específica
energia específica (energia potencial + energia cinética)
u = energia interna específica
P = pressão
Z = altura estática
v = velocidade
volume específico
Se o regime é permanente e isotérmico, e houver apenas uma entrada e uma saída, , ∑Q = 0 e e a equação do balaço de energia pode ser reescrita na forma:
ou, se chamamos a entrada de ponto 1 e a saída de ponto 2 e dividimos por m, temos:
Sabendo-se que, não existe nenhuma bomba entre a entrada e a saída (W=0), que não existe atrito, e que por ser o fluido incompressível, chega-se, finalmente ao teorema de Bernouilli:
 , ou se dividirmos por g:
constante
Onde:
peso específico
g = aceleração da gravidade
Na dedução do teorema de Bernoulli faz-se a suposição de que o fluido é perfeito, e, portanto, não se leva em consideração a perda de energia devido ao atrito, à viscosidade ou ao turbilhonamento. Para fluidos reais para que possamos considerar essas perdas devemos introduzir na equação o termo hf, que representa a perda de carga (energia) do líquido por unidade de peso, que ocorre quando o mesmo se desloca do ponto 1 ao 2.
	[1]
A perda de carga em um trecho de tubulação é função do coeficiente de atrito nas condições operacionais e das propriedades dos fluidos. Ela pode ser desmembrada em duas: a perda de carga normal, correspondente aos trechos retilíneos de tubulação, e as perdas localizadas, aquela que ocorre em acidentes como válvulas, joelhos, tês, reduções, expansões, etc. 
Há na literatura várias equações empíricas disponíveis para o cálculo deste coeficiente, levando-se em conta o regime de escoamento e o número de Reynolds. 
Analisando-se o escoamento laminar, o fator de atrito depende apenas do número de Reynolds, o que pode ser demonstrado combinando-se as equações de Darcy-Weisbach [2] e de Hagen-Poiseulle [3]:
	 [2]
		[3]		
Igualando-se as equações acima, temos o seguinte:
Sabendo-se que:
temos a expressão modificada para:
Já para o escoamento em regime plenamente turbulento temos várias equações propostas, como descrevemos a seguir:
	(Chen-Schachan)
	 (Von Karman)
	 (Blasius)
	 (Churchill)
Onde:
Na região de transição, a equação mais comumente usada é a de Colebrook:
No experimento, pôde-se observar que havia escoamento em regime laminar, de transição e turbulento. 
Sabemos que para o sistema estudado, temos que:
Simplificando e igualando o termo P na equação [1], temos:
E que se pode, portanto, determinar o comprimento equivalente total a partir do coeficiente angular da reta obtida do gráfico de ΔP x Q2:
Coeficiente angular 
O comprimento equivalente da serpentina é determinado subtraindo-se o comprimento equivalente dos acidentes do comprimento equivalente total, e por isso temos que calcular os valores de K para todos os acidentes presentes no percurso, pela equação mostrada a seguir:
Pode-se igualar o fator ao fator , pois apesar do primeiro ser função da vazão, K independe da mesma. Para esses cálculos todas as tubulações devem ser expressas em relação a um mesmo diâmetro:
Tubulação 1: 
Tubulação 2: 
Dividindo a primeira pela segunda para fazer a equivalência e sabendo que :
A literatura nos fornece uma equação simplificada específica para cálculo de perda de carga em serpentinas proposta por Srinivasan: 
	
Esta equação nos permite calcular a perda de carga da serpentina utilizando seu comprimento real.
PARTE EXPERIMENTAL
Materiais e Equipamentos
Fluido de processo:
Água.
Equipamentos utilizados: 
Mangueira;
Recipiente metálico de imersão da serpentina;
Torneira;
Cronômetro Digital;
Manômetro com precisão de 0,5 psig;
Balança com precisão de 0,05 g;
Bécher de 1 L;
Termômetro com precisão de 0,2°C.
Serpentina de cobre com as seguintes características:
7,73 m de comprimento;
1/4” de diâmetro interno (di);
5/16” de diâmetro externo (do);
10 espiras;
22,5 cm de diâmetro;
Distância entre espiras: n = 2,0 cm;
Rugosidade: ε = 0,000150 a 0,000250 cm.
Acidentes:
1 expansão de 1/4” para 1/2”;
2 contrações de 1/2” para 1/4”;
1 “tê” com saída lateral de 1/2";
18 cm de tubo liso.
Descrição da Instalação
Figura 2: Representação da instalação utilizada.
Conforme mostrado no esquema da figura 2, o sistema é composto basicamente de um recipiente cilíndrico metálico que contém água e uma serpentina imersa no mesmo. 
A água que escoa no interior da serpentina entra no sistema através de uma torneira, que funciona como regulador de vazão. A torneira está acoplada a uma tubulação com um manômetro, onde é feito o controle da pressão na entrada da serpentina. Dependendo da pressão que se deseja, regula-se a vazão de entrada de água através da torneira.
Após percorrer toda a serpentina, o fluido que escoa no sistema (água) passa por um “Tê” seguido de uma mangueira e é coletado em um bécher de plástico.
Procedimento Experimental
Primeiramente, realiza-se a pesagem do bécher de plástico molhado e zera-se a balança. Abre-se a torneira e ajusta-se a vazão de água para que a pressão aferida pelo manômetro seja de 16psig. 
Com o auxílio do bécher, recolhe-se um determinado volume de água na saída do sistema. Para minimizar os erros o volume recolhido deve ser superior à 500mL. O recolhimento da água é cronometrado, desde o momento em que o bécher é posicionado sob a saída de água até o exato momento em que ele é retirado desta posição.
Pesa-se o bécher com o volume de água recolhido em uma balança de pratos, previamente tarada com o bécher, para se determinar a massa de água. Calcula-se a vazão mássica pela divisão da massa de água obtida pelo tempo cronometrado. 
O procedimento é repetido até se obter três valores de vazão mássica.
Calcula-se um valor de vazão mássica média através da média aritmética dos três valores obtidos anteriormente.
Se após as 3 pesagens algum valor diste mais do que 0,5g/s da média, realiza-se outra pesagem, descartando-se o valor anterior.
O roteiro acima deve ser repetido, diminuindo a pressão de 1 em 1 psi até que a pressão de entrada seja de 1 psig. 
APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Dados experimentais
Após a realização da prática foi obtida a tabela a seguir:
Tabela 1: Dados Experimentais de Vazão Média.
		ΔP (psi)
		T (ºC)
		M1 (g)
		t1 (s)
		G1 (g/s)
		M2 (g)
		t2 (s)
		G2 (g/s)
		M3 (g)
		t3 (s)
		G3 (g/s)
		Gmédio (g/s)
		16
		26,5
		892,96
		13,78
		64,80
		860,06
		13,44
		63,99
		888,69
		13,84
		64,21
		64,34
		15
		26,4
		789,08
		12,72
		62,03
		765,29
		12,28
		62,32
		749,50
		12,18
		61,54
		61,96
		14
		26,5
		789,19
		13,22
		59,70
		759,60
		12,82
		59,25
		757,54
		12,69
		59,70
		59,55
		13
		26,4
		782,29
		13,69
		57,14
		775,63
		13,53
		57,33
		777,05
		13,50
		57,56
		57,34
		12
		26,5
		784,78
		14,31
		54,84
		773,66
		14,00
		55,26
		777,19
		14,19
		54,77
		54,96
		11
		26,5
		781,92
		15,00
		52,13
		779,77
		14,97
		52,09
		803,72
		15,40
		52,19
		52,14
		10
		26,3
		764,15
		15,31
		49,91
		770,11
		15,47
		49,78
		795,66
		16,06
		49,54
		49,75
		9
		26,4
		771,51
		16,66
		46,31
		766,69
		16,60
		46,19
		754,06
		16,37
		46,06
		46,19
		8
		26,4
		737,49
		16,93
		43,56
		750,21
		17,22
		43,57
		759,42
		17,53
		43,32
		43,48
		7
		26,4
		744,92
		18,59
		40,07
		765,14
		18,97
		40,33
		750,31
		18,78
		39,95
		40,12
		6
		26,4
		778,06
		21,35
		36,44
		759,38
		20,84
		36,44
		766,54
		21,12
		36,29
		36,39
		5
		26,4
		770,70
		23,66
		32,57
		779,51
		23,87
		32,66
		768,39
		23,66
		32,48
		32,57
		4
		26,4
		735,41
		25,78
		28,53
		730,23
		26,06
		28,02
		751,00
		26,69
		28,14
		28,23
		3
		26,4
		769,41
		34,69
		22,18
		756,32
		34,28
		22,06
		764,08
		34,75
		21,99
		22,08
		2
		26,4
		771,51
		54,60
		14,13
		744,18
		53,34
		13,95
		775,11
		55,97
		13,85
		13,98
		1
		26,4
		480,02
		120,69
		3,98
		555,05
		142,26
		3,90
		546,06
		142,56
		3,83
		3,90
Cálculo de Parâmetros
Cálculo da Vazão Volumétrica
Como não há variação significativa de temperatura, considera-se a temperatura de 26,4°C para a determinação da viscosidade e densidade, e por estar nos estado líquido considera-se um fluído incompressível, não variando a densidade pela pressão. Considera-se então μ = 0,01g/cm.s e ρ = 1,007 g/cm³.
Define-se vazão volumétrica como: 
Cálculo da Velocidade de Escoamento
A velocidade pode ser obtida através da formula .
A área pode ser definida por , onde di é o diâmentro interno da serpentina, que é igual ¼”.
Cálculo do número de Reynolds
O número de Reynolds pode ser calculado através da equação:
.
Cálculo do Fator de Atrito
Calcula-se o fator de atrito utilizando-se o modelo proposto por Blasius:
Cálculo do Comprimento Equivalente do Sistema
Através da equação , descrita anteriormente no item 3.2, pode-se construir uma reta considerando como o coeficiente de reta, e, como todos os parâmetros são conhecidos, descobre-se o Leq.
Tabela 2: Dados para cálculo da reta para estimativa de Comprimento Equivalente.
		∆P (psi)
		Gmédio(g/s)
		Q (cm³/s)
		V (cm/s)
		Re
		fD
		fD . Q² (cm6/s2)
		16
		64,34
		63,89
		201,73
		12899,53
		0,0297
		121,18
		15
		61,96
		61,53
		194,29
		12423,97
		0,0300
		113,47
		14
		59,55
		59,13
		186,72
		11939,66
		0,0303
		105,84
		13
		57,34
		56,94
		179,81
		11497,58
		0,0306
		99,08
		12
		54,96
		54,58
		172,33
		11019,30
		0,0309
		91,98
		11
		52,14
		51,77
		163,48
		10453,44
		0,0313
		83,87
		10
		49,75
		49,40
		155,98
		9974,18
		0,0317
		77,26
		9
		46,19
		45,87
		144,82
		9260,59
		0,0323
		67,85
		8
		43,48
		43,18
		136,35
		8718,53
		0,0327
		61,05
		7
		40,12
		39,84
		125,80
		8044,12
		0,0334
		53,03
		6
		36,39
		36,14
		114,11
		7296,80
		0,0342
		44,71
		5
		32,57
		32,34
		102,12
		6530,24
		0,0352
		36,82
		4
		28,23
		28,03
		88,52
		5660,09
		0,0365
		28,66
		3
		22,08
		21,92
		69,22
		4426,52
		0,0388
		18,64
		2
		13,98
		13,88
		43,83
		2802,43
		0,0435
		8,38
		1
		3,90
		3,88
		12,24
		782,59
		0,0598
		0,90
Figura 3: Gráfico com a regressão linear da Perda de Carga em função do produto da Vazão ao quadro com o fator de atrito.
	A partir do gráfico se obtém um coeficiente angular de 0,132 psi.s²/cm6, convertendo fica 9.101,08 dina.s²/cm8.
	Igualando-se o coeficiente angular com o descrito na equação tem-se então:
Cálculo do Comprimento Equivalente dos Acidentes
Contração de ½” para ¼” 
Com; olhando o Diagrama de Moody, pode-se determinar fD. 
fD = 0,014
Expansão de ¼” a ½”
Leq = 0,5625 (0,635/0,014) = 25,51 cm
Tê com saída lateral de ½”
Convertendo em Leqpara diâmetro de ¼”
Tubo reto
Tabela 3: Resumo do comprimento equivalente dos acidentes.
		Acidentes
		Quantidade
		Leqacidentes(cm)
		Contração 1/2" para 1/4"
		2
		34,02
		Expansão 1/4" para 1/2"
		1
		25,51
		T com saída lateral 1/2"
		1
		4,48
		18 cm de tubo reto
		1
		18,00
		Total
		
		82,01
Cálculo do Comprimento Equivalente da Serpentina
Leqserpentina = Leqsistema – Leqacidentes
Leqserpentina = 1151,18 – 82,01 = 1069,17 cm
 Modelo utilizado como referência
Utilizamos como referência o modelo empírico proposto por Srinivasan para o cálculo do fator de atrito. A equação do modelo está abaixo:
Onde di=0,635cm e ds=22,5cm
Abaixo, segue a tabela com os fatores de atrito calculados para os diferentes números de Reynolds associados aos pontos coletados na experiência:
Tabela 4: Dados de fator de atrito obtidos a partir da equação de Srinivasan.
		Re
		
		12899,49
		0,0334
		12424,28
		0,0337
		11940,38
		0,0340
		11497,92
		0,0343
		11019,37
		0,0346
		10453,93
		0,0350
		9974,04
		0,0353
		9260,90
		0,0359
		8718,85
		0,0364
		8043,80
		0,0370
		7296,56
		0,0378
		6530,62
		0,0387
		5660,09
		0,0400
		4426,60
		0,0422
		2802,46
		0,0467
		782,66
		0,0624
 Comparação Gráfica dos Modelos de Blasius e Srinivasan
Tabela 5: Comparação entre
os modelos de Blasius e Srinivasan.
		Blasius
		Srinivasan
		
		Leqs (cm)
		
		
		Leq (cm)
		
		0,0297
		1069,17
		31,74
		0,0334
		773,00
		25,84
		0,0300
		1069,17
		32,04
		0,0337
		773,00
		26,05
		0,0303
		1069,17
		32,36
		0,0340
		773,00
		26,27
		0,0306
		1069,17
		32,67
		0,0343
		773,00
		26,49
		0,0309
		1069,17
		33,02
		0,0346
		773,00
		26,73
		0,0313
		1069,17
		33,46
		0,0350
		773,00
		27,03
		0,0317
		1069,17
		33,85
		0,0353
		773,00
		27,31
		0,0323
		1069,17
		34,48
		0,0359
		773,00
		27,75
		0,0327
		1069,17
		35,01
		0,0364
		773,00
		28,11
		0,0334
		1069,17
		35,72
		0,0370
		773,00
		28,61
		0,0342
		1069,17
		36,60
		0,0378
		773,00
		29,22
		0,0352
		1069,17
		37,63
		0,0387
		773,00
		29,93
		0,0365
		1069,17
		39,00
		0,0400
		773,00
		30,88
		0,0388
		1069,17
		41,47
		0,0422
		773,00
		32,60
		0,0435
		1069,17
		46,49
		0,0467
		773,00
		36,09
Tabela 6: Cálculo da perda de carga através dos modelos de Srinivansan e Blasius.
		Q (cm3/s)
		
		ΔP de Blasius 
(dina/cm2)
		
		ΔP de Srinivasan (dina/cm2)
		63,89
		0,0297
		1.024.246,24
		0,0334
		1.153.339,84
		61,53
		0,0300
		959.129,25
		0,0337
		1.078.535,51
		59,14
		0,0303
		894.714,29
		0,0340
		1.004.653,94
		56,94
		0,0306
		837.503,10
		0,0343
		939.137,54
		54,57
		0,0309
		777.458,03
		0,0346
		870.486,25
		51,77
		0,0313
		708.993,07
		0,0350
		792.355,57
		49,40
		0,0317
		653.021,28
		0,0353
		728.607,03
		45,87
		0,0323
		573.515,78
		0,0359
		638.266,11
		43,18
		0,0327
		516.067,17
		0,0364
		573.156,91
		39,84
		0,0334
		448.187,52
		0,0370
		496.428,88
		36,14
		0,0342
		377.885,20
		0,0378
		417.223,42
		32,34
		0,0352
		311.223,49
		0,0387
		342.402,70
		28,03
		0,0365
		242.294,58
		0,0400
		265.381,87
		21,92
		0,0388
		157.588,64
		0,0422
		171.341,55
		13,88
		0,0435
		70.810,49
		0,0467
		76.023,12
		3,88
		0,0598
		7.597,20
		0,0624
		7.922,46
Tabela 7: Comparação entre as perdas de carga dos modelos de Srinivasan e Blasius em psi.
		Q (cm3/s)
		 ΔPBlasius (psi)
		ΔPSrinivasan (psi)
		Erro %
| ΔPBlasius – ΔPSrinivasan|
ΔPBlasius
		63,89
		14,86
		16,73
		12,60
		61,53
		13,91
		15,64
		12,45
		59,14
		12,98
		14,57
		12,29
		56,94
		12,15
		13,62
		12,14
		54,57
		11,28
		12,63
		11,97
		51,77
		10,28
		11,49
		11,76
		49,40
		9,47
		10,57
		11,57
		45,87
		8,32
		9,26
		11,29
		43,18
		7,48
		8,31
		11,06
		39,84
		6,50
		7,20
		10,76
		36,14
		5,48
		6,05
		10,41
		32,34
		4,51
		4,97
		10,02
		28,03
		3,51
		3,85
		9,53
		21,92
		2,29
		2,49
		8,73
		13,88
		1,03
		1,10
		7,36
		3,88
		0,11
		0,11
		4,28
 
Figura 4: Gráfico da perda de carga em função da vazão volumétrica de água.
 CONCLUSÕES
A fim de verificar o modelo proposto por Srinivasan, calculamos o fator de atrito através da equação Blasius e através da equação de Srinivasan.
Analisando o gráfico de perda de carga em função da vazão para os dois modelos estudados, observa-se que estes modelos apresentam valores próximos de perda de carga na faixa correspondente a baixas vazões, onde a diferença percentual dos modelos chega a 4,28%. Já na faixa de altas vazões, o modelo de Srinivasan apresenta valores superiores aos de Blasius e a diferença desses dois modelos aumenta bastante, sendo 12.60% o maior valor encontrado na experiência. Como nos cálculos de perda de carga normalmente se usa uma folga de 10 a 20%, dependendo da etapa do projeto, podemos dizer que os valores encontrados não apresentam uma diferença tão grande. Para vazões muito maiores do que as estudadas na experiência feita, um novo estudo deverá ser feito para confirmar se a diferença percentual entre os modelos ainda é aceitável ou não.
A principal diferença entre os dois modelos se deve ao fato de o modelo de Blasius utilizar o comprimento equivalente da serpentina, ou seja, considera a existência dos acidentes no percurso para o cálculo, enquanto o modelo de Srinivasan só considera o comprimento real da serpentina.
 RECOMENDAÇÕES
Medidas que devem ser adotadas para diminuição do erro experimental:
O bécher onde a água é recolhida deve ser umedecido antes de ser pesado, de maneira a não haver grandes diferenças de massa na pesagem;
Deve-se recolher o máximo de volume de água no bécher para minimizar os erros nas medidas de tempo;
Dever-se-ia adotar um menor número de acidentes no percurso, minimizando os erros causados no cálculo do comprimento equivalente, e, com isso, obter uma perda de carga na serpentina mais próxima da real;
Efetuar limpeza constante da serpentina para evitar o acúmulo de incrustações, as quais provocam erros nos resultados;
A temperatura do sistema deve ser verificada para cada medida;
O manômetro deve ser verificado regularmente, pois não pode haver oscilação de pressão, devido ao fato de a tubulação do laboratório ser comum ao resto do prédio;
É importante observar se, enquanto se está recolhendo a água, não aconteça nenhum tipo de variação na pressão do manômetro, pois, caso contrário, será necessário descartar o conteúdo do recipiente e recomeçar a coleta com a pressão fixa;
 É recomendado, também, que a mesma pessoa responsável pela coleta da água, esteja também incumbida de cronometrar o tempo gasto neste processo, pois, caso isso não seja feito, será mais fácil a ocorrência de erros de medida.
APÊNDICE
T = temperatura (ºC)
Ls = comprimento real da serpentina (cm)
Leqsistema = comprimento equivalente do sistema: serpentina + acidentes (cm)
Leqs = comprimento equivalente da serpentina (cm)
Leqacidentes = comprimento equivalente dos acidentes (cm)
ΔP = perda de carga na serpentina (psi) ou (dina/cm2)
= fator de atrito
Re = número de Reynolds
v = velocidades de escoamento do fluido (cm/s)
= massa específica do fluido (g/cm3)
D = diâmetro interno da tubulação (in) ou (cm)
= viscosidade dinâmica do fluido (g/(cm.s))
G = vazão mássica de escoamento do fluido (g/s)
 = variação da energia do volume de controle na unidade de tempo
Σ Q = somatório do calor trocado pelo sistema por unidade de tempo
Σ W = somatório do trabalho trocado pelo sistema por unidade de tempo
Σ m = somatório das vazões mássicas entrando ou saido do sistema
h = entalpia específica
ex = energia extrínseca específica
u = energia interna específica
 volume específico
P = pressão (psi) ou (dyna/cm2)
Z = altura estática
q = calor cedido ou recebido pelo sistema
g = aceleração da gravidade
 = peso específico (g/cm2.s2)
hf = perda de carga
ζ = tensão de atrito
dv/dt = gradiente de velocidade
μ t = viscosidade turbulenta
 = viscosidade cinemática (cm2/s)
ε = rugosidade do material (cm)
di = diâmetro interno (in) ou (cm)
Q = vazão volumétrica (cm3/s)
 = fator de atrito da serpentina
ne = distância entre as espiras (cm)
m = massa (g)
t = tempo de coleta de cada amostra (s)
Gmed = vazão mássica média (g/s)
σ = Desvio padrão
M = massa de
água recolhida no bécher (g)
K = coeficientes experimentais para cada tipo de acidente
REFERÊNCIAS 
PERRY, R.H.,Chemical Engineers’ Handbook, 6a ed., McGraw - Hill, New York, 1984, Chapter 2 - page 91/119.
BIRD, R. B.; SEWART, W. E ;LIGHTFOOT, E. N.; "Transport Phenomena"; John Wiley & Sons, Inc.; New York, 1960.
Srinivasan, P. S.; Nandapurkar, S. S. And Holland, F. A.; “Friction Factors For Coils”; Trans. Instn. Chem. Engrs, Vol. 48, pp 156-161 (1970).
Nossos Relat�rios/Pr�tica 1 - Perda de Carga na Serpentina/Lab - Serpentina capa.docx
UFF – Universidade Federal Fluminense
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Química
Laboratório de Engenharia Química
Professora: Maria Luiza
Determinação de Perda de Carga em uma Serpentina
Daniel Machado Thomaz
Fabrício Feijó de Lima
Felipe Cardoso Chicralla
Rodrigo Martins Barbosa
Niterói, 03 de Dezembro de 2012.
Nossos Relat�rios/Pr�tica 1 - Perda de Carga na Serpentina/Lab - Serpentina.xlsx
Plan2
		ΔP (psi)		T (ºC)		M1 (g)		t1 (s)		G1 (g/s)		M2 (g)		t2 (s)		G2 (g/s)		M3 (g)		t3 (s)		G3 (g/s)		Gmédio (g/s)
		16		26.5		892.96		13.78		64.8		860.06		13.44		63.99		888.69		13.84		64.21		64.33
		15		26.4		789.08		12.72		62.03		765.29		12.28		62.32		749.5		12.18		61.54		61.96
		14		26.5		789.19		13.22		59.7		759.6		12.82		59.25		757.54		12.69		59.7		59.55
		13		26.4		782.29		13.69		57.14		775.63		13.53		57.33		777.05		13.5		57.56		57.34
		12		26.5		784.78		14.31		54.84		773.66		14		55.26		777.19		14.19		54.77		54.96
		11		26.5		781.92		15		52.13		779.77		14.97		52.09		803.72		15.4		52.19		52.14
		10		26.3		764.15		15.31		49.91		770.11		15.47		49.78		795.66		16.06		49.54		49.74
		9		26.4		771.51		16.66		46.31		766.69		16.6		46.19		754.06		16.37		46.06		46.19
		8		26.4		737.49		16.93		43.56		750.21		17.22		43.57		759.42		17.53		43.32		43.48
		7		26.4		744.92		18.59		40.07		765.14		18.97		40.33		750.31		18.78		39.95		40.12
		6		26.4		778.06		21.35		36.44		759.38		20.84		36.44		766.54		21.12		36.29		36.39
		5		26.4		770.7		23.66		32.57		779.51		23.87		32.66		768.39		23.66		32.48		32.57
		4		26.4		735.41		25.78		28.5263770365		730.23		26.06		28.021105142		751		26.69		28.1378793556		28.23
		3		26.4		769.41		34.69		22.18		756.32		34.28		22.06		764.08		34.75		21.99		22.08
		2		26.4		771.51		54.6		14.13		744.18		53.34		13.95		775.11		55.97		13.85		13.98
		1		26.4		480.02		120.69		3.98		555.05		142.26		3.9		546.06		142.56		3.83		3.90
		∆P (psi)		Gmédio (g/s)		Q (cm³/s)		V (cm/s)		Re		fD		fD . Q² (cm6/s2)		fd
		16		64.33		63.89		201.73		12899.49		0.0297		121.17		0.0334
		15		61.96		61.53		194.30		12424.28		0.0300		113.47		0.0337
		14		59.55		59.14		186.73		11940.38		0.0303		105.85		0.0340
		13		57.34		56.94		179.81		11497.92		0.0306		99.08		0.0343
		12		54.96		54.57		172.33		11019.37		0.0309		91.98		0.0346
		11		52.14		51.77		163.48		10453.93		0.0313		83.88		0.0350
		10		49.74		49.40		155.98		9974.04		0.0317		77.26		0.0353
		9		46.19		45.87		144.83		9260.90		0.0323		67.85		0.0359
		8		43.48		43.18		136.35		8718.85		0.0327		61.05		0.0364
		7		40.12		39.84		125.79		8043.80		0.0334		53.02		0.0370
		6		36.39		36.14		114.11		7296.56		0.0342		44.71		0.0378
		5		32.57		32.34		102.13		6530.62		0.0352		36.82		0.0387
		4		28.23		28.03		88.52		5660.09		0.0365		28.66		0.0400
		3		22.08		21.92		69.23		4426.60		0.0388		18.64		0.0422
		2		13.98		13.88		43.83		2802.46		0.0435		8.38		0.0467
		1		3.90		3.88		12.24		782.66		0.0598		0.90		0.0624
		fd		Leq		fd*Leq		fd		Leq		fd*Leq
		0.0297		1069.17		31.74		0.0334		773.00		25.84
		0.0300		1069.17		32.04		0.0337		773.00		26.05
		0.0303		1069.17		32.36		0.0340		773.00		26.27
		0.0306		1069.17		32.67		0.0343		773.00		26.49
		0.0309		1069.17		33.02		0.0346		773.00		26.73
		0.0313		1069.17		33.46		0.0350		773.00		27.03
		0.0317		1069.17		33.85		0.0353		773.00		27.31		1		psi		6,895		Pa
		0.0323		1069.17		34.48		0.0359		773.00		27.75		6,895		Pa		68947.569999999992		dyna/cm²
		0.0327		1069.17		35.01		0.0364		773.00		28.11
		0.0334		1069.17		35.72		0.0370		773.00		28.61
		0.0342		1069.17		36.60		0.0378		773.00		29.22
		0.0352		1069.17		37.63		0.0387		773.00		29.93
		0.0365		1069.17		39.00		0.0400		773.00		30.88
		0.0388		1069.17		41.47		0.0422		773.00		32.60
		0.0435		1069.17		46.49		0.0467		773.00		36.09
		0.0598		1069.17		63.96		0.0624		773.00		48.22
		Q		fd		dp Blasius		fds		dp Srinivasan		Q (cm³/s)		Blasius 		Srinivasan 		Experimental		erro blasiu		erro srinivasan
		63.89		0.0297		1,024,246.24		0.0334		1,153,339.84		63.89		14.86		16.73		16		12.60
		61.53		0.0300		959,129.25		0.0337		1,078,535.51		61.53		13.91		15.64		15		12.45
		59.14		0.0303		894,714.29		0.0340		1,004,653.94		59.14		12.98		14.57		14		12.29
		56.94		0.0306		837,503.10		0.0343		939,137.54		56.94		12.15		13.62		13		12.14
		54.57		0.0309		777,458.03		0.0346		870,486.25		54.57		11.28		12.63		12		11.97
		51.77		0.0313		708,993.07		0.0350		792,355.57		51.77		10.28		11.49		11		11.76
		49.40		0.0317		653,021.28		0.0353		728,607.03		49.40		9.47		10.57		10		11.57
		45.87		0.0323		573,515.78		0.0359		638,266.11		45.87		8.32		9.26		9		11.29
		43.18		0.0327		516,067.17		0.0364		573,156.91		43.18		7.48		8.31		8		11.06
		39.84		0.0334		448,187.52		0.0370		496,428.88		39.84		6.50		7.20		7		10.76
		36.14		0.0342		377,885.20		0.0378		417,223.42		36.14		5.48		6.05		6		10.41
		32.34		0.0352		311,223.49		0.0387		342,402.70		32.34		4.51		4.97		5		10.02
		28.03		0.0365		242,294.58		0.0400		265,381.87		28.03		3.51		3.85		4		9.53
		21.92		0.0388		157,588.64		0.0422		171,341.55		21.92		2.29		2.49		3		8.73
		13.88		0.0435		70,810.49		0.0467		76,023.12		13.88		1.03		1.10		2		7.36
		3.88		0.0598		7,597.20		0.0624		7,922.46		3.88		0.11		0.11		1		4.28
Plan1
Plan3
Nossos Relat�rios/Pr�tica 2 - Escoamento de Fluidos em Leito Poroso/Lab - Escoamento Leito Poroso capa.docx
UFF – Universidade Federal Fluminense
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Química
Laboratório de Engenharia Química
Professora: Maria Luiza
Escoamento de Fluidos em Leitos Porosos
Daniel Machado Thomaz
Fabrício Feijó de Lima
Felipe Cardoso Chicralla
Rodrigo Martins Barbosa
Niterói, 07 de Janeiro de 2013.
Nossos Relat�rios/Pr�tica 2 - Escoamento de Fluidos em Leito Poroso/Lab - Escoamento Leito Poroso.docx
SINOPSE
Finalidade e Objetivos
	O escoamento de fluido em leitos é muito comum em aplicações industriais, como exemplo se pode citar elementos de filtração e reatores catalíticos. O objetivo desta prática é estudar na prática a perda de carga em uma coluna recheada de partículas porosas e comparar os resultados obtidos com equações propostas que se pode achar na literatura, como a equação de Ahmed & Sunada, de McDonald & all, de Ergun e de Metha. 
	Para tal, foi necessário determinar os parâmetros que caracterizam a matriz porosa (porosidade do leito, massa específica da partícula, comprimento característico da partícula, volume médio das partículas, diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula e esfericidade) e ajustar os valores obtidos no experimento frente aos modelos para depois comparar os resultados obtidos.
Descrição da Experiência
	A experiência consiste na determinação da perda de carga na coluna para diversas vazões. 
	O experimento foi realizado em uma coluna de PVC de 135,6 cm de comprimento e 3,76 cm de diâmetro, recheada com areia de granulação mesh Tyler -4 +8. A cada medição feita se anotou a temperatura para determinação de propriedades físico-químicas
necessárias. Porém, assumiu-se que esta deve ser constante ao longo da coluna. O fluido que escoa pela coluna é o ar, injetado por um pequeno compressor. 
	Através de uma válvula, localizada no compressor, se regulava as pressões desejadas. Estas eram lidas através de dois manômetros em U, um deles utilizado para medir o diferencial de pressão da coluna e, o outro, para medir a pressão no topo da mesma, com uma extremidade aberta a atmosfera. Utilizou-se água como fluido manométrico, logo, as pressões foram medidas em centímetros de coluna de água.
	Para medir a vazão, há uma espécie de bolhometro, que consistia de cortes de garrafa pet de mesmo diâmetro, com marcação de volume. Injetou-se sabão neste bolhometro e, o ar que escoou pela coluna formava bolhas de sabão. Calculou-se o tempo médio que estas bolhas percorriam determinado volume e, obteve-se assim a vazão de ar que percorreu a coluna. Realizaram-se 8 medidas de tempo para cada ΔP na coluna, sendo eles nunca inferior a 10s.
Equações Envolvidas nos Cálculos
	As equações apresentadas abaixo foram retiradas da literatura e serão posteriormente utilizadas neste relatório para se comparar os resultados obtidos através deste experimento, sendo elas:
 
	Ahmed & Sunada: 
	MacDonald & all: 
	Ergun:
	Metha: 
			onde: 
Qualidade dos Resultados Crus
	Os resultados apresentados foram satisfatórios, seguindo uma tendência de dados dentro do esperado. Para tal, algumas precauções foram tomadas, como nunca se ter um tempo de medição para cálculo de vazão inferior a 10s, uma leitura cuidadosa das réguas que marcam os diferenciais de pressão e, medição de temperatura a cada vazão calculada, para se ter uma boa correlação das propriedades físico-químicas do fluido utilizado.
Conclusão
	Pôde-se observar que se obteve um bom resultado para a perda de carga medida experimentalmente e pelas quatro equações, considerando assim o resultado dos quatro modelos plausíveis. 
	Para a medição da esfericidade, os erros podem estar principalmente na amostra recolhida de areia não tratar fielmente a esfericidade média e no desenho dos círculos necessários para este cálculo, já que foram feitos à mão, sem auxílio computacional.
Recomendações
Para a realização experiência são válidas as seguintes observações:
No bolhometro, a bolha em questão tem que ter a forma de um fino disco, sem nenhuma interferência de outras bolhas;
As leituras deverão ser feitas somente quando as pressões estiverem estabilizadas;
Em cada medição, o tempo de percurso das bolhas formadas nunca deve ser inferior a 10s;
Uma leitura cuidadosa das réguas que marcam os diferenciais de pressão;
Medição de temperatura a cada vazão calculada, para se ter uma boa correlação das propriedades físico-químicas do fluido utilizado;
Na determinação da porosidade do leito, se deve compactar melhor os grãos de areia na proveta, com o auxílio de um vibrador;
Deve-se evitar a formação de bolhas de ar na proveta;
Na determinação da esfericidade das partículas, os círculos representados sobre as projeções das partículas na folha de papel A3 para o cálculo da esfericidade das partículas não devem necessariamente ser concêntricos, apenas deve-se desenhar o maior círculo inscrito e o menor circunscrito;
Na amostragem de partículas para o cálculo da esfericidade, uma quantidade mais significativa talvez resultasse em valores mais fiéis de esfericidade, que certamente levaria a um resultado experimental mais adequado aos modelos da literatura.
INTRODUÇÃO
Finalidades e Objetivos
	O objetivo desta prática experimental é calcular a perda de carga em escoamentos em leitos porosos e comparar com os modelos propostos na literatura. 
	O escoamento de fluidos em leitos é muito comum em aplicações industriais. São exemplos de operações industriais em que há escoamento de fluidos em sólidos, a filtração, as reações catalíticas em leitos fixos, as etapas de reativação catalítica e a transferência de massa nas colunas recheadas, dentre outras. Este tipo de escoamento pode até mesmo determinar se o controle das reações químicas catalíticas é feito por difusão ou pela própria reação.
	Com a finalidade de se estudar o comportamento da perda de carga através de escoamento de ar em um meio poroso, foi feito um experimento para se obter dados e compará-los com correlações que se pode encontrar na literatura. Neste experimento, utilizaram-se as equações de Ahmed & Sunada, de McDonald & all, de Ergum e de Metha. 
	Para tal, foi necessário determinar os parâmetros que caracterizam a matriz porosa, como porosidade do leito, massa específica da partícula, comprimento característico da partícula, volume médio das partículas, diâmetro da esfera de mesmo volume que a partícula e esfericidade.
	A principal diferença entre as equações que estudaremos é que as equações de Ahmed & Sunada e a de MacDonald & all utilizam parâmetros experimentais. Já as equações de Ergun e de Metha utilizam valores fixos, que por sua vez ajustam os resultados experimentais.
RESUMO TEÓRICO
Introdução Teórica
	O escoamento de fluidos através de leitos recheados é uma prática muito comum. Um dos principais objetivos de um leito de partículas é promover o contato íntimo entre as fases envolvidas no processo. A escolha do recheio pode ser feita de forma a obter uma boa velocidade de transferência por unidade de volume da coluna, assim escolhendo um recheio que promova uma elevada área interfacial entre as fases e um alto grau de turbulência com a menor perda de carga possível. Os recheios podem ser sólidos quebrados ou de forma definida.
	As taxas de transferência de calor, massa e quantidade de movimento do fluido para as partículas sólidas e a perda de pressão no escoamento, através do leito estão relacionadas aos mecanismos físicos que regem o escoamento. Num leito compacto, a trajetória do fluxo é constituída por muitos canais irregulares que se comunicam. No escoamento, através destas passagens, a fase fluida é repetidamente acelerada e desacelerada e sofre repetidas perdas de energia cinética. Além disso, as superfícies rugosas das partículas provocam as perdas usuais por arraste e por atrito pelicular. Quanto maior a área de escoamento, menor a velocidade com que o fluido percorre o canal. O escoamento livre será mais rápido que o escoamento através de canais estreitos e paralelos, pois a queda de pressão por unidade de comprimento do leito deve ser constante, independentemente do canal que se estiver considerando. Por esta razão, a transição do escoamento laminar para o turbulento ocorrerá a uma vazão do fluido muito menor do que ocorreria nos canais estreitos. Além disso, na convergência de dois canais, haverá promoção de correntes circulantes e de turbilhões em virtude da desigualdade da velocidade nos dois. O comportamento nos leitos expandidos, ou fluidizados, será bem semelhante ao comportamento do escoamento nos leitos compactos, exceto em que as passagens do fluido estarão mais abertas e quase que continuamente interligadas.
	Um problema de modelagem da geometria de meios porosos e a influência destas propriedades no fluxo de fluidos são considerados de descrição teórica impossível. Isso ocorre, pois, como por exemplo, é impossível definir uma função que se determine as áreas superficiais das paredes em relação às coordenadas do espaço devido à irregularidade dos poros. Assim, torna-se necessário a aplicação de modelos geométricos simplificados.
	Existem numerosas investigações sobre fluxos através de leitos, compreendendo duas teorias principais, o modelo discreto de partícula e a analogia do fluxo em tubos. Ambas as teorias deram predições razoáveis da queda de pressão através de leitos de partículas esféricas e próximas a esféricas, mas são inadequadas para leitos com partículas diferentes de esferas. A queda de pressão através do leito é devida não somente
à resistência de fricção na superfície da partícula, mas também à expansão e à contração através dos interstícios entre as partículas.
Correlações Experimentais
	Devido aos diversos arranjos possíveis de materiais no leito e aos diferentes regimes de escoamento, torna-se necessário o desenvolvimento de expressões que permitam prever a queda de pressão em leitos porosos, causada pela resistência ao escoamento imposta pela presença das partículas. Em função dessa diversidade de situações operacionais, torna-se difícil a determinação de uma correlação geral que possa atender a todos estes casos. 
	Darcy foi um dos primeiros a correlacionar P e vazão para fluidos incompressíveis. Ele considerou o recheio como uma estrutura porosa, fornecendo uma área superficial muito maior por volume de leito. A partir disto, pôde-se verificar a existência da porosidade (), ou seja, a razão volume de leito não ocupado / material sólido.
	Os recheios das colunas podem ser esferas, cilindros, além de vários tipos de outros recheios comerciais. Será, no entanto assumido que todo o recheio é uniforme, e que o diâmetro das partículas do recheio, além de ser constante, é pequeno em comparação ao diâmetro da coluna.
Fazendo-se, portanto, uma análise das variáveis envolvidas neste fenômeno, pode-se propor:
 (1)
Onde,
	Dp = diâmetro equivalente da partícula
	vo = Velocidade superficial (velocidade linear média que o fluido teria se a coluna não fosse recheada)
	L = Comprimento da coluna recheada.
	f = fator de atrito
	O fator de atrito pode ser determinado para escoamento laminar, considerando um leito recheado como um tubo de seção circular com raio “R”. A velocidade média neste tipo de escoamento pode ser avaliada segundo a equação de Hagen-Poiseuille:
 (2)
	Da mesma forma, o raio pode ser expresso em termos da porosidade () e da área (a) por unidade de volume do leito:
 (3)
 
	A área (a) é relacionada com a área específica (as) que é área total das partículas, da seguinte forma: 
 (4)
 
onde a área específica é definida em relação ao diâmetro da partícula (Dp):
 (5)
	Esta definição do diâmetro de partícula é viável, uma vez que, para a esfera teremos o diâmetro da partícula sendo igual ao diâmetro da esfera. 
	Como na engenharia a velocidade superficial vo é de maior utilidade que o valor médio da velocidade nos interstícios <v> a seguinte relação se faz necessária:
 (6)
 
	Se combinarmos as equações anteriores com a equação de Hagen-Poiseuille, obteremos:
 (7)
onde o fator de atrito é:
 (8)
	Neste desenvolvimento uma suposição feita é que o caminho percorrido pelo fluido, através do leito, tem comprimento L. No entanto, pode-se evidenciar que o fluido passa por caminhos mais tortuosos do que o considerado teoricamente, sendo assim, o comprimento percorrido pode ser até 50% maior que o comprimento L. 
	Dados experimentais indicam que esta fórmula teórica pode ser melhorada se o valor 2 no denominador, do lado direito da equação (7), for mudado para um valor entre 4 e 5. A análise de um grande número de resultados experimentais indica um valor de 25/6, que foi utilizado aqui. Fazendo-se então a correção, temos:
 (9)
	Esta equação foi obtida por Blake-Kozeny. Ela fornece bons resultados para porosidades inferiores a 0,5 e é válida apenas na região de escoamento laminar, dada por:
 (10)
 
 	Este mesmo tratamento pode ser dado para um escoamento plenamente turbulento em colunas recheadas.
 (11)
 	
	Neste caso, o fator de atrito é função apenas da rugosidade.
	Se fizermos uma suposição de que todas as colunas recheadas têm as mesmas características de rugosidade, um único fator de atrito f pode ser usado para o escoamento turbulento.
	Sabendo-se que D = 4R, substituiremos nas equações anteriores:
 (12)
	Para um determinado tipo de coluna, dados experimentais indicam que 6f=3.50. Portanto:
 (13)
	Esta é a equação de Burke-Plummer e é válida para:
 (14)
 
	Equação geral para regime laminar e turbulento:
 (15)
 
	Esta última equação foi obtida por Ergun. Ela tem sido aplicada, com sucesso, para gases usando a densidade do gás na média aritmética das pressões finais. 
	Observa-se que para baixas velocidades de escoamento o segundo termo do lado direito da equação anterior pode ser desconsiderado obtendo-se a equação de Blake-Kozeny. Enquanto que para velocidades de escoamento altas, o primeiro termo se torna insignificante, reduzindo a mesma para a equação de Burke-Plummer. 
	A equação de Ergun serviu de base para outras seguintes equações: 
	Ahmed & Sunada: 
 (16)
	MacDonald & all:
 (17)
	Os parâmetros e são determinados experimentalmente e englobam os parâmetros d, e esfericidade da partícula (), apresentando bom desempenho.
	Os parâmetros A e B são determinados a partir de e .
	Metha considerou que o efeito das partículas próximas à parede da coluna recheada, não se agrupam tão fortemente como no centro do leito, fazendo com que a resistência ao fluxo em uma coluna de pequeno diâmetro seja menor do que em um recipiente infinito, para uma mesma vazão, através do fator corretivo M. 
 (18)
onde: 
	Para determinar a importância do efeito da parede, em colunas recheadas, Metha e Hawley realizaram experiências tomando por base a razão Dc/d. Estas experiências mostraram que para determinados valores desta razão (Dc/d > 50), o efeito em questão é negligenciável, ou seja, M = 1 e a equação de Metha se transforma na equação de Ergun. No entanto, à medida que esta razão diminui, haverá menor compactação no leito e o efeito da parede aumenta.
PARTE EXPERIMENTAL
Materiais e Equipamentos
Determinação da vazão e da queda de pressão na coluna:
Ar (fluido de processo);
Água (fluido manométrico);
Solução de água e detergente (formador de bolhas para medição do ar carregado, ou seja, para medição de vazão volumétrica);
Areia da praia de Itaipuaçu: -4+8 Mesh Tyler (recheio da coluna);
Mangueiras para conexão dos manômetros às colunas;
2 Cronômetros;
Termômetro graduado com precisão de 0,1ºC;
1 Compressor PRIMAR, 110 V, 0,25 CV, com válvula reguladora de pressão;
1 Tubo de PVC (coluna recheada);
2 tubos de vidro em U (manômetros);
Garrafas (PET) cortadas e acopladas umas as outras de modo a constituir um tubo único, utilizado como aparelho medidor de vazão volumétrica.
Determinação da Porosidade do Leito:
Água destilada;
Areia da praia de Itapuaçu: -4+8 Mesh Tyler;
Proveta de 500 mL;
Vibrador “Hamilton Beach”, Type K Vibrator, 115 V, 25 W;
Balança com precisão de 0,05g;
Termômetro graduado com precisão de 0,1ºC;
Vidro de relógio.
Determinação do Diâmetro Característico do Leito:
Areia da praia de Itapuaçu: -4+8 Mesh Tyler;
Retroprojetor;
Papel A3.
Descrição da Instalação
Figura 1 - Esquema da instalação utilizada na determinação da perda de carga da coluna recheada.
	O experimento consiste na introdução de ar em uma coluna de PVC (comprimento = 135,6 cm e diâmetro=3,76 cm) recheada de areia da praia de Itapuaçu (-4+8 Mesh Tyler), utilizando-se um compressor. 
	O ar deixa o topo da coluna e passa pelo medidor de vazão, isto é, o tubo feito com garrafas PET. Na base deste tubo se borrifa uma solução de detergente e água. O ar encontra essa solução e forma bolhas. Através da visualização destas bolhas é possível calcular o volume deslocado.
	A pressão na coluna pode ser variada com auxílio da válvula acoplada ao compressor.
Para medir esta variação de pressão existem dois manômetros em “U”. Um manômetro mede o diferencial de pressão ao longo da coluna e o outro mede a pressão no topo da coluna. A leitura da pressão manômetro é feita em coluna d’água (cm).
Procedimento Experimental
Escoamento de Ar na Coluna Recheada
	Primeiramente fez-se um ajuste da pressão para o maior valor possível ao se ligar o compressor. Registraram-se as pressões indicadas nos manômetros de colunas de água, de pressão diferencial ao longo da coluna e do topo da mesma.
	A seguir, pressionou-se um pouco o frasco de detergente na base do medidor de vazão do tipo bolha de sabão, umedeceu-se a coluna e aguardou-se até que se formassem bolhas únicas cujo deslocamento pudesse ser bem acompanhado visualmente, não permitindo que bolhas se acumulassem no interior da coluna. Neste momento foi verificado dificuldade em se obter bolhas perfeitas. Em alguns momentos foi necessário limpar o tubo de garrafas PET (medidor de vazão) para eliminar o acúmulo de bolhas múltiplas.
	Para volumes estabelecidos, foram feitas medidas de tempos gastos pelas bolhas para percorrê-los a 13 determinadas condições de pressão na coluna. Anotaram-se as pressões, o volume e o tempo para cada medida. Nas medições subsequentes diminuía-se a vazão de ar, de modo que a variação da pressão ao longo da coluna e a pressão do topo da coluna diminuíssem de 6 em 6 cm de coluna d`água no total. Garantiu-se um volume mínimo para que o tempo de escoamento não fosse menor do que 10 segundos, o que poderia introduzir erros significativos aos dados.
Determinação da Porosidade do Leito
	Encheu-se totalmente com areia uma proveta de 500 mL e agitou-se com um vibrador em contato com as paredes da mesma para compactação dos grãos. O conjunto foi pesado, e então, encheu-se a proveta com água para que a mesma ocupasse o volume de vazios entre as partículas de areia dentro da proveta. Com auxílio de um termômetro mediu-se a temperatura da água e novamente o conjunto proveta + areia + água foi pesado. Por diferença determinou-se a massa de água que preenchia os vazios, podendo assim calcular a porosidade do leito.
Determinação do Diâmetro Característico da Partícula de Areia
	Para se determinar o diâmetro característico da partícula foram escolhidos aleatoriamente 50 grãos de areia, os quais foram projetados, através do uso de um retroprojetor, numa folha de papel A3 presa na parede. As projeções de todas as partículas foram delimitadas na folha e, posteriormente, com o auxílio de um compasso, desenhou-se o maior círculo inscrito e o menor círculo circunscrito para cada partícula projetada. Assim foi possível determinar a esfericidade.
APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Apresentação e Discussão dos Resultados
Pressões na coluna	
	As leituras obtidas nos manômetros, relacionados com as pressões da coluna estão na Tabela 1.
Tabela 1: Perfis de pressão na coluna.
		 
		P na coluna
		Pressão no topo da coluna
		Medições
		-
		+
		P
(cm água)
		-
		+
		Ptopo
(cm água)
		1
		-10,0
		75,3
		85,3
		15,5
		136,2
		120,7
		2
		-6,5
		72,5
		79,0
		19,5
		132,0
		112,5
		3
		-3,5
		69,0
		72,5
		24,0
		127,5
		103,5
		4
		0,0
		66,0
		66,0
		29,0
		122,5
		93,5
		5
		3,0
		63,0
		60,0
		33,0
		118,0
		85,0
		6
		6,0
		60,0
		54,0
		37,5
		113,5
		76,0
		7
		9,0
		57,0
		48,0
		41,5
		109,5
		68,0
		8
		14,0
		53,0
		39,0
		47,5
		113,0
		65,5
		9
		18,0
		50,0
		32,0
		52,5
		97,5
		45,0
		10
		22,0
		47,0
		25,0
		57,5
		92,5
		35,0
		11
		26,5
		44,0
		17,5
		62,5
		87,5
		25,0
		12
		30,5
		41,0
		10,5
		67,5
		82,5
		15,0
		13
		35,5
		37,5
		2,0
		73,0
		76,5
		3,5
	
Medidas de vazão
	As medições de tempo gasto para a bolha percorrer um volume conhecido e este volume estão na Tabela 2. Nesta mesma tabela, estão os valores de vazão volumétrica, segundo a seguinte equação:
onde tmed é a média dos oito valores medidos.
Tabela 2: Cálculo do tempo médio e da vazão.
		Medição
		Volume (L)
		T (ºC)
		Tempo gasto pela bolha (s)
		Média (s)
		Q (L/s)
		1
		6
		27
		10,44
		10,56
		10,43
		10,94
		10,78
		10,66
		10,75
		10,75
		10,66
		0,56
		2
		6
		28
		11,25
		11,28
		11,28
		11,25
		11,06
		11,16
		11,25
		11,22
		11,22
		0,53
		3
		6
		28
		12,04
		11,75
		12,03
		11,91
		11,85
		11,84
		11,93
		11,79
		11,89
		0,50
		4
		5
		28
		10,72
		10,72
		10,74
		10,53
		10,69
		10,93
		10,69
		10,95
		10,75
		0,47
		5
		5
		28
		11,31
		11,53
		11,32
		11,38
		11,44
		11,41
		11,26
		11,43
		11,39
		0,44
		6
		5
		27
		12,34
		12,16
		12,42
		12,25
		12,28
		12,22
		12,42
		12,16
		12,28
		0,41
		7
		4
		27
		10,85
		10,75
		10,94
		10,88
		10,97
		10,72
		10,95
		10,60
		10,83
		0,37
		8
		4
		27
		12,29
		12,40
		12,37
		12,40
		12,52
		12,22
		12,50
		12,28
		12,37
		0,32
		9
		3
		27
		10,69
		11,15
		10,75
		10,82
		11,03
		11,03
		10,78
		10,92
		10,90
		0,28
		10
		3
		27
		12,97
		12,50
		12,72
		12,78
		12,81
		12,78
		12,93
		12,84
		12,79
		0,23
		11
		2
		27
		11,03
		10,78
		10,66
		10,53
		10,47
		10,97
		10,66
		10,72
		10,73
		0,19
		12
		2
		27
		16,40
		16,13
		15,78
		15,93
		15,75
		15,86
		15,85
		15,93
		15,95
		0,13
		13
		1
		26
		31,05
		31,81
		31,53
		30,97
		31,16
		30,53
		31,13
		30,93
		31,14
		0,03
Porosidade do meio
	Para a determinação da porosidade do meio, calculou-se a massa de água que completava a proveta cheia de grãos de areia, conforme a Tabela 3. Nessa tabela, também está a massa específica da água na temperatura de 26ºC, valor medido no momento da experiência. 
Tabela 3: Valores usados para a determinação da porosidade do meio.
		Massa da proveta vazia (g)
		124,26
		Massa da proveta + areia (g)
		1036,33
		Massa da proveta + areia + água (g)
		1185,24
		Massa de água (g)
		148,91
		Volume da proveta (mL)
		500,00
		Massa específica da água a 26ºC (g/mL)
		0,996674
	A partir desses valores, podemos calcular o volume de água e, com isso, calculas a porosidade do leito.
	O volume de água é dado por:
	
	A porosidade é dada por:
Massa específica das partículas
	Para o cálculo da massa específica das partículas, usaremos os valores já apresentados na Tabela 3 para calcular a massa de areia na proveta e o volume que esta ocupa.
Tabela 4: Massa e volume das partículas.
		Massa de areia (g)
		1036,33 - 124,26 = 912,07
		Volume de areia (mL)
		500,00 – 149,41 = 350,59
	Portanto, a massa específica das partículas de areia do leito poroso é dada por:
Comprimento característico da partícula 
Volume médio da partícula
	O volume médio da partícula é dado pela equação abaixo:
	Os valores de massa de uma partícula são dados pelo valor médio entre a massa de 50 partículas, pesadas durante o experimento. Tais valores estão na Tabela 5.
Tabela 5: Dados para determinação do volume médio de uma partícula.
		Massa do vidro de relógio (g)
		29,39
		Massa do vidro de relógio + 50
grãos (g)
		36,64
		Massa de 50 grãos (g)
		7,25
		Massa de 1 grão (g)
		0,145
	Assim, o volume médio é determinado:
Diâmetro da esfera de mesmo volume
	O diâmetro da esfera de mesmo volume é dado pela seguinte equação:
Esfericidade
	Para determinar a esfericidade (ϕ), será calculado o fator de forma associado às partículas (ϕ*), considerando esses dois valores aproximadamente iguais.
Para o cálculo do fator de forma, tem-se a seguinte relação:
Onde:
dci é o diâmetro do maior círculo inscrito na partícula em uma escala qualquer, desde que seja a mesma do diâmetro circunscrito;
dcc é o diâmetro do menor círculo circunscrito.
	A Tabela 6 apresenta os valores dos diâmetros medidos e o valor da esfericidade para cada grão.
Tabela 6: Esfericidade para cada grão.
		Grão
		dci (cm)
		dcc (cm)
		φ*
		Grão
		dci (cm)
		dcc (cm)
		φ*
		1
		1,40
		2,20
		0,6364
		26
		1,70
		2,35
		0,7234
		2
		1,20
		2,45
		0,4898
		27
		1,25
		2,40
		0,5208
		3
		0,90
		1,45
		0,6207
		28
		1,10
		2,40
		0,4583
		4
		1,45
		2,40
		0,6042
		29
		1,35
		2,60
		0,5192
		5
		1,60
		2,15
		0,7442
		30
		1,80
		2,55
		0,7059
		6
		1,50
		2,65
		0,5660
		31
		1,65
		3,10
		0,5323
		7
		1,60
		2,10
		0,7619
		32
		1,80
		2,40
		0,7500
		8
		1,45
		2,60
		0,5577
		33
		1,20
		2,10
		0,5714
		9
		1,25
		2,00
		0,6250
		34
		1,05
		2,15
		0,4884
		10
		1,05
		1,55
		0,6774
		35
		0,95
		2,30
		0,4130
		11
		1,60
		2,35
		0,6809
		36
		0,75
		1,25
		0,6000
		12
		1,45
		2,15
		0,6744
		37
		1,30
		2,15
		0,6047
		13
		1,20
		2,30
		0,5217
		38
		1,25
		2,20
		0,5682
		14
		1,40
		1,95
		0,7179
		39
		1,30
		2,45
		0,5306
		15
		1,30
		1,65
		0,7879
		40
		1,15
		2,75
		0,4182
		16
		1,70
		2,10
		0,8095
		41
		1,10
		1,90
		0,5789
		17
		1,60
		2,85
		0,5614
		42
		1,30
		2,30
		0,5652
		18
		1,70
		2,00
		0,8500
		43
		1,40
		1,80
		0,7778
		19
		1,00
		1,50
		0,6667
		44
		0,60
		1,35
		0,4444
		20
		1,30
		2,15
		0,6047
		45
		1,20
		2,75
		0,4364
		21
		1,55
		2,00
		0,7750
		46
		1,30
		3,00
		0,4333
		22
		1,35
		2,00
		0,6750
		47
		1,45
		2,05
		0,7073
		23
		1,55
		2,40
		0,6458
		48
		1,70
		2,20
		0,7727
		24
		1,45
		1,90
		0,7632
		49
		1,45
		2,20
		0,6591
		25
		0,90
		1,50
		0,6000
		50
		1,50
		2,10
		0,7143
	
	A partir dos valores acima, temos que o valor médio é Φmédio = 0,6222.
Comprimento característico da partícula
	A partir dos valores obtidos acima, podemos agora determinar o diâmetro característico da partícula, conforme a relação abaixo:
Vazão Volumétrica e Velocidade de Escoamento Médias
	Os valores de vazão volumétrica podem variar com a pressão e com a temperatura ao longo da coluna. Para o caso deste experimento, considera-se a temperatura constante no comprimento da coluna, variando somente a pressão. A vazão calculada anteriormente está na base da pressão atmosférica. Então, para calcular a vazão média do ar na coluna é necessário calcular a pressão média pela seguinte forma:
	Obtendo-se a pressão média, pode-se obter a vazão média através da seguinte correlação:
	Assim, calcula-se a velocidade média do ar na coluna pela seguinte forma:
onde A é a área da seção transversal da coluna e Dc é o diâmetro da coluna. 	Assim, se obtém:
	O valor da massa específica do ar também é um importante parâmetro presente nas equações de escoamento. Este valor varia com a pressão. Portanto, tendo o valor da pressão média em cada caso, podem-se relacionar essas grandezas da seguinte forma:
	O valor de varia com a temperatura e está demonstrado na Tabela 7 abaixo:
Tabela 7: Massa específica do ar.
		Temperatura (ºC)
		ρ (kg/m³)
		26
		1,1804
		27
		1,1765
		28
		1,1725
Na Tabela 8, encontram-se todos os valores pertinentes já na condição de pressão média.
Tabela 8: Valores na condição de pressão média.
		Medições
		Ptopo (Pa)
		ΔP (Pa)
		Pmédio (Pa)
		Qmédia (m³/s)
		vmédia (m/s)
		ρmédio (kg/m³)
		μ (Pa.s)
		1
		11824,9
		8356,8
		117303,3
		4,86E-04
		4,38E-01
		1,3624
		1,90E-05
		2
		11021,6
		7739,6
		116191,4
		4,66E-04
		4,20E-01
		1,3449
		1,90E-05
		3
		10139,9
		7102,8
		114991,3
		4,44E-04
		4,00E-01
		1,3310
		1,90E-05
		4
		9160,2
		6466,0
		113693,2
		4,15E-04
		3,73E-01
		1,3159
		1,90E-05
		5
		8327,4
		5878,2
		112566,5
		3,95E-04
		3,56E-01
		1,3029
		1,90E-05
		6
		7445,7
		5290,4
		111390,9
		3,70E-04
		3,33E-01
		1,2937
		1,90E-05
		7
		6661,9
		4702,5
		110313,2
		3,39E-04
		3,05E-01
		1,2812
		1,90E-05
		8
		6417,0
		3820,8
		109627,4
		2,99E-04
		2,69E-01
		1,2732
		1,90E-05
		9
		4408,6
		3135,0
		107276,1
		2,60E-04
		2,34E-01
		1,2459
		1,90E-05
		10
		3428,9
		2449,2
		105953,6
		2,24E-04
		2,02E-01
		1,2305
		1,90E-05
		11
		2449,2
		1714,5
		104606,5
		1,81E-04
		1,63E-01
		1,2149
		1,90E-05
		12
		1469,5
		1028,7
		103283,9
		1,23E-04
		1,11E-01
		1,1995
		1,90E-05
		13
		342,9
		195,9
		101740,9
		3,20E-05
		2,88E-02
		1,1855
		1,90E-05
Tratamento Estatístico e Qualidade dos Resultados
Para uma verificação da qualidade dos resultados obtidos durante o ensaio, faz-se necessário o uso de tratamento estatístico. Será utilizado, então, o desvio padrão. O desvio padrão é uma medida do grau de dispersão dos valores em relação ao valor médio. Com seu valor, pode-se observar o quanto a variação da amostra está variando em relação à média. O cálculo do desvio padrão é expresso da seguinte fórmula.
Para verificação da qualidade do resultado, será usado o desvio padrão relativo na forma de percentual, cujo cálculo é descrito abaixo:
Foram analisadas as medidas de tempo realizadas no medidor de bolhas. A seguir a tabela com o tratamento estatístico:
Tabela 9: Tratamento estatístico dos dados de tempo do medidor de bolhas.
		Tempo gasto pela bolha (s)
		Média (s)
		Desvio 
Padrão (s)
		Desvio Padrão 
Relativo
		10,44
		10,56
		10,43
		10,94
		10,78
		10,66
		10,75
		10,75
		10,66
		0,18
		1,66%
		11,25
		11,28
		11,28
		11,25
		11,06
		11,16
		11,25
		11,22
		11,22
		0,07
		0,67%
		12,04
		11,75
		12,03
		11,91
		11,85
		11,84
		11,93
		11,79
		11,89
		0,11
		0,89%
		10,72
		10,72
		10,74
		10,53
		10,69
		10,93
		10,69
		10,95
		10,75
		0,14
		1,27%
		11,31
		11,53
		11,32
		11,38
		11,44
		11,41
		11,26
		11,43
		11,39
		0,09
		0,76%
		12,34
		12,16
		12,42
		12,25
		12,28
		12,22
		12,42
		12,16
		12,28
		0,10
		0,85%
		10,85
		10,75
		10,94
		10,88
		10,97
		10,72
		10,95
		10,60
		10,83
		0,13
		1,21%
		12,29
		12,40
12,37
		12,40
		12,52
		12,22
		12,50
		12,28
		12,37
		0,11
		0,85%
		10,69
		11,15
		10,75
		10,82
		11,03
		11,03
		10,78
		10,92
		10,90
		0,16
		1,49%
		12,97
		12,50
		12,72
		12,78
		12,81
		12,78
		12,93
		12,84
		12,79
		0,14
		1,12%
		11,03
		10,78
		10,66
		10,53
		10,47
		10,97
		10,66
		10,72
		10,73
		0,20
		1,82%
		16,40
		16,13
		15,78
		15,93
		15,75
		15,86
		15,85
		15,93
		15,95
		0,21
		1,35%
		31,05
		31,81
		31,53
		30,97
		31,16
		30,53
		31,13
		30,93
		31,14
		0,39
		1,25%
Como pôde ser observado, todos os desvios padrões relativos apresentados foram baixos (abaixo de 2%), validando, assim, a qualidade dos resultados.
Verificação do Modelo Usado
A fim de verificar os modelos propostos, será linearizada a equação do referido modelo e realizado o ajuste da melhor reta para, enfim, calcular os parâmetros dos modelos e poder compará-los aos dados experimentais.
Equação de Ahmed & Sunada
	
.L 
(coeficiente angular)
.
.L
(coeficiente linear)
.v
médio
Tabela 10: Tabela para montagem do gráfico para linearização a fim de encontrar os parâmetros de Ahmed & Sunada.
		ΔP (Pa)
		vmédia (m/s)
		ρmédio (kg/m³)
		vmédia.ρmédio (kg/m².s)
		ΔP/vmédia (Pa.s/m)
		8356,8
		4,38E-01
		1,3624
		0,5962
		1,91E+04
		7739,6
		4,20E-01
		1,3449
		0,5647
		1,84E+04
		7102,8
		4,00E-01
		1,3310
		0,5328
		1,77E+04
		6466,0
		3,73E-01
		1,3159
		0,4913
		1,73E+04
		5878,2
		3,56E-01
		1,3029
		0,4638
		1,65E+04
		5290,4
		3,33E-01
		1,2937
		0,4314
		1,59E+04
		4702,5
		3,05E-01
		1,2812
		0,3913
		1,54E+04
		3820,8
		2,69E-01
		1,2732
		0,3426
		1,42E+04
		3135,0
		2,34E-01
		1,2459
		0,2917
		1,34E+04
		2449,2
		2,02E-01
		1,2305
		0,2485
		1,21E+04
		1714,5
		1,63E-01
		1,2149
		0,1975
		1,05E+04
		1028,7
		1,11E-01
		1,1995
		0,1328
		9,29E+03
		195,9
		2,88E-02
		1,1855
		0,0341
		6,80E+03
Figura 2: Gráfico para cálculo dos parâmetros de Ahmed & Sunada.
	Conhecendo o comprimento da coluna é L = 135,6 cm e a viscosidade dinâmica do ar de 1,9. 10-5 kg/m.s, calcula-se α e β com base na equação da reta com a regressão linear calculada no gráfico anterior:
 m-1
 m-2
A equação de Ahmed & Sunada fica então:
Equação de MacDonald & all:
	Comparando com a equação de Ahmed & Sunada: 
	Sabendo que ε é igual a 0,2988, d igual a 0,295 cm e α é 2,53x108 m-2, logo A é:
 	Fazendo o mesmo para B:
	Por haver relação do α e β com A e B, as equações ficam iguais, mas neste caso há a vantagem da relação da porosidade do leito e do diâmetro da partícula co a variação da pressão na coluna.
Equação de Ergun
	Na equação de Ergun, não há necessidade de linearização para o cálculo dos parâmetros, pois, neste caso, eles são fixos. Portanto a equação fica:
Equação de Metha
Onde:
	Igualmente a equação anterior, não há a necessidade de linearizar para encontrar os parâmetros:
O parâmetro M diferencia está equação para a de Ergun. Isto ocorre para considerar o efeito da parede. Metha afirmou que esta correlação é especialmente importante para relações do diâmetro da coluna com o diâmetro da partícula menores que 50.
	No caso deste experimento a relação entre esses diâmetro (φ) é de:
	Logo, neste caso, seria apropriado utilizar este fator M.
 Comparação dos Resultados
Tabela 11: Perda de carga para as diversas equações utilizadas.
		vmédia (m/s)
		ρmédio (kg/m³)
		vmédia.ρmédio (kg/m².s)
		Experimental 
ΔP (Pa)
		Ahmed & Sunada 
ΔP (Pa)
		MacDonald & all 
ΔP (Pa)
		Ergun 
ΔP (Pa)
		Metha 
ΔP (Pa)
		0,4376
		1,3624
		0,5962
		8356,8069
		8489,0
		8489,0
		9101,5
		10067,8
		0,4199
		1,3449
		0,5647
		7739,5984
		7861,4
		7861,4
		8455,1
		9361,6
		0,4003
		1,3310
		0,5328
		7102,7960
		7216,8
		7216,8
		7788,5
		8632,4
		0,3734
		1,3159
		0,4913
		6465,9936
		6397,4
		6397,4
		6937,6
		7700,4
		0,3559
		1,3029
		0,4638
		5878,1760
		5887,1
		5887,1
		6406,5
		7118,2
		0,3334
		1,2937
		0,4314
		5290,3584
		5281,9
		5281,9
		5773,4
		6423,1
		0,3054
		1,2812
		0,3913
		4702,5408
		4572,9
		4572,9
		5028,5
		5604,2
		0,2690
		1,2732
		0,3426
		3820,8144
		3745,8
		3745,8
		4153,1
		4639,6
		0,2341
		1,2459
		0,2917
		3135,0272
		3002,9
		3002,9
		3362,7
		3767,4
		0,2019
		1,2305
		0,2485
		2449,2400
		2401,5
		2401,5
		2715,8
		3051,0
		0,1626
		1,2149
		0,1975
		1714,4680
		1754,6
		1754,6
		2011,4
		2268,3
		0,1107
		1,1995
		0,1328
		1028,6808
		1040,2
		1040,2
		1218,3
		1381,9
		0,0288
		1,1855
		0,0341
		195,9392
		209,1
		209,1
		256,7
		294,8
Figura 3: Comparação gráfica entre as equações usadas e os dados experimentais.
	Pode se observar que as equações de Ahmed & Sunada e MacDonald & all têm um erro menor em relação ao valor medido experimentalmente. Isso ocorre, pois para o cálculo dos parâmetros destas equações (α, β, a e b) foi necessário utilizar os dados experimentais obtidos.
	Comparando a equação de Ergun e Mehta pode-se ver que a segunda possui um maior erro relativo. Isso mostra que a utilização do fator M para inclusão do efeito da parede não foi adequada para este caso, apesar da razão evidenciada indicar que seria aconselhável. 
	Além disso, percebe-se que para velocidades médias baixas, todas as equações ficam muito próximas do valor encontrado experimentalmente. 
CONCLUSÕES
	Foi observado um bom resultado para a perda de carga com as quatro equações, especialmente para pequenas velocidades médias. Com as equações de Ahmed & Sunada e MacDonald & all foi encontrado um erro menor em relação ao valor medido experimentalmente, uma vez que para o cálculo dos parâmetros destas equações (α, β, a e b) foi necessário utilizar os dados experimentais obtidos.
	A equação de Metha foi a que obteve um maior erro em relação ao valor obtido experimentalmente, pois há um fator de correção de efeito da parede, fazendo distanciar-se um pouco mais do valor experimental.
	Além disso, a experiência está muito sujeita a possíveis erros de medição, uma vez que, além de terem sido feitas várias pesagens, as marcações no bolhometro que indicavam o volume de gás deslocado não eram muito específicas, dando margem para possíveis erros na marcação dos tempos. Outro problema é quanto à avaliação da esfericidade das partículas de areia. O método de traçar círculos inscritos e circunscritos é impreciso, especialmente quando esses círculos são traçados a mão, sem auxílio computacional. Esse valor impacta diretamente todos os resultados seguintes. Além disso, a amostra de 50 grãos de areia pode não ser representativa das partículas do meio, ainda que tenham sido escolhidas aleatoriamente
 RECOMENDAÇÕES
Para a realização experiência são válidas as seguintes observações:
No bolhometro, a bolha em questão tem que ter a forma de um fino disco, sem nenhuma interferência de outras bolhas;
As leituras deverão ser feitas somente quando as pressões estiverem estabilizadas;
Em cada medição, o tempo de percurso