derivadas! (definições e exercicio)

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Suma´rio
1 Uma revisa˜o de derivadas 2
1.1 Ca´lculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Derivada da Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Derivada do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Derivada do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Derivada da Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Exercı´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1
Capı´tulo 1
Uma revisa˜o de derivadas
1.1 Ca´lculo de derivadas
Nesta aula, estudaremos de forma sistema´tica as derivadas de func¸o˜es como poteˆncia, polino-
miais e trigonome´tricas. Estudaremos tambe´m regras gerais para obter a derivada da soma,
produto e quociente de duas ou mais func¸o˜es. Por fim, estudaremos a regra da cadeia, que
permite encontrar a derivada de uma func¸a˜o que e´ a composic¸a˜o de duas func¸o˜es.
1.1.1 Derivada da Soma
Sejam f e gduas func¸o˜es definidas emum intervalo aberto I. Se as duas func¸o˜es foremderiva´veis
em x0 ∈ I, enta˜o a func¸a˜o soma f + g e´ deriva´vel em x0 e vale que
( f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0)
1.1.2 Derivada do Produto
Sejam f e gduas func¸o˜es definidas emum intervalo aberto I. Se as duas func¸o˜es foremderiva´veis
em x0 ∈ I, enta˜o a func¸a˜o produto f g e´ deriva´vel em x0 e vale que
( f g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f (x0)g′(x0)
1.1.3 Derivada do Quociente
Sejam f e gduas func¸o˜es definidas emum intervalo aberto I. Se as duas func¸o˜es foremderiva´veis
em x0 ∈ I, enta˜o a func¸a˜o quociente
(
f
g
)
e´ deriva´vel em x0 e vale que
(
f
g
)′
(x0) =
f ′(x0)g(x0) − f (x0)g′(x0)
g2(x0)
2
CAPI´TULO 1. UMA REVISA˜O DE DERIVADAS 3
1.1.4 Derivada da Poteˆncia
A func¸a˜o f (x) = xn e´ deriva´vel para todo x ∈ R se n ≥ 0 e deriva´vel para x ∈ R∗ se n < 0. Nos
dois casos
f ′(x) = (xn)′ = nxn−1
1.2 Exercı´cios
1) Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) 3x3
(b) 2x2 + x
(c) 2x−3
(d)
x√
x
(e) (x2 + 3)(x + 1)
(f)
√
x(x − a)
(g) x
3
2 =
x2√
x
(h)
x2 + 1
x − 1
(i)
x3 + 2x2
x2 + 1
(j)
x + 2√
x
2) Demonstre que:
( f g)′′ = f ′′g + 2 f ′g′ + f g′′.
3) Demonstre que:
( f gh)′ = f ′gh + f g′h + f gh′.
1.2.1 Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Proposic¸a˜o 1 Se f (x) = senx enta˜o f ′(x) = cosx.
Proposic¸a˜o 2 Se f (x) = cosx enta˜o f ′(x) = −senx.
1.3 Exercı´cios
4) Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) secx
(b) cosecx
(c) cotgx
(d) x senx
5) Seja f (x) = senx. Calcule f (50)(x).
CAPI´TULO 1. UMA REVISA˜O DE DERIVADAS 4
1.4 Regra da cadeia
Sejam f e g func¸o˜es reais tais que a imagem de g esta´ contida no domı´nio de f . Se g e´ deriva´vel
em x0 e f e´ deriva´vel em g(x0) enta˜o f ◦ g e´ deriva´vel em x0 e
( f ◦ g)′(x0) = f ′(g(x0))g′(x0)
1.5 Exercı´cio
1) Calcule a derivada das func¸o˜es:
(a) (x2 + 1)100
(b) (x3 + 2x)3
(c)
√
x2 + 1
(d)
√
x4 + 1