Fórmula de Feynman e Kac na Econofísica

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Introdução à Econofísica
Aula 20b
Fórmula de Feynman e Kac
Na aula 19, passamos a descrever o movimento browniano como aquele que é
descrito pela equação diferencial estocástica dada por:
dY (t) = µdt+ σdW (t) . (1)
No entanto, na aula 4, estabelecemos o movimento browniano como aquele que
satisfaz a equação de Fokker-Planck:
∂u (x, t)
∂t
+ µ
∂u (x, t)
∂x
− σ
2
2
∂2u (x, t)
∂x2
= 0. (2)
Qual a conexão entre essas duas descrições? A fórmula de Feynman e Kac re-
sponde essa pergunta. Suponhamos que
p (y, T ) = f (y)
em um instante posterior T ao instante atual t. Seja o valor atual conhecido:
Y (t) = y.
Usando o lema de Ito, calculemos:
dp (Y, t) = dt
∂p (Y, t)
∂t
+ µ
∂p (Y, t)
∂Y
+
σ2
2
∂2p (Y, t)
∂Y 2

+ σ
∂p (Y, t)
∂Y
dW.
Suponhamos que
∂p (y, t)
∂t
+ µ
∂p (y, t)
∂y
+
σ2
2
∂2p (y, t)
∂y2
= 0, (3)
então:
dp (Y, t) = σ
∂p (Y, t)
∂Y
dW.
Podemos integrar:
p (Y (T ) , T ) = p (x, t) + σ
ˆ W (T )
W (t)
∂p (Y (s) , s)
∂Y (s)
dW (s) .
1
Tomando o valor esperado, obtemos:
〈p (Y (T ) , T )〉 = 〈p (y, t)〉+ σ
〈ˆ W (T )
W (t)
∂p (Y (s) , s)
∂Y (s)
dW (s)
〉
.
Como o valor de Y é conhecido em t, temos:
〈p (y, t)〉 = p (y, t) .
Como o valor esperado de dW é nulo em todos os instantes de tempo, segue:
〈ˆ W (T )
W (t)
∂p (Y (s) , s)
∂Y (s)
dW (s)
〉
= 0.
Logo,
p (y, t) = 〈p (Y (T ) , T )〉
= 〈f (Y (T ))〉 ,
que é a fórmula de Feynman e Kac, conectando uma equação diferencial parcial
e uma equação estocástica. Assim, uma vez que p (y, t) satisfaz a Eq. (3), segue
que é o valor esperado de uma função da variável estocástica satisfazendo a Eq.
(1).
Resta agora explicarmos a diferença entre as Eqs. (2) e (3). Na Eq. (2), a
condição inicial é que
u (x, 0) = δ (x) ,
enquanto que na Eq. (3), a condição é que
p (y, T ) = f (y) .
A Eq. (2) dá uma evolução da distribuição de probabilidade a partir de um in-
stante prévio até um posterior. A Eq. (3) dá uma evolução para tempos anteriores
ao tempo T .
Alternativamente, suponhamos que temos uma função do tempo que é o valor
esperado de uma função de X (t) que satisfaz:
dX (t) = µdt+ σdW (t) .
Seja u (x, t) a distribuição e o valor esperado que procuramos é dado por:
A (t) =
ˆ +∞
−∞
dx u (x, t) f (x) .
2
Assim,
dA (t) = A (t+ dt)− A (t)
= dt
ˆ +∞
−∞
dx
∂u (x, t)
∂t
f (x) . (4)
Outra forma de obter dA (t) é através da média dos incrementos de f (X (t))
obtidos pelo lema de Ito:
df (X (t)) = dt
µ∂f (X)
∂X
+
σ2
2
∂2f (X)
∂X2

+ σ
∂f (X)
∂X
dW (t) .
Assim, quando, no instante t, ocorre o valor
x = X (t) ,
o incremento de f a partir daí, no tempo, é dado por
df (x) = f (x+ dX (t))− f (x)
= df (X (t))
= dt
µ∂f (x)
∂x
+
σ2
2
∂2f (x)
∂x2

+ σ
∂f (x)
∂x
dW (t) ,
já que, nesse caso,
X = X (t)
= x.
Esse resultado pode ser interpretado como sendo os diversos incrementos da função
f , para cada x, caminhando ao longo da trajetória estocástica durante um inter-
valo de tempo dt. O valor experado desse incremento de f , para cada x, é,
portanto,
〈df (x)〉 = dt
µ∂f (x)
∂x
+
σ2
2
∂2f (x)
∂x2
 ,
já que
〈dW (t)〉 = 0.
3
Em cada x, o valor esperado de df é dado acima. Para sabermos o valor esperado
do incremento de A, podemos escrever:
dA (t) =
ˆ +∞
−∞
dx u (x, t) 〈df (x)〉
=
ˆ +∞
−∞
dx u (x, t) dt
µ∂f (x)
∂x
+
σ2
2
∂2f (x)
∂x2
 .
Mas essa equação deve ser igualada à Eq. (4). Portanto,
dt
ˆ +∞
−∞
dx
∂u (x, t)
∂t
f (x) =
ˆ +∞
−∞
dx u (x, t) dt
µ∂f (x)
∂x
+
σ2
2
∂2f (x)
∂x2
 .
Usando integração por partes, podemos escrever:ˆ +∞
−∞
dx u (x, t)
∂f (x)
∂x
=
ˆ +∞
−∞
dx
∂u (x, t) f (x)
∂x
− f (x) ∂u (x, t)
∂x

= −
ˆ +∞
−∞
dx f (x)
∂u (x, t)
∂x
,
pois supomos que u (x, t) se anula para valores infinitos de x. Analogamente,
ˆ +∞
−∞
dx u (x, t)
∂2f (x)
∂x2
= −
ˆ +∞
−∞
dx
∂f (x)
∂x
∂u (x, t)
∂x
=
ˆ +∞
−∞
dx f (x)
∂2u (x, t)
∂x2
,
onde também supomos que
∂u (x, t)
∂x
= 0
para valores infinitos de x. Logo,ˆ +∞
−∞
dx
∂u (x, t)
∂t
f (x) =
ˆ +∞
−∞
dx f (x)
−µ∂u (x, t)
∂x
+
σ2
2
∂2u (x, t)
∂x2
 .
Como, desde o início, a função f é arbitrária, obtemos:
∂u (x, t)
∂t
= −µ∂u (x, t)
∂x
+
σ2
2
∂2u (x, t)
∂x2
,
que é a equação de Fokker e Planck, Eq. (2).
4