Calculo Numerico
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d2y

dx2
=M (7.21)

O momento fletor M na sec¸a\u2dco transversal e´ a soma dos momentos, em relac¸a\u2dco a

reta AB. Admita que as forc¸as orientadas para baixo originem momentos positivos

e que as orientadas para cima produzem momentos negativos.

Exemplo 7.9: Uma barra simplesmente apoiada e´ uniformemente carregada por

uma forc¸a por unidade de comprimento q(x). Obter uma expressa\u2dco para y(x) via

diferenc¸as finitas centrais, considerando L = 1m, E = 2 × 105N/cm2, I = 25cm4 e
M = 3.

Soluc¸~ao: Da figura 7.8 tem-se

y(0) = 0 y(L) = 0 y\u2032(0) = 0 y\u2032(L) = 0

Discretizando a equac¸a\u2dco 7.21 por diferenc¸as finitas centrais obte´m-se

M = EI
yi+1 \u2212 2yi + yi\u22121

\u2206x2

ou

EIyi+1 = EI(2yi \u2212 yi\u22121) +M\u2206x2

de forma que

yi+1 = (2yi \u2212 yi\u22121) + M
EI

\u2206x2 (7.22)

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 183

Figura 7.8: Representac¸a\u2dco esquema´tica da deflexa\u2dco da viga carregada uni-
formemente

Com as condic¸o\u2dces iniciais tem-se yi\u22121 e yi para iniciar as iterac¸o\u2dces. Para \u2206x =
h = 0.1m resulta

y2 = 6× 10\u22125 = 6× 10\u22125

y3 = (1, 2 × 10\u22124 \u2212 0) + 6× 10\u22125 = 1, 8 × 10\u22124

y4 = (3, 6 × 10\u22123 \u2212 1, 8× 10\u22125) + 6× 10\u22125 = 3, 642 × 10\u22123

y5 = (7, 284 × 10\u22123 \u2212 1, 8× 10\u22124) + 6× 10\u22125 = 7, 6164 × 10\u22123

e assim sucessivamente. A soluc¸a\u2dco final e´ mostrada na tabela 7.3

7.6.3 Circuitos ele´tricos simples

Para um circuito RLC simples, onde a resiste\u2c6ncia R (ohms)a induta\u2c6ncia L (henries)

e a capacita\u2c6ncia (capacidade) C (farads) e´ q/C resulta assim, a equac¸a\u2dco diferencial

184 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s

Tabela 7.3: Deflexa\u2dco de uma viga via diferenc¸as finitas centrais
i xi(cm) yi(cm)

0 0 0
1 10 6, 000 × 10\u22128
2 20 1, 800 × 10\u22127
3 30 3, 600 × 10\u22127
4 40 6, 000 × 10\u22127
5 50 9, 000 × 10\u22127
6 60 6, 000 × 10\u22127
7 70 3, 600 × 10\u22127
8 80 1, 800 × 10\u22127
9 90 6, 000 × 10\u22128
10 100 0

de um circuito ele´trico, ilustrado na Fig. 7.9 e´:

L
dI

dt
+RI +

q

C
= E(t) (7.23)

como I = dqdt ,
dI
dt =

d2q
dt2

, obte´m-se

L
d2q

dt2
+R

dq

dt
+

q

C
= E(t). (7.24)

ou ainda

L
d2I

dt2
+R

dI

dt
+

I

C
=

dE

dt
(7.25)

que pode ser utilizada para determinar a corrente I = I(t).

Exemplo 7.11: Em um circuito RCL, um capacitor de C = 0.05 (farad) esta´ sendo

carregado por uma forc¸a eletromotriz de E = 120 (volts) atrave´s de uma induta\u2c6ncia

de L = 0.04 (henry) e uma resiste\u2c6ncia de R = 20 (ohms). Considere que na\u2dco haja

corrente inicial no circuito e determine a mesma apo´s t = 0.008.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 185

Figura 7.9: Representac¸a\u2dco esquema´tica de um circuito ele´trico LRC

O PVI resulta em

d2q

dt2
+

20

0.04

dq

dt
+

1

0.05 · 0.04q \u2212
1

0.04
· 100 = 0
q(t0) = 0 (7.26)

dq

dt
(t0) = 0

que pode ser colocado na forma\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
q\u201d = \u2212500q\u2032 \u2212500q +2500
q(0) = 0

q\u2032(0) = 0

Para q\u2032 = y, q\u201d = y\u2032 resulta o seguinte sistema\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
y\u2032 = \u2212500y \u2212500q +2500
y(0) = 0

q\u2032 = y
q(0) = 0

186 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s

Utilizando o me´todo de Runge-Kutta de ordem 4 para resolver a soluc¸a\u2dco que e´

mostrada na tabela 7.4, onde adotou-se h = 1.10\u22123 e m = 8.

Tabela 7.4: Resultados do PVI do circuito RLC usando Runge Kutta de ordem
4.

i tempo(t) carga(q) corrente(y)

0 0.00000 0.00000000 0.00000
1 0.00100 0.0010676 1.965990
2 0.00200 0.0036811 3.158117
3 0.00300 0.0723153 3.880220
4 0.00400 0.0113490 4.316843
5 0.00500 0.0158090 4.580075
6 0.00600 0.0204750 4.737995
7 0.00700 0.0252643 4.831952
8 0.00800 0.0301264 4.887063

7.6.4 Trem de pouso de aeronaves leves

O trem-de-pouso de um avia\u2dco leve e´ modelado conforme a figura 7.10, sendo M a

massa da fuselagem.

Considere que o avia\u2dco se aproxima do solo com velocidade constante e a compo-

nente vertical V seja aproximadamente constante.

Aspectos a serem considerados:

\u2022 o amortecedor deve ser pequeno;

\u2022 a forc¸a ma´xima sobre a fuselagem na\u2dco deve ser elevada;

\u2022 a desacelerac¸a\u2dco na\u2dco deve ser elevada;

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 187

Figura 7.10: Esquema de um trem-de-pouso de um avia\u2dco leve.

\u2022 na\u2dco deve haver repique no pouso;

\u2022 o amortecedor deve absorver grande quantidade de energia.

Obte´m-se, para a situac¸a\u2dco mostrada na Fig. 7.10

\u2022 os sistemas equivalentes meca\u2c6nico e ele´trico conforme

188 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s

Para os quais resulta a equac¸a\u2dco do movimento

d2V1
dt2

+
Keq
C

dV1
dt

+
Keq
M

V1 =
Keq
M

Ve

onde

Keq =
K1K2

K1 +K2

wn =
Keq
M

2\u3bewn =
Keq
C

= a

Esta equac¸a\u2dco pode ser aproximada conforme

V t+\u2206t1 \u2212 2V t1 + V t\u2212\u2206t1
\u2206t2

+ a
V t+\u2206t1 \u2212 V t1

\u2206t
+ wnV

t
1 = wnV e

ou seja,

V t+\u2206t1

{
1

\u2206t2
+

a1
\u2206t

}
=

2V t1 \u2212 V t\u2212\u2206t1
\u2206t2

+ wn(V e\u2212 V t1 ) +
aV t1
\u2206t

(7.27)

A ana´lise dos resultados , quando resolvida a Eq. (7.27) nos mostra que para

\u2022 \u3be > 1 tem-se que

\u2013 a desacelerac¸a\u2dco diminui com o aumento de \u3be;

\u2013 a forc¸a sobre a fuselagem diminui com o aumento de \u3be;

\u2013 o deslocamento x1(t) aumenta com o aumento de \u3be.

\u2022 \u3be = 1 obte´m-se

\u2013 desacelerac¸a\u2dco alta;

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 189

\u2013 forc¸a sobre a fuselagem alta;

\u2013 deslocamento excessivamente alto.

\u2022 \u3be < 1 resulta que

\u2013 a velocidade oscila em torno de zero;

\u2013 a forc¸a oscila diminuindo o seu valor com o aumento de \u3be;

\u2013 o deslocamento aumenta com o aumento de \u3be;

\u2013 para \u3be = 0.7 praticamente na\u2dco existe oscilac¸a\u2dco;

\u2013 para \u3be = 0.9 o deslocamento e´ grande.

Exemplo 7.12 Considere uma aeronave com massa M = 10000kg aproximando-

se do solo com velocidade constante igual 0, 2m/s. Supondo \u3be = 0, 7, K1 = 290,

k2 = 245 e \u2206t = 10
\u22122, avalie o movimento do trem de pouso apo´s a aeronave tocar

o solo.

Soluc¸a\u2dco: Neste caso temos w =
\u221a

k
M = 1, 328 × 10\u22122, a = 2.\u3be.w = 1.859 × 10\u22122.

Suponha que a pista de pouso seja uma superf´\u131cie lisa (Ve = 0) e as condic¸o\u2dces iniciais.

V (0) = 0 e V \u2032(0) = 0, 2.

Utilizando a Eq. 7.27 tem-se

V t+\u2206t =
\u2206t2

1 + a\u2206t

(
2V t \u2212 V t\u2212\u2206t

\u2206t2
+ wV t \u2212 wVe

)
V t+\u2206t = 9, 998.10\u22121

(
2V t \u2212 V t\u2212\u2206t + 1, 859.10\u22126V t) (7.28)

onde

V (0) = 0 e V (1) = 0, 2.dt = 2.10\u22123.

Substituindo os valores da condic¸a\u2dco inicial na relac¸a\u2dco de recorre\u2c6ncia 7.28 encon-

tramos os valores plotados na Fig. 7.11.

190 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s

Figura 7.11: Movimennto do trem de pouso de uma aeronave leve

7.6.5 Modelo para controle de poluic¸a\u2dco

Considere um volume de controle definido em torno de uma cidade que se deseja

fazer a ana´lise da emissa\u2dco de mono´xido de carbono (CO). Calcular a concentrac¸a\u2dco

de Co neste local a cada 5 minutos, no per´\u131odo das 6 a`s 12hs.

O balanc¸o da quantidade de CO que entra e sai do volume de controle e´ dada por

dC

dt
=

\u3c4

V
\u2212 (K\u3bd +Kq)O

onde C e´ a concentrac¸a\u2dco atual de CO (kg/m3), t o tempo (min), \u3c4 a taxa na qual

o CO esta´ entrando no volume de controle (kg/min), e K\u3bd e Kq sa\u2dco constantes que

determinam a taxa na qual o vento e as reac¸o\u2dces qu´\u131micas removem o CO da unidade

de controle (min\u22121).

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 191

Supondo C0 = 4 × 10\u22123 kg/m3, \u3c4 = 1, 5 × 104 kg/min, V = 5 × 108m3, K\u3bd =
1, 5 × 10\u22123min\u22121 e Kq = 3× 10\u22124, o PVI torna-se

dC

dt
= 3× 10\u22125 \u2212 1, 8 × 10\u22123C

C0 = 3, 5 × 10\u22123.

Aplicando o me´todo de Runge-Kutta de ordem 4, com passo h igual a 20min,

considerando que t \u2208 [6, 12], enta\u2dco tem-se i = 18 subintervalos. Os resultados sa\u2dco
mostrados na tabela 7.5.

Tabela 7.5: Resultados do modelo de controle da poluic¸a\u2dco pelo me´todo de
Runge Kutta ordem 4.

i ti Ci
0 6,00000 3, 50000E \u2212 03
1 6,33333 1, 89996E \u2212 03
2 6,66666 4, 07999E \u2212 02
3 7,00000 8, 16999E \u2212 02
4 7,33333 1, 24600E \u2212 01
5 7,66666 1, 69500E \u2212 01
6 8,00000 2, 16400E \u2212 01
7 8,33333 2, 65300E \u2212 01
8 8,66666 3,