0002 Propriedades do somatorio

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SOMATO´RIO E SUAS PROPRIEDADES - Prof. Marcelo de Paula
O operador linear somato´rio denotado por
∑
apresenta va´rias propriedades que sa˜o funda-
mentais para o prosseguimento do nosso estudo. Considere um conjunto quantitativo de dados
formado por X1, X2, ..., Xn e seja c uma constante arbitra´ria. Enta˜o
Propriedade 1. O somato´rio da constante e´ dado por n vezes a constante.
n∑
i=1
c = nc.
Demonstrac¸a˜o:
n∑
i=1
c = c + c + ... + c︸ ︷︷ ︸
n vezes
= nc
Propriedade 2. Se, para cada observac¸a˜o deste conjunto for adicionado ou subtra´ıdo uma
constante c, enta˜o seu somato´rio e´ dado por
n∑
i=1
(Xi ± c) =
n∑
i=1
Xi ± nc.
Demonstrac¸a˜o: Vamos considerar o caso positivo, pois o caso negativo e´ ana´logo.
n∑
i=1
(Xi + c) = (X1 + c) + (X2 + c) + ... + (Xn + c)
= X1 + c + X2 + c + ... + Xn + c
= X1 + X2 + ... + Xn︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Xi
+ c + c + ... + c︸ ︷︷ ︸
nc
n∑
i=1
(Xi + c) =
n∑
i=1
Xi + nc
Propriedade 3. Se, para cada observac¸a˜o deste conjunto for multiplicada uma constante c, enta˜o
seu somato´rio e´ dado por
n∑
i=1
Xic = c
n∑
i=1
Xi.
Demonstrac¸a˜o:
n∑
i=1
Xic = X1c + X2c + ... + Xnc
n∑
i=1
Xic = c(X1 + X2 + ... + Xn)︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Xic = c
n∑
i=1
Xi
Propriedade 4. Sejam duas constantes arbitra´rias a e b. Enta˜o, pelas propriedades 1, 2 e 3,
temos
n∑
i=1
(a± bXi) = na± b
n∑
i=1
Xi.
1
Demonstrac¸a˜o: Vamos demonstrar o caso positivo, pois o caso negativo e´ ana´logo.
n∑
i=1
(a + bXi) =
n∑
i=1
a +
n∑
i=1
bXi,
pelas propriedades 1, 2 e 3 temos que
n∑
i=1
(a + bXi) = na + b
n∑
i=1
Xi.
Propriedade 5. Sejam X e Y duas varia´veis quantitativas, enta˜o o somato´rio da soma e´ a soma
dos somato´rios. Ana´logo ao caso negativo.
n∑
i=1
(Xi ± Yi) =
n∑
i=1
Xi ±
n∑
i=1
Yi.
Demonstrac¸a˜o: Vamos demonstrar o caso positivo, pois o caso negativo e´ ana´logo.
n∑
i=1
(Xi + Yi) = (X1 + Y1) + (X2 + Y2) + ... + (Xn + Yn)
= X1 + Y1 + X2 + Y2 + ... + Xn + Yn
= X1 + X2 + ... + Xn︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Xi
+ Y1 + Y2 + ... + Yn︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Yi
n∑
i=1
(Xi + Yi) =
n∑
i=1
Xi +
n∑
i=1
Yi
Observac¸a˜o: Esta propriedade vale para mais de 2 varia´veis quantitativas.
Propriedade 6. O somato´rio do produto e´ diferente do produto dos somato´rios.
n∑
i=1
XiYi 6=
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi.
Em particular, se X e Y sa˜o varia´veis positivas, isto e´, Xi > 0 e Yi > 0, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o
o somato´rio do produto e´ menor que o produto dos somato´rios:
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi.
Demonstrac¸a˜o:
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi
X1Y1 + X2Y2 + ... + XnYn < (X1 + X2 + ... + Xn) (Y1 + Y2 + ... + Yn)
X1Y1 + X2Y2 + ... + XnYn︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
XiYi
< X1
n∑
i=1
Yi︸ ︷︷ ︸
≥X1Y1
+ X2
n∑
i=1
Yi︸ ︷︷ ︸
≥X2Y2
+ ... + Xn
n∑
i=1
Yi︸ ︷︷ ︸
≥XnYn
Como XiYi < Xi
n∑
i=1
Yi, para i = 1, 2, ..., n, enta˜o segue imediatamente que
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi
2