014 LISTA 14 - Distribuição Normal - Prof. Marcelo de Paula

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Lista 14 - Distribuic¸a˜o normal - Prof. Marcelo de Paula
Exerc´ıcio 1. A vaza˜o X (em m3/s) de um rio e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua (v.a.c) que
segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia µ = 1250 m3/s e desvio-padra˜o σ = 320 m3/s. Qual a
probabilidade de que, num determinado momento, a vaza˜o
a. esteja entre 1250 m3/s e 1800 m3/s.
b. esteja entre 350 m3/s e 1250 m3/s.
c. esteja entre 500 m3/s e 1500 m3/s.
d. esteja entre 725 m3/s e 2120 m3/s.
e. seja menor que 2000 m3/s.
f. seja maior que 1980 m3/s.
g. seja menor que 400 m3/s.
Exerc´ıcio 2. Um fabricante de baterias sabe, por experieˆncia passada, que as baterias de
sua fabricac¸a˜o teˆm um tempo de vida X aproximadamente normal com me´dia µ = 600 dias e
desvio-padra˜o σ = 100 dias. Oferece-se uma garantia de 312 dias, isto e´, troca as baterias que
apresentarem falhas num per´ıodo menor que 312 dias. Fabrica-se 10.000 baterias mensalmente.
Quantas baterias o fabricante devera´ mensalmente trocar pelo uso da garantia?
Exerc´ıcio 3. Uma fa´brica de carros sabe que o tempo X de durac¸a˜o dos motores de sua
fabricac¸a˜o teˆm distribuic¸a˜o normal com me´dia 150.000km e desvio-padra˜o de 5.000km. Qual a
probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso nesta fa´brica, tenha motor que dure:
a. menos de 170.000km?
b. entre 140.000km e 165.000km?
Exerc´ıcio 4. Foi feito um estudo sobre a altura X dos alunos de uma faculdade, observando-
se que ela se distribu´ıa normalmente com me´dia µ = 1, 72m e desvio-padra˜o σ = 5cm. Qual a
porcentagem dos alunos com altura:
a. entre 1, 57m e 1, 87m?
b. acima de 1, 90m?
Exerc´ıcio 5. O tempo X (em minutos) que os alunos gastam para chegar a uma certa uni-
versidade e´ uma varia´vel aleato´ria cont´ınua que segue uma distribuic¸a˜o aproximadamente normal
com me´dia µ = 28 minutos e desvio-padra˜o σ = 7 minutos. Determine a probabilidade de que,
um aluno escolhido ao acaso, gaste um tempo para chegar a universidade
a. Entre 28 e 40 minutos.
b. Entre 12 e 28 minutos.
c. Entre 10 e 40 minutos.
d. Mais de 45 minutos.
e. Menos de 8 minutos.
f. Entre 15 e 20 minutos.
g. Supondo que a universidade tenha 1200 alunos, determine a quantidade de alunos para cada
um dos intervalos acima.
Exerc´ıcio 6. Numa fa´brica foram instaladas 1.000 laˆmpadas novas. Sabe-se que o tempo de
vida X destas laˆmpadas segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia µ = 800 horas e desvio-padra˜o
de σ = 100 horas. Determinar a quantidade de laˆmpadas nesta fa´brica que espera-se durar:
a. menos de 500 horas.
b. mais de 700 horas.
c. entre 516 e 684 horas.
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Exerc´ıcio 7. Um fabricante de ma´quinas de lavar sabe, por longa experieˆncia, que o tempo
de vida X de suas ma´quinas tem distribuic¸a˜o normal com me´dia µ = 1.000 dias e desvio-padra˜o
σ = 200 dias. Oferece-se uma garantia de 1 ano (365 dias). Sabendo-se que o fabricante pro-
duz mensalmente 2.000 ma´quinas. Quantas ma´quinas espera-se trocar mensalmente pelo uso da
garantia dada?
Exerc´ıcio 8. Suponha que a temperatura T durante o meˆs de Junho na cidade de Ribeira˜o
Preto obedec¸a a uma distribuic¸a˜o normal com me´dia µ = 34C e desvio-padra˜o σ = 3C. Encontre
a probabilidade da temperatura, num determinado dia do meˆs de Junho, estar entre 35C e 40C.
Exerc´ıcio 9. Em uma determinada indu´stria metalu´rgica o sala´rio X dos funciona´rios segue
uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia µ = R$1.850, 00 e desvio-padra˜o σ = R$350, 00. Um fun-
ciona´rio e´ escolhido ao acaso desta metalu´rgica. Qual a probabilidade de que ele tenha um sala´rio
a. Entre R$1.000, 00 e R$2.000, 00 ?
b. Acima de R$2.500, 00 ?
c. Abaixo de R$900, 00 ?
Exerc´ıcio 10. A vaza˜o dia´ria X de um rio (em m3/s) e´ uma v.a.c que segue um modelo
normal com me´dia µ = 1400m3/s e variaˆncia σ2 = 122.500 (m3/s)
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. Encontre a vaza˜o Xα tal que
P (X ≤ Xα) = 0, 95.
Exerc´ıcio 11. Em uma grande indu´stria metalu´rgica com 2.500 funciona´rios, o sala´rio X
dos funciona´rios segue uma distribuic¸a˜o normal com me´dia µ = 2.480, 00 reais e desvio-padra˜o
σ = 535, 00 reais. Determine o sala´rio Xα tal que:
a. P (X ≤ Xα) = 0, 85, isto e´, encontre e interprete o octoge´simo quinto percentil dos sala´rios
da empresa.
b. P (X ≤ Xα) = 0, 20, isto e´, encontre e interprete o segundo decil dos sala´rios da empresa.
c. Encontre a quantidade de funciona´rios que ganham abaixo de 1.000 reais.
d. Encontre a quantidade de funciona´rios que ganham acima de um sala´rio mı´nimo, isto e´,
acima de 678 reais.
e. Encontre a quantidade de funciona´rios que ganham entre 800 e 3.800 reais.
RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
Exerc´ıcio 1.
a. P (1250 < X < 1800) = 0, 4573.
b. P (350 < X < 1250) = 0, 4975 ou 49, 75%.
c. P (500 < X < 1500) = 0, 7727 ou 77, 27%.
d. P (725 < X < 2120) = 0, 9462 ou 94, 62%.
e. P (X < 2000) = 0, 9904 ou 99, 04%.
f. P (X > 1980) = 0, 0113 ou 1, 13%.
g. P (X < 400) = 0, 0039 ou 0, 39%.
Exerc´ıcio 2. O fabricante espera trocar 20 baterias por meˆs.
Exerc´ıcio 3.
a. P (X ≤ 170.000) ∼= 1
b. P (140.000 ≤ X ≤ 165.000) = 0, 9759 ou 97, 59%.
Exerc´ıcio 4.
a. P (157 ≤ X ≤ 187) = 0, 9974 ou 99, 74%.
b. P (X ≥ 190) = 0, 0002 ou 0, 02%.
Exerc´ıcio 5.
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a. P (28 < X < 40) = 0, 4564 ou 45, 64%.
b. P (12 < X < 28) = 0, 4890 ou 48, 90%.
c. P (10 < X < 40) = 0, 9513 ou 95, 13%.
d. P (X > 45) = 0, 0075 ou 0, 75%.
e. P (X < 8) = 0, 0021 ou 0, 21%.
f. P (15 < X < 20) = 0, 0957 ou 9, 57%.
g. Considerando os intervalos obtidos:
Considerando o item a.) Cerca de 548 alunos gastam entre 28 e 40 minutos para chegar a
universidade.
Considerando o item b.) Cerca de 587 alunos gastam entre 12 e 28 minutos para chegar a
universidade.
Considerando o item c.) Cerca de 1142 alunos gastam entre 10 e 40 minutos para chegar a
universidade.
Considerando o item d.) Cerca de 9 alunos gastam mais de 45 minutos para chegar a universi-
dade.
Considerando o item e.) Cerca de 3 alunos gastam menos de 8 minutos para chegar a univer-
sidade.
Considerando o item f.) Cerca de 115 alunos gastam entre 15 e 20 minutos para chegar a
universidade.
Exerc´ıcio 6.
a. Aproximadamente 1, 35 laˆmpadas.
b. Aproximadamente 841, 34 laˆmpadas.
c. Aproximadamente 121 laˆmpadas.
Exerc´ıcio 7. Espera-se trocar 1, 5 ma´quinas por meˆs.
Exerc´ıcio 8. P (35 ≤ X ≤ 40) = 0, 3479 ou 34, 79%.
Exerc´ıcio 9.
a. P (1.000 ≤ X ≤ 2.000) = 0, 6589 ou 65, 89%.
b. P (X > 2.500) = 0, 0314 ou 3, 14%.
c. P (X < 900) = 0, 0034 ou 0, 34%.
Exerc´ıcio 10. A vaza˜o dia´ria Xα tal que P (X ≤ Xα) = 0, 95 e´ de 1975, 75m3/s.
Exerc´ıcio 11.
a. Temos que Xα = P85 = R$3.036, 40, isto e´, P (X ≤ 3.036, 40) = 0, 85. Interpretac¸a˜o:
85% dos funciona´rios desta grande indu´stria metalu´rgica ganham abaixo de 3.036, 40 reais, ou
equivalentemente, 15% dos funciona´rios ganham acima de 3.036, 40 reais.
b. Temos que Xα = P20 = R$2.030, 60, isto e´, P (X ≤ 2.030, 60) = 0, 20. Interpretac¸a˜o:
20% dos funciona´rios desta grande indu´stria metalu´rgica ganham abaixo de 2.030, 60 reais, ou
equivalentemente, 80% dos funciona´rios ganham acima de 2.030, 60 reais.
c. Primeiramente temos que P (X ≤ 1000) = 0, 0028 ou 28%. Multiplicando pelo nu´mero de
funciona´rios desta indu´stria, 2500, temos que 7 funciona´rios ganham menos de 1000 reais.
d. Primeiramente temos que P (X > 678) = 0, 9996 ou 99, 96%. Multiplicando pelo nu´mero
de funciona´rios desta indu´stria, 2500, temos que 2499 funciona´rios ganham mais de 678 reais.
e. Primeiramente temos que P (800 < X < 3800) = 0, 9924 ou 99, 24%. Multiplicando pelo
nu´mero de funciona´rios desta indu´stria, 2500, temos que 2481 funciona´rios ganham entre 800 e
3800 reais.
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