2018 2 lgebra Linear P1+P2+P3

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Exatas, Naturais e da Sau´de
Primeira Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear
04 de setembro de 2018
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. (2,5 pts) Determine a matriz ampliada em forma escalonada (me´todo de Gauss) do
sistema abaixo, dando tambe´m seu posto, o posto da matriz dos coeficientes e, se o
sistema for poss´ıvel, o grau de liberdade e a(as) soluc¸a˜o(o˜es).

2x +5y −z +w = 8
x +2y −3z −w = 3
2x +6y +4z +4w = 10
5x +13y +4w = 21
2. Seja A =

 3 −1 25 5 −2
1 2 3

 uma matriz invert´ıvel. Determine:
(a) (1,8 pt) A−1.
(b) (0,7 pt) Utilizando o resultado da letra (a), determine a soluc¸a˜o do sistema


3x− y+ 2z = 1
5x+ 5y− 2z = 3
x+ 2y+ 3z = −2
Sugesta˜o: Escreva o sistema na forma AX=B.
3. (a) (1,5 pt) Calcule determinante da matriz A =


3 −1 0 5
0 2 −1 0
2 0 −3 −1
1 1 0 2

 por expansa˜o
em cofatores, sem utilizar as propriedades de determinante.
(b) (1,5 pt) Sejam A, B e C matrizes reais 4x4, satisfazendo a seguinte relac¸a˜o:
A.B = C−1 e B = -2A. Se o determinante de C vale 9 e o determinante de A e´
negativo, qual e´ o valor do determinante da matriz B?
4. (2 pts) Responda se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o VERDADEIRAS ou FALSAS. Justifique
sua resposta provando as afirmac¸o˜es verdadeiras e apresentando um contra-exemplo
para as afirmac¸o˜es falsas.
(a) Se A e´ uma matriz 2x2 tal que detA=1 enta˜o A−1 = A.
(b) Se A e B sa˜o matrizes 2x2, enta˜o (A+B)2 = A2 + 2AB+B2.
(c) Se A e B sa˜o matrizes 2x2 sime´tricas e comutativas, enta˜o AB e´ uma matriz
sime´trica.
(d) Se A, B e C sa˜o matrizes 2x2, tais que A.B = A.C e A 6= O, enta˜o B = C.
Respostas da Prova 1
1. Matriz escalonada:


1 2 −3 −1 3
0 1 5 3 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0


posto da matriz ampliada: pa = 2
posto da matriz dos coeficientes: pc = 2
Como pa = pc enta˜o o sistema e´ poss´ıvel. (p=2)
grau de liberdade: 4-2=2
Soluc¸a˜o: x = −1+ 13s+ 7t, y = 2− 5s− 3t, z = s, w = t
2. (a) A−1 =


19
84
7
84
−8
84
−17
84
7
84
16
84
5
84
−7
84
20
84


(b) AX=B =⇒ X = A−1B =⇒ X =


56
84
−28
84
−56
84


x =
56
84
=
2
3
, y =
−28
84
=
−1
3
, z =
−56
84
=
−2
3
3. a) 12 b)
−4
3
4. a) FALSA b) FALSA c) VERDADEIRA d) FALSA
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Exatas, Naturais e da Sau´de
Segunda Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear
09 de outubro de 2018
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Verifique quais dos subconjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais de M(2, 2).
(a) (1,2 pt) W1 =
{[
a b
c d
]
com a, b, c, d ∈ R e ad− bc = 0
}
.
(b) (1,2 pt) W2 =
{[
a b
c d
]
com a, b, c, d ∈ R e b = c
}
.
2. Sejam ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (2,−1, 1), ~u3 = (7,−8, 2) e ~u4 = (−1, 5, 7) vetores de R
3.
(a) (1,5 pt) ~u = (2, 11,−6) ∈W = [ ~u1, ~u2, ~u3]? (W e´ o subespac¸o de R
3 gerado
pelo vetores ~u1, ~u2 e ~u3).
(b) (1,5 pt) Os vetores ~u1, ~u2 e ~u4 formam uma base de R
3?
3. Sejam W1 e W2 subespac¸os vetoriais de R
4 dados por
W1 = {(x, y, z,w) ∈ R
4 : y = x , z = 2x , w = 3x}
W2 = {(x, y, z,w) ∈ R
4 : x+ 4y− z = 0 , w = 0}
(a) (1,2 pt) Determine dim(W1 ∩W2).
(b) (1,2 pt) Determine uma base para W2.
(c) (1 pt) Dado ~v = (6, 1,−2, 12) ∈W1 +W2, determine, caso exista, ~v1 ∈W1 e
~v2 ∈W2 tal que ~v = ~v1 + ~v2.
4. (1,2 pt) Sejam β1 = {(−1, 1), (1, 1)} e β2 = {(3, 2), (4, 0)} duas bases ordenadas de R
2.
Determine [v]β1 , se [v]β2 =
[
5
−1
]
.
Respostas da Prova 2
1. (a) W1 na˜o e´ subespac¸o vetorial de M(2, 2)
(b) W2 e´ subespac¸o vetorial de M(2, 2)
2. (a) Na˜o
(b) Sim
3. (a) 0
(b) Uma base de W2 e´ {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 4, 0)}
(c) ~v1 = (4, 4, 8, 12) e ~v2 = (2,−3,−10, 0)
4. [v]β1 =
[
−1
2
21
2
]
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Exatas, Naturais e da Sau´de
Terceira Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear
22 de novembro de 2018
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. (1 pt) A aplicac¸a˜o T : R→ R2 dada por T(x) = (x , |x|) e´ linear? Justifique.
2. Seja T : R4 → R3 uma transformac¸a˜o linear dada por
T(x, y, z,w) = (x− 2y+w , −z+ 2w , 2z− 4w)
(a) (1 pt) Determine uma base para o nu´cleo de T .
(b) (1 pt) Determine uma base para a imagem de T .
(c) (0,5 pt) T e´ injetiva? Justifique.
(d) (0,5 pt) T e´ sobrejetiva? Justifique.
(e) (1 pt) (4,−1, 2) ∈ Im(T)? Justifique.
3. Seja T : R4 → R4 uma transformac¸a˜o linear dada por
T(x, y, z,w) = (5x+ y+ 3z+ 2w , 5y+ 6z+w , 4z+w , 4z+w)
(a) (2 pts) Ache os autovalores de T e seus autovetores correspondentes.
(b) (1 pt) T e´ diagonaliza´vel? Justifique.
4. Deˆ exemplo, caso exista, de transformac¸a˜o linear satisfazendo as condic¸o˜es abaixo. Caso
na˜o exista, use o Teorema do Nu´cleo e da Imagem para justificar.
(a) (1 pt) T : R2 → R3 sobrejetora.
(b) (1 pt) T : R3 → R, com ker T = [(1, 0, 1), (0, 1, 0), (2,−1, 2)].
Respostas da Prova 3
1. Na˜o.
2. (a) Base do nu´cleo: {(2, 1, 0, 0), (−1, 0, 2, 1)} (OBS: A resposta na˜o e´ u´nica).
(b) Base da imagem: {(1, 0, 0), (0,−1, 2)} (OBS: A resposta na˜o e´ u´nica).
(c) Na˜o.
(d) Na˜o.
(e) Sim.
3. (a) Polinoˆmio caracter´ıstico: p(λ) = (−λ)(5− λ)3
Autovetores associados ao autovalor λ = 0: (27z
25
, −2z
5
, z,−4z), z 6= 0
Autovetores associados ao autovalor λ = 5: (x, 0, 0, 0), x 6= 0
(b) Na˜o
4. (a) Na˜o existe T : R2 → R3 sobrejetora.
(b) T(x, y, z) = x− z (OBS: A resposta na˜o e´ u´nica).