Lista01-DominioCurvaDeNivel

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA - UAMat
DISCIPLINA: CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Lista de Exerc´ıcios 01
Domı´nio, Imagem, Curvas e Superf´ıcies de n´ıvel
1.) Nos exerc¸´ıcios a seguir proceda da seguinte maneira: (a) determine o domı´nio da
func¸a˜o, (b) encontre a imagem da func¸a˜o, (c) esboce as curvas de n´ıvel da func¸a˜o,
(d) esboce a fronteira do domı´nio da func¸a˜o, (e) determine se o domı´nio e´ uma regia˜o
aberta, ou fechada, ou nenhuma delas, (f) determine se o domı´nio e´ limitado ou na˜o
limitado.
(a) f(x, y) = y − x, (b) f(x, y) = √y − x, (c) f(x, y) = y/x2,
(d) f(x, y) =
√
9− x2 − y2, (e) f(x, y) = arc tg( yx ), (f) f(x, y) = e−(x
2+y2).
2.) Encontre uma equac¸a˜o da curva de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y) que passa pelo ponto P
indicado:
(a) f(x, y) = 16− x2 − y2, P = (2√2,√2), (b) f(x, y) = √x2 − 1, P = (1, 0),
(c) f(x, y) =
∫ y
x
dt
1+t2 , P = (−
√
2,
√
2), (d) f(x, y) =
∑∞
n=0
(
x
y
)n
, P = (1, 2).
3.) Nos exerc¸´ıcios a seguir proceda da seguinte maneira: (a) determine o domı´nio da
func¸a˜o, (b) encontre a imagem da fuc¸a˜o, (c) esboce uma superf´ıcie de n´ıvel t´ıpica da
func¸a˜o, (d) esboce a fronteira do domı´nio da func¸a˜o, (e) determine se o domı´nio e´ uma
regia˜o aberta, ou fechada, ou nenhuma delas, (f) determine se o domı´nio e´ limitado
ou na˜o limitado.
(a) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, (b) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2),
(c) f(x, y, z) = x+ z, (d) f(x, y, z) = z,
(e) f(x, y, z) = x2 + y2, (f) f(x, y, z) = z − x2 − y2.
4.) Encontre uma equac¸a˜o da superf´ıcie de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y, z) que passa pelo ponto
P indicado:
(a) f(x, y, z) =
√
x− y − ln z, P = (3,−1, 1),
(b) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2), P = (−1, 2, 1),
(c) f(x, y, z) = x2/25 + y2/16 + z2/9, P = (5, 4, 3),
(d) f(x, y, z) = y2 + z2, P = (0, 3, 4).