Soluções - Capítulo 1 - Sinais e Sistemas Discretos

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Introduc¸a˜o ao Processamento Digital de Sinais
Soluc¸o˜es dos Exerc´ıcios Propostos — Cap´ıtulo 1
Jose´ Alexandre Nalon
1. Dados os sinais xc(t) a seguir, encontre as amostras, a representac¸a˜o em somato´rios de impulsos deslocados, e trace
os gra´ficos de x[n] = xc(nTa) para Ta = 0, 5, 1 e 2:
a) xc(t) = cospit
Soluc¸a˜o:
• Ta = 0, 5s
x[n] = . . .+ δ[n+ 4]− δ[n+ 2] + δ[n]−
−δ[n− 2] + δ[n− 4] + . . .
• Ta = 1s
x[n] = . . .− δ[n+ 3] + δ[n+ 2]− δ[n+ 1] + δ[n]−
−δ[n− 1] + δ[n− 2]− δ[n− 3] + . . .
• Ta = 2s
x[n] = . . .+ δ[n+ 3] + δ[n+ 2] + δ[n+ 1] + δ[n] +
+δ[n− 1] + δ[n− 2] + δ[n− 3] + . . .
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-2 -1 0 1 2
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
c) xc(t) = 2
−tu(t)
Soluc¸a˜o:
• Ta = 0, 5s
x[n] = δ[n] + 0, 707107δ[n − 1] +
+0, 5δ[n− 2] + 0, 353553δ[n − 3] + . . .
• Ta = 1s
x[n] = δ[n] + 0, 5δ[n− 1] + 0, 25δ[n − 2] +
+0, 125δ[n− 3] + . . .
• Ta = 2s
x[n] = δ[n] + 0, 25δ[n− 1] + 0, 0625δ[n − 2] +
+0, 015625δ[n − 3] + . . .
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-2 -1 0 1 2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
2
d) xc(t) = cos
(pi
8
t+
pi
4
)
Soluc¸a˜o:
• Ta = 0, 5s
x[n] = . . .+ 0, 980785δ[n + 3] + 0, 923880δ[n + 2] +
+0, 831470δ[n + 1] + 0, 707107δ[n] +
+0, 555570δ[n − 1] + 0, 382683δ[n − 2] +
+0, 195090δ[n − 3] + . . .
• Ta = 1s
x[n] = . . .+ 0, 923880δ[n + 3] + δ[n+ 2] +
+0, 923880δ[n + 1] + 0, 707107δ[n] +
+0.382683δ[n − 1]− 0, 382683δ[n − 3] + . . .
• Ta = 2s
x[n] = . . .− 0, 707107δ[n + 4] + 0.707107δ[n + 2] +
+δ[n+ 1] + 0, 707107δ[n]
−0, 707107δ[n − 2]− δ[n− 3] + . . .
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-2 -1 0 1 2
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
2. Decomponha as sequeˆncias a seguir em somato´rios de impulsos deslocados:
a) Sequeˆncia x[n] dada em gra´fico:
Soluc¸a˜o:
x[n] = δ[n+ 4] + 2δ[n+ 3] + 3δ[n + 2] + 2δ[n+ 1] +
+δ[n] + 2δ[n− 1] + 3δ[n− 2] + 3δ[n− 3] + δ[n− 4]
b) Sequeˆncia x[n] dada em gra´fico:
Soluc¸a˜o:
x[n] = −δ[n+ 6]− 0, 8333δ[n + 5]− 0, 667δ[n + 4]− 0, 5δ[n+ 3]−
−0, 333δ[n+ 2]− 0, 167δ[n+ 1] + 0, 167δ[n− 1] + 0, 333δ[n− 2] +
+0, 5δ[n− 3] + 0, 667δ[n − 4] + 0, 8333δ[n − 5] + δ[n− 6]
c) x[n] = cos
(pi
4
n
)
, 0 ≤ n < 8
Soluc¸a˜o:
x[n] = δ[n] + 0, 7071δ[n − 1]− 0, 7071δ[n − 3]− δ[n− 4]−
−0.7071δ[n − 5] + 0.7071δ[n− 7]
d) x[n] = nmod 5, 0 ≤ n < 8
Soluc¸a˜o:
x[n] = δ[n− 1] + 2δ[n− 2] + 3δ[n − 3] + 4δ[n− 4] +
+δ[n− 6] + 2δ[n− 7] + 3δ[n− 8]
3. Dados os sinais x[n] abaixo, encontre o gra´fico de x[−n], x[2n], 2x[n], x[n− 3], e x[2n− 3]:
Jose´ Alexandre Nalon Processamento Digital de Sinais
3
a) x[n] = u[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[−n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[2n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2x[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[n−3]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[2n−3]
b) x[n] = u[n]− u[n− 8]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[−n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[2n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2x[n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[n−3]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[2n−3]
c) x[n] = n(u[n+ 8]− u[n− 8])
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x[n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x[−n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x[2n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
2x[n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x[n−3]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x[2n−3]
d) x[n] = cos
(
3pi
16
n
)
, 0 ≤ n < 8
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x[n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x[−n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x[2n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2x[n]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x[n−3]
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x[2n−3]
Processamento Digital de Sinais Jose´ Alexandre Nalon
4
e) x[n] = 2−n
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
10
20
30
40
50
60
70
x[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
10
20
30
40
50
60
70
x[−n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
x[2n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
20
40
60
80
100
120
140
2x[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
100
200
300
400
500
600
x[n−3]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
x[2n−3]
f) x[n] = −2δ[n+2]+3δ[n+1]+2δ[n]−δ[n−1]+2δ[n−2]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
x[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
x[−n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x[2n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-2
0
2
4
6
2x[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
x[n−3]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x[2n−3]
4. Dados os sinais x1[n] e x2[n], encontre e trace os gra´ficos de y1[n] = x1[n] + x2[n], y2[n] = x1[n]x2[n] e y3[n] =
3x1[n]− 2x2[n]:
a) x1[n] = u[n]
x2[n] = −u[−n+ 4]
b) x1[n] = cos
(pi
4
n
)
x2[n] = cos
(
3pi
4
n
)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
1
[n] +x
2
[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
1
[n]x
2
[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3x
1
[n]−2x
2
[n]
Jose´ Alexandre Nalon Processamento Digital de Sinais
5
c) x1[n] = sen
(pi
8
n
)
x2[n] = n
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
1
[n] +x
2
[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
x
1
[n]x
2
[n]
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-10
-5
0
5
10
3x
1
[n]−2x
2
[n]
5. A func¸a˜o fatorial para um determinado nu´mero n e´ definida como
n(k) = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1)
=
k−1∏
r=0
(n− r)
em que se define n(0)= 1. Mostre que:
∆n(k) = k(n− 1)(k−1)
e
∆kn(k) = k!
Soluc¸a˜o: A primeira diferenc¸a e´ dada por
∆n(k) = n(k) − (n− 1)(k)
Desenvolvemos a segunda parcela obtendo
(n− 1)(k) =
k−1∏
r=0
(n− 1− r)
=
n− k
n
n
n− k
k−1∏
r=0
(n− r)
=
n− k
n
n(k)
Portanto,
∆n(k) = n(k) − n− k
n
n(k)
=
[
1− n− k
n
]
n(k)
=
k
n
n(k)
Podemos desenvolver esse resultado atrave´s do produto que define a func¸a˜o:
∆n(k) =
k
n
k−1∏
r=0
(n− r)
=
k
n
n(n− 1)(n − 2) . . . (n− k + 1)
= k(n− 1)(n − 2) . . . (n− k + 1)
Processamento Digital de Sinais Jose´ Alexandre Nalon
6
Esse termo pode ser ajustado somando e subtraindo 1 ao u´ltimo fator do produto:
∆n(k) = k(n− 1)(n− 2) . . . (n− 1− k + 1 + 1)
= k(n− 1)(n− 2) . . . [(n− 1)− (k − 1) + 1]
Comparando esse resultado com a definic¸a˜o, temos:
∆n(k) = k(n− 1)(k−1)
Para demonstrar a relac¸a˜o seguinte, calculamos a segunda diferenc¸a:
∆2n(k) = ∆
(
∆n(k)
)
= ∆
(
k(n− 1)(k−1)
)
aplicando a relac¸a˜o anterior, temos:
∆2n(k) = k(k − 1)(n − 2)(k−2)
Por induc¸a˜o:
∆rn(k) = k(k − 1)(k − 2) . . . (k − r + 1)(n − r)(k−r)
Fazendo r = k:
∆kn(k) = k(k − 1)(k − 2) . . . 1(n− k)(0)
= k!
6. Mostre a regra da multiplicac¸a˜o para a primeira diferenc¸a, ou seja,
∆(u[n]v[n]) = v[n]∆u[n] + u[n− 1]∆v[n]
= u[n]∆v[n] + v[n− 1]∆u[n]
Soluc¸a˜o: Temos a relac¸a˜o
∆ (u[n]v[n]) = u[n]v[n]− u[n− 1]v[n− 1]
Subtraindo e somando u[n− 1]v[n], obtemos
∆ (u[n]v[n]) = u[n]v[n]− u[n− 1]v[n] + u[n− 1]v[n]− u[n− 1]v[n− 1]
Dessa relac¸a˜o, segue diretamente
∆ (u[n]v[n]) = v[n]∆u[n+ u[n− 1]∆v[n]
A demonstrac¸a˜o para a outra relac¸a˜o e´ ideˆntica, apenas trocando de lugar u[n] e v[n]
7. Dados os sinais x[n] abaixo, determine a paridade do sinal. Se o sinal na˜o for par nem ı´mpar, encontre suas partes
par e ı´mpar (ou conjugado sime´trico e anti-sime´trico, caso o sinal seja complexo):
a) x[n] = 2−n
Soluc¸a˜o:
xe[n] =
1
2
(
2−n + 2n
)
xo[n] =
1
2
(
2−n − 2n)
b) x[n] = (−2)−n
Soluc¸a˜o:
xe[n] =
1
2
(
(−2)−n + (−2)n)
xo[n] =
1
2
(
(−2)−n − (−2)n)
c) x[n] = cos
(
3pi
8
n+
pi
4
)
Jose´ Alexandre Nalon Processamento Digital de Sinais
7
Soluc¸a˜o:
xe[n] =
1√
2
cos
(
3pi
8
n
)
xo[n] = − 1√
2
sen
(
3pi
8
n
)
d) x[n] =
N∑
k=0
akn
k
Soluc¸a˜o:
xe[n] =
N∑
k=0
akn
k, k par
xo[n] =
N∑
k=0
akn
k, k ı´mpar
e) x[n] = ejωn
Soluc¸a˜o:
xe[n] = cos(ωn)
xo[n] = j sen(ωn)
f) x[n] = ej(ωn+φ)
Soluc¸a˜o:
xe[n] = e
jφ cos(ωn)
xo[n] = je
jφ sen(ωn)
g) x[n] = n2 mod 3
Soluc¸a˜o: O sinal e´ par. Isso pode ser demonstrado pelo fato que (−n)2 = n2, portanto (−n)2 mod 3 = n2 mod 3.
8. Demonstre que, se x[n] e´ um sinal par, enta˜o
N∑
n=−N
x[n] = x[0] + 2
N∑
n=1
x[n]
Soluc¸a˜o: Seja x[n] um sinal par. Enta˜o podemos separa o somato´rio em
N∑
n=−N
x[n] =
−1∑
n=−N
x[n] + x[0] +
N∑
n=1
x[n]
Os dois somato´rios do lado direito na expressa˜o acima sa˜o ideˆnticos, pois, por hipo´tese, x[−n] = x[n]. Assim,
N∑
n=−N
x[n] =
N∑
n=1
x[n] + x[0] +
N∑
n=1
x[n]
E portanto
N∑
n=−N
x[n] = x[0] + 2
N∑
n=1
x[n]
9. Demonstre que, se x[n] e´ um sinal ı´mpar, enta˜o
N∑
n=−N
x[n] = 0
Processamento Digital de Sinais Jose´ Alexandre Nalon
8
Soluc¸a˜o: Seja x[n] um sinal ı´mpar. Enta˜o podemos separa o somato´rio em
N∑
n=−N
x[n] =
−1∑
n=−N
x[n] + x[0] +
N∑
n=1
x[n]
Os dois somato´rios do lado direito na expressa˜o acima sa˜o ideˆnticos, pore´m, com sinais inversos, pois, por hipo´tese, x[−n] =
−x[n]. Assim,
N∑
n=−N
x[n] = −
N∑
n=1
x[n] + x[0] +
N∑
n=1
x[n]
E portanto
N∑
n=−N
x[n] = x[0]
No entanto, para que o sinal seja ı´mpar, e´ necessa´rio que x[0] = −x[0], portanto, x[0] = 0. Assim:
N∑
n=−N
x[n] = 0
10. Demonstre que, se x1[n] e x2[n] sa˜o ambos sinais pares, enta˜o y[n] = x1[n]x2[n] e´ um sinal par. Demonstre que,
se x1[n] e x2[n] sa˜o ambos sinais ı´mpares, enta˜o y[n] = x1[n]x2[n] e´ um sinal par. Demonstre que, se x1[n] e´ um sinal
ı´mpar e x2[n] e´ um sinal ı´mpar ou vice-versa, enta˜o y[n] = x1[n]x2[n] e´ um sinal ı´mpar.
Soluc¸a˜o:
• Sejam x1[n] e x2[n] dois sinais pares, enta˜o
y[−n] = x1[−n]x2[−n] = (x1[n])(x2[n]) = x1[n]x2[n] = y[n]
Portanto, o sinal e´ par.
• Sejam x1[n] e x2[n] dois sinais ı´mpares, enta˜o
y[−n] = x1[−n]x2[−n] = (−x1[n])(−x2[n]) = x1[n]x2[n] = y[n]
Portanto, o sinal e´ par.
• Seja x1[n] um sinal ı´mpar e x2[n] um sinal par, enta˜o
y[−n] = x1[−n]x2[−n] = (−x1[n])(x2[n]) = −x1[n]x2[n] = −y[n]
Portanto, o sinal e´ ı´mpar. O mesmo racioc´ınio pode ser feito invertendo os lugares de x1[n] e x2[n].
11. Se um sinal x[n] tem parte par xe[n] e parte ı´mpar xo[n], demonstre que
∞∑
n=−∞
x2[n] =
∞∑
n=−∞
(x2e[n] + x
2
o[n])
Soluc¸a˜o: Seja
x[n] = xe[n] + xo[n]
enta˜o
∞∑
n=−∞
x2[n] =
∞∑
n=−∞
(xe[n] + xo[n])
2
=
∞∑
n=−∞
x2e[n] + 2xe[n]xo[n] + x
2
o[n]
=
∞∑
n=−∞
x2e[n] + 2
∞∑
n=−∞
xe[n]xo[n] +
∞∑
n=−∞
x2o[n]
Como vimos no Exerc´ıcio 10, o produto de um sinal ı´mpar por um sinal par e´ um sinal ı´mpar. Portanto, o sinal xe[n]xo[n] no
segundo somato´rio e´ um sinal ı´mpar. E, como vimos no Exerc´ıcio 9, o somato´rio infinito de um sinal ı´mpar e´ nulo, portanto:
∞∑
n=−∞
x2[n] =
∞∑
n=−∞
x2e[n] +
∞∑
n=−∞
x2o[n]
=
∞∑
n=−∞
x2e[n] + x
2
o[n]
Jose´ Alexandre Nalon Processamento Digital de Sinais
9
Note tambe´m que tanto x2e[n] quanto x
2
o[n] sa˜o sinais pares (novamente, pelos resultados do Exerc´ıcio 10) e, pelos resultados
do Exerc´ıcio 8, poder´ıamos simplificar ainda mais essa expressa˜o, escrevendo:
∞∑
n=−∞
x2[n] = x2e[0] + x
2
o[0] + 2
∞∑
n=0
x2e[n] + x
2
o[n]
12. Determine se os sinais x[n] abaixo sa˜o perio´dicos ou na˜o e, caso positivo, determine seu per´ıodo
a) x[n] = cosn
Soluc¸a˜o: O sinal na˜o e´ perio´dico.
b) x[n] = cospin
Soluc¸a˜o: O sinal e´ perio´dico com N = 2 amostras.
c) x[n] = nmod 3
Soluc¸a˜o: O sinal e´ perio´dico com N = 3 amostras.
d) x[n] = cos
(
3pi
4
n+
pi
8
)
Soluc¸a˜o: O sinal e´ perio´dico com N = 8 amostras.
e) x[n] = (−1)n
Soluc¸a˜o: O sinal e´ perio´dico com N = 2 amostras.
f) x[n] = cos2
(pi
8
n
)
Soluc¸a˜o: O sinal e´ perio´dico com N = 16 amostras.
g) x[n] = cos
(pi
3
n
)
+ sen
(pi
5
n
)
Soluc¸a˜o: O sinal e´ perio´dico com N = 30 amostras.
13. Seja xc(t) = cos(2pit). Encontre e trace o gra´fico da sequ¨eˆncia x[n] obtida a partir da amostragem de xc(t) com
a) Ta = 0.25s
b) Ta = 0.5s
c) Ta = 0.75s
d) Ta = 1s
Ha´ algo a ser notado a respeito desses gra´ficos? Explique os seus resultados.
Processamento Digital de Sinais Jose´ Alexandre Nalon
10
Soluc¸a˜o: O gra´fico esta´ ao lado. A frequeˆncia do sinal
parece aumentar conforme o intervalo de amostragem au-
menta, embora o sinal seja o mesmo. Isso acontece devido
a`s caracter´ısticas dos sinais senoidais, que podem ter sua
frequeˆncia modificada conforme o intervalo de amostra-
gem se modifica.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
T
a
=0,25s
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
T
a
=0,5s
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
T
a
=0,75s
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
T
a
=1s
14. Considere xc(t) = cosωt. Qual deve ser o intervalo de amostragem Ta para que o sinal amostrado seja perio´dico
com per´ıodo N = 2, 4, 8 e 16 amostras?
Soluc¸a˜o: O crite´rio para que o sinal seja perio´dico, ja´ que se trata de um cosseno, pode ser tirado da expressa˜o:
cos(ωnTa) = cos(ω(n +N)Ta)
Ou seja, exige-seque ωNTa = 2pir, com r inteiro. Portanto:
Ta =
2pir
ωN
Assim, para N = 2, Ta = pir/ω, para N = 4, Ta = pir/2ω, para N = 8, Ta = pir/4ω, e para N = 16, Ta = pir/8ω.
15. Se x1[n] e´ perio´dico com per´ıodo N1 e x2[n] e´ perio´dico com per´ıodo N2, sob qual condic¸o˜es o sinal y1[n] =
x1[n] + x2[n] e´ perio´dico, e qual o seu per´ıodo? Repita o problema para y2[n] = x1[n]x2[n].
Soluc¸a˜o: Se x1[n] e´ perio´dico com per´ıodo N1, enta˜o
x1[n] = x1[n+ k1N1]
Da mesma forma, se x2[n] e´ perio´dico com per´ıodo N2, enta˜o
x2[n] = x2[n+ k2N2]
Os fatores inteiros k1 e k2 aparecem nessas equac¸o˜es porque todo sinal que e´ perio´dico em um certo nu´mero de amostras, e´
perio´dico tambe´m em um mu´ltiplo inteiro desse valor. Para que a soma y[n] desses dois sinais seja perio´dica, e´ necessa´rio que
y[n+ kN ] = x1[n+ k1N1] + x2[n+ k2N2]
A condic¸a˜o, portanto, e´ que o per´ıodo da soma englobe um certo nu´mero inteiro de per´ıodos de cada um dos sinais sobre os
quais se faz a operac¸a˜o. Portanto,
kN = k1N1 = k2N2
Assim, e´ fa´cil ver que a condic¸a˜o e´ que kN seja o mı´nimo mu´ltiplo comum de N1 e N2. O racioc´ınio e´ exatamente o mesmo
para o produto.
16. Demonstre que, se ω0 = 2pi/N , com N inteiro e maior que 0, enta˜o
N∑
n=−N
sen(ω0n) = 0
e
N∑
n=−N
cos(ω0n) = 1, N ≥ 2
Jose´ Alexandre Nalon Processamento Digital de Sinais
11
Soluc¸a˜o: O seno e´ um sinal ı´mpar. Pelos resultados do Exerc´ıcio 9, sabemos que o somato´rio de um sinal ı´mpar em um
intervalo sime´trico em relac¸a˜o a origem e´ 0. Portanto, a primeira equivaleˆncia fica demonstrada.
Para a segunda equivaleˆncia, note que N e´ o per´ıodo do cosseno. O somato´rio, portanto, e´ feito em um per´ıodo. Por identidades
trigonome´tricas, pode-se mostrar que
cos
(
ω0n+ ω0
N
2
)
= − cos(ω0n)
Note que isso so´ e´ va´lido para N ≥ 2, e para N par. Se N for ı´mpar, um racioc´ınio semelhante pode ser feito, e um resultado
equivalente encontrado. Assim, o somato´rio pode ser dividido em treˆs partes:
N−1∑
n=−N
cos(ω0n) =
−1∑
n=−N
cos(ω0n) +
N−1∑
n=0
cos(ω0n) + cos(ω0N)
e pela propriedade acima, esses dois somato´rios sa˜o iguais. Como cos(ω0N) = 1:
N−1∑
n=−N
cos(ω0n) = −
N−1∑
n=0
cos(ω0n) +
N−1∑
n=0
cos(ω0n) + 1 = 1
17. Mostre que, se x[n] e´ perio´dico com per´ıodo N , enta˜o
N−1∑
n=0
x[n] =
N+k−1∑
n=k
x[n]
Soluc¸a˜o: O somato´rio pode ser decomposto em duas partes, conforme expressa˜o abaixo:
N−1∑
n=0
x[n] =
k−1∑
n=0
x[n] +
N−1∑
n=k
x[n]
Analisemos a primeira parcela dessa decomposic¸a˜o. Como x[n] e´, por hipo´tese, perio´dico com per´ıodo N , enta˜o x[n] = x[n+N ],
assim
k−1∑
n=0
x[n] =
k−1∑
n=0
x[n+N ]
Fac¸amos m = n+N . Assim, quando n = 0, m = N , e quando n = k− 1, m = N + k− 1. O somato´rio pode ser reescrito como
k−1∑
n=0
x[n] =
N+k−1∑
m=N
x[m]
Voltando com esse resultado na decomposic¸a˜o original, e retornando a varia´vel do somato´rio para n para unificar os resultados,
temos
N−1∑
n=0
x[n] =
N+k−1∑
n=N
x[n] +
N−1∑
n=k
x[n]
E´ fa´cil notar que esses somato´rios podem ser coletados em apenas um, conforme a expressa˜o:
N−1∑
n=0
x[n] =
N+k−1∑
n=k
x[n]
18. Determine se os seguintes sinais sa˜o sinais de energia, sinais de poteˆncia ou nenhum dos dois:
a) x[n] = 2−n
Soluc¸a˜o: O sinal na˜o e´ de energia nem de poteˆncia. Isso acontece porque tanto a energia quanto a poteˆncia tendem a infinito
na soma total.
b) x[n] = 2−nu[n]
Soluc¸a˜o: O sinal e´ de energia.
c) x[n] = cos
(pi
4
n
)
Soluc¸a˜o: O sinal e´ de poteˆncia.
d) x[n] = cos
(pi
4
n
)
, para 0 ≤ n < 8
Processamento Digital de Sinais Jose´ Alexandre Nalon
12
Soluc¸a˜o: O sinal e´ de energia.
19. Para cada um dos sistemas abaixo, determine se ele e´ causal, linear, invariante com o tempo e esta´vel.
a) H{x[n]} = e−nx[n]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ linear, causal, variante com o tempo e insta´vel.
b) H{x[n]} = x[2n]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ linear, causal, variante com o tempo e esta´vel.
c) H{x[n]} = x[n− 1]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ linear, causal, invariante com o tempo e esta´vel.
d) H{x[n]} =
1
n
x[n]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ linear, causal, variante com o tempo e insta´vel.
e) H{x[n]} =
1
n2
x[n]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ linear, causal, variante com o tempo e insta´vel.
f) H{x[n]} = x[n]− 2x[n− 1] + x[n− 2]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ linear, causal, invariante com o tempo e esta´vel.
g) H{x[n]} =
n∑
k=−∞
x[k]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ linear, causal, invariante com o tempo e insta´vel.
h) H{x[n]} = ax[n] + b
Soluc¸a˜o: O sistema e´ na˜o-linear, causal, invariante com o tempo e esta´vel.
i) H{x[n]} = −x[−n]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ linear, causal, variante com o tempo e esta´vel.
j) H{x[n]} = x2[n]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ na˜o-linear, causal, invariante com o tempo e esta´vel.
k) H{x[n]} = log x[n]
Soluc¸a˜o: O sistema e´ na˜o-linear, causal, invariante com o tempo e insta´vel.
20. Calcule a convoluc¸a˜o entre as sequ¨eˆncias x[n] e h[n] abaixo. Fac¸a uma representac¸a˜o gra´fica de cada uma das
sequ¨eˆncias e da sequ¨eˆncia resultante da convoluc¸a˜o:
Jose´ Alexandre Nalon Processamento Digital de Sinais
13
a) x[n] = δ[n+ 2] + 2δ[n+ 1] + δ[n] + δ[n− 1]
h[n] = δ[n]− δ[n− 1] + δ[n− 4] + δ[n− 5]
Soluc¸a˜o:
x[n] ∗ h[n] = δ[n+ 2] + δ[n+ 1]− δ[n] + 3δ[n − 3]
= +3δ[n− 4] + 2δ[n− 5] + δ[n− 6]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1
0
1
2
3
b) x[n] = δ[n] + δ[n− 1]− 2δ[n− 2]
h[n] = u[n]
Soluc¸a˜o:
x[n] ∗ h[n] = δ[n] + 2δ[n− 1]
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
0
1
2
3
c) x[n] = u[n]
h[n] = δ[n]− δ[n− 1]
Soluc¸a˜o:
x[n] ∗ h[n] = δ[n]
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
d) x[n] = u[n]
h[n] = δ[n]− δ[n− 3]
Soluc¸a˜o:
x[n] ∗ h[n] = δ[n] + δ[n− 1] + δ[n− 2]
-2 -1 0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
e) x[n] = δ[n] + 2δ[n− 1]
h[n] = δ[n− 2]
Soluc¸a˜o:
x[n] ∗ h[n] = δ[n− 2] + 2δ[n− 3]
0 1 2 3 4 5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f) x[n] = e−nu[n]
h[n] = e−nu[n]
Soluc¸a˜o:
x[n] ∗ h[n] = (n+ 1)e−nu[n]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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14
g) x[n] = αnu[n]
h[n] = βnu[n]
com |α| < 1 e |β| < 1.
Soluc¸a˜o:
x[n] ∗ h[n] = α
n+1 − βn+1
α− β u[n]
O gra´fico abaixo usa α = 0, 9 e β = 0, 75.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
h) x[n] = cos
pi
4
n, para 0 ≤ n < 8
h[n] = δ[n]− δ[n− 1]
Soluc¸a˜o:
x[n] ∗ h[n] = 1√
2
δ[n]− δ[n− 8]
+
√
2− 1√
2
cos
(pi
4
n
)
− 1√
2
sen
(pi
4
n
)
=
1√
2
δ[n]− δ[n− 8]
+
√
2−
√
2 cos
(pi
4
n+
pi
8
)
para 0 ≤ n ≤ 8. Os impulsos aparecem devido a`
variac¸a˜o existente nos limites de x[n].
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
21. Demonstre que (αnx[n]) ∗ (αny[n]) = αn(x[n] ∗ y[n]).
Soluc¸a˜o: Essa convoluc¸a˜o e´ dada pela expressa˜o desenvolvida a seguir:
(αnx[n]) ∗ (αny[n]) =
∞∑
k=−∞
αkx[k]αn−ky[n− k]
=
∞∑
k=−∞
αkαn−kx[k]y[n− k]
=
∞∑
k=−∞
αnx[k]y[n− k]
= αn
∞∑
k=−∞
x[k]y[n− k]
= αn(x[n] ∗ y[n])
22. Demonstre que, se x[n] e´ uma func¸a˜o perio´dica com per´ıodo N , enta˜o a sa´ıda de um sistema linear e invariante
com o tempo cuja entrada e´ x[n] tambe´m sera´ perio´dica com per´ıodo N .
Soluc¸a˜o: Um sistema linear e invariante com o tempo e´ completamente descrito pela convoluc¸a˜o com sua resposta ao impulso,
operac¸a˜o que pode ser escrita como
y[n] =
∞∑
k=−∞
h[k]x[n− k]
em que y[n] e´ a resposta do sistema para a entrada x[n], e h[n] e´ a resposta do sistema ao impulso. Para verificar se o sinal de
sa´ıda e´ perio´dico, fazemos:y[n+N ] =
∞∑
k=−∞
h[k]x[n+N − k]
Como, por hipo´tese, x[n] e´ perio´dica, enta˜o x[n+N − k] = x[n− k], portanto:
y[n+N ] =
∞∑
k=−∞
h[k]x[n− k] = y[n]
Portanto o sinal de sa´ıda e´ perio´dico.
Jose´ Alexandre Nalon Processamento Digital de Sinais
15
23. Demonstre que se um sistema linear e invariante com o tempo e´ sem memo´ria, enta˜o h[n] = aδ[n], com a ∈ C.
Soluc¸a˜o: Um sistema linear e invariante com o deslocamento e´ completamente definido pela convoluc¸a˜o do sinal de entrada
com a resposta ao impulso. Essa operac¸a˜o e´ definida por:
y[n] =
∞∑
k=−∞
h[k]x[n− k]
Um sistema sem memo´ria na˜o pode depender de amostras passadas ou futuras do sinal de entrada. Para que isso acontec¸a
nesse caso, portanto, e´ necessa´rio que h[n] = 0 para n 6= 0. Assim, a resposta ao impulso conte´m apenas uma amostra de
amplitude arbitra´ria em n = 0. Nenhuma hipo´tese precisa ser feita a respeito dessa constante — por exemplo, ela pode ser um
nu´mero complexo qualquer. Portanto, para que o sistema seja sem memo´ria, e´ necessa´rio que
h[n] = aδ[n]
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