Matrizes1.MJ.2010.2

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
*
Álgebra Linear II 
Capitulo1: Matrizes
Prof Mario Jorge 
2010-2
*
*
Índice:
Introdução
Operações com matrizes
Tipos especiais de matrizes
Exercícios
Aplicações
Software 
*
	O conceito de matriz tem origem no estudo de sistemas lineares de equações e remonta aos 300 AC com os Babilônios. Entre 200 AC e 100 AC, os chineses chegaram ainda mais perto das matrizes e dos determinantes que os Babilônios. 
	Escrito durante a Dinastia Han, os Nove Capítulos da Arte Matemática apresenta os primeiros exemplos de métodos matriciais.
*
*
*
*
Uma matriz com n(j) colunas e m(i) linhas é chamada de uma matriz m×n e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem: 
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é escrito como ai,j ou a[i,j].
*
*
Representação de Matrizes
Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas, como nos exemplos:
*
*
3x2
3x3
*
*
*
*
1 x 3 
5 x 1 
*
*
*
Adição
Amxn = [aij] Bmxn = [bij]
A + B = [aij +bij]mxn = [cij]
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Multiplicação por Escalar
Propriedades:
K x (A + B) = k x A + k x B
(k1 +k2) x A = k1x A + k2 x A
0 x A = 0, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula.
k1 x (k2 x A) = (k1x k2) x A
*
*
 Multiplicação de matrizes
		Sejam A = [aij]mxn e B = [bij]pxq duas matrizes, tais que n = p. Define-se o produto A x B como sendo uma matriz C = [cij]mxq (nº de linhas da 1ª e nº de colunas da 2ª) onde cada cij é formado pela soma dos elementos da linha i da matriz A multiplicados pelos elementos da coluna j da matriz B, isto é,  . 
		 Ou seja, 
*
*
Exemplo:
 3 5 2 5 7 0
 Sejam as matrizes A = 1 4 e B = 9 2 8 1
 2 6
		A ordem da matriz A é 3 x 2 e a da matriz B é 2 X 4. O produto A x B é possível pois o número de colunas de A que é 2 é igual ao número de linhas de B. O produto será 3 x 4 pois A tem 3 linhas e B tem 4 colunas. Veja esquema a seguir:
 
 
		Seja C a matriz produto tal que A x B = C = [cij]. Calculando os elementos da C, temos: c11 = soma dos produtos dos elementos da linha 1 de A pelos elementos da coluna 1 de B = 3.2 + 5.9 = 51 c12 = idem linha 1 de A e coluna 2 de B = 3.5 + 5.2 = 25 c13 = idem linha 1 de A e coluna 3 de B = 3.7 + 5.8 = 61 c14 = idem linha 1 de A e coluna 4 de B = 3.0 + 5.1 = 5 c21 = idem linha 2 de A e coluna 1 de B = 1.2 + 4.9 = 38 De forma semelhante obtém-se os demais elementos de C: c22 = 1.5 + 4.2 = 13        c23 = 1.7 + 4.8 = 39     c24 = 1.0 + 4.1 = 4     c31 = 2.2 + 6.9 = 56        c32 = 2.5 + 6.2 = 17     c33 = 2.7 + 6.8 = 62     c34 = 2.0 + 6.1 = 6 
 
*
*
Propriedades
Considerando a multiplicação de matrizes, podem ser comprovadas as propriedades abaixo:
 	1) AB ≠  BA (não é comutativa). 
 	2) A.(B.C) = (A.B).C  (associativa).
3) A.(B + C) = A.B + A.C (distributiva em relação à adição)
4) r(AB) = (rA).B = A.(r.B) (multiplicação por escalar) 	5) (A.B)T = BT.AT 
*
*
*
*
Multiplicação de Matrizes
Propriedades:
AB ≠ BA ;
 AI = IA = A , I = Matriz identidade ;
A(B+C) = AB + AC (Distributiva) ;
4) (AB)C = A(BC) (Associativa) ;
5) (AB)’ = B’A’ ;
6) 0.A = A.0 .
*
Exercícios
*
*
*
Exercícios
01. A imobiliária CASANOVA, visando incentivar o trabalho de seus corretores, costuma, em cada trimestre, premiar os que atingem maior pontuação por aluguéis e vendas concretizadas, atribuindo 12 pontos a cada unidade alugada e 15 pontos a cada unidade vendida. A matriz representa o desempenho de um corretor dessa imobiliária nos i meses do primeiro trimestre de 2007, em relação aos 	aluguéis ( j = 1 ) e vendas ( j = 2 ) por ele efetuadas. Qual o total de pontos acumulados por esse corretor, no referido período?
*
*
RESOLUÇÃO:
a11 = 5 x 12 + 4 x 15 = 120 
a21= 3 x 12 + 1 x 15 = 51
 a31= 2 x 12 + 3 x 15 = 69
*
*
02. Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (frutas, leites e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos.
		
		A matriz M mostra a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados.
 		
		A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:
*
*
RESOLUÇÃO:
a11 = 0,006 x 200 + 0,033 x 300 + 0,108 x 600 = 75,9
	 a21 = 0,001 x 200 + 0,035 x 300 + 0,018 x 600 = 21,5
 a31= 0,084 x 200 + 0,052 x 300 + 0,631 x 600= 411
*
*
	03. Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, Português, Ciências e Estudos Sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra abaixo:
 
		Sabe-se que as notas de todos os bimestres tem o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos os elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:
*
*
RESOLUÇÃO:
M =			 x 					
RESPOSTA E
*
*
	04. Se uma matriz quadrada é tal que At = - A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que D é anti-simétrica e os termos a12, a13 e a23 de D, valem respectivamente:
	a) -4, -2 e 4
	b) 4, 2 e -4
	c) 4, -2 e -4
	d) 2, -4 e 2
	e) 2, 2 e 4
*
*
RESOLUÇÃO:
4 + a = - (4 + a)  2a = -8  a = - 4
a12 = - a 
a13 = - b
b + 2 = - (b +2)  2b = -4  b = - 2
a23 = - c
2c - 8 = - (2c -8)  4c = 16  c = 4
a12 = 4; a13 = 2 e a23 = - 4  RESPOSTA B
*
*
Exercícios
1) Monte a Matriz Quadrada de ordem 2, A = (aij) com aij = (-1)i+j . i . j.
2) Sejam A e B matrizes n x n, tais que A² = 0, B² = 0 e (A+B)² = 0. Mostre que (AB)³ = 0. 
3) A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B = 0. Prove que AB = BA.
*
*
1) Monte a Matriz Quadrada de ordem 2, A = (aij) com aij = (-1)i+j . i . j.
*
*
2) Sejam A e B matrizes n x n, tais que A² = 0, B² = 0 e (A+B)² = 0. Mostre que (AB)³ = 0. 
(A+B)²
(AB)³ = AB . AB . AB
= A . BA . B . AB
BA = -AB
= A² + AB + BA + B²
= 0
= A . (-AB) . B . AB
= -A² . B . B . AB
(AB)³ = 0
*
*
3) A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B = 0. Prove que AB = BA.
AB + A + B = 0
A . (B + I) + B = 0
A . (B + I) + B + I = I
A . (B + I) + I . (B + I) = I
(A + I) . (B + I) = I
(A + I) . (B + I) = (B + I) . (A + I)
AB + A + B + I = BA + A + B + I
AB = BA
*
*
Exercícios
Seja A = 
Se Se A = A, então x =
t
*
*
Exercícios
Ache x, y, z, e w se:
2x+3y = 1
3x+4y = 0
2z+3w = 0
3z+4w= 1
x=-4, y=3, z=3, w=-2
*
*
Exercícios
Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
 
      a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
      b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
      c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
      d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
      e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B. 
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
*
*
Exercícios
Respostas:
*
Exercícios
*
*
*
*
*
*
*
Aplicações de Matrizes
*
 Engenharia Mecânica 
 Projeto de peças de automóveis
 Engenharia Civil
 Projeto de estruturas de vigas metálicas
 Otimização
- Matriz de Halevi – Manufaturas em pequenos lotes
*
Aplicações de Matrizes
 Computação Gráfica 
– Processo de mudança de cor
 Efeitos Especiais
Geração de movimentos e deformações
 Engenharia Elétrica 
– Resolução de circuitos elétricos
*
Aplicações de Matrizes
Ciência:
Engenharia
Economia
Computação
Genética
*
Aplicações de Matrizes
 
As matrizes são conhecidas por sua capacidade de armazenar grande quantidade de números. Esta característica faz com que sejam muito utilizadas em trabalhos com informações abundantes.
Em diversas situações diárias as matrizes são encontradas. Um grande exemplo são as planilhas feitas em computadores. Estas são matrizes usadas para organizar custos, marcar pontuação de campeonatos e realizar contabilidade de empresas por economistas. Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as associadas a redes estaduais de distribuição de energia elétrica, grandes redes de comunicações(como na utilização de fibra ótica), redes de transportes, entre outros.
*
*
	>Utilidades Diárias:
Área de telecomunicações
Animações 
Aparelhos eletrônicos (televisores, máquinas fotográficas, celulares)
*
*
Aplicações de Matrizes
Utensílios:
Máquinas de calcular
Máquinas fotográficas
Televisão(digital/analógica)
Aplicações 3D
*
*
Engenharia:
 Elétrica
Mecânica
Computação
*
*
Química
*
Genética
*
*
Aplicação de Matrizes
*
*
Muitas animações que vemos no cinema utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel. Para isso, utilizam vetores, matrizes e aproximações poligonais de superfícies para determinar a característica de cada pixel. Um simples quadro de um filme criado no computador tem mais de dois milhões de pixels, o que torna indispensável o uso de computadores para realizar todos os cálculos necessários.
*
*
A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dos games de computadores e nas visualizações das simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Nessas aplicações o problema computacional não reside no tamanho das matrizes, mas quantidade delas e na rapidez que precisamos fazer as multiplicações (para que tenhamos um movimento realístico).
*
*
Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única matriz, mas cujo tamanho pode ir à ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso é o que ocorre comumente em problemas que envolvem o estudo de campos elétricos, magnéticos, de tensões elásticas, térmicos, etc, os quais - por um processo de discretização - são reduzidos a um sistema de equações lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos mais comuns em vários campos da Engenharia.
*
*
Obs.:Matriz de um sistema linear Considerando o que se expôs sobre o produto de matrizes, temos novas perspectivas para expressar qualquer sistema de equações lineares. Observe como se expressa o seguinte sistema de equações por uma igualdade de matrizes: 
Assim, se denominamos A à matriz com os coeficientes; x à matriz coluna das incógnitas; e B à matriz coluna integrada pelos termos independentes, o sistema de equações lineares anterior equivale a uma simples equação entre matrizes da forma: AX=B 
 
*
*
Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as associadas a redes estaduais de distribuição de energia elétrica, grandes redes de comunicações, redes de transporte, etc.
*
*
As matrizes são muito utilizadas na computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em computação gráfica, para se resolver sistemas de equações, etc. Na engenharia elétrica, é muito difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes. Trabalhar com uma malha de linha de transmissão e passar esse circuito para forma matricial é mais fácil. Na mecânica também é muito importante, pois os tensores (grandeza) só são fornecidos em forma de matriz. Os determinantes simplificam e sistematizam a resolução de sistemas de equações lineares.
*
*
Aplicação de matrizes para otimizar a programação da manufatura
Tem como objetivo procurar por sistemas de planejamento e programação da produção cada vez mais eficientes. Apresenta-se uma ferramenta matricial para o cálculo e seleção otimizada entre planos de processos alternativos desenvolvida por Gideon Halevi (HALEVI, 1993), aplicada na produção de pequenos lotes.
*
*
A Matriz de Halevi, 
 Aplicada na resolução de problemas de planejamento e programação da manufatura de empresas que trabalham com pequenos lotes. A ferramenta foi concebida para apoiar as tomadas de decisões necessárias em diferentes estágios da produção, dando a possibilidade de escolher entre diferentes critérios de otimização: mínimo tempo de produção, mínimo custo, máximo lucro, etc.. Sua concepção teórica assim como seu arranjo matricial fazem da matriz uma boa ferramenta para atender o planejamento e a programação da produção da moderna manufatura em pequenos lotes. A ferramenta foi programada e disponibilizada na forma de um software.
*
*
*
*
Outra aplicação de operações com matrizes é no campo das ciências biológicas para auxiliar os biocientistas em seus cálculos.
	Para o tratamento dos diabéticos são utilizadas, entre outros remédios, as insulinas que se apresentam em várias concentrações e tipos. Com os dados das insulinas que um paciente deva fazer seu tratamento, podemos montar matrizes para o controle do consumo de cada uma.
	Matriz com a quantidade de pacientes por tipo de medicamento utilizado: 
*
*
Aplicações
Elétrica
Computação
Mecânica
Automóveis
*
*
 Na engenharia elétrica, é muito difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes.Trabalhar com uma malha de linha de transmissão é passar esse circuito para forma matricial mais fácil.
1 - Elétrica
*
*
As matrizes são muito utilizadas na computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em computação gráfica, para se resolver sistemas de equações , etc.
Reduzindo o movimento de uma figura ao de um conjunto FINITO de seus pontos
 O interesse de atingir esse objetivo está em que ele nos possibilitará reduzir o movimento rígido da figura à uma multiplicação de duas matrizes 
2 - Computação
*
*
Atualmente, o projeto de novas peças para automóveis é realizado através de simulações em computadores, dada a necessidade de produzir modelos novos com o menor custo e em menor tempo possíveis. O método dos elementos finitos é aplicado na modelagem das peças e no estudo das tensões produzidas sobre elas para avaliar a sua resistência (procura-se reduzir ao mínimo possível a possibilidade de que uma peça se quebre ou não funcione como deva, antes de se produzir o protótipo). Isso resulta em matrizes freqüentemente com milhares ou milhões de variáveis e são necessários algoritmos muito poderosos para se lidar com estas matrizes e resolver os sistemas lineares resultantes. 
3 - Mecânica
*
*
Uma aplicação de Álgebra Linear à Engenharia Automobilística: obtenção da freqüência natural do eixo traseiro de um automóvel através de métodos numéricos. Na indústria automobilística, hoje em dia, existe uma crescente necessidade de testes em componentes ainda
na fase de projeto a fim de prever seu desempenho quando em condições de operação. Fenômenos vibratórios como a ressonância de componentes automotivos em relação às velocidades de rotação do motor e tipos de terreno devem ser levados em consideração, pois podem levar a estrutura a esforços e desgastes excessivos diminuindo sua vida útil ou aumentando o desconforto do usuário. O procedimento experimental utilizado pela indústria para testes sobre o comportamento vibracional envolve um alto custo no desenvolvimento do produto. Assim, é necessária a implantação de métodos numéricos simples e precisos de forma a predizer as freqüências naturais dos componentes e a faixa de sua atuação. Para tanto, o Método das Matrizes de Transferência oferece não só rapidez e precisão, como simplicidade e versatilidade. 
4 -Automóveis 
*
*
Software
 - MatLab (Matrix Laboratory) foi criado em 1970 por Cleve Moler
- Linguagem mais eficiente que Fontran e C
*
*
*
*
Matriz Quadrada
Matriz Nula
Softwares
*
*
Matriz Coluna
Matriz Linha
Softwares
*
*
Matriz Identidade
Softwares
*
*
Soma de Matrizes:
- Para somarmos matrizes, elas devem ser de mesma ordem.
- Conhecemos as matrizes A e E:
- Basta usar o comando A+E para que a adição seja feita:
Softwares
*
*
Soma de Matrizes:
- Ao tentar somar matrizes de diferentes ordens, o programa irá retornar uma mensagem de erro:
Sempre que alguma operação for executada errada, o programa irá retornar uma mensagem de erro parecida com essa.
Softwares
*
*
Multiplicação por escalar:
- É só usar o comando K*A onde A é a matriz e K é o escalar.
Multiplicação por matrizes:
- É só usar o comando C*D onde C e D são matrizes, respeitando as regras do produto matricial.
Softwares
*
*
Softwares
Exemplo:
Suponha que um corretor da bolsa de valores faça um pedido para comprar ações como segue: 400 cotas de A a $500/cota; 500 cotas de B a $400/cota; 600 cotas de C a $250/cota.
a) Encontre o custo total usando multiplicação de matrizes:
% cotas
% preços
*
*
Softwares
b) Qual será o ganho ou a perda quando as ações forem vendidas a:
A = $600 B = $350 C = $300
cotas
preços
$595.000 – $550.000 = $95.000
*
*
Maple
*
*
Maple
O Maple é um sistema algébrico computacional, hoje na sua 13ª versão. Foi lançado para o público pela primeira vez em 1985, tendo sido criado em 1980 na Universidade de Waterloo, Canadá.
*
*
Maple
O Maple é um sistema algébrico computacional, hoje na sua 13ª versão. Foi lançado para o público pela primeira vez em 1985, tendo sido criado em 1980 na Universidade de Waterloo, Canadá.
*
*
Maple
Definindo as Matrizes
A:= matrix(2,2[1,3,5,6]
	|1 3|
	|5 6|
Define a matriz(2 por 2)
Inserimos entre colchetes os números da matriz
Invertendo Matrizes
Inverse(A)
	|-2/3 1/3|
	| 5/9 -1/9| 
*
*
Maple
Calculando Determinante
Det(A)
	-9
Achar a matriz transposta
Transpose(A)
	|1 5|
	|3 6|
*
*
Maple
A := matrix(2,2,[1,2,3,4])
B :=matrix(2,2,[-1,-2,-3,-4])
Evalm(A+B)
	|0 0|
	|0 0|
Somando matrizes
Evalm(A-B)
	|2 4|
	|6 8|
Subtraindo matrizes
*
*
Maple
Multiplicação de matrizes:
Multiply(A,B)
	|- 7 -10|
	|-15 -22|
Evalm(2*A)
	| 2 6|
	|10 12|
Multiplicação da matriz por uma
constante
*
*
Exemplos de operações com matrizes
*
*
MATLAB
*
*
MATLAB
O MATLAB (Matrix Laboratory) é um software de alta perfomance voltado para o calculo numérico, é um sistema interativo cujo o elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento.
Criado nos fim dos anos 70 por Cleve Moler, então presidente do departamento de ciências da computação da Universidade do Novo México.
Em 1983, um engenheiro chamado Little Jack conheceu o MATLAB e visando lucros promoveu sua venda.
Em 1984, é fundada a MATHWORKS, empresa a qual, até hoje, pertence a marca MATLAB.
*
*
MATLAB
RECURSOS
Construção de gráficos;
Funções pré-definidas de análise de dados;
Cálculos com matrizes e vetores;
Integração com outras plataformas:
	Ex.: C, C++, Excel, etc.
UTILIZAÇÃO
O software é um ambiente fácil de usar pois problemas e soluções são, na maioria das vezes, expressos como são escritos matematicamente;
Operadores básicos: “+”, “-”, “*”, “/” e “^”;
Atribuição de valor a uma variável: “VARIÁVEL=VALOR”;
Declaração de uma matriz “M”: M=[1 2 3; 4 5 6].
*
MATLAB
SENTENÇAS
A = [1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1]
	(declaração de uma matriz “A”)
C = A*3
	(multiplicação por escalar)
*
MATLAB
SENTENÇAS
B = A’
	(“B” é a transposta de “A”)
D = A*B
	(Multiplicação de Matrizes)
X = inv(A)
	(“X” é a inversa de “A”)
I = X*A
	(Se “X” é a inversa de “A”, ‘I” é a matriz identidade 3x3)
*
MATLAB
Esta é a área de trabalho do MATLAB após as operações. Ao lado esquerdo no topo, temos os valores e tipos de variáveis e na base o histórico de operações.
*
*
Software matemático “Mathematica 7”
*
*
O Mathematica 7 é um software matemático extremamente abrangente.Além de servir como plataforma de programação ele nos oferece recursos úteis, tais como:
- Efetuar cálculos numéricos
 - Operar expressões algébricas (por exemplo, resolver equações envolvendo literais)
-         - Gerar uma grande variedade de gráficos (em 2-D e 3-D)
 - Produzir documentos com alta qualidade para impressão.
-   - Cálculo estrutural, séries temporais, redes neurais, otimização, programação linear, análises, entre outros.
*
*
Foco em Matrizes:
 Adição (+) -> Retorna a soma de duas matrizes
 Subtração (-) -> Retorna a diferença de duas matrizes
 Multiplicação (.) -> Retorna o produto de duas matrizes (só quando o numero de linhas de uma é igual ao número de colunas da outra.)
1 – Operações (símbolo do programa):
*
*
2 – Funções (nome):
-  Matriz Inversa: Inverse
-  Matriz Transposta: Transpose
-  Determinante da Matriz: Det
-  Matriz Identidade: IdentityMatrix
-  Matriz Diagonal: DiagonalMatrix
 Potência: MatrixPower
 Mostrar graficamente em forma de matriz: MatrixForm
*
*
Exemplos:
*
*
*
*
*
Tipos Especiais de Matrizes
Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual m = n. Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. 
	
					 2 3
					 5 6 
 
 
Uma Matriz Linha é toda aquela na qual m = 1. Isto é, ela possui apenas uma linha.
 					 [ 1 3 5 ]
*
Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual n = 1. Isto é, ela possui apenas uma coluna. 
	 2
	 3
	 5
 
	Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual m = n e cujo elemento Ai,j = 0 se i diferente de j. Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal. 
	 2 0 0 
	 0 5 0 
 	 0 0 9 
*
Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual m = n cujo elemento Ai,j = 0 se i diferente de j e Ai,j= X. Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor. 
 
	2 0 0
	0 2 0
	0 0 2 
 
	Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos Ai,j = 0. Isto é, se todos os seus elementos forem nulos. 
	0 0 0
	0 0 0 
	0 0 0 
*
Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual m = n cujos elementos Ai,j = 0 se i diferente de zero e Ai,j = 1 se i = j. Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1. 
 
	1 0 0
	0 1 0 
 	0 0 1 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*