Matrizes2009-2.Em1

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Álgebra Linear II 
Trabalho – Matrizes
Prof º Mario Jorge 
Mecânica 2009.2
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Matrizes
Grupo:
 Bruno Dutra Valério
 Emanuelle Maciel
 Jackeline Leal Aleksitch
 Joao Pedro Fabres
 Leonardo Ribas Neves
 Matheus Donadio
 Natalia Rodrigues Guerra
 Nathália dos Santos Ribeiro
 Paulo Henrique Amaral
 Pedro Behnken
 Pedro de Paiva Romeiro
 Vitor Piffer Arbucias
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Índice:
Introdução
Operações com matrizes
Processes Estocásticos
Métodos de Resolução
Maple
MatLab 
Mathematica 7
Aplicações de matrizes
Tipos especiais de matrizes
Exercícios
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Representação de Matrizes
Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas, como nos exemplos:
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Uma matriz com m(i) colunas e n(j) linhas é chamada de uma matriz m×n e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem: 
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é escrito como ai,j ou a[i,j].
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3x2
3x3
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Introdução
 DEFINIÇÃO:
 Um processo Estocástico é um processo cujo comportamento é não-determinístico, no sentido em que cada estado desse processo não determina completamente qual será o seu estado seguinte. Matematicamente, um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias, ou seja, se X é um processo estocástico, então X(t) é uma variável aleatória para cada valor de t pertencente ao conjunto índice T. Intuitivamente, se uma variável aleatória unidimensional é um número real que varia aleatoriamente, um processo estocástico é uma função que varia aleatoriamente. 
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Processos Estocásticos
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Gráficos
Processo Estocástico: 
 Uma variável que evolve no tempo de uma maneira que é pelo menos parcialmente aleatória.
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Processos Estocásticos
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Classificação
 Processos Estocásticos foram inicialmente utilizados na física para descrever o movimento de partículas. Podem ser classificados dentro das seguintes categorias:
Processos de Tempo Contínuo: A variável pode mudar o seu valor em qualquer momento de tempo.
Processos de Tempo Discreto: A variável somente pode alterar o seu valor a intervalos fixos de tempo. 
Variável Contínua: A variável pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo. 
Variável Discreta: A variável pode assumir apenas alguns valores discretos.
Processos Estacionários: A média e variância são constantes no tempo. 
Processos não-estacionários: O valor esperado da variável aleatória pode crescer sem limite e sua variância aumenta com o tempo.
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Processos Estocásticos
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Classificação
 A maioria dos problemas reais são modelados utilizando-se processos estocásticos de tempo contínuo com variável contínua. Por outro lado, processos de tempo contínuo exigem o uso de cálculo para a resolução das equações diferenciais estocásticas que modelam estes processos.Processos de tempo contínuo podem ser aproximados através de processos discretos, cuja modelagem é mais simples.
 A seguir, estudaremos os principais processos estocásticos: Processo de Markov, Randow Walk e Processos de Wiener (Movimento Browniano).
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Processos Estocásticos
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Processos de Markov
 O Processo de Markov é um processo estocástico onde somente o valor atual da variável é relevante para predizer a evolução futura do processo. Isso significa que valores históricos ou mesmo o caminho através do qual a variável atingiu o seu valor atual são irrelevantes para a determinação do seu valor futuro. Dentro desse modelo, seria impossível prever o valor futuro de uma ação baseado em informações históricas de preço.
 Uma forma de descrever uma cadeira de Markov é através de um diagrama de estados, como o da figura ao lado.
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Processos Estocásticos
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Random Walk
 Random Walk, ou Caminho Aleatório, é um dos processos estocásticos mais básicos. O nome deriva do caminho seguido por um marinheiro bêbado andando ao longo do cais. Os seus passos trôpegos variam aleatoriamente de direção enquanto que o seu destino final se torna mais incerto com tempo. Random Walk é um processo de Markov em tempo discreto.
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Processos Estocásticos
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Processo de Wiener
 Um processo de Wiener é um processo estocástico que tem uma média de zero e variância de um por ano. O processo de Wiener é um caso particular do processo de Markov (tempo contínuo), e também é conhecido como Movimento Browniano. Esse processo foi descrito pela primeira vez pelo botânico Robert Brown em 1827, e é utilizado na física para descrever o movimento de pequenas partículas sujeitas a um grande número de pequenos choques aleatórios. Este processo tem esse nome em homenagem ao matemático Norbert Wiener, que em 1923 desenvolveu a teoria matemática do movimento Browniano. 
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Processos Estocásticos
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Métodos de Resolução
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Método 1: Árvore de probabilidades
Método 2: Multiplicação por uma matriz de transição. P(n) é uma matriz de transição de passo n.
Processos Estocásticos
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Exemplo 1
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Passeio Aleatório 
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Exemplo 2
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Pesquisa de Mercado
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Maple
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Maple
O Maple é um sistema algébrico computacional, hoje na sua 13ª versão. Foi lançado para o público pela primeira vez em 1985, tendo sido criado em 1980 na Universidade de Waterloo, Canadá.
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Maple
Definindo as Matrizes
A:= matrix(2,2[1,3,5,6]
	|1 3|
	|5 6|
Define a matriz(2 por 2)
Inserimos entre colchetes os números da matriz
Invertendo Matrizes
Inverse(A)
	|-2/3 1/3|
	| 5/9 -1/9| 
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Maple
Calculando Determinante
Det(A)
	-9
Achar a matriz transposta
Transpose(A)
	|1 5|
	|3 6|
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Maple
A := matrix(2,2,[1,2,3,4])
B :=matrix(2,2,[-1,-2,-3,-4])
Evalm(A+B)
	|0 0|
	|0 0|
Somando matrizes
Evalm(A-B)
	|2 4|
	|6 8|
Subtraindo matrizes
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Maple
Multiplicação de matrizes:
Multiply(A,B)
	|- 7 -10|
	|-15 -22|
Evalm(2*A)
	| 2 6|
	|10 12|
Multiplicação da matriz por uma
constante
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Exemplos de operações com matrizes
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MATLAB
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MATLAB
O MATLAB (Matrix Laboratory) é um software de alta perfomance voltado para o calculo numérico, é um sistema interativo cujo o elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento.
Criado nos fim dos anos 70 por Cleve Moler, então presidente do departamento de ciências da computação da Universidade do Novo México.
Em 1983, um engenheiro chamado Little Jack conheceu o MATLAB e visando lucros promoveu sua venda.
Em 1984, é fundada a MATHWORKS, empresa a qual, até hoje, pertence a marca MATLAB.
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MATLAB
RECURSOS
Construção de gráficos;
Funções pré-definidas de análise de dados;
Cálculos com matrizes e vetores;
Integração com outras plataformas:
	Ex.: C, C++, Excel, etc.
UTILIZAÇÃO
O software é um ambiente fácil de usar pois problemas e soluções são, na maioria das vezes, expressos como são escritos matematicamente;
Operadores básicos: “+”, “-”, “*”, “/” e “^”;
Atribuição de valor a uma variável: “VARIÁVEL=VALOR”;
Declaração de uma matriz “M”: M=[1 2 3; 4 5 6].
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MATLAB
SENTENÇAS
A = [1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1]
	(declaração de uma matriz “A”)
C = A*3
	(multiplicação por escalar)
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MATLAB
SENTENÇAS
B = A’
	(“B” é a transposta de “A”)
D = A*B
	(Multiplicação de Matrizes)
X = inv(A)
	(“X” é a inversa de “A”)
I = X*A
	(Se “X” é a inversa de “A”, ‘I” é a matriz identidade 3x3)
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MATLAB
Esta é a área de trabalho do MATLAB após as operações. Ao lado esquerdo no topo, temos os valores e tipos de variáveis e na base o histórico de operações.
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Software matemático “Mathematica 7”
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O Mathematica 7 é um software matemático
extremamente abrangente.Além de servir como plataforma de programação ele nos oferece recursos úteis, tais como:
- Efetuar cálculos numéricos
 - Operar expressões algébricas (por exemplo, resolver equações envolvendo literais)
-         - Gerar uma grande variedade de gráficos (em 2-D e 3-D)
 - Produzir documentos com alta qualidade para impressão.
-   - Cálculo estrutural, séries temporais, redes neurais, otimização, programação linear, análises, entre outros.
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Foco em Matrizes:
 Adição (+) -> Retorna a soma de duas matrizes
 Subtração (-) -> Retorna a diferença de duas matrizes
 Multiplicação (.) -> Retorna o produto de duas matrizes (só quando o numero de linhas de uma é igual ao número de colunas da outra.)
1 – Operações (símbolo do programa):
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2 – Funções (nome):
-  Matriz Inversa: Inverse
-  Matriz Transposta: Transpose
-  Determinante da Matriz: Det
-  Matriz Identidade: IdentityMatrix
-  Matriz Diagonal: DiagonalMatrix
 Potência: MatrixPower
 Mostrar graficamente em forma de matriz: MatrixForm
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Exemplos:
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Aplicações de Matrizes
 
As matrizes são conhecidas por sua capacidade de armazenar grande quantidade de números. Esta característica faz com que sejam muito utilizadas em trabalhos com informações abundantes.
Em diversas situações diárias as matrizes são encontradas. Um grande exemplo são as planilhas feitas em computadores. Estas são matrizes usadas para organizar custos, marcar pontuação de campeonatos e realizar contabilidade de empresas por economistas. Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as associadas a redes estaduais de distribuição de energia elétrica, grandes redes de comunicações(como na utilização de fibra ótica), redes de transportes, entre outros.
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Aplicações de Matrizes
Ciência:
Engenharia
Economia
Computação
Genética
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	>Utilidades Diárias:
Área de telecomunicações
Animações 
Aparelhos eletrônicos (televisores, máquinas fotográficas, celulares)
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Tipos Especiais de Matrizes
Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual m = n. Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. 
	
					 2 3
					 5 6 
 
 
Uma Matriz Linha é toda aquela na qual m = 1. Isto é, ela possui apenas uma linha.
 					 [ 1 3 5 ]
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Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual n = 1. Isto é, ela possui apenas uma coluna. 
	 2
	 3
	 5
 
	Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual m = n e cujo elemento Ai,j = 0 se i diferente de j. Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal. 
	 2 0 0 
	 0 5 0 
 	 0 0 9 
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Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual m = n cujo elemento Ai,j = 0 se i diferente de j e Ai,j= X. Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor. 
 
	2 0 0
	0 2 0
	0 0 2 
 
	Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos Ai,j = 0. Isto é, se todos os seus elementos forem nulos. 
	0 0 0
	0 0 0 
	0 0 0 
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Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual m = n cujos elementos Ai,j = 0 se i diferente de zero e Ai,j = 1 se i = j. Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1. 
 
	1 0 0
	0 1 0 
 	0 0 1 
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Exercícios
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Processos Estocásticos
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Processos Estocásticos
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Processos Estocásticos
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Processos Estocásticos
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Processos Estocásticos
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Processos Estocásticos
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Processos Estocásticos
Processos Estocásticos
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Processos Estocásticos
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Processos Estocásticos
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