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Processos Estocásticos
Grupo: Murilo Reis, Marcelo De Cicco, Luís Claudio
Professor: Mario Jorge
Álgebra Linear II (MAE125)
Índice
Introdução
Vetores probabilidades e matrizes estocásticas
Matrizes estocásticas regulares
Pontos fixos e convergência
Processos de Markov:
a. Matriz de transição
b. Distribuição estacionária
c. Estados Absorventes
d. Exercícios, aplicações
 
1. Introdução
	Processos Estocásticos são fenômenos que variam em algum grau, de forma imprevisível, à medida que o tempo passa. Neste caso, o experimento aleatório determina o comportamento de algum sistema para uma seqüência de variáveis aleatórias, num determinado intervalo de tempo.
 
2. Vetor Probabilidade
Um vetor de probabilidades ou vetor estocástico é um vetor com entradas não-negativas que totaliza 1.
 
2. Matrizes Estocásticas
Em matemática, uma matriz estocástica (também denominado matriz de probabilidade, matriz de transição, matriz de substituição, ou matriz Markov) é uma matriz usada para descrever as transições de uma cadeia de Markov. Cada uma de suas entradas é um número real não negativo que representa uma probabilidade. 
 
Na mesma linha, pode-se definir vetor estocástico (também chamado de vetor de probabilidade) como um vetor cujos elementos são números reais não negativos que resumem a 1.
3. Matriz Estocástica Regular
	
Um caso especial de uma matriz estocástica é a matriz regular. Uma matriz estocástica A é dita ser regular, se todos os elementos de pelo menos uma potência específica de A são positivos e diferentes de zero. Matrizes regulares são importantes para o cálculo de probabilidades de processos dependentes (cadeias de Markov). Para uma matriz regular sempre uma matriz inversa existe, o que satisfaz a seguinte equação: A x A^(-1) = A^(-1) x A = I.
4. Ponto fixo e convergência
 Ponto fixo de uma matriz A é o vetor probabilidade que multiplicado por esta - ou a matriz multiplicada pelo vetor* - não se altera:
t . A = t
Quando uma matriz de transição é regular, as linhas convergem para um vetor probabilidade fixo t, também chamado de ponto fixo.
 Aⁿ.V → t (quando “n” → ∞)
 
 * Para que a multiplicação possa ocorrer, o número de colunas da primeira matriz da multiplicação deve ser o mesmo número de linhas da segunda. Logo, se o vetor for representado por uma matriz de linha única, então ele será o primeiro fator na multiplicação. Se for de coluna única, será o segundo.
5. Processos de Markov
É um processo de transição aleatória entre estados, e cuja probabilidade de transição entre dois estados (inicial e final) depende exclusivamente destes.
 
 Ex:
 a1 a2 probabilidade: p12 
Nos processos de Markov, representamos as probabilidades de transição entre dois estados i e j (pij) numa matriz estocástica Amxm, chamada matriz de transição.
p11 p12 p13 ... p1m 
p21 p22 p23 ... p2m
p31 p32 p33 ... p3m
... ... p ij ... ...
pm1 pm2 pm3 ... pmm
Onde cada elemento “pij” representa a probabilidade de transição do estado i para o j.
4a. Cadeias de Markov e Matriz de Transição
É nada mais do que uma sequência de processos de markov. Nestas, cada matriz a partir da inicial, é uma potência da matriz de transição inicial. 
Quando uma matriz de transição (que é estocástica) tem pelo menos uma de suas potências com todas as entradas (elementos) positivas (aij > 0), ela é dita regular.
5a. Distribuição estacionária
5b. Estados Absorventes 
5c. Exercícios e Aplicações
VAMOS, AGORA ,ENTRAR NO MUNDO DO MATHEMATICA