Processos_Estocasticos_2011.1

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CAPA
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ÍNDICE
Introdução
Teoria das Probabilidadess
História de Markov
Cadeias de Markov
Previsões a Longo Prazo
Aplicações
Exercícios
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INTRODUÇÃO
	Vários processos naturais ou que ocorrem na sociedade podem ser estudados por um modelo aproximado como se o fenômeno passasse por uma sucessão de estados, partindo de um estado inicial, em que a transição entre eles seria determinada por uma probabilidade. 
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INTRODUÇÃO
	Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias indexadas por elementos t pertencentes a determinado intervalo temporal. Intuitivamente, se uma variável aleatória é um número real que varia aleatoriamente, um processo estocástico é uma função temporal que varia aleatoriamente.
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INTRODUÇÃO
	De forma simplificada, podemos dizer que processos estocásticos são processos aleatórios que dependem do tempo.
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Teoria das Probabilidades
	O conjunto de todos os possíveis do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω.
	Para cada evento A associa-se um n° real P(A) indicando a probabilidade de A ocorrer .
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Teoria das Probabilidades
Operações com eventos :
 
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Teoria das Probabilidades
Eventos são ditos mutuamente exclusivos se , e só se , eles não puderem ocorrer simultaneamente.
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Teoria das Probabilidades
	Assim teremos as seguintes propriedades:
0  P(A)  1
P(Ω) = 1
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A*) = 1 – P(A)
	Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então:
P(AUB) = P(A) + P(B)
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Historia de Markov
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Historia de Markov
Andrei Andreyevich Markov foi um matemático russo. 
Formou-se na universidade de St. Petersburg em 1878 e veio a se tornar professor na mesma em 1886. 
Os primeiros trabalhos de Markov foram limite de integrais e teoria da aproximação.
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Cadeia de Markov
Pode-se estudar muitos fenômenos naturais, sociais e urbanos, como uma sequências de estados, onde a transição de um determinado estado para o próximo ocorre segundo uma certa probabilidade . 
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Cadeia de Markov
	No caso em que a probabilidade depende apenas do estado em que o fenômeno se encontra e do estado a seguir, o processo será chamado Processo de Markov e uma sequência de estados seguindo esse processo será denominada uma Cadeia de Markov.
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Cadeia de Markov
 Por exemplo, uma população é dividida em três estados (ricos, classe media e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudança de um estado para outro seja constante no tempo, só dependa dos estados. 
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Cadeia de Markov
Seja Ti,j a probabilidade de mudança do estado j para o estado i em uma unidade de tempo (geração).É importante ter cuidado com a ardem dos índices . A matriz :
É chamada matriz de transição.
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Cadeia de Markov
	A distribuição da população inicial entre os três estados pode ser descrita pela seguinte matriz:
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Cadeia de Markov
		A matriz Po caracteriza a distribuição inicial da população entre os três estados e é chamada vetor de estado. Após uma unidade de tempo a população estará dividida entre os três estados da seguinte forma:
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Cadeia de Markov
	Lembre-se que t ij é a probabilidade de mudança do estado j para o estado i. Assim a matriz de estado após uma unidade de tempo é dada pelo produto de matrizes.
 P¹ = TPo.
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Cadeia de Markov
Relembrando:
Propriedade “Memoryless”: 
As informações de estados passados são irrelevantes; 
 O tempo que o processo está no estado atual é irrelevante
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Previsões a longo prazo 
Para podermos fazer previsões a longo prazo , a matriz T deve cumprir certas condições. Assim,introduziremos a definição a seguir:
Definição: Uma matriz das probabilidades de transição é regular se alguma de suas potências tem todos os elementos não nulos.
A importância da matriz regular para as previsões a longo prazo é dada pelo teorema a seguir:
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Previsões a longo prazo 
Teorema: 
Se a matriz Tr x r das probabilidades de transição é regular, então:
i) As potencias T^n aproximam-se de uma matriz P, no sentido de que cada elemento de T^n aproxima-se do elemento correspondente em P.
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Previsões a longo prazo 
ii) Todas as colunas de P são iguais, sendo dadas por um vetor-coluna
 Com p1>0, p2>0, ..., pr>0
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Previsões a longo prazo
iii) Para qualquer vetor de probabilidades inicial
O vetor de probabilidades T^n V1 aproxima-se de V (dado no item anterior). 
iv) O vetor V é o único vetor que satisfaz V=VT
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Exemplo: Suponhamos que em uma determinada região, a cada ano, 3% da população rural migra para as cidades, enquanto que apenas 1% da população urbana migra para o meio rural. Se todas as demais condições permanecerem estáveis, as condições políticas não mudarem e estas porcentagens de migração continuarem as mesmas, qual deve ser a relação entre as populações urbana e rural desta região a longo prazo ?
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Como a matriz é regular, a longo prazo as probabilidades PR, de viver no meio rural e PU, de viver no meio urbano, devem satisfazer :
Ou seja, a longo prazo e se não houver modificações nas tendências de migração, teremos 25% da população no meio rural e 75% da população no meio urbano.
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Aplicações
 Movimento Browniano
O movimento browniano é o movimento aleatório de partículas macroscópicas num fluido como conseqüência dos choques das moléculas do fluido nas partículas.
Também pode ser observado quando luz é incidida em lugares muito secos, onde macro partículas "flutuam" em movimentos aleatórios. 
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Movimento Browniano
Esse movimento está diretamente ligado com muitas reações em nível celular, como a difusão, a formação de proteínas, a síntese de ATP e o transporte intracelular de moléculas.
O Movimento Browniano é um caso particular de Cadeia de Markov conhecido como Processo de Wiener.
Há um padrão nesse movimento aleatório que o classifica como um movimento fractal. Quem primeiro percebeu isso foi Benoît Mandelbrot.
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Fractais
Fractais são objetos geométricos que podem ser divididos em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original, geralmente auto-similares e independentes de escala. 
Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.
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Fractais
O matemático Nobert Wiener demonstrou que a curva browniana em duas dimensões tem comprimento infinito. 
O caminho traçado por uma partícula é tão complexo que, se esperássemos um tempo infinitamente longo, ela percorreria todo o plano, sem deixar de passar por nenhum ponto. 
Contrariando as aparências, o caminho percorrido pela partícula browniana não é uma linha, mas é uma superfície, e com isso, podemos afirmar que, nesse caso, a dimensão deste movimento é igual a 2.
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Aplicações de Cadeias de Markov 
Em Ciência da Computação
http://www.cs.umd.edu/users/oleary/res00/node1.html (Markov Chains are used to model processes such as behavior of queuing networks, 2001)
Economia
http://econpapers.hhs.se/paper/wpawuwppe/0205002.htm 
(The Evolution of Tax Evasion in the Czech Republic: A Markov Chain Analysis, 2003)
 http://faculty.darden.virginia.edu/pfeiferp/Homepage/ModelingCustomersasMarkovChains.pdf 
(Modeling Customer Relationships as Markov Chains, 2000)
 http://www.stat.fi/isi99/proceedings/arkisto/varasto/pell0333.pdf 
(Analysing economic Growth using Panel Data and Markov Chains)
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Aplicações de Cadeias de Markov 
Geologia
http://www.stieltjes.org/archief/rep9899/node19.html 
Medicina
http://cnx.rice.edu/content/m10861/latest/ 
(Introduction to continuous and discrete Markov chains, including the "birth and death" process, The
Connexion Project, Rice University)
Musica
http://ccrmawww.stanford.edu/~jacobliu/254report/ 
(Modeling Music as Markov Chains - Composer Identification, 2002) http://scholar.lib.vt.edu/theses/available/etd-61098 131249/unrestricted/dmfetd.pdf 
(Markov Chains as Tool for Jazz Improvisation Analysis)
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Exercícios
Questão 1) 
Problema sobre previsão de clima:
 Se hoje faz sol, existe ½ de chance de que faça sol novamente.
Se hoje chove, existe ¼ de chance de chover outra vez.
Qual a probabilidade de fazer sol amanhã? 
Solução:
 
É uma matriz estocástica regular pois sua primeira potência possui todos os elementos estritamente positivos. Assim, podemos concluir que quaisquer que sejam as probabilidades iniciais, as probabilidades a longo prazo são dadas por: 
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Exercícios
Como devemos ter Pc + Ps = 1 (Que é a probabilidade total), temos:
Pc + 3/2 Pc = 1 ou seja:
Pc= 2/5 e Pc = 3/5.
Assim , a probabilidade de fazer sol amanhã é de 3/5.
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Exercícios
Questão 2) 
Suponha que só existe opção de escolha para dois refrigerantes: Guaraná e Pepsi.
 Se uma pessoa escolheu guaraná, existe 90% de chance de que peça novamente guaraná.
 Se a pessoa tiver escolhido Pepsi, a chance de que peça este refrigerante outra vez é de 80%.
 Se a pessoa é atualmente consumidora de guaraná, qual é a probabilidade de que escolha guaraná no terceiro pedido futuro?	
 
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Exercícios
Solução:
Os pedidos de cada consumidor podem ser interpretados como uma Cadeia de Markov de dois estados, descritos como:
 Estado 1 = A pessoa escolheu guaraná da última vez (G);
Estado 2 = A pessoa escolheu pepsi da última vez (P);
 Vamos definir:
 Xo = refrigerante escolhido no presente;
Xn = refrigerante escolhido no n-ésimo pedido futuro;
A seqüência Xo, ..., Xn, pode ser descrita como a seguinte Cadeia de Markov:
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Exercícios
Podemos agora responder às perguntas.
1. Se uma pessoa é atualmente consumidora de pepsi, qual a probabilidade de que escolha guaraná no segundo pedido futuro?
Queremos:
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Exercícios
2. Se a pessoa é atualmente consumidora de guaraná, qual é a probabilidade de que escolha guaraná no terceiro pedido futuro?
Queremos:
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Solução 
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Bibliografia
Algebra Linear-Boldrini/Costa 3ª edicao.
http://www.cs.umd.edu/users/oleary/res00/node1.html
http://www.stieltjes.org/archief/rep9899/node19.html 
http://econpapers.hhs.se/paper/wpawuwppe/0205002.htm