Determinantes_e_matriz_inversa

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Determinante e Matriz Inversa
Alunos:
Caio Villaça
Gabriel Bastos
Iuri Gabriel
Introdução
Em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). 
No Ocidente este assunto começou a ser tratado esporadicamente a partir do século XVII. Nesta época surgem trabalhos de G.W. Leibniz (1646-1716), de G. Cramer (1704-1752) que desenvolveu um método de resolução de sistemas através de determinantes, conhecido por “Regra de Cramer” e La Place ( 1749-1827).
A partir de então, o uso de determinantes difundiu-se muito e este conceito de um número associado a uma matriz quadrada mostrou-se extremamente útil para caracterizar muitas situações, como a de saber se uma matriz é inversível, se um sistema admite ou não solução
Conceitos Preliminares
Consideremos o sistema ax = b com a diferente de 0. A solução deste sistema é x = b/a.
Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema, ou seja, [a].
Num sistema 2x2: 
Subistituindo e resolvendo,encontramos:
Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coeficientes do sistema:
Num sistema 3x3: 
ao procurarmos os valores de x1, x2, x3: 
Vemos que eles têm o mesmo denominador a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31, que também está associado à matriz dos coeficientes do sistema.
Como generalização Determinante de uma matriz quadrada [Aij]mxn é dada pela definição a seguir:
é o número de inversões da permutação (J1,J2 J3J4,...Jn) e p indica que a soma e estendida a todas as n! permutações (1 2 ...n).
Uma permutação dos inteiros 1, 2, ..., n, existe uma inversao quando um inteiro precedo outro menor que ele.
Para entender melhor: 
Dada uma matriz A, lembremos que o cofator Aij do elemento aij da matriz é Aij=(-1)i + j.(mij), onde mij é o determinante da submatriz de A,obtida extraindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna
Dessa forma com estes cofatores podemos formar uma nova matriz que é a matriz dos cofatores de A, denominada de cof(A).
Exemplo:
Dada uma matriz(A)= 1 -2
 3 0
Determinamos a matriz dos co-fatores de A: 
 A11 = (–1)(1 + 1) · (0) = (–1)(2) . (0) = 0 
 A12 = (–1)(1 + 2) · (3) = (–1)(3) . (3) = –3 
 A21 = (–1)(2 + 1) · (–2) = (–1)(3) . (–2) = 2 
 A22 = (–1)(2 + 2) · (1) = (–1)(4) . (1) = 1 
	Dessa forma encontramos a matriz dos cofatores de A,que é: 
 cof(A) = 0 -3
 2 1 
Assim, por definição, a matriz adjunta, (adj(A)), é 
 transposta da matriz dos cofatores:
 (cof A)t = 0 2 = adj(A)
 -3 1
 Agora vamos efetuar o exemplo,adj(A).A:
 0 2 . 1 -2 = 6 0
 -3 1 3 0 0 6
 
	Dessa forma conclui-se que , adj(A).A = det(A).In:
 6 0 = 6 . 1 0 . Logo det(a) = 6.
 0 6 0 1 
Propriedades:
Determinates
Determinante é uma função matricial que associa um escalar à uma matriz quadrada. Sendo assim, um determinante só pode ser gerado de matrizes quadradas, ou seja, uma matriz com o número de linhas igual ao número de colunas.
Para uma matriz de primeira ordem, o determinante é a própria matriz. 
 A11= [-3] DET= -3
 Para uma matriz de segunda ordem, seu determinante é calculado pela diferença da multiplicação dos termos de sua diagonal principal pela diagonal secundária.
Para uma matriz de terceira ordem, o determinante pode ser calculado pela operação de repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado direito da matriz e calcular suas diagonais de tal modo que a diferença das diagonais resulte na determinante. Visto no exemplo...
Além disso, para uma matriz 3 x 3 ou de maior ordem podemos, também, utilizar o desenvolvimento de Laplace, que será explicado adiante
Propriedades: 
1) Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A são nulos, DET A = 0.
2) DET A = DET A'
3) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante.
4) Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal.
5) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais é zero.
6) O determinante de uma soma de duas matrizes não é igual à soma dos determinantes das matrizes. Ou seja, DET (A + B) é diferente de DET A + DET B.
7) DET (A x B) = DET A x DET B
Desenvolvimento de Laplace
Para calcular matrizes de terceira ordem ou maiores que esta, podemos utilizar fórrmulas prontas e outras artimanhas. Porém, se para calcular uma matriz de terceira ordem pelo método mostrado anteriormente já é "um pouquinho trabalhoso", imagine para calcular uma de quinta, sétima, de N ordem. 
Felizmente, existe um método chamado: Desenvolvimento de Laplace
"Esse método é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem N, a partir dos determinantes das submatrizes de ordem N - 1. Em grande parte dos casos ele simplifica muito o cálculo de determinantes, principalmente se for utilizado um conjunto com outras propriedades dos determinantes."
Veja bem, podemos escrever a fórmula de um determinante de uma matriz de terceira ordem de tal maneira:
 Observe que o determinante da matriz inicial 3 x 3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes 2 x 2, isto é:
Ao número DELTA(ij), chamamos COFATOR ou complemento algébrico do elemento a(ij). Observe que na fórmula dada, o determinante foi "desenvolvido" pela i-ésima linha. Uma forma análoga é válida para as colunas.
Uma forma de entender e fazer mais facilmente o desenvolvimento de Laplace é "olhar para os incomuns". Por exemplo, se tomarmos como no exemplo anterior, uma coluna, no caso a segunda coluna da matriz 3 x 3. Vemos que o elemento da primeira linha linha é multiplicado por uma submatriz formada pelos elementos que não pertencem nem à primeira linha, tanto quanto a segunda coluna. O segundo elemento da segunda coluna multiplica uma submatriz formada pelos elementos que não estão nem na segunda linha e nem na segunda coluna, e assim por diante. O processo análogo dará o mesmo resultado.
Matriz Adjunta
Dada uma matriz A, lembramos que o Cofator DELTA (ij) do elemento a(ij) da matriz é:
 Onde A(ij) é a submatriz de A, obtida extraindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Com esse cofatores podemos formar uma nova matriz A, denominada matriz dos cofatores de A.
 
Uma matriz adjunta é justamente a transposta da matriz dos cofatores de A.
 ADJ A = COF A'
Se multiplicarmos a matriz A pela sua adjunta encontraremos uma matriz identidade de mesma ordem, multiplicada por um escalar corresponde a DET A.
pelo teorema: A x adj A = DET A x I
Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A de ordem n chamamos de inversa de A uma matriz B tal que A x B = B x A = In. 
Existem 2 condições para que uma matriz tenha inversa:
A) A matriz precisa, necessariamente, ser quadrada;
B) O determinante da matriz tem de ser diferente de 0.
Pela definição 
Propriedades:
Exemplo:
Processo de inversão
Veremos aqui um processo de inversão de matrizes baseado em operações com as linhas da matriz.
Teorema: Dada uma matriz A, o resultado de uma operação com as linhas de A é o mesmo que o resultado da multiplicação da matriz elementar correspondente a operação com a matriz A.
 (Matriz elementar é obtida a partir da identidade)
Exemplo:
Se multiplicarmos a primeira linha desta matriz por 2:
O resultado é:
Que é igual a:
Propriedade:
 Uma matriz elementar E é inversível e sua inversa é a matriz elementar
E* que corresponde a operação, nas linhas, inversa da efetuada por E
 Ou seja : Se a operação correspondente a E for multiplicar a linha da matriz A por 2, a sua inversa E* corresponde a multiplicar a mesma linha por ½.
Procedimento para a inversão.
Teorema: Se A é uma matriz inversível, a sua matriz linha reduzida a forma escada é a matriz identidade.
 Para determinar qual é a matriz inversa de A teremos que fazer diversas operações com as linhas da matriz A para que esta fique na forma escada linha reduzida ,e ao mesmo tempo teremos que fazer operações na matriz identidade para que esta se torne a inversa de A.
Exemplo: Temos a matriz: 
Agora colocamos ela junto da matriz identidade]
1)
2)
3)
5)
6)
Agora a matriz identidade é a da esquerda e a inversa da A fica à direita:
Exercício: Dada a matriz:
Calcule:
Adj A
Det a
Inversa da A 
Fontes : livro boldrini.