Mario_Jorge_The_Legend_-_Determinantes_e_Matriz_Inversa

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Determinantes e 
Matriz Inversa
Alunos: Ana Carolina Nascimento
 Karícia Godoy
 Pedro Henrique Nogueira
 Raffael Siqueira
 Yago Serpa
Tópicos
1. Introdução
2. Conceitos Preliminares
3. Determinante
4. Desenvolvimento de LaPlace
5. Matriz Inversa
6. Regra de Cramer
7. Cálculo do posto de uma matriz
8. Matrizes Elementares
9. Procedimento para inversão de matrizes
10. Exercícios
Introdução
Já em 250 a.C havia exemplos de resolução de sistemas de equações através de matrizes, no livro chinês "Nove Capítulos", de autor desconhecido.
Mas, se por um lado já se utilizava a noção de determinantes no mundo Oriental há tanto tempo, no Ocidente, este assunto começou a ser tratado esporadicamente a partir do século XVII. Nesta época surgem trabalhos de G.W Leibniz (1646-1716) e de G.Cramer(1704-1752) que desenvolveu um método de resolução de sistemas através de determinantes conhecido como "Regra de Cramer". Só no século XIX é que os determinantes passaram a ser estudados mais sistematicamente, a começar pelo longo tratado de A.L Cauchy (1789-1857) em 1812, tendo sido realizados, em seguida, trabalhos de C.G Jacobi (1804-1851).
A partir de então, o uso de determinantes difundiu-se muito e este conceito de um número associado a uma matriz quadrada mostrou-se extremamente útil para caracterizar muitas situações, como a de saber se uma matriz é inversível ou se um sistema admite ou não solução.
Conceitos Preliminares
Consideremos o sistema ax = b com a diferente de zero. A solução deste sistema é x = b/a.
Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema, ou seja, [a].
Em um sistema 2 x 2, temos:
Resolvendo(desde que seja possível):
Notamos que os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coeficientes do sistema:
Em um sistema 3 x 3:
Sendo possível resolver, ao procurarmos o valor de x1, x2 e x3, vemos que eles têm o denominador a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 em comum, que também está associado à matriz dos coeficientes do sistema.
Determinantes
O determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada A um número real denotado por det(A).
Qual sua utilidade?
	•Caracterizar matrizes não-invertíveis (matrizes singulares);
	•Explicar soluções de sistemas lineares (regra de Cramer) e fórmula de matriz inversa.
Determinantes - Propriedades
•Somente as matrizes quadradas possuem determinantes;
•Determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais :
•Decorre deste teorema que qualquer propriedade relativa às linhas é válida para colunas e vice-versa.
 a b a b
 c d = ad-bc = c d
Determinantes
Casos que o determinante é nulo:
•A matriz possui todos os elementos de uma uma linha ou uma coluna iguais a zero;
•A matriz tem duas filas (linhas ou colunas) paralelas iguais ou proporcionais ou combinadas linearmente.
Determinantes
•Determinante da matriz inversa : 1/det(A);
•Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma determinante, ele muda de sinal;
•Se multiplicarmos ou dividirmos os elementos de uma fila por um número, o determinante também fica multiplicado ou dividido por esse mesmo número;
Métodos para calcular:
•Determinante de primeira ordem:
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M = |a11| = a11
Métodos para calcular:
•Determinante de 2ª ordem:
O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
 a11 a12
det M = = a11 . a22 - a12 . a21
 a21 a22
Métodos para calcular:
•Para calcularmos o determinante de 3ª ordem utilizamos a Regra de Sarrus.
Dada uma matriz, repete-se à direita, a 1ª e a 2ª colunas, multiplicando os elementos seguindo cada diagonal, observando sempre o sinal.
 
 a b c b c
 d e f e f
 g h i h i
det = aei + bfh + cei - cei - bfh - ceg
Desenvolvimento de LaPlace
Ideal para calcular o determinante de matrizes de ordem maior do que 3.
Exemplo: 
 1 0 10 0 
 D= 3 -2 1 -1
 5 0 -3 -2
 9 0 4 7 
Escolhemos uma linha ou uma coluna, (quanto maior o número de zeros melhor), e somamos o produto entre os elementos e seus respectivos co-fatores: 
 
 D= (a12 x A12) +(a22 x A22) + (a32 x A32) + (a42 x A42)
 
 D= (0) + ((-2) A22) + (0) + (0)
 
O co-fator se dá por (-1) elevado á linha mais a coluna onde se encontram o elemento vezes o determinante da matriz que obtemos quando eliminamos a linha 2 e a coluna 2.
 
 D= (-2) x (-1)²+² x D22 = -2 x D22
 
 
 1 10 0 1 10 
D22= 5 -3 -2 5 -3 = -21-180+0+0+8-350 = -543 
 9 4 7 9 4
 
0 -8 350 -21 -180 0 
 
 
 
 D= (-2) x (-543)
 
 D= 1086
Matriz Inversa
Uma matriz A é dita como inversa quando existe uma outra matriz B de mesma ordem que se relacione com ela da seguinte maneira:
A.B = B.A = I
Sendo I a matriz identidade.
Logo, podemos definir que B = Inversa de A
Exemplos de Matriz Inversa
•2x2:
 2 -5 3 5
A = -1 3 B = 1 2
 2 -5 3 5 2*3+(-5)*2 2*5+(-5)*2
A.B = -1 3 * 1 2 = (-1)*3+3*1 (-1)*5+3*2 
= 1 0
 0 1
Condições para existência
Para que uma matriz possa ser considerada inversa ela deve apresentar as seguintes características :
	•Ela deve ser uma matriz quadrada;
	•Seu determinante não pode ser nulo;
	•Para uma determinada matriz A, só pode existir uma única matriz inversa da mesma.
Encontrando a matriz inversa
Um método rápido e prático para se encontrar a matriz inversa de uma matriz A é através de Sistemas Lineares.
Ex.: Como obter a inversa de A = 3 1 ?
 2 1
Solução : Suponto que B = a b é a matriz in-
 c d
versa de A, temos:
Encontrando a matriz inversa
AB = 3 1 a b = 1 0
 2 1 c d 0 1
 3a+c 3b+d = 1 0
 2a+b 2b+d 0 1
Resolvendo os sistemas :
 a=1 ; b=-1 ; c=-2 ; d=3
Logo: B = A-1 = 1 -1
 -2 3
Propriedades:
• A inversa da matriz inversa é:
 [ A-1 ]-1 = A
Ou seja, a própria matriz.
•A transposta da Inversa é:
 [ A-1 ]t = [At]-1
Ou seja, a inversa da transposta.
Propriedades:
•Matriz inversa de um produto de matrizes:
 (AB)-1 = B-1 . A-1
O produto das inversas das matrizes, porém com a ordem trocada.
•Matriz quadrada Anxn diz-se ortogonal se:
 A-1 = At
Ou seja, se sua inversa for igual a sua transposta. Exemplo : 1 0
 0 -1
Regra de Cramer
Aplica-se apenas a sistemas lineares em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.
Sendo Det(A) 0
Usando a relação 
 da matriz 
 inversa:
O numerador dessa função é igual ao determinante da matriz que obtemos de A. Usando o desenvolvimento de Laplace:
Com deduções análogas:
Relembrando o que é posto de uma matriz
Já sabemos que um sistema de equações lineares pode ser apresentado na forma de uma matriz como o sistema:
que deve ser representado 
desta forma : 
Definição formal de posto
Após o escalonamento total de um sistema obtemos uma matriz com n+1 colunas (correspondendo ao total de n variáveis) e p linhas não nulas , correspondendo ao posto ou número de pivôs (número total de equações efetivas).O posto também será o número de linhas não nulas da matriz que por sua vez também remete ao número de variáveis dependentes obtidas.
 
Escalonando totalmente a matriz encontramos as soluções do sistema e o posto (p) (que é o número de linhas não nulas da matriz escalonada ).Neste caso o posto será 3.
Teoremas sobre soluções de sistemas
1) Um sistema de m equações e n incógnitas admite soluções se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
2) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p=n, a solução será única.
3) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p<n, podemos escolher n - p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas.
Cálculo do posto de uma matriz através de determinantes
Muitas vezes não precisamos resolver um sistema mas apenas verificar se há soluções e se a solução é única ou não.E calcular o posto sem ter que escalonar seria uma estratégia e tanto.E existe este método, através de determinantes.
TEOREMA:
O posto de uma matriz A (quadrada ou não) é dado pela maior ordem possível das submatrizes quadradas de A, com determinantes diferentes de zero. 
Matrizes Elementares
O Cálculo da inversa de uma matriz através de determinante, envolve um número muito grande de operações. O processo prático que vamos apresentar é baseado nas operações com linha de uma matriz e, em termos de cálculos, é muito vantajoso. O conceito de matrizes elementares aqui será utilizado para mostrar a validade deste processo e ainda para demonstrar vários resultados já enunciados em exemplos anteriores.
Exemplos:
Observemos inicialmente, que cada operação com as linhas de uma matriz corresponde a uma multiplicação dessa matriz por uma matriz especial.
Podemos observar nestes exemplos, que aplicar uma operação elementar nas linhas de uma matriz A é o mesmo que aplicar esta operação elementar na matriz Identidade e, em seguida, multiplicar esta nova matriz por A.
Através dos exemplos, percebemos que existe uma relação estrita entre as operações com linha de uma matriz e certas matrizes especiais construídas a partir da matriz identidade. Essas matrizes são denominadas matrizes elementares.
Procedimentos para inversão de matrizes
Teorema 1 - Se A é uma matriz inversível, sua matriz-linha reduzida à forma escalar, R, é a identidade. Além disso, A é dada por um produto de matrizes elementares. 
	A recíproca desse resultado irá fornecer um novo processo para se calcular a inversa da matriz A. Suponhamos que , ao reduzir A à forma escada linha reduzida , a matriz identidade será obtida como resultado. Neste caso, como a cada operação com linhas corresponde uma multiplicação por matriz elementar, Ei, teremos então:
Teorema 2- O resultado da prova anterior implica que se uma matriz pode ser reduzida à matriz identidade, por uma sequência de operações elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se a mesma a mesma sequência de operações com linha.
	Opera-se simultaneamente com as matrizes A e I por operações elementares até chegar a matriz I na posição correspondente à A. No lugar de I será obtida a matriz inversa de A.
Exemplo
Coloca-se ao lado da matriz a sua identidade e aplica-se as operações para transformar A na forma escada linha reduzida.
EXERCÍCIOS: Laplace
1)Calcule det 
em relação à segunda coluna,usando o desenvolvimento de Laplace.
2 0 -1
3 0 2
4 -3 7 
EXERCÍCIOS:Cramer
2) Dado o sistema:
2x - 3y + 7z = 1
x + 3z = 5
 2y - z = 0
Calcule pela Regra de Cramer (se puder) os valores das variáveis x,y e z.