Inversao_de_Matrizes_2011.01

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INVERSÃO
DE
MATRIZES
Grupo:
Bruno Campos
Caroline Menegussi
Jéssica Papa Álgebra Linear 2011-1
Lívia Abdala
Renata Reis Turma: IG1
Phillipe Mattos Prof. Mário Jorge
Thiago Cerqueira
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Índice:
Introdução 
Conceitos de inversão 
Condição e existência 
Matriz inversa
Propriedades
Métodos de obtenção
Aplicações 
Exercícios 
Bibliografia
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Introdução
 
 A fórmula para A-1 apareceu pela 1ª vez (de uma forma mais geral) no livro
Memoir on the 
Theory of Matrices 
publicado por 
Arthur Cayley
em 1858.
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Introdução
Matrizes inversas têm um papel importante nas operações matriciais, porque podem ser utilizadas para suprir uma operação da qual as matrizes carecem: a divisão. 
Como não podemos dividir matrizes, utilizamos a multiplicação pelo inverso para efetuar tal operação.
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Conceitos de inversão
De início, para que os produtos AB e BA estejam definidos e sejam iguais, é preciso que as matrizes A e B sejam quadradas. Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, onde todo número não nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não
possuem inversas.
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Conceitos de inversão
Todo número real a, não nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou seja, existe um número b, tal que a b = b a = 1. Este número é único e o denotamos por a-1. Apesar da aritmética matricial ser semelhante a aritmética dos números reais, nem todas as matrizes A não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz B tal que 
AB = BA = In 
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Condição e existência
A matriz quadrada M, de ordem n, admite inversa se, e somente se, det M ≠ 0. Neste caso a matriz M é chamada INVERSÍVEL ou regular, caso não admita inversa a matriz é dita singular. A sua inversa, que também é quadrada de ordem n e é representada por M-1, além de existir, é única e é definida por: M.M-1 = M-1.M = In, sendo In a matriz IDENTIDADE de ordem n. 
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Condição e existência
Se det M = 0, então a matriz M não tem inversa. Neste caso a matriz M é chamada NÃO-INVERSÍVEL ou singular. 
Assim sendo:
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Propriedades
Se A é uma matriz invertível, então A-¹ é invertível e 
 (A-1)-1=A
Se A é uma matriz invertível e c é um escalar não-nulo, então cA é uma matriz invertível e
 
 
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Propriedades
 Se A e B são matrizes invertíveis, então AB é invertível e 
  
			 (AB)-1=B-1 A-1
Se A é uma matriz invertível, então AT é invertível e 
 
			(AT)-1=(A-1)T
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Propriedades
 Se A é uma matriz invertível, então An é invertível para todo inteiro não negativo n e
 
 (An)-1=(A-1)n
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Métodos de obtenção
Método tradicional
 O método tradicional de procura da inversa consiste-se em associar símbolos arbitrários à uma matriz e aplicar a seguinte propriedade:
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A matriz inversa de , por exemplo, é do tipo , e da definição decorre que:
 
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Assim sendo:
O processo apresentado, embora simples e claro por utilizar apenas a definição, é muito trabalhoso, pois depende, de um modo geral, da resolução de n sistemas e de n equações a n
incógnitas. 
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Métodos de Obtenção:
Matriz Adjunta: 
 
 É um pouco mais rápido que o primeiro, especialmente para matrizes de segunda ordem.
 
 Ele é feito da seguinte forma:
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Ex: Para uma matriz de segunda ordem, a fórmula fica da seguinte forma:
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A transposta da Matriz dos Cofatores de A é a Matriz Adjunta de A e a representamos por Adj(A).
O cofator de um elemento aij de uma matriz A é obtido do seguinte modo:
 Inicialmente, traçamos uma reta vertical e outra horizontal por aij, riscando alguns elementos da matriz.
Calculamos o determinante Δ da matriz constituída dos termos não riscados.
 O cofator de aij é dado por Aij = (-1)i+j .Δ.
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Exemplo:
Dada a matriz:
Qual o cofator do elemento a12? 
Como i = 1 e j = 2, destacamos a 1ª linha e a 2ª coluna de A. 
 A12 = (-1)³ * = (-1)*(15-7) = - 8 
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Exemplo:
Obtendo a matriz inversa de A = ,por este processo, temos:
det A = = 12 - 11 = 1
 A' = 
Adj(A) = (A')T = 
A-1 = . Adj(A)= = 
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Este método consiste em emparelhar a matriz A com uma matriz identidade de mesma ordem e, através de certos procedimentos, transformar a matriz A em uma matriz identidade. 
Ao aplicarmos, simultaneamente, os mesmos procedimentos na matriz identidade emparelhada, obteremos a matriz inversa.
Método de Gauss-Jordan
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São permitidas as seguintes transformações lineares:
 Troca de linhas
 Multiplicação da linha por um escalar
 Soma de uma linha multiplicada por um escalar a uma outra linha.
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Exercícios
Seja a matriz abaixo, cuja inversa se deseja saber:
O primeiro passo é acrescentar uma matriz identidade de mesma ordem ao lado direito: 
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O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. 
Notar que esses escalares não são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado. 
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1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1
Com essa operação, consegue-se 1 no elemento 11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda.
Os elementos 12 e 13 tornam-se nulos, mas é apenas uma coincidência. Em geral isso não ocorre logo na primeira operação. 
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2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1
 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2
 
Com as operações acima, os elementos 21 e 22 tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária. 
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3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3 Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade: 
3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1 Multiplicação executada para fazer 1 no elemento 33 da matriz esquerda. 
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2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1 Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo.
E a matriz inversa é a parte da direita: 
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Matrizes elementares são do tipo identidade, só que no lugar de um zero está um número não nulo.
A inversa dessas matrizes consiste em trocar o sinal do elemento não nulo.
Para achar a inversa de uma matriz diagonal, basta fazer os inversos aritméticos dos elementos da diagonal.
Matrizes Elementares e Diagonais
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Algumas Aplicações
Solução de um sistema linear
Economia - Modelo Insumo-Produto (matriz inversa de Leontief)
Índice de sensibilidade à dispersão (matriz inversa de Jones)
Computação gráfica
Engenharias
 (por ex: estrutura metálica)
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Modelo Insumo – Produto
(matriz inversa de Leontief)
 Desenvolvido na década de 1930 por Wassily Leontief, ganhador do prêmio Nobel por sua criação. 
 Seu sucesso se deve ao fato de utilizar dados da economia real que podem ser obtidos de maneira relativamente fácil.
Registra a origem dos insumos e o destino das produções de uma economia.
Permite medir o impacto das mudanças na demanda final sobre a economia.
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Modelo Insumo – Produto
(matriz inversa de Leontief)
A metodologia básica para identificação dos setores-chave da economia é a seguinte:
				X = (I – A)-1F
Onde: 
X é o vetor da produção setorial; 
I é a matriz identidade; 
A é a matriz dos coeficientes técnicos, cujos elementos aij indicam o produto do setor i usado
diretamente pelo setor j para obtenção de uma unidade de demanda final do bem j; 
F é o vetor demanda final total.
(I – A)-1 é a matriz inversa de Leontief, que indica a estrutura da economia;
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Matriz Inversa de Jones
Permite calcular o índice de sensibilidade à dispersão.
Mede os impactos diretos e indiretos de cadeias de produtos
Xt = Vt(I – A*)-1
Na relação acima, a matriz (I – A*)-1 é a matriz inversa de Jones (1976). 
Onde: 
I = matriz identidade; 
A* = matriz dos coeficientes diretos de produto; 
Xt = vetor-coluna transposto dos valores brutos de produção (vetor linha); e 
Vt = vetor-coluna transposto do valor adicionado (vetor-linha).
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Computação Gráfica:
A inversão de matrizes também desempenha papel importante em gráficos computacionais, particularmente na renderização de gráficos de 3 dimensões e simulações 3D.
Exemplos do uso para esta finalidade:
O transporte de objetos para o espaço tridimensional computacional e simulações físicas.
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Aplicação na Engenharia
O projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas exige resolver um sistema de equações lineares.
A matriz dos coeficientes do sistema deve ser invertível para que a estrutura não colapse. 
Para uma mesma estrutura sujeita a forças externas variáveis, pode-se encontrar a matriz-coluna das forças que atuam sobre as vigas multiplicando-se a inversa da matriz que modela a estrutura metálica pela matriz-coluna das forças externas.
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Bibliografia
 Álgebra Linear - Boldrini, Jose Luiz
 Álgebra Linear - Lipschutz, Seymour
 Site Instituto Goiano de Matemática em URL: http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=73:matrizinversa&catid=41:conteudosal