Inver5sao_de_matrizes_EE1_

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ÁLGEBRA LINEAR
INVERSÃO DE MATRIZES
Engenharia Elétrica
GRUPO: Bruno Sessa, Clarissa Eccard, Elan Costa, Lucas Ferreira, Marceli Nunes, Rodrigo Lopes, Theo Back, Vanessa Santos.
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O QUE É INVERSÃO?
Na álgebra dos números reais, um número n é chamado de inverso de um número m e é indicado por m–1 se, e somente se, m · n = n · m = 1.
Assim,  3/5 é inverso de 5/3 , pois   
O conceito de inversão é usado para resolver equações do tipo ax + b = 0.
Observe o exemplo abaixo:
 4x = 12
Multiplicando-se ambos os membros pelo inverso de 4:
Pela definição de inverso:
 1 · x = 3
Pela propriedade do elemento neutro:
 x = 3
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MATRIZ INVERSA
A necessidade de resolver equações matriciais do tipo AX = B, em que A, X e B são matrizes, fez com que se estendesse a teoria de inversão de números reais para as matrizes.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente se,
 AB = BA = In 
 onde In é a matriz identidade.
A é chamada não singular (ou invertível), e se A não tem inversa, dizemos que A é singular (ou não invertível).
Se uma matriz A = (aij)n x n possui inversa, então a inversa é única.
De agora em diante, representaremos a inversa de A, quando ela existe, por A–1. Assim:
 AA–1 = A–1 A = In
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PROPRIEDADES DA INVERSA
Matriz inversa da inversa de uma matriz: é igual a própria matriz.
(A–1)–1 = A
Matriz transposta de uma matriz inversa: é igual a inversa da transposta.
(A–1)t = (At)–1
Matriz inversa de um produto de matrizes: é igual ao produto das inversas das matrizes.
(AB)–1 = B–1 · A–1
Uma matriz quadrada Anxn diz-se ortogonal se a sua inversa for igual à sua transposta
 A–1 = At
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OBTENÇÃO DA INVERSA POR SISTEMA
Obter a matriz inversa da matriz , se existir:
Supondo que é a matriz inversa da matriz A, temos:
Resolvendo os sistemas:
 a = 1, b = –1, c = –2  e  d = 3
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Portanto:
Verificando:
Portanto a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:
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OBTENÇÃO POR EQUIVALÊNCIA DA IDENTIDADE (CONDENSAÇÃO)
Ao condensar uma matriz pode-se trocar filas entre si, pode-se multiplicar uma fila por um escalar não nulo e pode-se substituir uma fila pela soma dela com o produto dum escalar (não nulo) por outra fila paralela.
Estas operações, são conhecidas por operações de Jacobi ou de Gauss Jordan. 
As técnicas de condensação não alteram a característica da matriz.
Achar uma inversa por condensação (ou equivalência da identidade) consiste em ampliar a matriz A pela matriz identidade da mesma ordem , condensar a matriz ampliada até aparecer a identidade da esquerda; e a que aparece à direita é a inversa.
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Vamos encontrar, se existir, a inversa de
1ª eliminação:
 O pivô da 1a linha é igual a 1. Logo, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 2ª linha, –1 vezes a 1ª linha.
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2ª eliminação:
 Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1a linha da matriz. Escolhemos como pivô um elemento não nulo da 1ª coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2,2 . Como temos que “fazê-lo” igual a 1, multiplicamos a 2ª linha por –1.
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3ª eliminação:
 Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se as duas primeiras linhas. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da primeira coluna não nula da submatriz. Este elemento é o elemento de posição 3,3. Como ele é igual a 1, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha, –1 vezes a 3ª linha e somamos à 2ª linha, –1 vezes a 3ª.
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Assim temos do lado esquerdo uma matriz identidade e do lado direito a inversa da matriz A original que estava do outro lado.
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OBTENÇÃO ATRAVÉS DA MATRIZ ADJUNTA
Pelo Teorema, tem-se que: 
 A–1 = 1 . (cofA)t
det A 
det A ≠ 0
cof A é a matriz dos co-fatores de A.
(cof A)t é a matriz transposta da matriz dos co-fatores. Também chamada de matriz adjunta de A.
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Dada a matriz , determine a sua inversa, se existir:
calculamos det A:
 det A = 0 + 6 = 6 , logo existe a matriz inversa de A.
determinamos a matriz dos co-fatores de A:
 A11 = (–1)1 + 1 · (0) = (–1)2 – 0 = 0
 A12 = (–1)1 + 2 · 3 = (–1) (3) = –3
 A21 = (–1)2 + 1· (–2) = (–1)(–2) = 2
 A22 = (–1)2 + 2 · (1) = (1)(1) = 1
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determinamos a transposta de cof A, isto é, sua adjunta:
finalmente, determinamos a matriz inversa da matriz A:
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OBTENÇÃO DE UM ELEMENTO DA INVERSA
Para calcularmos o elemento bij da matriz inversa da matriz A = (aij )m · n , aplicamos a fórmula abaixo, decorrente do teorema:
bij = 1 . Aji
 det A
 
 onde: Aji é co-fator de aji.
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Determinar o elemento b23 da matriz inversa de
det A = 1 · 3 · 1 = 3
B23 = 1 · A32
 det A
onde  A32= (-1)3+2 . 1 1 = -2
 0 2
b23 = 1/3 . (-2) = - 2/3
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OBTENÇÃO DA INVERSA POR PARTIÇÃO (BLOCOS)
Dada uma matriz vamos fazer uma partição:
de tal maneira que A11 seja quadrada.
Por exemplo:
A11= A12= A21= A22=
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Pretende-se encontrar uma matriz B= A–1 
pela definição da inversa será:
isto conduz ao seguinte sistema:
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Resolvendo o sistema temos:
B11 = A11 – A12 . A22–1 . A21
B12 = - A12 . A22–1 ( - A11 . A12 . A22–1 . A21 )–1 
B21 = - A22–1 . A21 . B11
B22 = - A22–1 . A22–1 . A21 . B21
Este método é utilizado em matrizes de grande porte que necessitam ser reparticionadas em blocos, sendo inviável usar qualquer um dos processos de inversão apresentados anteriormente. 
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SISTEMAS LINEARES COM MATRIZ INVERSA
Se um sistema linear A X = B tem o número de equações igual ao número de incógnitas, então o conhecimento da inversa da matriz do sistema A–1, reduz o problema de resolver o sistema a simplesmente fazer um produto de matrizes.
Se A é uma matriz n × n, então o sistema linear AX = B é um sistema de n equações e n incógnitas. Suponha que A é não singular (invertível). Então A–1 existe e podemos multiplicar AX = B por A–1 em ambos os lados, obtendo :
A–1(A X) = A–1 B
(A–1 A)X = A–1 B
In X = A–1 B
X = A–1 B
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Se A é uma matriz n x n, o sistema homogêneo AX = 0 tem solução não trivial (≠ 0) se, e somente se, A for singular (não invertível).
Suponha que A é não singular. Então A–1 existe, e multiplicando ambos os lados de por A–1, temos:
A–1(A X) = A–1 0
(A–1 A)X = 0
In X = 0
X = 0
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DICAS FINAIS
Exempo de um método simples e rápido para achar a inversa de uma matriz 2x2:
 
A= 2 4 1) Calcule o determinante da matriz
 3 5 detA= 10 – 12 = - 2 
A= 5 - 4 2) Troque de posição os elementos da diagonal
 -3 2 principal e mantenha os da secundária 
 invertendo o sinal.
A= 5/-2 -4/-2 3) Divida todos os elementos pelo
 -3/-2 2/-2 determinante da matriz.
 A–1 = -5/2 2
 3/2 -1
 
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Matriz elementares são do tipo identidade, só que no lugar de um zero está um número não nulo.
A inversa dessas matrizes , consiste em trocar o sinal ao elemento não nulo .
Para achar a inversa de uma matriz diagonal, basta fazer os inversos aritméticos dos elementos da diagonal.
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