Matrizes-Exercicios.2009-2

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Matrizes
Exercícios resolvidos 
Álgebra Linear
1
Equipe da NASA, responsável pelo cálculo das matrizes
relacionadas a entrada e saída de órbita dos veículos espaciais
2
Exercícios abordados
3
Calcule o determinante da matriz:
 
Exercício 1: 
Resolução: 
Calcule o determinante da matriz:
 P = (-278) * 1,893 W = (3)² * sen(30)
 P= - 526,254 W = 4,5
Det A = W – P = 4,5 – (-526,254) = 530,754 ͌͌͌͌
Exercício 1: 
Resolução: 
Dadas as matrizes e , determine a matriz X, 
tal que A . X =B
 
Exercício 2: 
Dadas as matrizes e , determine a matriz X, 
tal que A . X =B
Resolução: 
 
Condição de existência -> A2X2 . X iXj = B2X1 -> i=2 e j=1
Sendo assim, tem-se: . = => =
Resolvendo-se a igualdade de matrizes, obtemos o seguinte sistema: 
2x + 3y = 2
-x + 4 y = -1
Como encontramos x =1 e y = 0, a matriz X fica: 
 
Exercício 2: 
Exercício 3:
	 Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. 
Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
Exercício 3.a:
	
	
Resolução: 
Tem-se:
Amendoim = R$ 5,00/Kg
Castanha-de- caju = R$ R$ 20,00/Kg
Castanha-do-pará = R$ R$ 16,00/Kg
Peso total por lata = 0,5 Kg
Custo total dos ingredientes = R$ 5,15
Quantidade de castanha-de- caju = 1/3 quantidade castanha-do-pará + amendoim
Sendo, Amendoim => x ; caju => y ; castanha-do-pará => z
Produzimos o seguinte sistema linear:
 5x + 20y + 16 z = 5,75
 x + y + z = 0,5
 -1/3 x + y – 1/3 z = 0
Exercício 3.b:
	
	
Resolução: 
	Para que o sistema tenha solução, a matriz incompleta deve ter determinante diferente de zero.
 = 44/3 ≠ 0
	Dessa forma, sabe-se que o sistema é possível e determinado.
Agora, resolve-se por escalonamento da matriz completa (por simplificação):
Exercício 3.b:
	
	
Resolução: 
1º passo: zerar coeficientes de x:
(-1/5) T + P => =>
(1/15) T +W => =>
Exercício 3.b:
	
	
Resolução: 
2º passo: zerar coeficientes de y:
(35/45) P + W => =>
 =>
Exercício 3.b:
	
	
Resolução: 
3º passo: passo final
O sistema escalonado fica:
 5x + 20 y + 16z = 5,75 (I)
 -3y - 11/5z = - 3,25/5(II)
 -220/165z = -27,5/165 (III)
 De (III), obtém-se:
 z = 0,125
 Substituindo-se z em (II):
 y = 0,125
 Substituindo-se z e y em (I):
 x = 0,25
 
Exercício 3.b:
	
	
Resolução: 
3º passo: passo final
O sistema escalonado fica:
 5x + 20 y + 16z = 5,75 (I)
 -3y - 11/5z = - 3,25/5(II)
 -220/165z = -27,5/165 (III)
Resposta: cada lata deve conter 250 g de amendoim, 125 g de castanha-de-caju e 125 g de castanha-do-pará.
 
 De (III), obtém-se:
 z = 0,125
 Substituindo-se z em (II):
 y = 0,125
 Substituindo-se z e y em (I):
 x = 0,25
 
Obrigado!
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