pAlguns elementos que reforçam a importância da história da matemática na formação de professores

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO 
PUC-SP 
 
 
 
 
 
Wilson Monteiro 
 
 
 
 
 
 
Alguns elementos que reforçam a importância da história 
da matemática na formação de professores 
 
 
 
 
 
 
 
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2012 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO 
PUC-SP 
 
 
 
Wilson Monteiro 
 
 
 
 
 
 
Alguns elementos que reforçam a importância da história 
da matemática na formação de professores 
 
 
 
 
 
 
 
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da 
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 
como exigência parcial para obtenção do título de 
MESTRE em EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a 
orientação do Prof. Dr. Fumikazu Saito. 
 
 
 
 
São Paulo 
2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
WILSON, Monteiro, 1975- 
Alguns elementos que reforçam a importância da história da matemática na formação de professores 
/ Wilson Monteiro. – São Paulo, SP : s.n, 2012. 
116 f.: il. ; 30 cm 
Orientador: Fumikazu Saito. 
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Programa de Estudos Pós-
Graduados em Educação Matemática. São Paulo, SP, 2012. 
Área de concentração: Educação Matemática. 
 
1. Educação Matemática. 2. História da Matemática. 3. Formação de Professores. I. Saito, Fumikazu. 
II. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Curso Mestrado Acadêmico em Educação 
Matemática. III. Alguns elementos que reforçam a importância da história da matemática na formação 
de professores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Banca Examinadora 
 
 
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__________________________________________ 
 
 
__________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta 
dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. 
 
Assinatura: __________________________________________________________________ 
 
Local e data: _________________________________________________________________ 
 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
 
 
Ao meu pai: 
Pedro Monteiro (in memoriam), o maior exemplo 
que tive. 
 
À minha mãe: 
Elvira Bueno Monteiro que sempre se dedicou a 
mim. 
 
À minha esposa: 
Maria Aparecida dos Santos que me acolheu em 
seu coração. 
 
Ao meu filho: 
André Luiz Santos Monteiro por estar me 
ensinando o valor da simplicidade. 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Em primeiro lugar a Deus, pela vida. 
 
Ao meu orientador Prof. Dr. Fumikazu Saito, pela 
paciência e sugestões durante as orientações 
que tornaram possível essa dissertação. 
 
À banca examinadora composta por Arlete de 
Jesus Brito e Laurizete Ferragut Passos pelas 
valiosas contribuições e direcionamento final da 
presente pesquisa. 
 
Aos amigos do grupo HEEMa, pela inspiração e 
discussões que contribuíram para o meu 
desenvolvimento pessoal e profissional. 
 
Aos Professores do programa que foram 
importantes no meu aprendizado durante o curso. 
 
Aos meus colegas de mestrado pelo convívio, 
pela compreensão, pelo apoio e pelos momentos 
alegres. 
 
Aos professores participantes da pesquisa que 
tornaram possível esse trabalho. 
 
À CAPES, pela bolsa concedida no momento em 
que eu mais precisava. 
 
A meus sogros Luiz Carlos dos Santos e Lurdes 
Francisca dos Santos, que me apoiaram nessa 
empreitada. 
 
 
Á minha cunhada Fernanda dos Santos, pelo 
incentivo nos momentos em que eu me 
desanimava. 
 
Á minha esposa e meu filho, que sempre 
trouxeram alegria a minha vida, dando-me forças 
para sempre prosseguir em frente. 
 
Aos meus irmãos, Linéia Monteiro, Michel 
Monteiro e Odirlei Monteiro, por participarem da 
minha vida, compartilhando os momentos difíceis 
e alegres. 
 
Aos meus pais, por terem me oferecido as 
condições para me tornar o profissional e o 
Homem que hoje sou. 
 
O autor. 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
Esta dissertação apresenta e analisa alguns elementos que surgiram durante o 
desenvolvimento de uma atividade que articula história e ensino da matemática. 
Buscamos, com isso, identificar as impressões que os docentes tiveram ao realizar 
tal atividade e as potencialidades pedagógicas da história da matemática na 
formação de professores. Para tanto, selecionamos a atividade Construção do 
instrumento “quadrante num quarto de círculo”, elaborada pelo grupo HEEMa a partir 
de um tratado publicado no século XVI. Desenvolvida junto a um grupo de 
professores do ensino fundamental, do ciclo II, do Estado de São Paulo, pudemos 
constatar que a atividade proposta propiciou um diálogo entre os conhecimentos 
matemáticos do presente e do passado. Esse diálogo, por sua vez, incentivou os 
participantes a refletir e a discutir sobre os conceitos matemáticos mobilizados 
durante a construção do instrumento, revelando assim, as possíveis contribuições 
que a história da matemática pode trazer para a formação de professores. 
 
Palavras-chave: educação matemática, história da matemática, formação de 
professores 
 
 
 
ABSTRACT 
 
This dissertation presents and analyzes some elements that came out during the 
development of an activity which articulates history of mathematics and teaching. We 
sought to identify the impressions held by teachers, during its development, and the 
didactic potential of the history of mathematics in teacher’s training. To achieve this, 
we selected an activity entitled Construction of “a quarter circle quadrant” instrument 
based on a treatise published in the sixteenth century which was designed by 
HEEMa. It was developed by a group of second degree Elementary School teachers 
of São Paulo state. We noticed that the development of that promoted a dialogue 
between the present mathematical knowledge and its past. This dialogue 
encouraged the participants to make some reflections and to discuss mathematical 
concepts which were called into action for building the instrument, showing us 
possible contributions of the history of mathematics to the teacher’s training. 
 
Key words: mathematics education, history of mathematics, teachers training 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
Figura 1: Ilustração do “quadrante num quarto de círculo” ................................................... 31 
Figura 2: Ilustração de como usar o “quadrante num quarto de círculo”............................... 31 
Figura 3: Instrumento “quadrante num quarto de círculo”..................................................... 38 
Figura 4: Como usar o instrumento “quadrante num quarto de círculo”................................ 38 
Figura 5: Utilizando o quadrante num quarto de círculo para medir altura ........................... 46 
Figura 6: Desenho do “quadrante num quarto de círculo” .................................................... 47 
Figura 7: Dividir a circunferência em quatro partes iguais .................................................... 49 
Figura 8: Traçar mediatriz da diagonal da circunferência ..................................................... 50 
Figura 9: Dividir o ângulo EÂF em duas partes iguais........................................................... 51 
Figura 10:Traçar a bissetriz do ângulo �Â� ........................................................................ 51 
Figura 11: Traçar quadrado a partir de sua diagonal............................................................ 52 
Figura 12: Etapas da construção do quadrado a partir de sua diagonal ............................... 53 
Figura 13: Traçar retas paralelas aos segmentos de retas ������ e �� ����� .................................... 54 
Figura 14: Traçar uma reta paralela ..................................................................................... 56 
Figura 15: Instrumento “quadrante num quarto de círculo” ................................................... 57 
Figura 16: Obter os pontos K e L ......................................................................................... 57 
Figura 17: Traçar as duas paralelas ao segmento de retas ������ ............................................ 59 
Figura 18: Traçar as duas paralelas ao segmento de retas ������ ............................................ 60 
Figura 19: Dividir os segmentos de retas ������ e ������ em quatro partes iguais ......................... 60 
Figura 20: Dividir o segmento de reta ������ em quatro partes iguais ....................................... 61 
Figura 21: Como dividir o segmento de reta ������ em quatro partes iguais ............................. 62 
Figura 22: Dividir os segmentos de retas ������ e ������ em doze partes iguais............................ 63 
Figura 23: Teorema de Tales ............................................................................................... 64 
Figura 24: Dividir um segmento de reta em três partes iguais .............................................. 65 
Figura 25: Como dividir os segmentos de retas ������ e ������ em doze partes iguais .................. 66 
Figura 26: Traçar mediatriz da diagonal da circunferência ................................................... 67 
Figura 27: Ilustração do “quadrante num quarto de círculo” ................................................. 75 
Figura 28: Ilustração de como usar o “quadrante num quarto de círculo” ............................. 75 
Figura 29: Como traçar duas paralelas ao segmento de retas ������ ........................................ 81 
Figura 30: Dividir o segmento de reta ������ em quatro partes iguais através de mediatrizes... 82 
Figura 31: Dividir o segmento de reta ������ em quatro partes iguais ....................................... 83 
Figura 32: Traçar as duas paralelas ao segmento de retas ������ ............................................ 84 
Figura 33: Etapas da construção do quadrado a partir de sua diagonal ............................... 94 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1: tarefas que mobilizam conceitos geométricos ...................................................... 73 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 14 
 
CAPÍTULO I – História e educação matemática .................................................................. 16 
1.1 Possíveis caminhos para articular história e educação matemática ........................... 16 
1.2 Perspectivas teóricas da articulação entre história e educação matemática .............. 22 
1.3 Uma atividade que articula história e ensino da matemática ...................................... 27 
 
CAPÍTULO II – O desenvolvimento da pesquisa .................................................................. 35 
2.1 Etapas do desenvolvimento da pesquisa ................................................................... 35 
2.2 Roteiro do desenvolvimento da pesquisa ................................................................... 37 
2.3 Descrição do desenvolvimento da pesquisa ............................................................... 40 
2.3.1 Descrição da primeira etapa ................................................................................ 40 
2.3.2 Descrição da segunda etapa ............................................................................... 41 
2.3.3 Descrição do primeiro e do segundo momentos .................................................. 41 
2.3.4 Descrição do terceiro momento ........................................................................... 42 
2.3.5 Descrição do quarto momento............................................................................. 45 
2.3.6 Descrição do quinto momento ............................................................................. 68 
 
CAPÍTULO III – Diálogos e reflexões ................................................................................... 72 
3.1 Leitura na educação matemática ............................................................................... 74 
3.2 A manipulação do objeto e a compreensão do conceito ............................................. 81 
3.3 A atividade desenvolvida e a construção geométrica ................................................. 87 
3.4 Algumas considerações finais .................................................................................... 96 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................... 100 
 
ANEXO I – Carta ao professor ........................................................................................... 105 
ANEXO II – Termo de consentimento ................................................................................ 106 
ANEXO III – Termo de resguardo ...................................................................................... 107 
ANEXO IV - Questionário................................................................................................... 108 
ANEXO V – Atividade desenvolvida ................................................................................... 111 
ANEXO VI – Formulário de registro ................................................................................... 116 
 
 
14 
INTRODUÇÃO 
 
A principal finalidade da Educação, segundo a Lei de Diretrizes e Bases da 
Educação Nacional (1996), é o pleno desenvolvimento do educando, buscando 
prepará-lo para o exercício da cidadania e qualificá-lo para o trabalho. 
Dessa maneira, para que essa formação seja completa, o ensino da 
matemática torna-se indispensável, visto que esse conhecimento é parte do 
patrimônio cognitivo da Humanidade. Além disso, a matemática é um instrumental 
que auxilia no estudo de outras áreas de conhecimento, na compreensão do mundo 
em nossa volta e no trato das atividades do nosso dia-a-dia. 
Entretanto, levando em consideração a nossa experiência como professor de 
matemática da rede municipal de ensino de São Paulo, observamos que o ensino da 
matemática valoriza excessivamente o treino de habilidades, as questões internas 
da área e a mecanização do processo compreensão. Esse ensino mecanicista 
parece não contribuir para que os objetivos da educação sejam alcançados, visto 
que desenvolve um ambiente pedagógico onde os alunos não são incentivados a 
questionar e a refletir. 
Desse modo, para contornar esse ensino mecanicista, o docente deve ter 
uma boa formação. Encontramos várias propostas que podem auxiliar nesse 
processo, como por exemplo, a teoria das situações didáticas (ALMOULOUD, 2007; 
PAIS, 2008), obstáculo epistemológico (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001; 
ALMOULOUD, 2007; PAIS, 2008), campos conceituais (CARVALHO, 1994; PAIS, 
2008), transposição didática (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001; 
ALMOULOUD, 2007; PAIS, 2008), aprendizagem significativa (MOREIRA; MASINI, 
2001), atividade orientadora de ensino (MOURA, 1996; MOURA; ARAÚJO; 
RIBEIRO; PANOSSIAN; MORETTI, 2010), teoria da atividade (LEONTIEV, 1964),pensamento matemática avançado (DREYFUS, 1991). 
Entretanto, a proposta que chamou a nossa atenção foi a articulação entre 
história e educação da matemática. Num de seus estudos, Brito (2007), observa que 
as escritas da história podem trazer algumas contribuições para a formação de 
15 
docentes, pois permite ao professor desenvolver um novo olhar sobre o processo de 
ensino e de aprendizagem. Vimos que esse novo olhar parece contribuir na busca 
de outras formas de se ensinar matemática. 
Dessa maneira, partindo da hipótese de que a história contribui para o 
ensino da matemática e para a formação de docentes, indagamos: 
- Quais elementos, que emergem no desenvolvimento de uma atividade que 
articula história e ensino da matemática, poderiam evidenciar suas potencialidades 
pedagógicas? 
Para responder a esse questionamento, selecionamos a atividade 
Construção do Instrumento “quadrante num quarto de círculo”, elaborada pelo grupo 
HEEMa a partir da obra original intitulada Del modo di misurare (1564) de Cosimo 
Bartoli (1503 – 1572). 
Desenvolvida junto a um grupo de professores do ensino fundamental, do 
ciclo II, do Estado de São Paulo, buscamos analisar alguns de seus elementos, com 
o objetivo de identificar as impressões que os docentes tiveram ao realizar tal 
atividade e as potencialidades pedagógicas da história da matemática na formação 
de professores. 
Assim, a presente dissertação está organizada em três capítulos. 
No primeiro, apresentamos e discorremos sobre alguns trabalhos que 
abordam a relação entre história e educação matemática. Nele consideramos alguns 
estudos que mostram as perspectivas teóricas que norteiam algumas propostas de 
articulação entre essas duas áreas de conhecimento. Além disso, tecemos alguns 
comentários sobre a atividade que desenvolvemos com a finalidade de 
contextualizá-la ao leitor. 
No segundo capítulo, apresentamos o caminho que percorremos para 
desenvolver o presente trabalho e a descrição da realização da atividade 
selecionada junto aos professores que aceitaram participar da pesquisa. 
No terceiro capítulo, descrevemos os resultados de nossas análises e, ao 
final da dissertação, apresentamos algumas considerações finais. 
16 
CAPÍTULO I – História e educação matemática 
 
Os estudos e pesquisas sobre a educação matemática incorporaram alguns 
instrumentos com o objetivo de aprofundar certas discussões, buscando trazer 
algumas contribuições para o processo de ensino e de aprendizagem. 
Barone e Nobre apresentam alguns desses instrumentos, a saber: resolução 
de problemas, modelagem matemática, etnomatemática, informática, história da 
matemática, sendo que esse último, “vem ganhando um certo destaque no meio 
acadêmico-educacional” (1999, p. 129). 
Acompanhando essa tendência, apresentamos alguns trabalhos que 
apontam não somente para a importância da história na educação matemática, mas 
mostram de que forma poderíamos articular essas duas áreas do conhecimento. 
A leitura desses estudos apontou para a necessidade de levarmos em 
consideração as concepções pedagógicas e historiográficas que os norteiam. 
Assim, com o objetivo de apontarmos para algumas dessas concepções, 
apresentamos nesse capítulo o trabalho de Miguel e Miorim (2008), que buscaram 
identificar algumas perspectivas teóricas que orientam o campo de investigação da 
história da matemática na educação matemática. 
Além disso, apresentamos também, no presente capítulo, o contexto da 
atividade por nós selecionada e desenvolvida junto aos professores do ensino 
fundamental, que articula história e ensino da matemática, com o objetivo de 
identificarmos alguns dos elementos que emergiram durante sua realização, 
evidenciando suas potencialidades pedagógicas. 
 
1.1 Possíveis caminhos para articular história e educação 
matemática 
A preocupação dos pesquisadores e educadores em analisar o papel da 
história da matemática na educação matemática não é recente. 
17 
Existem vários estudos a esse respeito, a disposição dos professores e dos 
pesquisadores, buscando mostrar os possíveis caminhos que podemos percorrer 
para articular essas duas áreas do conhecimento. 
Por sua vez, ao abordar sobre esse tema, os Parâmetros Curriculares 
Nacionais de Matemática do terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental reforçam 
que a história da matemática pode oferecer uma contribuição importante ao ensino, 
pois 
ao revelar a matemática como uma criação humana, ao mostrar 
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes 
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre conceitos e 
processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a 
possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do 
aluno diante do conhecimento matemático (1998, p. 34). 
Porém, para que essa contribuição seja significativa, é fundamental que o 
professor tenha uma formação adequada. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de 
Matemática do terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental abordam esse assunto 
ao enfatizar que 
o conhecimento da história dos conceitos matemáticos precisa fazer 
parte da formação dos professores para que tenham elementos que 
lhes permitam mostrar aos alunos a matemática como ciência que 
não trata de verdades eternas, infalíveis e imutáveis, mas como 
ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos 
conhecimentos (1998, p. 30). 
Desse modo, admitindo-se a importância da história no ensino e na 
formação dos professores, indagamos de que forma a história da matemática 
poderia contribuir para a educação matemática. 
Segundo Valente (2010), um dos caminhos para articular história e 
educação matemática, especificamente na formação de professores, é incentivar a 
discussão sobre a apropriação regional e global de modelos curriculares, buscando 
a compreensão da dinâmica de tal transformação. Assim, uma possibilidade seria 
analisar criticamente o Movimento da Matemática Moderna, levando os docentes “a 
entenderem a proposta modernista da síntese nas estruturas algébricas, na tentativa 
de escolarização da Álgebra Linear” (VALENTE, 2010, p. 132). 
18 
Podemos dizer que a proposta de Valente (2010) parte do princípio de que 
se o professor de matemática tiver uma relação com as práticas profissionais de 
seus antepassados, poderá desenvolver um trabalho pedagógico de melhor 
qualidade. Mas, segundo o autor, é preciso abordar como se deu a apropriação 
desse movimento no cenário educacional brasileiro através da análise dos 
documentos oficiais, dos livros didáticos e das práticas pedagógicas do ensino da 
matemática nas décadas de 1960 e 1980. 
Brito (2007), por sua vez, propõe que a história da matemática deve estar 
atrelada às finalidades pedagógicas, ou seja, ela deve propiciar atividades que 
estejam embasadas na problematização e na construção de saberes. 
Tal proposta pode ser vista num estudo realizado por Brito e Cardoso (1997) 
em que analisam os resultados do desenvolvimento de um mini-curso. 
Nesse mini-curso foram abordados alguns elementos importantes para o 
desenvolvimento de noções do cálculo diferencial, tais como o “problema de 
continuidade, dos infinitésimos, traçado de tangentes a curvas, diferenciais, 
derivadas e limites” (BRITO, CARDOSO; 1997, p. 130). 
As autoras buscaram na história da matemática problemas que propiciaram 
o desenvolvimento de tais elementos conceituais, enfatizando os aspectos 
matemáticos, históricos e filosóficos do cálculo diferencial. Algumas dessas 
reconstituições históricas apresentadas nesse mini-curso foram: a) Zenão e os 
paradoxos da tartaruga e da flecha; b) Arquimedes e o traçado da reta tangente à 
espiral; c) Demócrito e o dilemado cone; e d) O método de derivação de Newton e 
de Libniz. 
Segundo Brito, essa proposta permite a reflexão por parte dos participantes 
“sobre os aspectos curriculares e metodológicos presentes no ensino atual de 
matemática” (2007, p. 15), colaborando no aprofundamento dos conceitos e dos 
procedimentos matemáticos, “pois impõe um outro/novo olhar sobre tais conceitos” 
(BRITO, 2007, p. 15), sendo esse “olhar”, necessário para a compreensão da 
matemática de nossos antepassados. 
19 
Outro caminho possível de se articular história e educação matemática 
encontra-se na proposta do grupo de estudo e pesquisa HEEMa – História e 
Epistemologia na Educação Matemática – (SAITO, DIAS, 2010; DIAS, SAITO, 2010). 
Essa proposta parte do pressuposto de que a história da matemática pode contribuir 
para um processo de construção de conceitos pelo sujeito, promovendo a 
apropriação de significados dos entes matemáticos (DIAS, SAITO; 2009). Nesse 
sentido, o grupo HEEMa elaborou algumas atividades que consistem na construção, 
utilização e validação de instrumentos de medidas do século XVI (SAITO, DIAS, 
2010; DIAS, SAITO, 2010; SAITO, DIAS, 2011). 
No trabalho proposto por Dias (2007), fundamentado na teoria da atividade 
(LEONTIEV, 1964, 1983, 1988) e na perspectiva lógico-histórica (KOPNIN, 1978), a 
autora relata que é possível compreender a essência de um conceito tendo como 
fundamento o seu desenvolvimento lógico-histórico. Para Kopnin (1978), segundo 
Dias, 
o histórico é entendido como o processo de mudança, etapas de 
surgimento e desenvolvimento do objeto; e o lógico, como o meio 
pelo qual o pensamento realiza a reprodução do processo histórico, 
não no sentido de guiar o pensamento, impondo-lhe a história do 
objeto, e sim permitindo que a formação das ideias componha a 
lógica do pensamento na busca da essência do movimento do 
objeto, sua criação e seu desenvolvimento, até o estágio atual (2007, 
p. 21). 
Podemos dizer, recorrendo ao trabalho de Dias (2007), que a dialética entre 
o lógico e o histórico no pensamento parece contribuir para o processo de ensino e 
aprendizagem da matemática e para a formação de professores. Isso é justificado 
porque pode conduzir o indivíduo à compreensão na forma teórica de um 
determinado objeto, pois 
embora a teoria do objeto se manifesta ao mesmo tempo como sua 
história, a reprodução, no pensamento, da essência e do conteúdo 
de qualquer fenômeno não torna desnecessário o estudo de sua 
história; ao contrário, para atingir-se um degrau mais elevado no 
conhecimento do objeto, é necessário recorrer à história (KOPNIN, 
1978, p. 185). 
Dessa maneira, o trabalho de Dias (2007) aponta para a possibilidade de 
elaborar uma atividade de ensino e de aprendizagem em que o educando possa 
20 
reproduzir1 a lógica do pensamento do processo histórico da construção de um 
conceito matemático. 
Já no trabalho de Souza, um dos propósitos é recorrer à história da 
matemática “como uma das formas de se pensar e discutir questões pedagógicas do 
presente” (2004, p. 2). Para tanto, a pesquisadora buscou problematizar o processo 
de transmissão da prática social do cálculo escrito escolar, tendo como base o 
diálogo entre a manifestação de um grupo de professores sobre tal prática e o modo 
como a autora constituiu essa prática na história. 
Essa constituição foi realizada através de um levantamento e estudo dos 
procedimentos dos cálculos escritos com os numerais indo-arábicos presentes em 
algumas obras que circularam na Europa Ocidental no século XVI. Foram 
selecionadas algumas delas para apresentar e discutir junto aos professores 
(SOUZA, 2004; SOUZA, 2009). 
Além dessas propostas, existem muitas outras das quais não trataremos 
aqui, mas que podem ser consultadas pelos professores e pesquisadores, (MIGUEL, 
BRITO, 1996; VALENTE, 1999; DIAS, COBIANCHI, 2004; BRITO, CARVALHO, 
2005; MOURA, SOUSA, 2005; BRITO, MIORIM, 2009; NUNES, ALMOULOUD, 
GUERRA, 2010; DIAS, MORETTI, 2011). Esses trabalhos buscam articular história e 
ensino explorando as potencialidades pedagógicas assinaladas, por exemplo, por 
Miguel (1993, 1997), que realizou um levantamento, detalhamento e análise dos 
diferentes papéis pedagógicos atribuídos à história por matemáticos, 
historiadores da matemática e educadores matemáticos que, de 
modo direto ou indireto, acabaram expressando suas posições em 
relação a essa questão (1993, p. 35). 
 
1
 O termo reprodução utilizado por Dias (2007) não significa uma cópia idêntica, mas a capacidade 
humana, como sintetiza Rubinstein “tal como a retenção não é apenas uma conservação passiva, 
muito menos a reprodução é uma reprodução mecânica do que foi inculcado ou aprendido. No 
processo de reprodução, aquilo que se deve reproduzir não se reproduz apenas, mas forma-se de 
certo modo. Até o próprio conteúdo significativo se forma através da formulação lingüística. O pensar 
está contido na reprodução, capta o conteúdo de uma forma mais exata, generaliza-o, sistematiza-o, 
aperfeiçoa-o e reconstrói-o. Por isso a reprodução do reproduzido é a essência da própria reprodução 
como resultado da sua elaboração ideológica, como aspecto essencial da reprodução”. RUBINSTEIN, 
1976 apud DIAS; 2007, p. 36). 
 
21 
Portanto, podemos dizer que os estudos apontados até aqui pela presente 
pesquisa buscam desenvolver atividades que podem servir como fontes de 
motivação, de objetivo, de métodos adequados para o ensino, de métodos de 
seleção de problemas, como também de instrumentos de desmistificação da 
matemática, de desalienação do seu ensino, de formalização de conceitos 
matemáticos, de promoção do pensamento crítico, de unificação de campos da 
matemática, de promoção de atitudes e valores, de conscientização epistemológica, 
de resgate da identidade cultural, de revelação da natureza da matemática e de 
promoção de aprendizagem significativa e compreensiva (MIGUEL, 1993, 1997). 
A leitura dessas propostas veio nos mostrar que algumas das 
potencialidades pedagógicas da história da matemática são embasadas na 
construção de um diálogo do passado com o presente, buscando refletir e 
compreender sobre as questões do momento da educação matemática em que o 
trabalho foi desenvolvido, podendo assim, trazer algumas contribuições para essa 
área do conhecimento. 
 Porém, ao refletirmos sobre a importância da articulação entre a história e o 
ensino da matemática, é preciso levar em consideração a perspectiva historiográfica 
que a norteia, isto é, as diferentes formas de escrever a sua história (MIGUEL, 1997; 
NOBRE, 2004; MIGUEL, MIORIM, 2008; BROMBERG, SAITO, 2010). 
Isso, entretanto, não significa que devemos formar um professor historiador, 
mas atentarmos para algumas histórias disponíveis, pois algumas delas tendem a 
reforçar a linearidade do desenvolvimento do conhecimento matemático, 
apresentando uma história como sucessão de fatos, organizados logicamente, 
omitindo debates e outras questões extra-matemáticas que, direta ou indiretamente, 
estiveram ligadas no momento de seu desenvolvimento ou de sua utilização (DIAS, 
SAITO, 2009; BROMBERG, SAITO, 2010). 
Cabe apontarmos que recorrer a essa tendência à linearidade, para 
fundamentar qualquer trabalho que busque articular história e ensino da matemática, 
parece ser problemático, como veremos adiante. 
Nesse sentido, o estudo de Miguel e Miorim (2008) contribui para a nossa 
reflexão, visto que procuraram identificar e analisar as perspectivas teóricas que 
22 
norteiam algumas propostas que visam articular história da matemática e ensino da 
matemática, do qual trataremos a seguir. 
 
1.2 Perspectivasteóricas da articulação entre história e educação 
matemática 
Como vimos, encontramos várias pesquisas que buscam não apenas 
analisar o papel da história na educação matemática e ou articular essas duas áreas 
do conhecimento, mas também apresentaram alguns caminhos de abordagem, em 
que podemos identificar diferentes perspectivas historiográficas articuladas às 
diversas concepções pedagógicas (BRITO, CARDOSO, 1997; SOUZA, 2004; BRITO 
2007; DIAS, 2007; SOUZA, 2009; DIAS, SAITO, 2009; DIAS, SAITO, 2010; SAITO, 
DIAS, 2010; VALENTE, 2010; SAITO, DIAS, 2011). 
Nesse particular, Miguel e Miorim (2008), com o objetivo de aprofundar a 
discussão em torno da participação da história na educação matemática, realizaram 
um estudo e identificaram algumas perspectivas teóricas que norteiam esse campo 
de investigação, a saber: 1) a evolucionista linear; 2) a estrutural-construtivista 
operatória; 3) a evolutiva descontínua; 4) a sociocultural; e 5) a de jogos e ecos. 
Segundo Miguel e Miorim, a perspectiva evolucionista linear parte do 
pressuposto de que o aprendizado do aluno recapitula as etapas históricas da 
gênese e evolução dos conceitos. Nessa concepção, em que a matemática é vista 
como o resultado de um processo linear, contínuo e cumulativo do conhecimento, 
caberia à história a função de identificar a ordem cronológica do surgimento e da 
evolução dos conceitos matemáticos. 
Com base nessa perspectiva, como bem observam Miguel e Miorim, no que 
diz respeito ao ensino de matemática, foi adotado 
um princípio estruturador dos programas de ensino de matemática 
segundo o qual a sequência pedagógica ideal do desenvolvimento 
dos tópicos de ensino da matemática escolar deveria acompanhar, 
mesmo de forma abreviada e não exaustiva, a sequência cronológica 
do surgimento de tais tópicos na história (2008, p. 83). 
23 
Podemos dizer, assim, que a perspectiva evolucionista linear é caracterizada 
pela “crença de que a filogênese determina, em alguma medida, a psicogênese” 
(MIGUEL, MIORIM, 2008, p. 79). Desse modo, seria esse caráter determinista o 
fator comprometedor do princípio recapitulacionista, fazendo com que julguemos 
não apenas desnecessário como extremamente problemático 
recorrer a ele como meio de fundamentar qualquer empreendimento 
que vise relacionar história e ensino-aprendizagem (MIGUEL, 
MIORIM, 2008, p. 78-79). 
Cabe notar que esse caráter determinista do princípio recapitulacionista 
pode nos conduzir a ideia de que o conhecimento progride de forma linear num 
processo de aprimoramento contínuo de teorias mais rudimentares para as teorias 
mais verdadeiras. A perspectiva evolucionista linear parte do pressuposto de que o 
processo de aprendizagem do aluno seguiria as mesmas etapas do processo de 
evolução do conhecimento humano. 
Nesse sentido, compararíamos equivocadamente, por exemplo, que o 
conhecimento de uma criança equivaleria ao conhecimento de Aristóteles (384 a.C. 
– 322 a.C) ou Nicolau Copérnico (1473 – 1543), e que o de um adolescente, a de 
um Galileu Galilei (1564 – 1642) ou Johannes Kepler (1571 – 1630). 
A segunda perspectiva, a estrutural-construtivista operatória, parte do 
pressuposto de que a construção do conhecimento, tanto na filogênese (construção 
histórica) como na psicogênese (construção individual), é resultado dos mesmos 
mecanismos de passagem. Ou seja, segundo Miguel e Miorim, embora a 
recapitulação simplista da filogênese pela ontogênese não esteja aqui contemplada, 
tal aspecto é levado em consideração se os mecanismos de passagem do 
pensamento em um determinado período histórico são equivalentes aos 
mecanismos de passagem de um estado específico psicogenético (MIGUEL; 
MIORIM, 2008, p 86-89). 
Essa perspectiva poderia nos levar a pensar, levando em consideração os 
estágios do desenvolvimento cognitivo de Piaget (1896 – 1980) com a história da 
humanidade, que o estágio sensório-motor se assemelha ao pré-hominídio, que o 
pré-operatório ao do paleolítico inferior e superior, que o das operações concretas 
24 
ao do Neolítico e Egito Antigo, que os das operações formais ao da Grécia e Roma 
Antiga (NETO, 2005, p. 42). 
Assim, a história da matemática consistiria num “campo de possibilidades de 
busca de conflitos cognitivos e de mecanismos cognitivos operatórios” (MIGUEL; 
MIORIM, 2008, p. 90-91), com a finalidade de promover a passagem de uma etapa 
de construção de conhecimento para outra de nível superior, pelo aluno. Ou seja, 
recorreríamos, por exemplo, à história do período pré-hominídio e paleolítico com a 
finalidade de identificarmos elementos que nos auxiliem a desenvolver uma situação 
de aprendizagem em que o aluno passe do estágio sensório-motor ao estágio pré-
operatório (NETO, 2005). 
Podemos dizer, em linhas gerais, que essas duas perspectivas dão ênfase 
ao processo evolutivo contínuo do desenvolvimento da história da matemática. Além 
disso, ela parece privilegiar uma concepção linear e progressista de conhecimento. 
Todavia, como bem observam Miguel e Miorim é possível também encontrar 
uma perspectiva evolutiva descontínua. 
Tal perspectiva partiria do pressuposto de que a construção do 
conhecimento matemático constitui um processo evolutivo descontínuo, podendo 
surgir momentos de estagnação e de regressão. Esses momentos ocorreriam em 
razão dos obstáculos epistemológicos. Tais obstáculos seriam conhecimentos 
enraizados que não permitiriam ao sujeito romper com as suas concepções, 
impedindo-o de acessar conhecimentos mais avançados. 
Segundo Miguel e Miorim, nesse ponto de vista de abordagem da história na 
educação matemática, prevalece a visão da equivalência do desenvolvimento dos 
conhecimentos da filogênese pela ontogênese (MIGUEL; MIORIM, 2008, p. 99-104). 
Em outros termos, no que diz respeito ao papel da história no ensino de matemática, 
ela é utilizada para identificar os obstáculos epistemológicos que foram superados 
na gênese e na evolução de um determinado conceito matemático, permitindo, 
assim, a elaboração de uma situação-problema que propicie a reconstrução de tal 
conceito pelo aluno através da superação de seu obstáculo epistemológico 
cognitivo, sendo esse, semelhante ao que foi identificado na história. 
25 
Mas, notemos que, embora essa perspectiva histórica valorize as rupturas 
no desenvolvimento do conhecimento matemático, entretanto, enfatiza o processo 
linear e progressista da história, privilegiando, como as outras anteriores, apenas a 
coerência interna do sistema de conhecimento da área. Não há nessa perspectiva 
nenhuma valorização dos aspectos externos à área da matemática. 
Uma das possíveis consequências desses três tipos de abordagens da 
história na educação matemática – 1) evolucionista linear; 2) estrutural-construtivista 
operatória; e 3) evolutiva descontínua – é o processo de ensino e de aprendizagem 
se preocupar demasiadamente com as questões internas da matemática, deixando 
de lado os fatores culturais, sociais, políticos e econômicos. Desse modo, as 
discussões tenderiam a ser inflexíveis, não abrindo espaços para outras 
possibilidades de análise a não ser da própria lógica interna da área (BROMBERG, 
SAITO, 2010). 
Nesse sentido, Miguel e Miorim referem-se também à perspectiva 
sociocultural que parte do pressuposto de que a aprendizagem de um determinado 
conceito matemático, concebida segundo a teoria de Vygotsky (1896 – 1934), tanto 
na psicogênese como na filogênese, é resultado de uma negociação de significados 
oriundos da atividade humana, que está ligado a um determinado contexto. O 
conhecimento, dessa maneira, está diretamente associado às características sociais, 
históricas e simbólicas, que estão presentes nas atividadeshumanas (MIGUEL; 
MIORIM, 2008, p. 125-132). 
Nessa perspectiva, que valoriza o contexto social, a história da matemática 
propiciaria diálogos entre as práticas pedagógicas atuais com as de outro contexto 
de um determinado conhecimento. Esse diálogo criaria, assim, a possibilidade de 
elaboração de atividades de ensino e aprendizagem em que o aluno perceberia a 
matemática como uma construção humana. 
Por sua vez, a quinta perspectiva apresentada por Miguel e Miorim (2008) é 
a dos jogos de vozes e ecos. Segundo eles, essa proposta foi feita pelos 
investigadores italianos Paulo Boero, B. Pedemonte, E. Robotti e G. Chiappini, que 
adotaram o construto teórico de jogos de linguagem de Wittgenstein (1889 – 1951) e 
o construto teórico de vozes de Bakhin (1895 – 1975). 
26 
Nessa perspectiva, o educador deve buscar na história expressões verbais e 
não verbais produzidas pelos nossos antepassados (vozes), que incorporassem 
importantes saltos da evolução de um determinado conceito matemático. Essas 
expressões orientariam o conteúdo e a organização do processo de ensino e 
aprendizagem. Assim, durante o processo de ensino e aprendizagem, os alunos se 
apropriariam e ressignificariam essas vozes (eco) de acordo com as condições do 
contexto em que estão inseridos. Nesse sentido, a história poderia proporcionar um 
tipo de conexão remota entre “pessoas de diferentes épocas e culturas com base em 
seus diferentes propósitos, experiências, concepções e sentidos” (MIGUEL, 
MIORIM, 2008, p. 140) através da dimensão discursiva. 
Uma das possíveis consequências desses dois últimos tipos de abordagens 
da história na educação matemática – sociocultural; jogos de vozes e ecos – é o 
processo de ensino e aprendizagem se preocupar demasiadamente com os fatores 
externos da matemática, não fazendo nenhuma relação com as questões internas 
dessa ciência. Dessa maneira, poderia haver uma perda significativa na elaboração 
de atividades, pois há a possibilidade de não levar em consideração operações de 
construção de um determinado conceito matemático (BROMBERG, SAITO, 2010). 
Além das perspectivas apontadas por Miguel e Miorim (2008), os autores 
apresentam suas propostas de abordagem da história na educação matemática, 
denominada como história pedagogicamente vetorizada. 
Eles partem do pressuposto de que 
histórias podem e devem constituir pontos de referência para a 
problematização pedagógica da cultura escolar e, mais 
particularmente, da cultura da matemática e da educação 
matemática escolares, desde que sejam devidamente constituídas 
com fins explicitamente pedagógicos (MIGUEL, MIORIM; 2008, p. 
156). 
Dessa maneira, podemos dizer que as escritas da história, nessa 
perspectiva, são vistas como uma fonte de diálogo, sendo esse, originado através de 
questões e de necessidades das práticas pedagógicas do presente. 
Esse diálogo pode impor um novo olhar a determinado conceito ou 
procedimento matemático, pois cria uma situação em que o sujeito possa perceber 
27 
as relações de poder nas diversas práticas sociais envolvidas na constituição, 
apropriação, ressignificação e transmissão do tema ou problema em estudo. Esse 
novo olhar oferece ao sujeito novas possibilidades para auxiliar nas suas escolhas e 
nas suas tomadas de decisões (MIGUEL, 1993; BRITO, 1995; SOUZA, 2004). 
Podemos dizer que o trabalho de Miguel e Miorim (2008) aponta para as 
diferentes concepções teóricas da articulação entre história e educação matemática 
que estão disponíveis aos educadores e que, dependendo dos objetivos que se têm 
em vista, algumas podem ser mais pertinentes que outras (MIGUEL, 1993). 
Levando em consideração os estudos até aqui apresentados, os quais 
apontam que as escritas da história podem trazer algumas contribuições para o 
processo de ensino e aprendizagem e para a formação de professores, inquirimos 
quais elementos que emergem no desenvolvimento de uma atividade que articula 
história e ensino da matemática podem evidenciar as suas potencialidades 
pedagógicas e as impressões que os docentes tiveram ao realizá-la. 
Dessa maneira, a primeira etapa do desenvolvimento da presente pesquisa 
foi escolher uma atividade que articulasse história e ensino da matemática, a qual 
apresentamos a seguir. 
 
1.3 Uma atividade que articula história e ensino da matemática 
Como já mencionamos anteriormente, os Parâmetros Curriculares Nacionais 
de Matemática do terceiro e do quarto ciclos do ensino fundamental (1998) realçam 
a importância da história para o ensino da matemática e para a formação de 
docentes, e alguns pesquisadores, além de ratificar esse posicionamento, refletiram 
e apresentaram algumas propostas (BRITO, CARDOSO, 1997; SOUZA, 2004; 
BRITO 2007; DIAS, 2007; SOUZA, 2009; DIAS, SAITO, 2009; DIAS, SAITO, 2010; 
SAITO, DIAS, 2010; VALENTE, 2010; SAITO, DIAS, 2011). 
Os estudos desses e de outros trabalhos sobre a importância da história na 
educação matemática nos incentivou a elaborar essa pesquisa, norteada pela 
seguinte questão: quais elementos, que emergem no desenvolvimento de uma 
atividade que articula história e ensino da matemática, poderiam evidenciar as suas 
28 
potencialidades pedagógicas e as impressões que os docentes tiveram ao realizá-
la? 
Para responder a essa indagação, selecionamos os elementos que surgiram 
no desenvolvimento de uma atividade que articula história e ensino da matemática, 
junto a um grupo de professores do ensino fundamental, e que, de alguma forma, 
poderiam evidenciar as suas potencialidades pedagógicas e as impressões que os 
participantes tiveram ao realizá-la. 
Buscamos questionar esses elementos com o objetivo de criar um diálogo 
com eles, de modo a conferir-lhes um determinado significado, construindo assim, 
um novo conhecimento. 
A primeira etapa do desenvolvimento da presente pesquisa foi selecionar 
uma atividade que articulasse história e ensino da matemática. Buscamos escolher 
uma que propiciasse a mobilização de alguns conceitos matemáticos durante o seu 
desenvolvimento. 
Esse critério se justifica na medida em que o nosso trabalho se insere na 
área da educação matemática. 
Ao participarmos do grupo de estudo e pesquisa HEEMa (História e 
Epistemologia na Educação Matemática) da PUC-SP (Pontifícia Universidade 
Católica de São Paulo), entramos em contato com algumas atividades que estavam 
em desenvolvimento com o objetivo de articular história e educação da matemática. 
Uma dessas, a construção, a utilização e a validação do instrumento 
“quadrante num quarto de círculo”, chamou-nos a atenção. 
Para o desenvolvimento de nossa pesquisa, optamos pela construção do 
instrumento, isso por duas razões: 1) o limitado tempo disponibilizado para a 
realização da atividade (quatro horas); e 2) por corresponder à primeira etapa se 
considerarmos a sequência proposta, isto é, construção, utilização, seguida da 
validação do instrumento. 
A atividade selecionada atende ao critério de sua escolha porque o 
participante conseguirá executá-la adequadamente podendo mobilizar os 
29 
conhecimentos geométricos de mediatriz, de bissetriz, do Teorema de Tales, das 
propriedades de retas paralelas, de retas perpendiculares, do quadrado, da 
circunferência e do triângulo retângulo, como veremos mais adiante. 
Cabe salientar, que a atividade Construção do Instrumento “quadrante num 
quarto de círculo” é resultado das discussões e dos seminários realizados pelo grupo 
HEEMa, a respeito das potencialidades pedagógicas da história da matemática. Sua 
elaboração teve por base um tratado publicado no século XVI, intitulado Del modo di 
misurare (1564) de Cosimo Bartoli (SAITO; DIAS, 2011). 
Esse foi outro fator motivadorque nos conduziu a escolher tal atividade, o 
fato de ter sido elaborada a partir de um documento original. 
Segundo Saito e Dias (2011), esse documento é uma compilação dedicada 
a Cosimo de Medici (1519-1574), tendo uma grande repercussão naquela época por 
ter um apelo prático e ensinar certos conteúdos geométricos. Além disso, era 
utilizado nas escolas de ábaco, sendo um dos muitos livros publicados no século XVI 
dedicados à “arte de medir” (vide anexo V). 
Saito e Dias (2011) observam que uma das características do tratado Del 
modo di misurare (1564), e de outros tratados do mesmo gênero publicado no século 
XVI, isto é, obras que eram utilizadas para ensinar a medir terras, bem como a 
mapear, é a presença nelas de instruções que ensinam a construir e utilizar 
instrumentos. Podemos dizer que esse tipo de obra era destinado a um público 
específico, que tinha conhecimentos práticos e de conteúdos geométricos. 
Em relação à estrutura do tratado de Cosimo Bartoli (1564), ele foi dividido 
em seis partes, e cada uma é destinada a determinado modo de medir “distâncias 
(largura, comprimento, altura e profundidade); superfícies; corpos (regulares e 
irregulares), isto é, volumes. Além disso, fornece instruções de como mapear uma 
província de 400 ou 500 milhas de comprimento e largura” (SAITO; DIAS, 2011, p. 
13). 
O primeiro livro refere-se à medida da distância (comprimento, largura e 
profundidade). O segundo trata-se da medida da superfície, o terceiro, a de corpos 
30 
(volume). O quarto, segundo Cosimo Bartoli (1564), busca esclarecer como é 
possível mapear uma província sobre um plano. 
O quinto livro do tratado Del modo di misurare (1564) é dedicado às 
demonstrações geométricas de Euclides, que não são apresentadas na íntegra. 
Foram selecionadas pelo autor apenas os axiomas, postulados, definições e 
proposições que são utilizados na medida da distância, área e volume. 
Essas demonstrações foram acrescentadas no tratado por dois motivos. O 
primeiro pela sugestão do Francesco de Medici, e o segundo por comodidade, pois o 
leitor quando tivesse alguma dúvida referente as questões da geometria, não 
precisaria recorrer ao Elementos de Euclides. 
E por fim, o sexto livro destina-se ao ensino de como obter as raízes 
quadradas, as raízes cúbicas e a regra de três. Cosimo Bartoli menciona que 
pareceu importante acrescentar esses conteúdos, pois em muitos casos, são 
necessários na construção e/ou utilização dos instrumentos, principalmente nos 
livros um, dois e três (SAITO; DIAS, 2011, p. 13). 
 Cabe observar que, dentre as diversas propostas que buscam articular 
história e ensino, o uso de fontes originais tem sido bastante considerado (SAITO, 
DIAS, 2010). Todavia, o simples uso desse material em sala de aula, ou mesmo na 
formação de professores, não é tão fácil. Isso porque muitos desses documentos 
não estão traduzidos para o português. Além disso, o uso de uma mera tradução 
oferece algumas dificuldades, como compreensão de certos termos, expressões e 
mesmo estilo de linguagem. 
Esse posicionamento se justifica na medida em que tais documentos foram 
elaborados em determinados contextos históricos e sociais, diferentes do contexto 
atual. Sintetizando, os textos apresentam algumas características que não são 
familiares aos leitores de nossa época, dificultando um pouco a sua leitura. 
 Pensando nisso, Saito e Dias (2011) procuraram contornar tal dificuldade de 
modo a preservar os conteúdos e as características relevantes do documento 
histórico, buscando na medida do possível manter a sua originalidade, e, ao mesmo 
tempo, torná-lo acessível, de modo a possibilitar a sua utilização no processo de 
31 
ensino e aprendizagem de matemática e na formação de professores. Para tanto, 
eles sugerem dar aos documentos dessa natureza um tratamento didático que 
consiste em três partes. 
O primeiro tratamento refere-se ao caráter estrutural do texto, buscando 
elaborar um material que pudesse fazer parte de uma atividade a ser desenvolvida 
no processo de ensino e de aprendizagem da matemática e na formação de 
docentes. 
Para tanto, foram selecionados dois excertos do tratado Del modo di 
misurare (1564): 1) o texto que ensina a construir o instrumento “quadrante num 
quarto de círculo”; e 2) a parte que orienta o leitor a usar tal instrumento para medir 
alturas sem utilizar-se da sombra. 
Para tornar esses excertos acessíveis, realizou-se uma tradução do toscano 
do século XVI para a língua portuguesa, tomando-se o cuidado em manter o tipo e 
estilo da linguagem do texto e sem alterar o seu significado (SAITO, DIAS; 2011). 
 
 
(Bartoli, 1564, p. 8r apud SAITO; DIAS, 
2011, p. 19) 
 
 
 
(Bartoli, 1564, p. 20r apud SAITO; DIAS, 
2011, p. 18). 
 
 
Figura 2: Ilustração de como usar o 
“quadrante num quarto de círculo” 
Figura 1: Ilustração do “quadrante num 
quarto de círculo” 
32 
Além disso, foram acrescentados, no material, notas de rodapé contendo um 
breve esclarecimento sobre os termos e expressões que pudessem impedir o leitor 
em compreender minimamente o texto, e algumas imagens que estão presentes no 
documento histórico com o objetivo de mostrar o “quadrante num quarto de círculo” 
construído (Figura 1), como também ilustrar o processo de medição da altura de 
uma torre utilizando tal instrumento (Figura 2). 
O segundo tratamento refere-se às intencionalidades possíveis na 
construção de uma determinada proposta didática, com o objetivo de possibilitar a 
articulação da atividade Construção do Instrumento “quadrante num quarto de 
círculo” com o processo de ensino e aprendizagem da matemática e com a formação 
de professores (SAITO, DIAS, 2011). 
Algumas dessas intencionalidades, apresentadas por Saito e Dias (2011), 
referem-se à 1) interação entre diferentes conceitos matemáticos, à 2) forma de 
expressão dos termos e aos 3) conceitos matemáticos historicamente constituídos. 
Referente à primeira intencionalidade, o tratado Del modo di misurare (1564) 
permite, durante a sua leitura, que o leitor mobilize e relacione diferentes conceitos 
matemáticos para sua compreensão, como por exemplo, circunferência, retas, 
triângulos, proporcionalidade, quadrado, mediatriz, bissetriz, Teorema de Tales, etc. 
Já na segunda, esses conceitos não são apresentados pelas suas palavras-
termo, mas estão explícitos nas tarefas solicitadas pelas instruções. Por exemplo, ao 
invés de dizer trace a mediatriz do segmento de reta ������, descreve “divida cada lado 
������ em duas partes iguais”. 
Finalmente na terceira, o texto do documento histórico original aborda os 
conceitos matemáticos como uma ferramenta, e não como um objeto, ou seja, os 
conhecimentos da matemática são mobilizados para auxiliar o sujeito a desenvolver 
uma determinada tarefa, como por exemplo, construir o “quadrante num quarto de 
círculo”. 
Cabe salientar, como veremos adiante, que as intencionalidades aqui 
apresentadas possibilitaram o desenvolvimento de um material, a partir do 
documento histórico original Del modo di misurare (1564), que pode ser utilizado no 
33 
processo de ensino e de aprendizagem de matemática e na formação de docentes 
que vai além de saber construir o instrumento (SAITO, DIAS, 2011). 
Além disso, recorrendo a Saito e Dias, por meio da atividade Construção do 
Instrumento “quadrante de um quarto de círculo”, busca-se colocar o participante 
numa relação com seu antepassado, compreendendo-o como sujeito 
histórico, permitindo que ele se desenvolva não só como herdeiro do 
conhecimento produzido, mas também como capaz de reproduzir no 
pensamento os aspectos históricos de produção do conhecimento 
humano(2011, p. 28). 
O termo “reproduzir”, apresentado na afirmação de Saito e Dias (2011), não 
significa cópia idêntica, mas, como sintetiza Rubinstein, a capacidade humana 
tal como a retenção não é apenas uma conservação passiva, muito 
menos a reprodução é uma reprodução mecânica do que foi 
inculcado ou aprendido. No processo de reprodução, aquilo que se 
deve reproduzir não se reproduz apenas, mas forma-se de certo 
modo. Até o próprio conteúdo significativo se forma através da 
formulação lingüística. O pensar está contido na reprodução, capta o 
conteúdo de uma forma mais exata, generaliza-o, sistematiza-o, 
aperfeiçoa-o e reconstrói-o. Por isso a reprodução do reproduzido é a 
essência da própria reprodução como resultado da sua elaboração 
ideológica, como aspecto essencial da reprodução.” (RUBINSTEIN 
apud SAITO, DIAS; 2011, p. 28). 
Dessa maneira, podemos dizer que a elaboração dessa atividade que 
articula história e ensino da matemática está embasada na possibilidade de criar um 
ambiente pedagógico em que o participante possa se relacionar com os saberes do 
passado, através do diálogo com a produção e transmissão de conhecimentos 
matemáticos do século XVI, sintetizados num instrumento da época. 
Esse diálogo, por sua vez, pode incentivar o sujeito a questionar e refletir 
sobre determinadas questões, nas quais não seria possível a partir de uma atividade 
de ensino da matemática que possua somente elementos familiares ao nosso 
contexto histórico e social. 
Assim, a presente pesquisa busca desenvolver junto aos professores de 
matemática do ensino fundamental a atividade Construção do Instrumento 
“quadrante num quarto de círculo”. 
34 
No próximo capítulo, apresentamos o roteiro que guiou as nossas ações 
durante o desenvolvimento da pesquisa. 
 
35 
CAPÍTULO II – O desenvolvimento da pesquisa 
 
Como já mencionamos anteriormente, para o desenvolvimento da presente 
pesquisa, selecionamos a atividade Construção do Instrumento “quadrante num 
quarto de círculo”, elaborada pelo grupo HEEMa a partir da obra original intitulada 
Del modo di misurare (1564) de Cosimo Bartoli (1503 – 1572). 
Nesse capítulo, apresentamos as etapas do desenvolvimento da pesquisa e 
os momentos da realização da atividade, junto a um grupo de professores do ensino 
fundamental. Um dos objetivos da construção do instrumento é identificarmos os 
elementos que emergiram durante sua execução que possam evidenciar as suas 
potencialidades e as impressões que os participantes tiveram ao realizá-la. 
Além disso, descrevemos também no presente capítulo, o roteiro que guiou 
as nossas ações durante todo esse processo. 
Em relação aos sujeitos, buscamos convidar para participar do 
desenvolvimento da pesquisa professores que 1) ministram aulas de matemática 
para o ensino fundamental do ciclo II (sexto ao nono ano); e 2) atuam, 
preferencialmente, nas escolas públicas do município ou estado de São Paulo. 
Esses critérios de escolhas se justificam na medida em que uma de nossas 
intenções foi trazer, de alguma maneira, certa contribuição para a formação de 
professores de matemática. 
Referente ao tipo de abordagem da presente pesquisa, optamos pela 
qualitativa, pois se relaciona com o objeto, a questão e os objetivos propostos 
(LÜDKE, ANDRÉ,1986). 
 
2.1 Etapas do desenvolvimento da pesquisa 
A pesquisa foi desenvolvida em quatro etapas: 
36 
1ª etapa: Os professores responderam a um questionário com questões 
fechadas, com o objetivo de identificarmos alguns aspectos de suas trajetórias 
acadêmicas e profissionais (vide o anexo IV). 
2ª etapa: Partimos para o desenvolvimento da atividade Construção do 
Instrumento “quadrante num quarto de círculo”, contendo os seguintes momentos: 
 1º momento: Uma pequena exposição aos docentes sobre a proposta, 
a contextualização histórica do tratado Del modo di misurare (1564) de 
Cosimo Bartoli e o tratamento didático do documento histórico (vide 
introdução do anexo V). 
 2º momento: Elaboração de uma redação pelos participantes 
explicando como eles elaborariam uma atividade de ensino de 
matemática articulado com a história. 
 3º momento: Socialização e discussão em grupo das idéias e propostas 
de cada um dos professores. 
 4º momento: Construção do Instrumento “quadrante num quarto de 
círculo” pelos participantes (vide instruções de como construir e utilizar 
o instrumento no anexo V). 
 5º momento: Discussão em conjunto com os docentes sobre as 
impressões que eles tiveram ao participar do desenvolvimento da 
atividade. 
3ª etapa: Realizamos uma leitura flutuante dos materiais a serem analisados 
com o objetivo de assimilarmos seus conteúdos, buscando indícios iniciais do 
caminho a ser percorrido para uma apresentação mais sistematizada dos dados e da 
análise desses dados (CAMPOS, 2004; BARDIN 2010). 
4ª etapa: Realizamos uma leitura detalhada dos materiais a serem 
analisados, com o objetivo de selecionarmos os elementos que julgamos relevantes 
e que chamaram a nossa atenção, buscando atribuir-lhes algum significado. 
37 
A seguir descrevemos o roteiro que guiou as nossas operações durante o 
desenvolvimento da pesquisa, levando em consideração as quatro etapas 
apresentadas no presente tópico. 
 
2.2 Roteiro do desenvolvimento da pesquisa 
A presente pesquisa foi realizada através do desenvolvimento da atividade 
Construção do Instrumento “quadrante num quarto de círculo” junto a um grupo de 
três professores de matemática do ensino fundamental (6º ao 9º ano) da escola 
pública do município e do estado de São Paulo. 
Para a escolha dos participantes, primeiramente entramos em contato com 
alguns professores de matemática para apresentarmos a pesquisa que 
pretendíamos desenvolver, e os convidamos para participar da atividade Construção 
do Instrumento “quadrante num quarto de círculo”. 
Nessa explanação, mencionamos que estávamos pesquisando sobre as 
possíveis relações entre a história da matemática e a educação matemática, e que a 
atividade tinha sido elaborada levando em consideração essa articulação, tendo uma 
duração aproximada de quatro horas. 
Para os professores que aceitaram participar da pesquisa, verificamos a 
disponibilidade dos dias e horários em que eles poderiam desenvolver a atividade, e 
entregamos a carta ao professor (anexo I), o termo de consentimento (anexo II), o 
termo de resguardo (anexo III) e o questionário (anexo IV) a serem preenchidos. 
A partir dessa etapa, determinamos o local, a data e o horário do 
desenvolvimento da atividade em que o pesquisador, o auxiliar e a maioria dos 
professores que concordaram em participar da pesquisa pudessem estar presentes. 
Ao divulgar a data e o horário aos docentes, solicitamos que eles levassem 
preenchidos e ou respondidos o termo de consentimento e o questionário, além do 
termo de resguardo. 
Durante a atividade Construção do Instrumento “quadrante num quarto de 
círculo”, foram disponibilizados aos professores um conjunto de textos contendo as 
38 
propostas da atividade com uma breve introdução sobre o tratado Del modo di 
misurare (1564) de Cosimo de Bartoli (1503-1572); e dois excertos desse documento 
histórico traduzidos, sendo: 1) instruções de como construir o “quadrante num quarto 
de círculo”; 2) instruções de como utilizar tal instrumento para medir altura (vide o 
anexo V). 
O conjunto de textos contém duas figuras presentes no documento histórico 
original. A primeira se refere ao “quadrante num quarto de círculo” (Figura 3) e a 
segunda indica como o utilizá-lo para medir a altura de uma torre (Figura 4). 
 
 
(Bartoli, 1564, p. 8r apud SAITO; DIAS, 
2011, p. 19)(Bartoli, 1564, p. 20r apud SAITO; DIAS, 
2011, p. 18). 
 
 
Foram disponibilizados, também, os seguintes materiais: placas de papelão 
30 cm x 30 cm, réguas sem graduação, compassos, um rolo de barbante, tesouras, 
canetas, lápis, borrachas, canudos para festas, porcas, papéis sulfite e alfinetes para 
mapas. 
A atividade foi desenvolvida em cinco momentos, com duração total de 
quatro horas. 
Figura 4: Como usar o instrumento
“quadrante num quarto de círculo” 
Figura 3: Instrumento “quadrante num 
quarto de círculo” 
39 
No primeiro momento fizemos um breve relato da proposta da atividade, 
contextualizamos historicamente o tratado Del modo di misurare (1564) e 
comentamos sobre o tratamento didático dado a ele (vide introdução do anexo V). 
No segundo momento os professores elaboraram uma redação na ficha de 
registro (anexo VI), descrevendo como eles abordariam a história da matemática em 
sala de aula. 
Posteriormente, num terceiro momento, os docentes socializaram e 
discutiram sobre as suas propostas de articulação descritas nas redações que 
elaboraram. 
No quarto momento os professores construíram o “quadrante num quarto de 
círculo” tendo por base as instruções traduzidas do tratado Del modo di misurare 
(1564) e utilizando os materiais disponibilizados para essa finalidade (vide instruções 
de como construir e utilizar o instrumento no anexo V). 
Finalmente, no quinto momento, os professores participaram em conjunto de 
uma discussão norteada por duas questões principais: a) Quais foram as suas 
impressões sobre a atividade que vocês participaram?; e b) Vocês mudariam a 
forma da atividade descrita em suas redações? 
Durante a realização da atividade, todos os seus cinco momentos foram 
filmados por um auxiliar, e anotamos os elementos que chamaram a nossa atenção 
e que julgamos relevante para análise. 
Ao concluir a atividade, os professores nos entregaram as anotações que 
elaboraram e o termo de resguardo adequadamente preenchido. 
Após a conclusão da segunda etapa da pesquisa, realizamos uma leitura 
flutuante do questionário, das dissertações elaboradas pelos participantes, das 
anotações do pesquisador e da gravação em vídeo da atividade, com o objetivo 
apreendermos seu conteúdo. Aproveitamos essa leitura flutuante para descrever o 
desenvolvimento da pesquisa (CAMPOS, 2004; BARDIN, 2010). 
Depois desse procedimento, iniciamos a quarta etapa do desenvolvimento 
da pesquisa. 
40 
Realizamos as leituras detalhadas, selecionando os elementos que de 
alguma forma chamaram a nossa atenção durante o desenvolvimento da atividade e 
que consideramos relevantes, incentivando-nos a questioná-los e a analisá-los mais 
profundamente com a finalidade de atribuir-lhes algum significado. 
O caminho que percorremos para atribuir tais significados buscou responder 
aos questionamentos levantados através de um diálogo com os elementos 
selecionados, levando em consideração os documentos oficiais da educação 
matemática, certos trabalhos de pesquisadores e educadores matemáticos, e 
algumas pesquisas utilizadas pela área da educação. 
Explicitado o caminho que percorremos, apresentamos, a seguir, o 
desenvolvimento da pesquisa. 
 
2.3 Descrição do desenvolvimento da pesquisa 
No dia e horário marcado para a realização da atividade Construção do 
Instrumento “quadrante num quarto de círculo”, dos cinco professores que 
confirmaram a sua participação, três compareceram. Nós nos referiremos a eles 
pelos seguintes nomes fictícios: Adriana, Beatriz e Cláudio. 
Antes de iniciar o desenvolvimento da atividade, os professores entregaram 
os termos de consentimentos (vide o anexo II) e os questionários sobre alguns 
aspectos de suas trajetórias profissionais e acadêmicas (anexo IV). 
Descrevemos a seguir o que os professores responderam no questionário. 
2.3.1 Descrição da primeira etapa 
A professora Adriana concluiu o curso de licenciatura plena em matemática 
no primeiro semestre de 2011 e, nesse curso, teve contato com a disciplina história 
da matemática. Ela ministra atualmente aulas de matemática para o segundo ciclo 
do ensino fundamental e para o ensino médio na escola pública estadual de São 
Paulo. 
41 
Já a professora Beatriz concluiu o curso de licenciatura plena em ciências no 
ano de 1988 e, nesse curso, não teve nenhuma disciplina de história da matemática 
ou das ciências. Ela ministra atualmente aulas de ciências e de matemática para o 
segundo ciclo do ensino fundamental das escolas públicas estadual e municipal de 
São Paulo. 
Finalmente, o professor Cláudio concluiu o curso de bacharel em ciências 
econômicas no ano de 1986, e o curso de formação de professores de matemática 
pela resolução 02/1997 no ano de 1998. Em nenhum desses cursos teve contato 
com a disciplina história da matemática. Atualmente, o docente ministra aulas para o 
segundo ciclo do ensino fundamental nas escolas públicas estadual e municipal de 
São Paulo e para uma escola particular. 
Explicitado a primeira etapa do desenvolvimento da pesquisa, descrevemos, 
a seguir, como foi a realização da segunda etapa. 
 
2.3.2 Descrição da segunda etapa 
A segunda etapa consiste na Construção do Instrumento “quadrante de um 
quarto de círculo” pelos três professores que aceitaram participar da presente 
pesquisa. 
Cabe salientar que a atividade desenvolvida foi dividida em cinco momentos, 
as quais passamos a descrever a seguir. 
 
2.3.3 Descrição do primeiro e do segundo momentos 
Iniciamos o primeiro momento da atividade fazendo uma exposição sobre a 
sua proposta, a contextualização histórica do documento Del modo di misurare 
(1564) e um breve comentário acerca do tratamento didático dado a ele (vide a 
introdução do anexo V). 
Ao término da exposição, iniciou-se o segundo momento da atividade. 
42 
 Solicitamos aos professores que descrevessem como incorporariam a 
história na sala de aula. Mencionamos, ainda, que eles poderiam discutir com seus 
colegas sobre as suas propostas. 
Ao efetuarmos essa primeira solicitação aos participantes, Adriana e Beatriz 
ficaram apreensivas. Elas mencionaram ter dificuldades em elaborar textos escritos, 
e Beatriz complementou: 
– Você irá corrigir os erros de português? 
Relatamos às professoras que o objetivo do primeiro momento da atividade 
não era corrigir erros gramaticais, mas identificar nos textos o modo como eles 
articularam o ensino da matemática com a história da matemática. 
Após esse relato que realizamos, Beatriz mencionou: 
– Eu já trabalhei com a história da matemática com os meus alunos em sala 
de aula. 
Ao ouvirmos esse comentário da docente, foi-lhe solicitado que descrevesse 
essa atividade em seu texto. 
Durante todo o processo de elaboração da redação não houve discussão 
entre os participantes. 
Quando os participantes terminaram de elaborar os seus respectivos textos, 
demos início ao terceiro momento da atividade, o qual descrevemos a seguir. 
 
2.3.4 Descrição do terceiro momento 
O terceiro momento do desenvolvimento da atividade foi iniciado através de 
nossa solicitação aos professores para que apresentassem suas propostas de 
articulação entre a história da matemática e o ensino da matemática, descritas em 
suas redações. 
A professora Adriana propôs, primeiramente, expor aos alunos um texto 
histórico. Em seguida, desenvolveria uma atividade reproduzindo esse contexto 
43 
através da manipulação de materiais concretos, como pudemos observar em seu 
comentário: 
– Eu contaria uma história utilizando um texto histórico, depois, trabalharia 
com os meus alunos com algumas peças representando aquela época, entendeu? 
[...] Por exemplo,quando falamos do sistema posicional dos números, podemos 
trabalhar com o ábaco para interpretar como era utilizada essa peça para fazer conta 
numa época... 
Referente à questão “como trabalharia com a história da matemática no 
ensino”, Beatriz propôs recorrer à história a fim de esclarecer quais foram as 
necessidades que desencadearam a construção de um determinado conceito 
matemático, como pudemos perceber em suas palavras: 
– Ao iniciar o estudo do valor posicional dos números, eu acho muito 
interessante resgatar um pouco da sua história, como surgiu a necessidade de 
utilizar o sistema indo-arábico... 
Cabe aqui observar que Beatriz não teve contato com uma disciplina que 
tratasse de história da matemática em sua formação. Segundo a docente, a 
necessidade de estudar alguns tópicos de história da matemática surgiu quando 
alguns alunos perguntaram-lhe sobre o sistema posicional em uma de suas aulas, 
como pudemos observar em seus comentários: 
– Eu nunca tive uma disciplina sobre história da matemática [...] O que 
pegou mais para eu voltar para a história da matemática foi quando eu estava 
ensinando o valor posicional para os meus alunos. 
Na ocasião, ela ministrava uma aula sobre o sistema posicional dos números 
indo-arábico. Os alunos perguntaram: como os homens trabalhavam com os 
números quando não conheciam o sistema posicional? 
Em relação à proposta de articulação entre história e ensino da matemática, 
Beatriz sugeriu uma atividade em que os alunos deveriam representar a quantidade 
de pessoas presentes na sala de aula através de uma relação biunívoca, utilizando 
riscos ou pedras. 
44 
Segundo ela, o docente poderia discutir, assim, com os alunos, sobre as 
dificuldades desse tipo de representação, e as vantagens das representações 
simbólicas dos números. De acordo com Beatriz, surgiria, durante a atividade, 
através da mediação do professor, a necessidade de representar os números 
utilizando os símbolos matemáticos. 
Pudemos observar esse posicionamento da participante em seus próprios 
comentários: 
– Partiríamos da necessidade vivenciada em sala de aula de representarmos 
a nós mesmos a quantidade de alunos [...] Discutiríamos as dificuldades de juntar 
pedras ou de fazer riscos para representar grandes quantidades [...] Colocaríamos 
para eles a necessidade de utilizar os símbolos matemáticos... 
Recorrendo à história da matemática, Beatriz salientou que a necessidade 
de utilização da representação dos números através do sistema indo-arábico ocorreu 
devido aos inconvenientes que a representação biunívoca trouxe quando o homem 
tentou representar grandes quantidades, como pudemos evidenciar em seu relato: 
– Antigamente eles mediam a quantidade por meio de pedras [...] quando 
eles iam contar, iam utilizando agrupamento de pedras [...] e ficou difícil quando 
eram grandes quantidades, surgindo à necessidade de utilizar os símbolos 
matemáticos [...] 
Assim, analisando os dois últimos comentários que apresentamos da 
docente Beatriz, podemos dizer que a “necessidade da atividade” seria semelhante 
“a necessidade histórica”. 
O professor Cláudio, que não teve contato com a disciplina história da 
matemática em sua formação docente, sugeriu utilizar a história como uma fonte 
introdutória de um determinado conceito matemático, como pudemos perceber em 
sua fala: 
– Antes de eu explicar sobre o Teorema de Pitágoras, eu faço um breve 
comentário histórico do teorema, conto um pouco sobre as terras do Egito, sobre a 
utilização da corda dos doze nós... 
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Analisando os comentários de Cláudio, uma das finalidades da história seria 
esclarecer quem foi Pitágoras, além de mostrar como surgiu o teorema e de que 
forma ele foi utilizado em determinada época, citando o caso da corda de doze nós, 
que os homens utilizavam para medir suas terras. 
Após a discussão desses pontos, iniciamos o desenvolvimento do quarto 
momento da atividade, o qual o descrevemos em seguida. 
 
2.3.5 Descrição do quarto momento 
O quarto momento da atividade iniciou com a solicitação aos docentes que 
construíssem, em conjunto, o instrumento “quadrante num quarto de círculo”, 
utilizando as instruções e os materiais disponibilizados para essa finalidade (vide 
anexo 5). 
Para isso, os professores desenvolveram as tarefas solicitadas por essas 
instruções, sendo descritas nesse tópico entre aspas e em itálico. 
Numa primeira leitura do texto que ensina a construir o “quadrante num 
quarto de círculo” pelos participantes, a professora Beatriz perguntou: 
– O que significa “pínula”? 
Informamos que o significado do referido termo encontrava-se no rodapé do 
texto. 
Ela também questionou: 
– É possível medir com esse instrumento? 
Relatamos que sim, e solicitamos que os professores consultassem o 
desenho que estava presente nas instruções disponibilizadas a eles, o qual ilustra 
como medir a altura de uma torre (vide o anexo V, Figura 5). 
Ainda durante as primeiras leituras das instruções, Beatriz fez o seguinte 
comentário: 
46 
- Esse texto é muito chato. 
Perguntamos por quê? Ela mencionou que estava com dificuldades de 
compreendê-lo. 
 
 
(BARTOLI, 1564, p. 20r apud SAITO; DIAS, 2011, p. 18). 
 
A docente ainda teceu comentários a respeito da apresentação da atividade, 
referindo-se à estruturada e à ordem dos tópicos do texto (vide o anexo V): 
introdução, atividade proposta, construindo o “quadrante de um quarto de círculo” e 
utilizando o “quadrante num quarto de círculo”. 
Segundo Beatriz, os textos se afiguravam como uma receita, ou seja, 
ensinava passo a passo como construir o instrumento. 
Além disso, durante as primeiras leituras a docente demonstrou 
preocupação em relação à discussão em grupo, no tocante aos participantes 
apresentarem suas opiniões sobre o desenvolvimento da atividade, evidenciada 
pelas suas palavras: 
- Eu não tenho conhecimento sobre a história da matemática. 
Figura 5: Utilizando o quadrante num quarto de círculo para medir altura 
47 
Pedimos a ela que não se preocupasse, pois a nossa intenção nessa 
discussão não era avaliar se eles conheciam a história da matemática, e sim saber 
quais foram as suas impressões referentes à atividade que estavam participando. 
O professor Cláudio, em relação ao “quadrante num quarto de círculo” (vide 
anexo V, desenho Figura 6), teceu o seguinte comentário: 
– Esse instrumento parece um transferidor... 
 
 
(BARTOLI, 1564, p. 8r apud SAITO; DIAS, 2011, p. 19). 
 
A docente Beatriz prontamente mencionou: 
– Naquela época [século XVI] o transferidor ainda não foi inventado. 
Ratificamos o comentário de Beatriz, e acrescentamos que no século XVI as 
medidas não eram padronizadas, e alguns dos recursos utilizados para a construção 
dos instrumentos eram réguas sem graduação e compasso. 
Aproveitamos a oportunidade para esclarecer que nessa época a aritmética 
e a geometria eram duas áreas distintas do conhecimento. 
Figura 6: Desenho do “quadrante num quarto de círculo” 
48 
A partir desse momento, foi levantando a seguinte questão pelo docente 
Cláudio: 
- O transferidor é oriundo do “quadrante de um quarto de círculo”? 
Relatamos que não, porém, no momento da atividade, não soubemos 
responder aos participantes como surgiu a ideia da elaboração de tal instrumento. 
Porém, cabe observar, recorrendo ao trabalho de Saito e Dias (2011), que 
alguns instrumentos de medidas faziam parte de certas finalidades práticas de 
diversos campos de atividade no século XVI, como da astronomia, da arquitetura, da 
agrimensura, da navegação, da cartografia, da artilharia. 
Além disso, nas escalas de alguns desses instrumentos eram adotados