Resolução de Inequações e Equações Algébricas

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Exerc´ıcio s
1 . Use a ana´lise de sinais de expresso˜es do prim eiro
e do seg u ndo g rau s para resolv er as seg u intes in-
eq u ac¸o˜es:
(1 ) 2x− 4 ≤ 5 (2 ) x2 − 1 ≥ 4
(3 ) y2 + 5 ≤ 4y (4 ) y2 < 18y − 7 7
(5 ) 5 + 4x > x2 (6 ) x2 − 2x− 3 ≥ 0 .
2 . R esolv a as ineq u ac¸o˜es:
(1 ) y4 < 18y2 − 7 7
(2 ) x−√x ≥ 4
3 . Use o estu do do sinal do trinoˆm io do seg u ndo
g rau para resolv er as ineq u ac¸o˜es.
(1 ) 2x2 − x ≤ 3
(2 ) x ≤ x2 − 1
(3 ) x− 2x2 ≥ 3x− 2
(4 ) x2 − x3 > 3x
(5 ) 2x2 + 3x > 4 .
4 . R esolv a a ineq u ac¸a˜o x4 ≥ 2x2 + 2 .
5 . A nalize o sinal das expresso˜es e resolv a as in-
eq u ac¸o˜es dadas:
(1 ) |x− 3|− 2 e |x− 3|− 2 < 0
(2 ) |x− 3|− |2| e |x− 3| > |2|
(3 ) |4 + x|− x e |4 + x| > x
(4 ) |x− 2|− |2x| + 2 e |x− 2| ≤ |2x|− 2
(5 ) |x + 2|− |x| + 2 ;
(6 )
∣
∣|x + 8|− x
∣
∣ e
∣
∣|x + 8|− x
∣
∣ < 0
(7 )
∣
∣|x + 4| + |x|
∣
∣− 3 e
∣
∣|x + 4| + |x|
∣
∣ > 3
(8 )
∣
∣|x− 1| + x2
∣
∣− 1 e
∣
∣|x− 1| + x2
∣
∣ > 1
(9 ) x2 + |x| e x2 + |x| > 0
(1 0 ) x3 + |x| e x3 + |x| ≤ 0
6 . R esolv a as ineq u ac¸o˜es:
(a) x(2− x) < x ;
(b ) x(x + 1) ≤ x2 ;
(c) (x− 1)2(4− x2) ≥ x− 1 ;
(d) x(x− 1)(1 + x3) < x(1− x) ;
(e) x3(x2 − 1) > x2(x− 1) ;
(f) |x + 1|(x2 − 4) ≥ (x2 − 4)2 ;
(g ) (1− |x|)(x2 − 1) ≤ (|x|− 1)2.
7 . Q u antas solu c¸o˜es inteiras as ineq u ac¸o˜es do ex er-
c´ıcio anterior adm item ?
8 . A nalise o sinal de expresso˜es associadas as in-
eq u ac¸o˜es a seg u ir e resolv a essas ineq u ac¸o˜es:
(1 ) 1− 1
x2
<
1
x
(2 ) x ≥ x
x− 1
(3 )
x + 2
x2 − x− 6 ≤ 0
(4 ) 1 ≤ x
3 + x− 3
x3 − 27
(5 )
x + 1
x2 − 1 ≤ x−
1
x− 1
(6 )
1
x2
− x (x + 1)
2
x2 − x− 2 <
1
x2
(7 )
x + 1
|x2 − 1| ≥ |x|−
1
x− 1
(8 ) |x + 1| <
2x + 1
x2 − 1 .
(9 )
x
4− x2 +
1
x− 2 ≤ 1
(1 0 )
x2 + 3x
x + 1
− x
(x + 1)2
> 2x .
(1 1 )
x2 + 2x + 3
x + 3
<
x
x− 1
(1 2 )
x + 1
|x|
+
1
x2 − |x| ≥
|x|
3
.
9 . Use a ana´lise feita no ex erc´ıcio anterior para re-
solv er as ineq u ac¸o˜es:
(1 ) 1− 2
x2
≤ 1
x
(2 ) 2x >
8
x− 1
(3 )
x + 2
x2 − x− 6 ≤ 0
Lic¸a˜ o 1 2 : E x e rc´ıcio s
(4) 1 ≤ x
3 + x− 3
x3 − 27
(5 )
x + 1
x2 − 1 ≤ x−
1
x− 1
(6 )
1
x2
− x (x + 1)
2
x2 − x− 2 <
1
x2
(7 )
x + 1
|x2 − 1| ≥ |x|−
1
x− 1
(8 ) |x + 1| <
2x + 1
x2 − 1 .
(9 )
x
4− x2 +
1
x− 2 ≤ 1
(1 0 )
x2 + 3x
x + 1
− x
(x + 1)2
> 2x .
(1 1 )
x2 + 2x + 3
x + 3
<
x
x− 1
(1 2 )
x + 1
|x|
+
1
x2 − |x| ≥
|x|
3
.
1 0 . Use o ex erc´ıcio anterior e resolv a as ineq u ac¸o˜es:
(a)
√
2x2 − 9 ≤ x
(b )
√
2x2 − 9 > x2
(c)
√
x2 − 3x ≥ 2x− 5
(d)
√
3− 2x < 3−√2x + 2
(e)
√
x + 10 + 4
√
x + 10 ≤ 2
1 1 . S ejam a, b ∈ R∗. R esolv a a ineq u ac¸a˜o
2
√
x
a
+ 3
√
a
x
<
b
a
+
6a
b
1 2 . R esolv a a eq u ac¸a˜o
√
x− 3 ≥ 2−
√
8x + 1
1 3 . R esolv a a eq u ac¸a˜o
√
x + 1 +
√
2x + 3 ≥
√
8x + 1
1 4 . R esolv a a ineq u ac¸a˜o
√
x2 + x− 2 ≤ x
1 5 . R esolv a a ineq u ac¸a˜o
√
2x2 + x− 2 ≤ x
1 6 . R esolv a a ineq u ac¸a˜o
x− 6 < 18− 15x
x2 + 2x− 3 ≤ x
1 7 . D eterm ine os pontos da reta cu jo q u adrado da
su a distaˆncia ao ponto 1 e´ m enor do q u e o dob ro
da distaˆncia ao ponto 3 .
1 8 . D eterm ine os pontos da reta cu jo q u adrado,
transladado de 5 e´ m enor do q u e o triplo de
su a distaˆncia ao ponto 1 .
1 9 . D eterm ine os pontos da reta cu ja raiz q u adra-
da do seu transladado por 3 e´ m aior do q u e a
distaˆncia com a distaˆncia da raiz q u adrada desse
ponto ao ponto 1 .
2 0 . E m cada item determ ine os valores de x para os
q u ais tem os:
(a) x ≤ 2x− 1 < |x| + 1
(b ) x + 1 ≥ x2 − 2x ≥ 1− 3x2
(c)
√
x2 − x > 2x− 5 > x2
2 1 . D eseja-se constru ir u n triˆang u lo com lados x ,
x + 1 e x + 2 onde x ∈ ( 0 ,∞). Perg u nta-se:
q u ais v alores o paraˆm etro x na˜o pode assu m ir ?
2 2 . Use a te´cnica de com pletar q u adrados para
m ostrar q u e:
(1 ) x3 + x2 + x ≥ 3x/ 4 q u ando x ≥ 0 ;
(2 ) x3 + x2 + x ≤ 3x/ 4 q u ando x ≤ 0 .
2 3 . M ostre q u e (x2 − x + 4)(x2 + 4x + 5) ≥ 2 .
2 4 . M ostre q u e a som a de u m nu´ m ero real positiv o
com seu inv erso na˜o pode ser m enor do q u e 2.
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