Zaions D.R. (2016) Elementos de Maquinas III

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS 
DE 
MÁQUINAS III 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
Joaçaba, 27 de Julho de 2016 
 
 
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
Componte curricular de 
ELEMENTOS 
DE 
MÁQUINAS III 
 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
Joaçaba, 27 de Julho de 2016 
Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Máquinas III do curso 
de Engenharia Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina 
Campus de Joaçaba 
 
O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, 
constituindo-se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre 
elementos de máquinas. 
 
O presente trabalho abrange o programa da disciplina de Elementos de 
Máquinas III do Curso de Engenharia Mecânica da Universidade do Oeste de Santa 
Catarina – UNOESC - Campus de Joaçaba. 
 
No mesmo são tratados assuntos como: “Engrenagens cilíndricas: análise cinemática 
e dimensionamento. Engrenagens coroa-parafuso sem fim.. 
 
Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico do componente 
curricular, com o intuito de melhorar o aproveitamento dos mesmos. 
 
Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois 
assim poderei melhorá-lo com futuras modificações. 
 
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions 
 
 
 
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS 
Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 
1994 iniciou o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de 
Santa Catarina obtendo o grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o 
curso de Mestrado em Engenharia de Produção na Universidade Federal do Rio Grande do 
Sul na área de concentração de Gerência, desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação 
da Metodologia da Manutenção Centrada em Confiabilidade em uma Planta de Celulose e 
Papel. 
Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até 
março/2006 e do Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica 
de março/2000 até Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. 
Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do 
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, 
CREA – SC no período de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do 
CREA – SC no período de janeiro de 2002 até dezembro de 2002. 
Doze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na 
área mecânica. 
Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e 
Eletromecânica do SENAI – CET Joaçaba. 
É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde 
atua nas disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, 
Processos de Usinagem e Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Máquinas e 
Manutenção Mecânica. É também pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial. 
Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Gestão 
da Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a 
disciplina de Manutenção de Elementos de Máquinas e Gestão da Manutenção. No curso de 
Especialização em Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de 
Projeto de Sistemas Mecânicos e Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. 
É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na 
busca de causa raiz de falhas. 
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba 
 e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br 
 Fone/Fax: (49) 3551 – 2000 ramal 2035 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 5 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
ÍNDICE 
1 MECANISMOS DE CONTATO DIRETO .......................................................................................... 8 
1.1 RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO DIRETO ...................................... 8 
2 ENGRENAGENS .................................................................................................................................. 12 
2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 12 
2.2 PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS ........................................................................................ 15 
2.2.1 Perfil Cicloidal ..................................................................................................................... 15 
2.2.2 Perfil Evolvental .................................................................................................................. 18 
2.3 LEI GERAL DO ENGRENAMENTO .................................................................................................... 21 
2.4 ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES ........................................................................................ 22 
2.5 DESLIZAMENTO ESPECÍFICO ........................................................................................................... 26 
3 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES RETOS .................................................................... 29 
3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 29 
3.2 SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ................................... 32 
3.3 ESPESSURA DO DENTADO ............................................................................................................... 37 
3.4 FOLGA NO FLANCO DOS DENTES ..................................................................................................... 39 
3.5 ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE .................................................................................................. 42 
3.6 CREMALHEIRA ............................................................................................................................... 44 
3.7 INTERFERÊNCIA .............................................................................................................................. 45 
3.7.1 Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta ................................................ 48 
3.8 GRAU DE RECOBRIMENTO .............................................................................................................. 49 
3.9 MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS .... 52 
3.9.1 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Externos ....................................... 56 
3.9.2 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Internos ........................................ 56 
3.9.3 Tipos de Engrenamentos ...................................................................................................... 57 
3.9.4 Engrenamento V (vê) ........................................................................................................... 61 
3.10 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA ............................................................ 67 
3.11 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ........................................................................................... 68 
3.11.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA .............................................................................. 69 
3.11.2 Distância entre centrosIMPOSTA ....................................................................................... 70 
4 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES HELICOIDAIS ...................................................... 71 
4.1 CURVA HELICOIDAL ....................................................................................................................... 71 
4.2 ENGRENAGENS ESCALONADAS ...................................................................................................... 72 
4.3 ENGRENAGEM COM DENTADO HELICOIDAL .................................................................................... 73 
4.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS E SUAS RELAÇÕES ....................................................................... 74 
4.5 CREMALHEIRA HELICOIDAL ........................................................................................................... 76 
4.6 VOCABULÁRIO E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS................................................................................. 77 
4.7 PROPORÇÕES DO DENTADO NORMAL .............................................................................................. 79 
Elementos de Máquinas III 6 
4.7.1 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos ...................................................... 79 
4.7.2 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais internos ...................................................... 80 
4.8 NÚMERO DE DENTES IMAGINÁRIOS DE UM DENTADO HELICOIDAL - RODA VIRTUAL ..................... 80 
4.9 INTERFERÊNCIA .............................................................................................................................. 81 
4.10 GRAU DE RECOBRIMENTO .............................................................................................................. 82 
4.11 MECANISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES 
HELICOIDAIS ..................................................................................................................................................... 83 
4.11.1 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Externos................................................... 83 
4.11.2 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais internos .................................................... 83 
4.12 TIPOS DE ENGRENAMENTOS ............................................................................................................ 84 
4.12.1 Engrenamento “V0” (Vê zero) ............................................................................................. 84 
4.12.2 Engrenamento “V” (vê) ....................................................................................................... 85 
4.13 REBAIXAMENTO DA ALTURA DO DENTE ......................................................................................... 87 
4.14 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA DE FABRICAÇÃO ................................... 87 
4.15 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ........................................................................................... 87 
4.15.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA .............................................................................. 89 
4.15.2 Distância entre centros IMPOSTA ....................................................................................... 89 
5 TRENS DE ENGRENAGENS ............................................................................................................. 91 
5.1 GENERALIDADES ............................................................................................................................ 91 
5.2 ESCOLHA DA RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ..................................................................................... 92 
6 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS ..................................................... 94 
6.1 EQUAÇÃO DE FLEXÃO DE LEWIS .................................................................................................... 94 
6.1.1 Efeitos dinâmicos ................................................................................................................. 96 
6.2 DURABILIDADE SUPERFICIAL ......................................................................................................... 98 
6.3 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DA 
RESISTÊNCIA A FLEXÃO UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ................................................................ 100 
6.3.1 Tensões de Flexão .............................................................................................................. 100 
6.3.2 Resistência a Fadiga por Flexão ....................................................................................... 101 
6.3.3 Tensão admissível .............................................................................................................. 102 
6.3.4 Fator de Vida YN (KN) ........................................................................................................ 104 
6.3.5 Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 104 
6.3.6 Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 104 
6.3.7 Fator Geométrico de Resistência a Flexão YJ (J) .............................................................. 105 
6.3.8 Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 106 
6.3.9 Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 108 
6.3.10 Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 108 
6.3.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 108 
6.3.12 Fator de Espessura de Borda KB ....................................................................................... 110 
6.4 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DO 
DESGASTE UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ..................................................................................... 111 
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6.4.1 Tensões de Contato ............................................................................................................ 112 
6.4.2 Resistência a Fadiga Superficial........................................................................................ 112 
6.4.3 Tensão Admissível de Contato ........................................................................................... 113 
6.4.4 Fator de vida ZN (CL) ......................................................................................................... 115 
6.4.5 Fator Razão de Dureza ZW (CH) ......................................................................................... 115 
6.4.6 Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 116 
6.4.7 Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 116 
6.4.8 Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 117 
6.4.9 Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 118 
6.4.10 Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 119 
6.4.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 119 
6.4.12 Fator de Acabamento Superficial ZR (Cf) ...........................................................................121 
6.4.13 Fator Geométrico de Resistência Superficial ZI (I) ........................................................... 121 
6.4.14 Coeficiente Elástico ZE (Cp) ............................................................................................... 122 
7 TRANSMISSÃO POR ENGRENAGEM COROA E PARAFUSO SEM-FIM ............................. 124 
7.1 PROPRIEDADES ............................................................................................................................. 124 
7.2 UTILIZAÇÃO E DADOS FUNCIONAIS ............................................................................................... 125 
7.3 ELEMENTOS TECNOLÓGICOS ........................................................................................................ 125 
7.4 FUNCIONAMENTO DA ENGRENAGEM COROA E PARAFUSO SEM-FIM .............................................. 127 
7.5 RELAÇÕES GEOMÉTRICAS DA TRANSMISSÃO POR ENGRENAGEM COROA E PARAFUSO SEM-FIM .... 128 
7.6 REVERSIBILIDADE E IRREVERSIBILIDADE DE UMA TRANSMISSÃO POR ENGRENAGEM COROA E 
PARAFUSO SEM-FIM ......................................................................................................................................... 130 
7.7 DIMENSIONAMENTO DA TRANSMISSÃO ENGRENAGEM COROA E PARAFUSO SEM-FIM ................... 131 
7.7.1 Torque no eixo do parafuso sem-fim .................................................................................. 131 
7.7.2 Relação de transmissão...................................................................................................... 131 
7.7.3 Fixação do número de entradas (filetes) do parafuso sem-fim .......................................... 132 
7.7.4 Distância entre centros ...................................................................................................... 132 
7.7.5 Materiais utilizados para a engrenagem coroa e parafuso sem-fim .................................. 133 
7.7.6 Tensão de contato ou pressão de contato .......................................................................... 134 
7.7.7 Características básicas da transmissão engrenagem coroa e parafuso sem-fim ............... 135 
7.7.8 Rendimento da transmissão engrenagem coroa e parafuso sem-fim ................................. 135 
7.7.9 Velocidade periférica da engrenagem coroa ..................................................................... 136 
7.7.10 Velocidade de deslizamento entre engrenagem coroa e parafuso sem-fim ........................ 136 
7.7.11 Tensão desenvolvida na engrenagem coroa ...................................................................... 137 
7.7.12 Largura da engrenagem coroa .......................................................................................... 138 
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 150 
 
Elementos de Máquinas III 8 
1 MECANISMOS DE CONTATO DIRETO 
A Figura 1.1 e Figura 1.2 ilustram alguns mecanismos de contato direto que serão 
abordados nesta disciplina. 
 
(a) (b) (c) 
Figura 1.1 - Mecanismos de contato direto: (a) Came bidimencional; (b) Came tridimensional; 
(c) Trem de Engrenagens 
 
Figura 1.2 - Mecanismos de contato direto: (a) Tipos de Engrenagens 
1.1 RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO 
DIRETO 
No estudo de mecanismos é necessário investigar o método pelo qual o movimento pode 
ser transmitido de um membro para outro. Pode-se transmitir movimento de três maneiras: (a) 
contato direto entre dois corpos tal como entre um excêntrico e um seguidor ou entre duas 
engrenagens, (b) através de um elemento intermediário ou uma biela e (c) por uma ligarão 
flexível, como uma correia ou uma corrente. Pode-se determinar a razão de velocidades 
angulares para o caso de dois corpos em contato. A Figura 1.3 mostra a came 2 e o seguidor 3 
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Prof. Douglas Roberto Zaions 
em contato no ponto P. A came gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado 
como um ponto da peça 2 é representada pelo vetor PM. A linha NN' é a normal as duas 
superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de 
ação. A tangente comum é representada por TT'. 0 vetor PM2 é decomposto em duas 
componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente comum. A came e o 
seguidor são corpos rigidos e devem permanecer em contato, por isso, a componente da 
velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual componente normal da 
velocidade de P considerado como pertencente a peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do 
vetor velocidade P como pertencente a peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio 
O,P e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do vetor 
velocidade PM3, conforme mostrado na Figura 1.3. A partir desse vetor, pode-se determinar a 
velocidade angular do seguidor através da relação V =Rω onde V é a velocidade linear de um 
ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e ω é a velocidade angular do raio R. 
 
Figura 1.3 - Relação de Velocidade angular em mecanismo de contato direto 
Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar-se a velocidade de 
deslizamento. Da Figura 1.3 pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença 
vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Esta 
diferença é dada pela distancia t2 t3, porque a componente Pt3 tem direção contraria a de Pt2. 
Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos 
segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 
serão iguais e, em conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais 
serão iguais e a velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão portanto um 
Elementos de Máquinas III 10 
movimento de rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento 
puro é que o ponto de contato permaneça sobre a linha de centros. 
Para o mecanismo da Figura 1.3 o movimento entre a came e o seguidor será uma 
combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá correr quando o 
ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Enquanto, o contato nesse ponto poderá não 
ser possível devido as proporções do mecanismo. Não poderá ocorrer deslizamento puro entre 
a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de 
seu curso, deve entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outra 
peça. 
É possível se determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de 
duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica 
delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum 
cruzando-a nos pontos e f, respectivamente. 
As seguintes relações são obtidas da Figura 1.3: 
2
2
3
3
2
3
3
3
3
2
2
2
:log
 e 
PM
PO
PO
PM
o
PO
PM
PO
PM
⋅=
==
ω
ω
ωω
 
como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes, 
eO
Pn
PO
PM
22
2
 = 
Também como os triângulos PM3n e O3Pe são semelhantes, 
fO
Pn
PO
PM
33
3
 = 
Assim, 
fO
eO
Pn
eO
fO
Pn
3
22
32
3
=×=
ω
ω
 
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Prof. Douglas Roberto Zaions 
KO
KO
fO
eO
3
2
3
2
2
3
==
ω
ω
 
Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são 
inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha centrospor sua interseção 
com a normal comum. Conclui-se então que para uma razão de velocidades angulares 
constante a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo. 
 
Elementos de Máquinas III 12 
2 ENGRENAGENS 
2.1 INTRODUÇÃO 
A norma NBR 6174 define engrenagem como todo elemento mecânico denteado de forma 
constante, destinado a transmitir, movimento e/ou receber movimento de um outro elemento 
mecânico denteado também de forma constante, pela ação dos dentes em contato sucessivos. 
As engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em uma grande 
variedade de aplicações mecânicas. Permitem a redução ou o aumento do torque com perdas 
muito pequenas de energia, e aumento ou redução de velocidades angulares sem nenhuma 
perda. 
Baseada nas superfícies básicas usadas para a transmissão do movimento, as engrenagens 
podem ser divididas em: (i) Engrenagens cilíndricas; (ii) Engrenagens cônicas; e (iii) 
Engrenagens hiperbolóidicas. Na transmissão de movimentos deve-se também considerar as 
Engrenagens coroa e sem-fim. 
A Figura 2.1 a) e b) ilustra engrenagens cilíndricas de dentes retos externos e internos 
respectivamente. As engrenagens cilíndricas de dentes retos externos são geralmente 
utilizadas em transmissões que necessitam mudanças de engrenagens em serviço pois são 
fáceis de engatar. São preferencialmente usadas em transmissões de baixa rotação ao invés de 
alta devido ao ruído que produzem. As engrenagens cilíndricas com dentes internos são 
usadas em transmissões planetárias e transmissões finais de máquinas pesadas e são bastante 
utilizadas para melhor aproveitamento do espaço. Apresentam rendimento em torno de 98 a 
99 %. 
As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais são empregadas em escala um pouco 
menor que as engrenagens com dentes retos, e podem ser montadas além dos eixos paralelos 
(Figura 2.1-d), com eixos reversos(Figura 2.3-a). Possuem rendimento de 96 a 99%. São 
menos ruidosas, possuem melhor capacidade de carga e são usadas em velocidades mais 
elevadas. Transmitem esforços axiais ao eixo em virtude da inclinação do dente. Para evitar 
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este inconveniente usa-se as rodas helicoidais duplas (Figura 2.1-e) ou espinha de peixe 
(Figura 2.1-f). 
 
Figura 2.1 – Engrenagens cilíndricas. 
Fonte: Niemann: 1971 
 
Figura 2.2 – Engrenagens Cônicas 
Fonte: Niemann: 1971 
As engrenagens cônicas são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos 
concorrentes e apresentam elevada capacidade de carga. Exigem precisão de montagem e 
Elementos de Máquinas III 14 
transmitem esforços axiais aos eixos. Podem ser de dentes retos(Figura 2.2-a), dentes 
helicoidais(Figura 2.2-b) ou dentes curvos(Figura 2.2-c) Para elevadas velocidade é 
necessário o uso de dentes curvos. A Zerol é uma cônica de dentes curvos fabricada pela 
Gleason. Rendimento de 98%. Segundo Niemann (1971), as engrenagens cônicas são 
empregadas para relações de transmissão (multiplicação) até 6 e para relações de 
multiplicação acima de 1,2, são em geral mais caras que as engrenagens cilíndricas. 
 
Figura 2.3 – Engrenagens: a) helicoidal, b) coroa sem-fim 
Fonte: Niemann: 1971 
As engrenagens coroa sem-fim (Figura 2.3-b) apresentam a vantagem de oferecer grandes 
reduções e de podem ser utilizadas para controle preciso de movimento circular de algum 
elemento, como por exemplo uma mesa divisora. Seu rendimento é baixo e varia de 45 a 97%, 
sendo portanto grande parte da potência transformada em calor, necessitando-se muitas vezes 
de aletas de refrigeração ou mesmo de radiador com ventilador para resfriamento da unidade. 
A capacidade de redução pode ser de até 60 ( com limite extremo de 100). Amortecem 
vibrações e são menos ruidosas que as reduções com outros tipos de engrenagens. 
As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais cruzados (Figura 2.3-a), são utilizadas 
para eixos reversos para uma pequena distância entre eixos, para cargas pequenas e relações 
de transmissão de 1 a 5 aproximadamente (NIEMANN, 1971). 
As engrenagens hiperbolóidicas (Figura 2.4) são utilizadas para transmissão de 
movimento entre eixos reversos e possuem elevada capacidade de carga. São muito utilizadas 
em tratores e veículos automotores em geral em diferenciais onde é essencial a questão da 
altura do eixo propulsor. Os principais tipos, Hipóide e Palóide, correspondem aos fabricantes 
Gleason (USA) e Klingelnberg (Alemanha) respectivamente. Exigem grande precisão de 
montagem e apresentam rendimento da ordem de 98%. 
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Figura 2.4 – Engrenagem hipóide 
Fonte: Niemann: 1971 
2.2 PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS 
2.2.1 Perfil Cicloidal 
O perfil cicloidal, mais utilizado antigamente, é hoje utilizado apenas em relojoarias e 
pequenos mecanismos, devido o seu baixo atrito. Outra característica interessante é a 
possibilidade de obter pinhões com reduzido número de dentes. 
Apesar destas vantagens, há uma série de desvantagens que fazem com que não sejam 
mais utilizados. 
A ciclóide é uma curva descrita pelo ponto de uma circunferência que rola sem 
deslizamentos sobre uma reta. Seja a circunferência de centro em “O” e de raio “R” que rola 
sem deslizamento sobre a reta “AB”, conforme Figura 2.5. 
 
Figura 2.5 - Geração de uma ciclóide. 
Se a circunferência de raio “R” e centro “O” rolar sem deslizamento sobre outra 
circunferência, a curva descrita pelo ponto “P” será uma “epiciclóide”, conforme mostra a 
Figura 2.6. 
Elementos de Máquinas III 16 
 
Figura 2.6 - Geração de uma epiciclóide 
Se a circunferência rolar sem deslizamento, internamente, a uma circunferência, a curva 
descrita por um ponto “P” traçará uma “hipociclóide”, conforme mostra a Figura 2.7. 
 
Figura 2.7 - Geração de uma hipociclóide 
A Figura 2.8 ilustra a maneira de como é gerado o perfil de uma engrenagem epicicloidal. 
Primeiramente, traça-se os círculos C1 e C2 com centros O1 e O2 respectivamente. Após usa-se 
agora os roletes R1 e R2 que irão rolar, sem deslizamento, para traçar as curvas do perfil da 
seguinte forma: 
(i) - Rolamento de R sobre o círculo Primitivo C1 
Fazendo rolar R1 sem deslizamento sobre o interior de C1 o ponto descreve um arco de 
hipociclóide IP1,que é o flanco do pé do perfil P1. 
Fazendo rolar R2 sem deslizamento sobre o exterior do C1 e o ponto descreve um arco 
de epiciclóide IS1, que vem a ser o flanco de cabeça do perfil P1. 
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(ii) - Rolamento de R sobre o círculo Primitivo C2 
Fazemos rolar R2 sem deslizamento sobre o interior do C2 e o ponto descreve um arco 
de hipociclóide IP2, formando o flanco do pé do perfil P2. 
Fazemos rolar R1 sem deslizamento sobre o exterior círculo primitivo C2 e o ponto 
descreve um arco de epiciclóide IS2 formando o flanco de cabeça do perfil P2 
 
O1 
R1 
C1 
P1 
S2 
P2 
C2 
R2 
S1 
O2 
I 
 
Figura 2.8 - Geração de uma engrenagem epicicloidal 
Para obtenção de engrenagens intercambiáveis é necessário ter-se o mesmo rolete para 
todas as rodas. O valor, geralmente usado para o diâmetro dos roletes R1 e R2 é igual a 5,5m, 
onde “m” é o módulo que representa o diâmetro do círculo primitivo dividido pelo número de 
dentes. 
Nas engrenagens epicicloidais, a linha de ação (onde a força é transmitida) esta sobre os 
arcos pertencentes aos círculos R1 e R2 e como apresenta uma forma curva e, uma vez que as 
normais aos perfis devem passar por I, chegamos a conclusão que a orientação será variável. 
Desta maneira, a força transmitida varia em direção e intensidade, resultando um 
engrenamentocom movimentos bruscos e sujeito a vibração. 
Uma outra desvantagens dos dentes epicicloidais esta associado ao fato de que os perfis P1 
e
 
 P2 são determinados com os dois círculos primitivos C1 e C2 bem definidos. A distância 
entre centros deve ser rigorosamente igual à soma dos raios destes dois círculos, do contrário, 
o engrenamento é defeituoso. 
Elementos de Máquinas III 18 
Também, devido ao ponto de inflexão em I as engrenagens epicicloidais são de difícil 
usinagem. 
2.2.2 Perfil Evolvental 
A grande maioria das engrenagens, salvo casos muito particulares, é confeccionada com 
perfil evolvental. Comparando ao perfil cicloidal, essa curva apresenta as seguintes vantagens: 
(i) Usinagem com ferramentas mais simples; (ii) A relação de velocidades angulares entre 
duas rodas não varia com uma variação da distância entre centros; (iii) Facilidade da obtenção 
de rodas corrigidas; (iv) A direção da força entre os dentes permanece invariável; 
A evolvente é a curva gerada por um ponto de uma corda que se desenrola de um círculo. 
O termo exato seria evolvente de círculo, conforme a Figura 2.9. 
 
P 
 
Figura 2.9 - Geração da curva evolvente 
Consideremos, agora, duas circunferências de centros 01 e 02 que estão ligados por uma 
corda, conforme a Figura 2.10, sendo a corda possuidora de um ponto P. 
Coloca-se, inicialmente, o ponto P sobre B2 e faz-se a roda 2 girar no sentido horário. 
Desta maneira o ponto P descreverá uma evolvente EV2 sobre a roda 2 e uma evolvente EV1 
sobre a roda 1. Pode-se notar que o ponto P será de tangência das duas evolventes. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 19 
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O1 
O2 
B2 
B1 
P
 
Ev2 
Ev1 
 
Figura 2.10 - Geração de 2 evolventes com uma corda 
Faz-se, agora, um círculo transmitir movimento ao outro pelos perfis de evolvente. O 
contato será sempre no ponto P que se deslocará sobre a reta tangente às circunferências (reta 
de ação). 
A fim de caracterizar a terminologia, apresenta-se a geração da curva evolvente na Figura 
2.11. Define-se: 
a) Circunferência de Base - É aquela circunferência sobre a qual rola a reta que contém o 
ponto, geratriz da evolvente. 
b) Raio de Base - É o raio da circunferência de base. 
c) Reta Geratriz - É a reta que rola, sem deslizamento, sobre a circunferência de base e 
contém o ponto P, gerador da evolvente. 
d) Raio Vetor - É o que une um ponto genérico P da evolvente com o centro da 
circunferência de base. 
e) Ângulo de Incidência, ααααp - É o ângulo formado pelo raio vetor e o raio que passa pelo 
ponto de tangência da reta geratriz com a circunferência de base. 
Elementos de Máquinas III 20 
 y 
x 
P 
A 
B 
C 
βp 
αp 
rb 
O 
ρp 
 
Figura 2.11 - Elementos na geração de uma evolvente 
A partir da Figura 2.11 podemos demonstrar as seguintes propriedades: (i) Qualquer 
geratriz da evolvente é tangente ao círculo base; (ii) O segmento da geratriz entre o ponto 
gerador P, e o ponto de tangência C, é o raio da evolvente no ponto P; (iii) A tangente à 
evolvente é normal à geratriz correspondente; (iv) O arco AC é igual ao segmento CP 
(lembrar da corda que se desenrola do cilindro); (v) O raio da evolvente na origem A é nulo; e 
(vi) A direção da evolvente na origem é a do raio correspondente, do círculo de base. 
A função evolvente pode ser deduzida a partir da Figura 2.11 onde pode-se escrever: 
ppb rr αcos⋅= 
∩∩∩
=+ ACBCAB 
Pela propriedade (d), da evolvente: CPAC =
∩
 o que resulta então: CPBCAB =+
∩∩
 
Dividindo a última expressão acima por br tem-se 
bbb r
CP
r
BC
r
AB
=+
∩∩
 que resulta em: 
ppp ααβ tan=/+ 
pppp Evαααβ =−= tan 
Tem-se, então, βp como função de αp, e chamamos esta função de função evolvente, e ela 
apresenta grande importância no estudo de engrenagens. Seu valor se acha tabelado em 
grande parte dos livros que abordam engrenagens. 
As coordenadas x e y do ponto P da Figura 2.11 são: 
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( ) 





−−++⋅= pppppbrx βαpiραβ 2coscos e ( ) 




−−++⋅= pppppb sensenry βαpiραβ 2 
Fazendo αp + βp = γp pode-se escrever: 
( )pppb senrx γγγ ⋅+⋅= cos e ( )pppb senry γγγ cos⋅−⋅= 
Também podemos escrever: αρ tgrb ⋅= 
2.3 LEI GERAL DO ENGRENAMENTO 
A Figura 2.12 ilustra uma posição instantânea de um engrenamento. As peças giram nos 
centros O1 e O2. Seja, ainda P, o ponto de contato dos dois perfis. A reta n corresponde a 
normal comum as duas superfícies (reta de ação) Sabemos baseados no estudo das 
velocidades angulares, que a relação de velocidades angulares 
2
1
ω
ω
 depende da posição do 
ponto K que é definido pelo encontro da reta normal comum NN´ com a linha de centros das 
duas peças (Dúvidas consultar o anexo 1). 
 
 
O1 
O2 
r1 
P
 
T
 
N
 ´
r2 
T
 ´
N
 
K
 
 
Figura 2.12 - Lei geral do engrenamento. 
As superfícies 1 e 2 estão em contato pelo ponto P. A normal comum é NN´ e a tangente 
comum é TT´. Pode-se escrever, então, que a relação entre as velocidades angulares 1 e 2 é: 
Elementos de Máquinas III 22 
KO
KO
1
2
2
1
=
ω
ω
 
onde O2K representa o raio primitivo r2 e O1K representa o raio primitivo r1 ou seja o raio 
das circunferências que passam em K. 
Podemos resumir estas propriedades, assim: 
a) Existe uma relação de velocidade 
2
1
ω
ω
, inversamente proporcional aos segmentos que o 
ponto K determina no segmento O1 e O2. 
1
2
1
2
2
1
r
r
KO
KO
==
ω
ω
 
b) Para que a relação de velocidades angulares permaneça constante é necessário que o 
ponto K permaneça fixo. 
2.4 ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES 
Consideremos os corpos da figura 26 , que engrenam com seus perfis evolvente e dispõem 
de movimentos de rotação em torno de O1 e O2. Os círculos de base para as evolventes 1 e 2 
são também centros em O1 e O2. Seja P o ponto de contato das duas evolventes. A normal 
comum aos perfis de evolventes deve cortar a linha entre centros em um ponto fixo K. 
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O1 O2 
r1 
α 
T
 
N
 ´
r2 
T
 ´
N
 
K
 
rb2 
rb1 
α 
w2 
w1 
 
Figura 2.13 - Engrenamento de duas evolventes 
A reta NN´, constituída por retas tangentes ao círculo de base e perpendicular ao perfil da 
evolvente. Então, a reta NN´ é uma linha que tangência os círculos de base e passa em K. 
Logo é uma reta fixa e, é chamada “Reta de ação”. A reta de ação é o lugar geométrico 
dos pontos de contato das duas superfícies. 
Sobre o ponto K a velocidade tangencial é a mesma. 
2211 rrV ⋅=⋅= ωω 
Estas circunferências com raios r1 e r2 são chamadas de “circunferências primitivas” e 
apresentam grande importância. Vão gerar o diâmetro primitivo. Ao ponto K chamamos 
“Ponto Primitivo”. Desprezando-se o atrito, a força exercida por uma evolvente sobre a outra 
tem a direção normal à superfície em cada ponto. 
Portanto, a força tem direção da reta de ação. Ao ângulo formado entre a normal ao 
segmento que une os centros e a reta de ação, denomina-se “ângulo de pressão”. 
Vejamos, agora, o que acontece se a distância entre centros variar. 
Inicialmente para a distância entre centros O1 O2 temos: 
2211 rrV ⋅=⋅= ωω 
Elementos de Máquinas III 24 
por ser a velocidade tangencial a mesma sobre o círculo primitivo. 
Pela Figura 2.13, tem-se que: 
αcos11 ⋅= rrb e αcos22 ⋅= rrb 
Assim, podemos também escrever que 
1
2
1
2
2
1
b
br
r
r
r
w
w
== ou seja, a relação 
2
1
w
w
 depende dos 
raios de base, portanto, não se altera. 
Para uma nova distância entre centros O1 O2, conforme Figura 2.14, tem-se um novo 
ponto primitivo K’ e novos raios 1r ′ e 2r ′ , tais que: 
α ′⋅′= cos11 rrb e α ′⋅′= cos22 rrb 
 
O1 
O2 
r1 α
 
rb2 
rb1 
a
 
aw 
rb1 
r1w 
r2w 
r2 
O1 
O2 rb2 
rb2 
aw > a 
α > αw 
 
αw 
 
Figura 2.14 - Variação da distância entre centros no engrenamento de duas evolventes 
A partir da Figura 2.14 tem-se que: 
wwb rrr αα coscos 111 == e wwb rrr αα coscos 222 =⋅= 
e 
( ) ( ) www rrrr αα coscos 2121 +=+ 
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Como: 
( ) arr =+ 21 e ( ) www arr =+ 21 
Tem-se: 
wwaa αα coscos = e αα coscos
w
w
a
a
= 
ou ainda igualando por meio de raios de base rb1 e rb2 pode-se escrever: 
αα coscos
1
1
w
w
r
r
= 
Conclui-se, assim que o ângulo de pressão e os raios primitivos não são constantes de um 
engrenamento, uma vez que depende dos dois corpos em contato e da distância entre centros 
de funcionamento. 
Problemas sobre engrenamento de duas evolventes: 
1) Um conjunto de engrenagem cilíndrica de dentes retos apresenta módulo m = 4 mm. A 
engrenagem menor (pinhão) possui z1 = 17 dentes e a engrenagem maior apresenta z2 = 45 
dentes. O ângulo de pressão α = 20o. Qual o ângulo de pressão de funcionamento αw quando 
as engrenagens operarem a uma distância entre centros de funcionamento aw = 125 mm. 
 
Elementos de Máquinas III 26 
2.5 DESLIZAMENTO ESPECÍFICO 
 
O1 
w2 
w1 
O2 
rp2 
αp1 
r2 
r1 
rp1 rb1 
B1 
Reta de 
ação
 
α
 
ρ2 ρ1 
B2 
T
 
T
 ´
P
 
vn 
v1 
v2 
vt2 
vt1 
rb2 
α
 
e
 
vt1 
vt2 
B1 B2 
C1 
C2 
C
 
 
Figura 2.15 – Deslizamento específico. 
A Figura 2.15 representa dois perfis engrenando com contato instantâneo em P. Deseja-se 
determinar a relação 





⋅ωρ
tv
 que representa o deslizamento específico. As velocidades v1 e 
v2 no ponto P, onde as evolventes entram em contato, devem ter projeções iguais sobre a 
normal comum à superfície (reta de ação). A estas projeções designamos por vn. 
Pode-se escrever então 
11 cos pn vv α⋅= 111 prv ⋅= ω 
1
1
1
cos p
b
p
r
r
α
= 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 27 
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obtendo-se então: 
11 bn rv ⋅= ω 
Da mesma forma, obtem-se: 
22 bn rv ⋅= ω 
Para as velocidades tangenciais, podemos escrever, por semelhança de triângulos: 
1
11
bn
t
r
PB
v
v
= 
Sendo 11 ρ=PB (raio equivalente P) e 11 bn rv ⋅= ω tem-se que 111 ρω=tv 
Analogamente: 222 ρω=tv 
Esta velocidade tem bastante importância e vamos determiná-la três pontos : 
Ponto B1: 01 =tv 1222 BBv t ⋅= ω 
Ponto C: αω senrvt 111 ⋅= αω senrvt 222 ⋅= 
Ponto B2: 2111 BBvt ⋅= ω 02 =tv 
Os valores de vt1 e vt2 estão representados na Figura 2.15 sendo valores lineares. 
Para vt temos: 21 ttt vvv −= uma vez que é adotada a convenção de ser vt negativo, 
enquanto se desloca de B1 até C. 
Podemos escrever 221121 ρωρω ⋅−⋅=−= ttt vvv 
Se orientarmos um segmento “e” que une o ponto C ao ponto P tal que sua orientação seja 
oposta ao caminhamento do contato (B1 para B2) tem-se que eCP = 
Tem-se então que: eCB += 11ρ e eCB −= 22ρ 
A velocidade vt será então, uma vez que 2211 CBCB ωω = 
A velocidade no ponto C é: ( )21 ωω +⋅= evt 
Elementos de Máquinas III 28 
Deve-se evitar valores elevados da velocidade de deslizamento a fim de evitar desgaste 
das superfícies e a dissipação de potência em forma de atrito. 
Ainda deve-se ter o cuidado de evitar que duas evolventes se toquem em regiões onde o 
raio de curvatura é pequeno, em virtude da área de contato ser pequena e provocar assim 
elevadas tensões, o que acarreta a fadiga do material na superfície. Assim deve-se manter a 
relação 
ρ
tv
 pequena. 
Da mesma maneira, pode-se também minimizar a relação 
ωρ
δ
⋅
=
t
p
v
 sendo esta, 
praticamente equivalente. 
Na relação 
ωρ
δ
⋅
=
t
p
v
 temos que ( )21 ωω +⋅= evt e ρ.ω será decomposto em duas 
situações: 11 ρω ⋅ e 22 ρω ⋅ 
Para ρ podemos escrever: pbr αρ tan⋅= e, geralmente: 111 tan pbr αρ ⋅= e 
222 tan pbr αρ ⋅= 
Tem-se então para o “deslizamento Específico” dos corpos número 1 e 2 as seguintes 
expressões: 
( )
111
21
1 tan pb
p
r
e
αω
ωωδ
⋅⋅
+⋅
= e 
( )
222
21
2 tan pb
p
r
e
αω
ωωδ
⋅⋅
+⋅
= 
A partir das deduções acima determinou-se os valores do deslizamento específico em três 
pontos: 
Ponto B1 =∝1δ 
( )
221
211
2 ω
ωωδ
⋅
+⋅
=
BB
CB
 
Ponto C: 01 =δ 02 =δ 
Ponto B2: 
( )
121
212
1 ω
ωωδ
⋅
+⋅
=
BB
CB
 =∝2δ 
Problema sobre deslizamento específico 
1) Um conjunto de engrenagem cilíndrica de dentes retos apresenta módulo m = 2,5 mm. 
A engrenagem menor (pinhão) possui z1 = 20 dentes e a engrenagem maior apresenta z2 = 60 
dentes. O ângulo de pressão α = 20o. A velocidade angular da roda 1 é w1 = 1500 rpm. 
Determinar o deslizamento específico. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 29 
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3 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES RETOS 
As engrenagens aparecem em quase todas as máquinas e, desta forma, o projetista tem 
freqüentemente a necessidade de projeta-las tanto a nível cinemático, geométrico e em termos 
de resistência mecânica. 
O que tem forçado o aparecimento das engrenagens é a exigência de engrenagens mais 
econômicas, mais silenciosas, mais leves e com maior capacidade de carga. Há uma grande 
quantidade de informações assim como vários processos de cálculo, pois além de pesquisas 
em muitas instituições, várias firmas desenvolvem programas de testes e aperfeiçoamento de 
suas engrenagens. 
O primeiro problema que surge ao projetar uma engrenagem é o de encontrar um par que 
seja capaz de transmitir potência requerida. As engrenagens devem ser: grandes o suficiente, 
resistentes e muito precisas para realizar o trabalho a que se destinam. 
Neste capítulo, apresenta-se inicialmente os aspectos cinemáticos e geométricos das 
engrenagens cilíndricas de dentes retos e em seguida o dimensionamento baseado na 
resistência mecânica e na vida, levando-se em consideração algumas normas técnicas. 
3.1 INTRODUÇÃO 
A Figura 3.1 apresenta esquematicamente 3 posições de contato de duas evolventes 
durante um engrenamento. O ponto B1 é o lugar de engrenamento na origem da evolvente da 
peça 1 com um ponto da peça 2. O segundo ponto, esta em P e representa um ponto qualquer 
de engrenamento. O terceiro ponto B2 é o lugar do engrenamento na origem evolvente da peça 
2 com um ponto da peça 1. 
Considerando-se o sentido de rotação do engrenamento o indicado na Figura 3.1 tem-se 
assim o engrenamento, iniciando em B2 e terminando em B1. Termina em B1 porque a partir 
deste ponto, caso o engrenamento continuasse, o mesmo se daria em um perfil qualquer, mas 
não em perfil evolvente, perdendo-se assimas boas características de engrenamento da 
evolvente. Desta maneira, sendo B1 o ponto extremo de engrenamento, limita-se o perfil da 
Elementos de Máquinas III 30 
evolvente 2 pela circunferência que passa em B1 e tem centro em O2. Por razões práticas 
limita-se o engrenamento a um ponto anterior a B1, como veremos adiante. 
Analogamente, a peça 1 pode ser limitado pela circunferência que passa em B2 ou outra 
menor. 
A fim de haver continuidade no engrenamento deve-se ter um novo início de 
engrenamento em B2 antes que o engrenamento termine em B1. 
A principal razão de ser evitado o engrenamento na raiz da evolvente é o pequeno raio de 
evolvente na zona da raiz. Este pequeno raio conduz a uma pequena área de contato, o que 
representa elevados esforços ou tensões locais, que acabam por destruir a superfície do 
dente. Desta maneira limita-se os perfis de evolvente pelas circunferências O1A2 e O2A1, 
verificando-se então o início e fim do engrenamento nos pontos A2 e A1 (Ver figura 2) 
 O1 
O2 
rb1 Círculo de 
base 1
 
rb2 
B1 
Círculo de 
base 2
 
B2 
w2 
w1 
P
 
 
Figura 3.1 - Engrenamento de duas evolventes 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 31 
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 O1 
O2 
rb1 Círculo de 
base 1
 
rb2 
B1 
Círculo de 
base 2
 
B2 
w2 
w1 
F
 G
 
D
 E
 
A1 A2 
 
Figura 3.2 - Engrenamento de duas evolventes 
Durante um engrenamento, conforme a Figura 3.2, o perfil da evolvente da peça 2 inicia o 
contato quando sua origem esta em “D”, indo se colocar em “E” no fim de engrenamento. 
Neste mesmo tempo a evolvente 1 passou de “F” para “G”. 
Sabe-se pelas propriedades fundamentais da evolvente que: A A DE FG1 2 = = 
Sendo z1 o número de evolventes da peça 1 e z2 no peça 2, tem-se: 
pi⋅=⋅=⋅ 21
1
2
2
z
r
FG
z
r
DE
bb
 
donde: 
1
2
2
1
1
2
z
z
r
r
b
b
==
ω
ω
 
Portanto, o número de evolventes (número de dentes) é inversamente proporcional às 
respectivas velocidade angulares. 
A fim de que as peças representados na Figura 3.2 possam transmitir movimentos também 
em sentido contrário, devemos prever uma nova família de evolvente, usando-se todas as 
considerações feita. Desta maneira chega-se à forma da Figura 3.3. 
Elementos de Máquinas III 32 
 
df 
d
 da 
Cilindro de pé
 
Cilindro de cabeça
 
Cilindro primitivo
 
Perfil
 
Flanco
 
hf 
Flanco do pé 
do dente
 
ha h
 
Flanco de 
cabeça
 
Largura do dente
 
Cilindro de base
 
 
Figura 3.3 – Proporções da geometria de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos 
Fonte: Henriot (1968) 
3.2 SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES 
RETOS 
Os símbolos e a terminologia empregada neste trabalho atendem as normas NBR 6684, 
NBR 6174 e SB 21. Neste trabalho, as principais relações geométricas das engrenagens estão 
associadas aos estudos de Henriot (1968) que apresenta forte relação com as normas ISO. Na 
simbologia descrita a seguir, deve-se utilizar o sub-índice 1 e 2 para associar as engrenagens 
menor e maior respectivamente. 
Com base no que já foi estudado no capítulo anterior pode-se escrever que a distância 
entre centros de referência corresponde a soma dos raios de referência da engrenagem maior e 
menor, ou seja: 
21 rra += 
A relação de transmissão pode ser determinada pelas seguintes expressões: 
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
r
r
d
d
z
z
n
n
r
r
i
b
b
======
ω
ω
 
Substituindo-se 12 rir ⋅= na expressão 21 rra += teremos que 11 i
a
r
+
= ou 
i
ad
+
⋅
=
1
2
1 . Da mesma forma encontra-se i
iad
+
⋅⋅
=
1
2
2 . 
Considerando p o passo de referência (passo primitivo) pode-se escrever: 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 33 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
z2 ⋅=⋅⋅=⋅ prd pipi e z⋅
pi
p
=d 
A relação 
z
d
=
pi
p
 define-se ser igual a m (módulo). É usado nos paises que utilizam o 
sistema métrico sendo seu valor medido em milímetros: 
z
d
m ==
pi
p
 
Para países cuja unidade é a polegada, usam-se em lugar do módulo, o “passo diametral” 
- DP do inglês Diametral pitch. O passo diametral ou Diametral pitch corresponde ao número 
de dentes dividido pelo diâmetro de referência (primitivo) medido em polegadas: 
d
zDP
′′
= 
O passo diametral pode ser relacionado com o módulo pela seguinte expressão: 
4,25=⋅ DPm 
Existem módulos e Diametral pith padronizados para facilitar a fabricação de ferramentas. 
Na Tabela 3.1, apresenta-se os módulos disponíveis pela DIN. 
Tabela 3.1 - Módulos disponíveis pela DIN 
de m = 0,3 até m = 1,0 mm de 0,1 mm em 0,1 mm 
de m = 1,0 até m = 4,0 mm de 0,25 mm em 0,25 mm 
de m = 4,0 até m = 7,0 mm de 0,5 mm em 0,5 mm 
de m = 7,0 até m = 16,0 mm de 1,0 mm em 1,0 mm 
de m = 16,0 até m = 24,00 mm de 2,0 mm em 2,0 mm 
de m = 24,00 até m = 45,00 mm de 3,0 mm em 3,0 mm 
de m = 45,00 até m = 75,00 mm de 5,0 mm em 5,0 mm 
A Tabela 3.2 apresenta os módulos padronizados de engrenagens cilíndricas transcritos da 
NBR 8088. A norma NBR 8088 salienta que deve ser dada preferência aos módulos da classe 
I. Recomenda-se evitar o emprego dos módulos indicados entre parênteses, da classe III. 
A fim de mostrar ao estudante de engenharia o tamanho dos módulos, a Figura 3.4 ilustra 
os dentes em tamanho aproximado ao natural para módulo entre 1 a 12. 
Elementos de Máquinas III 34 
 
Figura 3.4 - Dentes em tamanho natural para módulo entre 1 a 12 
Fonte: Silveira (1977) 
 
 
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 35 
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Tabela 3.2 – Módulos padronizados de engrenagens cilíndricas. 
Fonte: NBR 8088 
Classe Módulos padronizados - m 
I 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,25 1,5 
II 0,35 0,45 0,55 0,7 0,9 1,125 1,375 1,75 
III (0,65) 
I 2 2,5 3 4 5 6 8 
II 2,25 2,75 3.5 4,5 5,5 7 9 
III 
I 10 12 16 20 25 32 40 50 
II 11 14 18 22 28 36 45 
III 
 
A Tabela 3.3 apresenta os passos diametrais – DP normalizados segundo a ISO e o 
módulo m correspondente. 
Tabela 3.3 – Diametral Pitch normalizados (ISO) 
Fonte: Silveira (1977) 
Diametral Pitch normalizados (ISO) 
I II 
DP m correspondente DP m 
correspondente 
20 1,270 
 18 1,411 
16 1.588 
 14 1,814 
12 2,117 
10 2,540 9 2,822 
8 3,175 7 3,628 
6 4,233 
5 5,080 5 1/2 4,618 
4 6,350 4 1/2 5,644 
3 8,466 3 1/2 7,257 
2 1/2 10,160 2 3/4 9,236 
2 12,700 2 1/4 11,289 
1 1/2 16,933 1 3/4 14,514 
1 1/4 20,320 
1 25,400 
 
Associado a Figura 3.3, a Tabela 3.4 apresenta os principais símbolos geométricos 
utilizados em engrenagens cilíndricas de dentes retos e as respectivas relações geométricas. 
 
Elementos de Máquinas III 36 
Tabela 3.4 – Símbolos básicos adotados em engrenagens cilíndricas de dentes retos e relação 
geométrica 
Fonte principal: SB-21 
Símbolo Nomenclatura Relação geométrica 
a Distância entre centros de referência 
aw Distância entre centros de funcionamento 
wwaa αα coscos = 
b Largura do dente 
d Diâmetro (do cilindro) de referência zmd ⋅= 
da Diâmetro (do cilindro) de cabeça 
db Diâmetro (do cilindro) de base 
df Diâmetro (do cilindro) de pé 
e Vão entre dentes(no cilindro) de referência 
2
p
e = 
ea Vão entre dentes(no cilindro) de cabeça 
eb Vão entre dentes(no cilindro) de base 
ef Vão entre dentes(no cilindro) de pé 
h Altura total do dente fa hhh += 
mh ⋅= 25,2 
ha Altura da cabeça do dente mha ⋅= 1 
hf Altura do pé do dentemh f ⋅= 25,1 
mb Módulo de base 
mn Módulo normal 
n1 Freqüência de rotação da engrenagem menor 
n2 Freqüência de rotação da engrenagem maior 
pb Passo (no cilindro) de base 
p Passo (no cilindro) de referência (não 
referenciado pela norma S-21) z
dp ⋅= pi ou mp ⋅= pi 
qs Fator de entalhe 
ra Raio (do cilindro) de cabeça 
aa hrr += 1 
r Raio (do cilindro) de referência (não 
referenciado pela norma S-21) 2
zm
r
⋅
= 
rb Raio (do cilindro) de base αcos1 ⋅= rrb 
rf Raio (do cilindro) de pé 
ff hrr −= 1 





−⋅= 25,1
2
z
mr f 
Sa Espessura do dente (no cilindro) de cabeça 





−+
⋅
⋅⋅= aaa EvEv
r
S
rS αα
2
2 
S Espessura do dente (no cilindro) de referência 
(não referenciado pela norma S-21) 2
pS = 
2
pi⋅
=
mS 
Sb Espessura do dente (no cilindro) de base 





−+
⋅
⋅⋅= bbb EvEv
r
S
rS αα
2
2 






⋅+⋅= αEv
r
S
rS bb 2
 
Sw Espessura do dente (no cilindro) de 
funcionamento 
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 37 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
Símbolo Nomenclatura Relação geométrica 
SM Espessura do dente em um raio rM 






−+
⋅
⋅⋅= MMM EvEv
r
S
rS αα
2
2 
Usar: bMM rrr =⋅=⋅ αα coscos 
vg Velocidade de deslizamento 
vga Velocidade de deslizamento na cabeça (do 
dente) 
 
vt Velocidade tangencial 
x1 Fator de correção da engrenagem menor 
x2 Fator de correção da engrenagem maior 
z1 Número de dentes da engrenagem menor 
z2 Número de dentes da engrenagem maior 
i Relação de transmissão (movida/motora) 
2
1
2
1
1
2
1
2
n
n
w
w
d
d
z
zi ==== 
αa Ângulo de pressão no cilindro de cabeça 
αn Ângulo de pressão no cilindro de referência 
αwn Ângulo de pressão de funcionamento normal 
δ Deslizamento específico 
R Grau de recobrimento 
R
r r r r a
p
a b a b
=
− + − − ⋅
⋅
1
2
1
2
2
2
2
2 sen
cos
α
α
 
Rw Grau de recobrimento para uma distância 
entre centros imposta α
α
cos
2
2
2
2
2
1
2
1
⋅
⋅−−+−
=
p
senarrrr
R wwbabaw
 
w1 Velocidade angular da engrenagem menor 
w2 Velocidade angular da engrenagem maior 
 
3.3 ESPESSURA DO DENTADO 
Finzi (1963) menciona que é importante determinar a espessura do dente em função do 
raio a fim de verificar que a sua extremidade não seja excessivamente fina, o que poderia 
acontecer com um pequeno número de dentes e grande ângulo de pressão. 
Segundo Henriot (1968), a fórmula geral para determinação da espessura Sm em um ponto 
M que apresenta o raio rM é: 






−+
⋅
⋅⋅= MMM EvEv
r
S
rS αα
2
2 
O ângulo de pressão na posição M (αM) é determinado pela seguinte expressão: 
bMM rrr =⋅=⋅ αα coscos 
Elementos de Máquinas III 38 
É importante salientar que 
2
pi⋅
=
mS representa a espessura sobre a circunferência de 
referência (circulo primitivo). 
 
O
 
Ev αM - Ev α 
rb 
r
 
rp 
ra 
rm 
Sb 
Sm 
Sa 
S
 
 
Figura 3.5 – Espessura do dentado 
 
Problemas sobre espessura do dentado: 
1) Em uma engrenagem o diâmetro primitivo é de 100 mm e seu número de dentes é 50. 
Seu ângulo de pressão é de 20o. Determinar a espessura do dente sobre a circunferência de 
cabeça. 
2) Para o problema anterior, determinar a espessura do dente sobre a circunferência de 
base. 
3) Para o problema anterior determinar o raio do círculo de ponta ou seja, o raio da 
circunferência onde as duas evolventes de dentes se encontram. 
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3.4 FOLGA NO FLANCO DOS DENTES 
Geralmente as engrenagens trabalham nos dois sentidos de rotação e em virtude de folga, 
a cada inversão de movimento ocorre um impacto (uma pancada da motora sobre a movida). 
A inversão também pode ocorre quando a motora se tora conduzida como por exemplo em um 
veículo em descida. A folga é muito prejudicial quando as engrenagens são usadas para 
posicionamento. 
Por outro lado, se não houver folga a perigo de engripamento dos dentes com desgastes 
acentuados e aquecimento dos mesmos. 
A folga é necessária para compensar erros de fabricação, folgas nos mancais, efeitos de 
temperaturas e deformações elásticas. 
O valor da folga em engrenagens de boa qualidade é da ordem de décimo de milímetro. 
 
J
 
Reta de 
ação
 
 
Figura 3.6 – Folga no engrenamento 
Elementos de Máquinas III 40 
 
b
 
e
 
C
 
M
 
∆J2 J2 
J1 
d
 
∆J1 K
 
c
 
∆a
 
Ev2 
Ev1 
α
 
α
 
O2 t2 
t2´ 
O1 
Esta é a circunferência de 
referência (primitiva). Como 
ela esta ampliada parece uma 
reta
 
Reta de ação
 
 
Figura 3.7 – Folga na zona de contato de um engrenamento 
Na Figura 3.7 apresenta-se os perfis evolventes ampliados na zona de contato. Pode-se 
dada a ampliação fazer o perfil de evolvente ser representado como uma reta, normal à reta de 
ação. 
Da mesma maneira, as circunferências que passam em “C” (primitivas) podem ser 
substituídas por uma reta normal à linha entre centros. 
Chama-se de Folga normal J1 a distância entre duas evolventes medida sobre a reta de 
ação e seu valor é obtido por meio de lâminas calibradoras. 
Chama-se de Folga circular J2 a distância entre duas evolventes medida sobre a 
circunferência de referência (primitiva). Pode ser medida como a diferença entre o vão da 
roda 2 e a espessura do dente da roda 1, medidos sobre as respectivas circunferências 
primitivas ou seja: 
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122 SeJ −= 
Deslocando-se, agora O2 na direção de O1 de um valor ∆a. A evolvente 2 ocupará a 
posição da reta t2. A variação de folgas será obtida como segue: 
KCJ =1 e MC=2J 
e
∆
∆
∆
J2
J1 c
d
α
a
 
Figura 3.8 – Semelhança de triângulos 
Conforme Figura 3.8, por semelhança de triângulo chega-se a seguinte expressão: 
21 J
e
J
d
a
c
∆
=
∆
=
∆
 
Como tem-se ainda que αsenCd ⋅= e αtan.Ce = obtem-se: 
αsenaJ ⋅∆=∆ 1 αtan2 ⋅∆=∆ aJ 
As folgas reais são diferentes das de projeto devido a erros de fabricação, montagem, 
dilatação, etc. 
Problema sobre folga no flanco do dente: 
1) Determinar a distância entre centros de funcionamento para uma folga circular ∆J2 = 
0,14 mm dados: m = 5; z1 = 17 dentes; i ≅ 2,7; α = 20o; dente normal. 
Elementos de Máquinas III 42 
3.5 ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE 
As evolventes das engrenagens são limitadas por uma circunferência de cabeça. Na Figura 
3.9, representa-se duas engrenagens em uma situação de engrenamento. 
 O2 
O1 
rb2 
Reta de ação
 
rb1 
B1 
B2 
α 
A1 
A2 
rA1 ra1 
r1 
K
 
rA2 ra2 
r2 C. base 2
 
C. referência 2
 
C. cabeça 2
 
C. base 1
 
C. referência 1
 
C. cabeça 1
 
α 
 
Figura 3.9 - Engrenamento de duas engrenagens 
Chama-se de arco útil do perfil do dente ao arco onde se realiza o contato entre as 
evolventes durante o engrenamento. O arco é limitado por duas circunferências de raios ra1 e 
rA1 para o pinhão e ra2 e rA2 para a roda. 
Os pontos A1 e A2 representam o início e o fim de engrenamento respectivamente. A partir 
da Figura 3.9 pode-se escrever: ( ) ( )212111 bA RABr += 
Como: 
212111 BABBAB −= , αα senasenOOBB ⋅=⋅= 2121 e ( ) ( )222221 ba rrBA −= 
Tem-se que: ( ) ( ) ( ) 22222211 





−−⋅+=babA rrsenarr α 
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Analogamente: ( ) ( ) ( ) 22121222 





−−⋅+= babA rrsenarr α 
As duas expressões anteriores caracterizam os limites de engrenamento de duas 
evolventes. 
Na Figura 3.10, tem-se um dente, onde K representa o inicio de contato e T o fim do 
contato, e está sobre a aresta do dente. 
O arco KT da evolvente é então o arco útil do perfil do dente. Ao ponto I, sobre a 
circunferência de base temos a origem da evolvente. 
Devido seu pequeno raio o arco KI da evolvente não é utilizado, e por esta razão 
abandona-se o perfil do dente segundo a curva “1” a fim de melhorar a resistência do dente. 
Pode-se também, adotar a curva “2”, produzindo um adelgaçamento no pé do dente 
melhorando desta forma suas características para interferência, podendo-se então ter 
engrenagnes com menor número de dentes. 
Para casos de altas cargas e velocidades, freqüentemente, adota-se o perfil conforme curva 
“3”. A variação do perfil é muito pequena e o valor de TT´ é da ordem da deformação elástica 
do dente. O segmento TT´´ é da ordem de 0,4m, onde “m” é o módulo da engrenagem. 
 
T
 ´
C. referência 1
 
C. C2 
C. fundo
 
C. C1 
máx 0,02
 
0,4.m
 
T´´
 
3
 
K
 
I
 
2
 
1
 
T
 
 
Figura 3.10 - Zonas de Engrenamento de um dente 
Elementos de Máquinas III 44 
3.6 CREMALHEIRA 
Na Figura 3.11 tem-se um pinhão e cremalheiras. Baseados no fato de que a reta de ação é 
mantida tangente ao círculo de base e perpendicular ao perfil da cremalheira. 
 
Reta de ação
 
α 
r = ∞
 
r1 = finito 
Cremalheira
 
Engrenagem
 
I
 
O
 
Y
 
 
Figura 3.11 - Engrenamento do pinhão com cremalheira em diferentes posições 
O ponto I da Figura 3.11onde a reta de ação corta a linha OY é o ponto da tangência do 
círculo primitivo do pinhão e da linha primitiva da cremalheira ( estes elementos rodam um 
sobre o outro sem deslizar. Desta maneira se mantém o raio primitivo r1 tal que 
αcos
1
1
brr = e 
o ângulo de pressão de funcionamento é α. 
O ângulo de pressão da cremalheira, para ser perpendicular ao perfil deve ser também α. 
Para a engrenagem com velocidade rv ⋅= ω , onde ω é a sua velocidade angular e “r” o 
ser raio primitivo, teremos por ocasião do seu engrenamento com a cremalheira, um 
movimento linear da mesma com velocidade de translação “v”. 
Assim, um conjunto engrenagem-cremalheira transforma movimento rotativo em linear. 
Denomina-se “Reta Média” da cremalheira aquela sobre a qual a espessura do dente é 
igual a do vão. A reta primitiva é função do engrenamento. O ângulo de pressão dado o flanco 
ser reto é constante e conserva seu valor para qualquer engrenamento. 
Podemos escrever: mmmm SeeSeSp ⋅=⋅=+=+= 22 
A espessura do dente a uma distância “l” da reta média vale: 
αtan2 ⋅⋅+= lSS mx 
sendo “ l ” orientado conforme Figura 3.12. 
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α 
Sx 
Sm em 
p
 
hf 
ha 
h
 
l
 
 
Figura 3.12 – Cremalheira. 
As cremalheiras podem ser usadas como ferramentas para a fabricação de novas 
engrenagens ou como engrenagens. 
A Figura 3.13a define os elementos geométricos da cremalheira ferramenta normalizada e 
da cremalheira engrenagem normalizada. 
Como vemos, a cremalheira ferramenta é diferente da cremalheira engrenagem. O adendo 
da cremalheira ferramenta é maior para poder retirar mais material do fundo do dente e 
permitir a existência de uma folga, da ordem de 0,1m a 0,2m. 
Freqüentemente são usados arredondamentos dos vértices conforme Figura 3.13a. 
A fim de conseguir curvas “1”, “2”, “3” referidas na figura 9, usa-se perfis adequados da 
cremalheira ferramenta. 
 
Cremalheira ferramenta
 
p = 3,1416m
 
2,
25
m
 
Linha de referência
 
Cremalheira ferramenta
 
e = 1,5708m
 
S = 1,5708m
 
1m
 
0,4m
 
1,
25
m
 
1m
 
20o 
 
Figura 3.13 - Cremalheira Ferramenta e cremalheira engrenagem normalizada. 
3.7 INTERFERÊNCIA 
Na Figura 3.14 é representado um engrenamento entre um engrenagem 1 (pinhão) 
representado pelo sub-índice 1 e uma engrenagem 2 (roda) pelo sub-índice 2. 
Elementos de Máquinas III 46 
A reta rolando sobre ambos os círculos de base representados durante o engrenamento vai 
gerar a evolvente 1, a contra-evolvente 1 no pinhão 1 e a evolvente 2 na roda 2. Sejam B1 e B2 
respectivamente os pontos de tangência da reta de ação. desta maneira o ponto P gerou as 
evolventes e contra-evolventes fora do segmento 21BB . 
O flanco do dente que corresponde ao perfil da evolvente 2 deve engrenar com o flanco da 
evolvente 1. 
No ponto A tem-se a origem da contra-evolvente e evolvente 1, e disposto a uma distância 
de B2 igual a PB2 , desenvolvido sobre o círculo de base 1. Já para a evolvente 1, o ponto P 
deve estar acima de A, em virtude dos raios da evolvente 1 e contra-evolvente 2. 
Assim a evolvente 2 sempre cortará a evolvente 1 se o engrenamento se der fora do 
segmento 21BB . Isto significa fisicamente que se duas rodas dentadas engrenarem fora do 
segmento 21BB haverá engripamento (interferência de funcionamento), ruptura ou desgaste 
da superfície dos dentes e ainda mais se uma das rodas dentadas for uma ferramenta de corte, 
será destruído o perfil de evolvente, junto ao pé do dente que esta sendo usinado 
(interferência de fabricação). 
 
O1 
B1 
B2 
C
 
O2 
Ev2 
CEv2 
Ev1 
Ev1 
P
 
A
 
 
Figura 3.14 - Engrenamento de evolventes e interferência. 
Vamos observar a Figura 3.15 onde é representado um engrenamento de evolventes. 
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O1 O2 
B2 
C
 
ra1 
C Cabeça 2
 
rb2 
rb1 α ra2 
r1 2
pi
 r2 
B1 C base 2 
C base 1
 
α 
α 
 
Figura 3.15 - Engrenamento de Evolventes 
A condição necessária para evitar interferência é que o segmento de ação seja limitado 
pelo segmento 21BB . 
O caso limite ocorre então com a circunferência de cabeça da roda 2 passando em B1 e da 
roda 1 em B2. 
No triângulo O2B1C temos que ( ) ( ) 





+⋅⋅⋅⋅−+⋅= α
pi
αα
2
cos2 212
2
1
2
21 senrrrsenrOB e 
sendo: 21222 OBhrr aa ≤+= 
então: 
( ) αα 221212222 22 senrrsenrhrh aa ⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+ 
ou 
( )
α
α
2
12
2
2
2
1
2 22 senrh
hsenr
r
a
a
⋅⋅−⋅
−⋅
= 
Para um engrenamento normal temos: 11 zmr ⋅= , 22 zmr ⋅= e mha =2 
Assim, para cada z1 obteremos um valor z2 para que não haja interferência. Substituindo 
os valores em função de z2. 
α
α
2
1
22
1
2 24
4
senz
senz
z
⋅⋅−
−⋅
≤ 
Elementos de Máquinas III 48 
Na Tabela 3.5 apresenta-se a relação limite 
2
1
z
z
 para α = 15 e 20o
. 
Tabela 3.5 – Relação z1/z2 para α = 15 e 20o. 
2
1
Z
Z
 
15o 21722 22/27 23/34 24/44 25/58 26/80 27/117 28/195 
20o 13/16 14/26 15/50 16/101 17/131
0 
18/∞ 
3.7.1 Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta 
Pode-se usinar uma engrenagem com o emprego de uma ferramenta dentada como por 
exemplo com uma cremalheira, provida de gumes de corte e dotadas de movimentos 
especiais. Para a cremalheira o valor r2 da 
α
α
2
1
22
1
2 24
4
senz
senz
z
⋅⋅−
−⋅
≤ é infinito, ou seja: 
∞=2r então 022
2
12 =⋅⋅−⋅ αsenrha ou 
α2
2
1
sen
h
r a= 
Sendo ha2 = ha0, o adento da cremalheira de corte e α, o ângulo de pressão da mesma, 
obtemos coma equação 20, o mesmo valor do raio da roda que pode ser usinado sem 
interferência. Para o caso comum de ha2 = m, α = 20o e sendo r1 = m1.z1 obtem-se 
1809,17
20
2
21 ≅== osen
z ou seja, se um pinhão com menos de 18 dentes, for usinado por 
uma cremalheira ferramenta, o pinhão sofrerá uma adelgaçamento do pé dos dentes. A 
cremalheira de corte é a ferramenta que provoca o máximo de adelgaçamento. Rodas usinadas 
com o seu emprego não sofrerão interferência de funcionamento com nenhuma outra roda. 
Geralmente, ao invés de 18 dentes, utiliza-se como limite mínimo de dentes para a 
construção de engrenagens cilíndricas de dentes retos, 17 dentes. Porém é bom lembrar que 
engrenagens com 17 dentes produzidas a partir de uma cremalheira ferramenta sofrerão um 
pequeno adelgaçamento da raiz do dente. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 49 
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3.8 GRAU DE RECOBRIMENTO 
O grau de recobrimento de um conjunto de engrenagens é definido como a relação entre o 
tempo que um par de dentes permanece em engrenamento e o tempo entre dois inícios de 
engrenamentos sucessivos. 
O grau de recobrimento indica então o número de pares de dentes que permanecem 
engrenados a cada instante. Deste modo um grau de recobrimento igual a 1,35 indica que 
durante 35% do tempo permaneceu engrenado 2 pares de dentes e durante os 65% restante 
apenas 1 para esta engrenado. 
 
R = 1,35
 
35% do tempo permanece 2 pares de dentes 
engrenados
 
65% do tempo permanece 1 pares de dentes 
engrenados
 
1 + 1 = 2
 
100-35 = 65
 
 
Figura 3.16 – Exemplo de grau de recobrimento. 
Pela Figura 3.17 tem-se a situação de engrenamento. O engrenamento inicia em A1 e 
termina em A2. Conforme já estudado no item Arco Útil do Perfil do Dente, os pontos A1 e 
A2 são os extremos do arco útil do perfil do dente. O segmento 21AA é o segmento de ação e 
é o lugar geométrico dos pontos em contato das duas evolventes. 
A velocidade de deslocamento do ponto P em contato sobre a reta de ação, conforme 
estudado no item Deslizamento Específico, é: 
αωωω cos112211 ⋅⋅=⋅=⋅= rrrv bbn 
Um par de dentes permanece engrenado desde A1 até A2, percorrendo o segmento 21AA 
com velocidade vn. Desta maneira o tempo que um par de dentes permanece em engrenamento 
pode ser determinado pela seguinte expressão: 
nv
AA
t 211 = 
Elementos de Máquinas III 50 
O tempo entre dois inícios de engrenamentos sucessivos pode ser determinado pela 
seguinte expressão: 
tv
p
t =2 
Sendo p o passo primitivo (espaço) e vt a velocidade tangencial; 
A partir da definição de recobrimento: 
sucessívos tosengrenamen de inícios dois entre Tempo
ação de segmento opercorrer contato de ponto o para Tempo
=R 
Escreve-se: 
ααω coscos
21
11
121
21
⋅
=→
⋅⋅⋅
⋅
==
p
AA
R
pr
rAA
v
p
v
AA
R
t
n
 
 O2 
O1 
B1 
B2 
α 
A1 
A2 
ra1 
α 
P1 C 
P2 
α 
 
Figura 3.17 – Engrenamento de duas engrenagens com elementos para determinar o grau de 
recobrimento 
A partir da Figura 3.17, pode-se escrever: 
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21122121 BBABABAA −+= 
2
1
2
121 ba rrAB −= e 
2
2
2
212 ba rrAB −= 
ααα senasenrsenrCBCBBB ⋅=⋅+⋅=+= 212121 
Tem-se assim 
αsenarrrrAA baba ⋅−−+−=
2
2
2
2
2
1
2
121 
Logo, o grau de recobrimento para funcionamento em uma distância entre centros “a” é 
determinado pela seguinte expressão: 
α
α
cos
2
2
2
2
2
1
2
1
⋅
⋅−−+−
=
p
senarrrr
R baba 
Para funcionamento na distância entre centros de funcionamento aw com ângulo de 
pressão de funcionamento αw tem-se: 
α
α
cos
2
2
2
2
2
1
2
1
⋅
⋅−−+−
=
p
senarrrr
R wwbabaw 
Para a utilização da expressão acima lembre-se que: wwaa αα coscos ⋅=⋅ e 
wwpp αα coscos ⋅=⋅ 
onde: ww mp ⋅= pi , sendo mw o módulo de funcionamento e cujo valor será: 
( )21
2
zz
a
m ww +
⋅
= 
O grau de recobrimento não pode ser menor que 1 afim de garantir a continuidade do 
movimento. A medida que o grau de recobrimento existe e aumenta, há maior suavidade de 
movimento, com menos vibrações e ruídos. Na prática, usa-se 4,12,1 ≤≤ R . 
Se houver em uma roda ou ambas as rodas adelgaçamento da raiz do dente, as equações as 
equações 14 e 15 devem ser verificadas, bem como as equações 21 e 22. 
Problemas sobre grau de recobrimento 
Elementos de Máquinas III 52 
1 - Uma engrenagem cilíndrica de dentes retos normal deve engrenar com um pinhão de 20 
dentes, módulo de 4 mm e ângulo de pressão 20o. A relação de transmissão deve ser igual a 
2. Determinar a distância entre centros e o grau de recobrimento. 
2 - Para o problema anterior determinar o máxima distância entre centros de funcionamento 
(aw) possível de ser utilizada. 
3.9 MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS 
CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS 
A correção de engrenagens pode ser aplicada para: (i) Para Compatibilizar distâncias entre 
centros de funcionamento e projeto; (ii) Evitar a interferência de fabricação; e (iii) Otimização 
do deslizamento específico. 
Para fins de entendimento da correção de engrenagens, faz-se algumas definições baseadas 
nas figura que seguem. 
 
Cremalheira ferramenta
 
p = 3,1416m
 
2,
25
m
 
Linha de referência
 
Cremalheira ferramenta
 
e = 1,5708m
 
S = 1,5708m
 
1,
25
m
 
1m
 
20o 
 
Figura 3.18 – Cremalheira ferramenta com módulo normalizado 1 mm 
A Figura 3.18 define os elementos geométricos da cremalheira ferramenta normalizada. 
A linha de referência ou reta média é aquela sobre a qual a espessura do dente é igual ao 
vão. Ela serve de referência para definir as demais dimensões. 
Para engrenagens mecânicas em geral com 201 ≤≤ om e 120 ≤≤ oDP , além das 
dimensões já definidas tem-se que o ângulo de pressão normalizado é de αo = 20o e os raios 
de concordância iguais a r = 0,4 m. 
A Figura 3.19 representa a usinagem de uma roda de “z” dentes a partir da cremalheira 
ferramenta. Chama-se: (i) -Diâmetro primitivo de usinagem da roda; e (ii) -Linha primitiva de 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 53 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
usinagem da cremalheira, aos elementos que rolam sem deslizamento, um sobre o outro, 
durante a usinagem. Logo, o passo primitivo “p” da roda é igual ao passo “p” da cremalheira. 
Por outro lado, a linha de ação de usinagem é normal ao perfil da cremalheira e tangente 
ao círculo de base da roda usinada. 
Isto significa que o diâmetro do círculo de base da roda é igual ao diâmetro primitivo de 
usinagem multiplicado pelo cosseno do ângulo de pressão “α” da cremalheira. 
 
Cremalheira geratriz
 
p = pi.m
 
Linha de primitiva de 
geração
 α 
O círculo rola sem 
deslizamento
 
Círculo de base
 
Círculo de referência da 
engrenagem 
(primitiva)
 
z.m
 
z.m.cosα
 
Reta de ação
 
α 
 
Figura 3.19 - Usinagem de roda com “z” dentes a partir de cremalheira ferramenta 
Uma engrenagem apresenta dente normalizado se pode ser gerada a partir da cremalheira 
ferramenta normalizada. 
Um dente normalizado é dito normal se durante a usinagem a linha primitiva de 
usinagem (geração) da cremalheira ferramenta se confunde com a linha de referência desta. 
As características geométricas das engrenagens normais são aquelas ilustradas na Tabela 3.4. 
No dente normal é importante salientar que a espessura do dente é igual ao vão do dente sobre 
o diâmetro de referência (primitivo) da engrenagem. 
Um dente normalizado é dito corrigido se a linha primitiva de usinagem da cremalheira 
ferramenta