Aula 6 - Engrenagens

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Engrenagens
Disciplina: Elementos de Máquina II
Profa. Dra. Gabriela Camarinha
✓Engrenagens são usadas para transmitir
torque e velocidade angularem uma ampla
variedade de aplicações
✓As engrenagens são padronizadas com 
relação à forma do dente e ao tamanho. 
✓A American Gear Manufacturers Association
(AGMA) apoia a pesquisa sobre o projeto, os
materiais e a manufatura de engrenagens e
publica padrões para o projeto, a manufatura
e a montagem das mesmas.
Engrenagens
Engrenagens
Há também uma grande variedade de tipos de engrenagem para
escolher. Essa aula focará no tipo mais simples de engrenagem, a
engrenagem cilíndrica reta, projetada para operar com eixos
paralelos e tendo dentes paralelos ao eixo de coordenadas do eixo.
Há uma grande quantidade de terminologia especializada para
engrenagens, e é necessário que o aluno se familiarize com esses
termos.
Teoria do Dente de Engenagem
O meio mais fácil de transferir movimento rotatório de um eixo a outro
é com um par de cilindros rodando. Eles podem ser um conjunto
externo de cilindros rolando ou um conjunto interno.
As principais deficiências do mecanismo de comando de rolamento
de cilindro são a capacidade relativamente baixa de torque e a
possibilidade de escorregamento.
Teoria do Dente de Engrenagem
Para solução desse problema foram
adicionados alguns dentes aos cilindros
rodando. Assim, eles se transformam em
engrenagens e são juntos denominados par
de engrenagens. Quando duas engrenagens
são colocadas em contato para formar um
par de engrenagens como esse, é costumeiro
referir-se à menor das duas engrenagens
como um pinhão e a outra como engrenagem.
Lei Fundamental de Engrenamento
A lei fundamental do engrenamento, afirma que a razão de
velocidade angular das engrenagens de um par de engrenagens deve
manter-se constante durante o engrenamento. A razão da velocidade
angular mV é igual à razão do raio de referência (primitivo) da
engrenagem de entrada para aquela da engrenagem de saída.
𝛚 – Velocidade angular
r - raio
O sinal positivo ou negativo leva em conta a colocação dos cilindros
interna ou externamente. Uma colocação externa inverte a direção
de rotação entre os cilindros e requer o sinal negativo.
Lei Fundamental de Engrenamento
• A razão de torque ou o ganho mecânico mA é o recíproco da razão 
de velocidades angular mV:
Assim sendo: Torque ↑ ↓ → Velocidade ↓ ↑
Uma aplicação comum das engrenagens reduz a velocidade e
aumenta o torque para mover cargas mais pesadas, como na
transmissão de seu automóvel. Outras aplicações requerem um
aumento na velocidade, para o qual uma redução no torque deve ser
aceita.
Lei Fundamental de Engrenamento
Um par de engrenagens é essencialmente um dispositivo de troca de
torque por velocidade e vice-versa. A razão de engrenamento mG é
entendida como a magnitude da razão de velocidades ou de torques,
qualquer deles que seja > 1.
mG é sempre um número positivo > 1 independentemente da direção
segundo a qual a potência flui através das engrenagens.
Lei Fundamental de Engrenamento
Geometria do Dente
Entre os diferentes perfis existentes
para obter a forma dos dentes, o perfil
em evolvente de círculo foi
padronizado e é hoje o adotado pelos
fabricantes de máquinas.
Perfil Envolvente
Os contornos dos dentes de engrenagens
devem ser conjugados um ao outro, e a
involuta (perfil envolvente) de um círculo é
a mais utilizada como forma de dente
Esse perfil acaba determinando a
qualidade do dentado, o que por sua vez,
determina a vida útil da engrenagem.
Esse perfil evolvente (ou involuta) de um
círculo é gerado desenrolando a linha
esticada de uma circunferência.
Perfil Evolvente do dente
Nomenclatura
Circunferência de referência(primitivo) –
círculo teórico onde todos os cálculos 
geralmente se baseiam;
Passo circular primitivo (pc) – é a distância 
do ponto de um dente ao ponto ao mesmo 
ponto no dente adjacente no circulo 
primitivo. 
Adendo (a) – distância do topo do dente 
até a circunferência de referência.
Dedendo (b) – distância do fundo do dente
até a circunferência de referência.
Passo diametral (P) – é a razão entre o
número de dentes e o diâmetro primitivo
(in).
Folga de engrenamento - diferença entre a
espessura do dente e a largura do vão.
O diâmetro externo é o diamento primitivo + 2 vezes 
a altura do topo do dente (adendo):
𝑑𝑒 = 𝑑𝑝 + 2𝑎
Nomenclatura
• Passo circular de referência (pc), unidade pol ou mm:
𝐩𝐜 =
𝛑𝐝
𝐍
onde
• Passo de base, medido ao longo da circunferência de base:
𝐩𝐛 = 𝐩𝐜 × 𝐜𝐨𝐬∅ onde: ∅ é o ângulo de pressão
• Passo diametral (Pd):
𝐏𝐝 =
𝐍
𝐝(𝐢𝐧)
• Modulo (m), é reciproco do passo diametral com o diâmetro de referência (d)
medido em mm.
𝐦 =
𝐝(𝐦𝐦)
𝐍
d = diâmetro de referência 
N = número de dentes
Dentes Padronizados De Engrenagem
Dentes de engrenagem padronizados de
profundidade completa têm adendo igual
no pinhão e na engrenagem, com o
dedendo ligeiramente maior para permitir
folga. As dimensões padronizadas de dente
são definidas em termos do passo
diametral. A Tabela 12-1 mostra as
dimensões de engrenagens de dentes
padronizados de altura completa como
definidas pela AGMA (American Gear
Manufacturers Association, que apoia a
pesquisa sobre engrenagens e publica
padrões para seu projeto, manufatura e
montagem).
Norton (2013)
✓Para que a ação da engrenagem condutora seja contínua, é
necessário que sempre tenha pelo menos um par de dentes em
contato.
✓Para isto, é necessário que um novo par de dentes entre em contato
antes do término do contato do dente precedente.
✓O grau de engrenamento deve ser o maior possível, ou no mínimo
igual a 1,25. Valor menor significa que um par de dentes deixa de
estar em contato antes que o par seguinte tenha atingido seu ponto
de contato inicial, e que a transmissão não é contínua.
Grau de engrenamento
• Há uma tangente comum no ponto de contato (ponto primitivo) das duas
engrenagens, e há uma normal comum a essa tangente comum. Essa linha
normal comum é chamada de linha de ação
Geometria de engrenamento
A LINHA DE AÇÃO é que ela
sempre passa pelo ponto de
referência primitivo da
engrenagem. O ponto primitivo tem
a mesma velocidade linear 𝝎 para
o pinhão quanto para a coroa e o
ângulo entre essa velocidade e a
linha de ação é chamado de ângulo
de pressão ∅.
𝑐 =
𝑑𝑐 + 𝑑𝑝
2
Ângulo de Contato
• Ângulo de contato é o ângulo da direção da 
força que atua perpendicularmente na face 
do dente da engrenagem. 
• O ângulo de pressão é formado pela
tangente ao círculo primitivo e a tangente ao
círculo de base. O círculo de base é o círculo
de onde a evolvente é originária.
Ângulo de Contato
• O ângulo entre a velocidade no ponto de referência e a linha de
ação é chamado de ângulo de pressão (∅ ). Esses ângulos de
pressão são padronizados, sendo os de 20º e 25º mais utilizados
atualmente. Para haver engrenamento, o pinhão e a coroa devem ser
construídos com o mesmo ângulo de pressão.
Quando o ângulo de pressão é
maior, a distância entre os
círculos de base e de
referência (primitivo) também
aumenta.
a) 𝑝𝑑 =
𝜋
𝑝𝑐
2 =
𝜋
𝑝𝑐
𝑝𝑐 = 1,57𝑖𝑛
- Diametros primitivos:
𝐩𝐜 =
𝛑𝐝
𝐍
𝑑1 =
1,57×16
𝜋
= 8 𝑑2 =
1,57×40
𝜋
= 20
- Distância entre centros:
𝑑1 + 𝑑2
2
= 14𝑖𝑛
Exemplo – Shigley 13 –1 
Como os dentes foram cortados com um 
ângulo de pressão de 20°:
𝑟𝑏 = 𝑟 cos ∅
𝑟𝑏1 = 4cos 20 = 3,76𝑖𝑛
𝑟𝑏2 = 8cos 20 = 9,40𝑖𝑛
Exemplo – Shigley 13 –1 
• Considerando o aumento de ¼ in na distância de centro:
𝑑′1 + 𝑑′2
2
= 14 +
1
4
= 14,25 (1)
A razão de velocidade não muda:
𝑑′1
𝑑′2
=
16
40
(2)
Usando (1) e (2):
𝑑′1 = 0,4 𝑑′2
𝑑′2 + 0,4𝑑′2 = 28,5 𝑑′2 = 20,357 ∴ 𝑑′1 = 8,143
Uma vez que 𝑟𝑏 = 𝑟 cos ∅, o novo ângulo de pressão é:
∅ = cos−1
𝑟1(𝑝𝑖𝑛ℎã𝑜)
𝑑′1/2
= cos−1
3,76
8,143/22
= 22,56°
O comprimento da linha de ação, é definido pela distância entre os
pontos de entrada esaída de contato entre os dentes do par
engrenado, medida na linha de ação. Esse valor pode ser
determinado através da seguinte equação:
Geometria do Engrenamento
onde rp e rg são os raios das
circunferências de referência e ap
e ag as saliências do pinhão e da
engrenagem, respectivamente. C
é a distância entre os centros e φ
é o ângulo de pressão.
Geometria do Engrenamento
As engrenagens iniciam o contato
no ponto A e no ponto B, termina o
contato entre os dentes. O
segmento de reta AB, comprimento
de ação.
• A razão de contato mp define o número médio de dentes em contato em 
qualquer momento. É calculada por:
Onde Z é o comprimento de ação e pb é o passo de base.
Se mp=1, então 1 dente estará deixando o contato justamente quando o
próximo está entrando em contato. Isso é indesejável, porque um pequeno
erro no vão do dente causará oscilações na velocidade, vibração e barulho.
Além disso, a carga será aplicada na ponta do dente, criando os momentos
fletores maiores possíveis. Uma razão de contato mínima de 1,4 é preferível,
e se for maior, melhor. A maior parte dos engrenamentos de engrenagens
retas terá razões de contato entre 1,4 e 2.
Razão de Contato
Encontre a razão de engrenamento, passo circular de referência, passo de base,
diâmetros de referência, raios de referência, distância entre centros, adendo,
dedendo, a profundidade completa, folga, diâmetros externos e razão de contato de
um engrenamento com os parâmetros dados. Dados: pd=6, ∅ = 20°, Np=19 e Ng=37.
As formas dos dentes são perfis de involuta de profundidade completa
padronizadas pela AGMA.
Exemplo 12-1 (Norton)
1- 𝐦𝐠 =
𝐍𝐠
𝐍𝐩
=
𝟑𝟕
𝟏𝟗
= 𝟏, 𝟗𝟒𝟕
2- 𝐩𝐜 =
𝛑
𝐩𝐝
=
𝛑
𝟔
= 𝟎, 𝟓𝟐𝟒𝐢𝐧
3 - 𝐩𝐛 = 𝐩𝐜 𝐜𝐨𝐬∅ = 𝟎, 𝟓𝟐𝟒𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟎° = 𝟎, 𝟒𝟗𝟐𝐢𝐧
4- 𝐏𝐝 =
𝐍
𝐝(𝐢𝐧)
𝒅𝒑 =
𝑵𝒑
𝒑𝒅
=
𝟏𝟗
𝟔
= 𝟑, 𝟏𝟔𝟕𝒊𝒏 𝒓𝒑 = 𝟏, 𝟓𝟖𝟑𝒊𝒏
𝒅𝒈 =
𝑵𝒈
𝒑𝒅
=
𝟑𝟕
𝟔
= 𝟔, 𝟏𝟔𝟕𝒊𝒏 𝒓𝒈 = 𝟑, 𝟎𝟖𝟑𝒊𝒏
5 – c = rg + rp = 3,083 + 1,583 = 4,666in
6 – 𝑎 =
1
𝑝𝑑
=
1
6
= 0,167𝑖𝑛 𝑏 =
1,25
𝑝𝑑
=
1,25
6
= 0,208 𝑖𝑛
7 - ℎ𝑡 = 𝑎 + 𝑏 = 0,167 + 0,208 = 0,375
8 – Folga é a diferença entre o adendo e dedendo:
𝑐 = 𝑏 − 𝑎 = 0,041𝑖𝑛
9 –
𝑑𝑒𝑝 = 𝑑 + 2𝑎 = 3,167 + 2 × 0,167 = 3,5 𝑑𝑒𝑔 = 6,167 + 2 × 0,167 = 6,5
10 – 𝑧 = 𝑟𝑝 + 𝑎𝑝
2
− (𝑟𝑝 cos∅)² + 𝑟𝑔 + 𝑎𝑔
2
− 𝑟𝑔 cos∅ ² − 𝐶 sin ∅
= 1,583 + 0,167 2 − (1,583 cos 20°)² + 3,083 + 0,167 2 − 3,083 cos 20° ²
− 4,666 sin 20° = 0,798𝑖𝑛 𝑚𝑝 =
𝑍
𝑝𝑏
=
0,798
0,492
= 1,62
• NORTON, R. L. Projeto de máquinas: Uma abordagem integrada. 4ª
Ed. Porto Alegre: Artmed Editora AS, 2013. (Cap. 12)
• BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley:
projeto de engenharia mecânica. 10ª Ed. Porto Alegre: Amgh
Editora, 2016. (Cap. 13)
Referência Bibliográfica