Exerc MD questão 2

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Exerc´ıcio 9
 Escreva a negação das afirmativas abaixo:
 a) Toda casa tem um dono. 
b) Existe gato que gosta de agua. 
c) Existe cachorro que não persegue gato. 
d) Toda menina baiana tem um jeito que Deus d´a.
 e) Todo boteco que se preza diz que não vende fiado. Solução: 
a) Existe casa que não tem um dono.
 b) Todo gato não gosta de agua (ou nenhum gato gosta de agua, ou, ainda, não existe gato que gosta de agua).
 c) Todo cachorro persegue gato.
D) Existe menina baiana que não tem um jeito que Deus d´a.
E) Existe boteco que se preza que não diz que não vende fiado.
Questão 2.
De acordo com o que vimos no EP3, uma proposição do tipo
p e q
é falsa se pelo menos uma das duas proposições, p ou q, forem falsas, isto é, se
(~p) ou (~q).
De forma semelhante, 
p ou q
é falsa se ambas as proposições p e q forem falsas, isto é, se
(~p) e (~q).
Vimos ainda que uma sequência da forma
∃ x ∈ X | p(x)
é falsa se
∀ x ∈ X, ~p(x),
isto é, é falso que "algum x em X tal que p(x) é verdadeiro" se "para todo x em X, p(x) for falso".
Da mesma forma,
∀ x ∈ X, p(x)
é falsa se
∃ x ∈ X | ~p(x),
isto é, é falso que "para todo x em X, p(x) é verdadeira" se "existe algum x em X para o qual p(x) é falsa".
Juntando as informações acima, escreva a negação das sentenças abaixo. Escreva com palavras, sem utilizar simbologia lógico-matemática.
(a) Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o cartão.
* Pelo menos um cliente que comprou ontem, não pagou em dinheiro ou cartão
(b) Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com cartão.
* Nenhum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou cartão
(c) Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio.
*Existe cliente que comprou ontem que não adquiriu um presente ou um produto para uso próprio
(d) Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso próprio.
* Todo cliente que comprou ontem não adquiriu um presente ou um produto para uso próprio
(e) Todos os clientes que compraram ontem pagaram em cartão ou existe algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente.
* Existe clientes que compraram ontem e não pagaram em cartão e Nenhum cliente que comprou ontem comprou um presente
(f) Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro e todos os clientes que compraram ontem compraram um presente.
Nenhum cliente que tenha comprado ontem pagou em dinheiro ou Pelo menos um cliente que comprou ontem não comprou um presente
Nos itens acima, observe que a expressão "que comprou ontem" determina o conjunto de clientes dos quais se fala, ou seja, fazem o papel do conjunto "X" nas expressões "∃ x ∈ X" e "∀ x ∈ X". Assim, por exemplo, a expressão, "Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o cartão" pode ser pensada como " ∀ c ∈ X, 'c comprou ontem' ou 'c pagou com o cartão' "; pensar assim ajudará a escrever as negações.
vas de concurso, e que geram muitas dúvidas nos candidatos. Trata-se daquelas contendo as expressões "todo" ou "nenhum".
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Para começar, você se lembra o que é o conceito de negação de uma proposição? Guarde bem isso: a negaçãno de uma proposição p é uma outra proposição cujo valor lógico é SEMPRE oposto ao da proposição original. Viu que eu destaquei o "sempre"?  Isto será fundamental para o entedimento do tema de hoje…
Veja agora a seguinte proposição lógica:
"Todo coelho é verde"
Para encontrar a negação desta proposição, use o seguinte "macete":
imagine que alguém te fez esta afirmação
imagine o que é o MÍNIMO que você precisaria fazer para provar que o autor da frase mentiu para você.
Portanto, admitindo que alguém te fez a afirmação de que "Todo coelho é verde", o que é o mínimo que você precisa fazer para provar que isto é mentira? Você precisa analisar TODOS os coelhos do mundo para verificar que nenhum deles é verde e então dizer que "Nenhum coelho é verde"? Ou basta que você encontre um coelho que não seja verde para demonstrar que a afirmação é mentirosa? Neste caso, basta encontrar um coelho que não seja verde, afinal o autor da frase está afirmando que TODO coelho é verde. Por isto, a negação é dada pela frase:
"Pelo menos um coelho NÃO é verde"
ou então:
"Algum coelho NÃO é verde"
ou então:
"Existe coelho que NÃO é verde"
E assim por diante, existem várias variações desta frase. Agora vamos buscar a negação da seguinte frase:
"Nenhum coelho é verde"
Vamos imaginar que alguém nos afirmou isso. O que é o MÍNIMO que precisamos fazer para desmentir esta pessoa? Precisamos verificar se TODOS os coelhos do mundo são verdes? Ou basta encontrarmos algum coelho que seja verde? Repare que o mero fato de encontrarmos algum coelho que realmente seja verde já é suficiente para mostrar que a frase é mentirosa, afinal ela afirma que NENHUM coelho é verde. Por isso, a sua negação é dada por:
"Algum coelho é verde"
"Pelo menos um coelho é verde"
"Existe coelho verde"
E assim por diante…
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Agora vem a pergunta que MUITOS, MUITOS alunos mesmo me fazem: professor, por quê não posso negar "Todo coelho é verde" dizendo que "Nenhum coelho é verde"? Essas frases não possuem valores opostos?
De fato essas frases transmitem ideias relativamente antagônicas. Mas elas NÃO são negação uma da outra, no sentido da lógica de proposições, lógica formal ou lógica dedutiva. Você pode verificar lembrando do conceito básico de negações: para uma proposição ser negação da outra, elas devem ter valores lógicos opostos SEMPRE! Se uma é verdadeira, a outra necessariamente deve ser falsa, e vice-versa. Não pode ocorrer de ambas serem verdadeiras ou ambas serem falsas ao mesmo tempo!
Aí eu te pergunto: o que aconteceria se os biólogos descobrissem que existem algumas espécies de coelhos que são verdes e outras espécies que não são verdes? Neste caso, tanto a frase "Todo coelho é verde" como a frase "Nenhum coelho é verde" seriam FALSAS, concorda? Afinal existiriam coelhos verdes e não-verdes… ou seja, neste caso seria possível que as DUAS proposições tivessem o MESMO valor lógico (F), o que é inadmissível em se tratando de negações lógicas. É por este motivo que TODO não é a negação de NENHUM, e vice-versa!
Prosseguindo, imagine agora a frase:
"Algum coelho é verde"
Como encontramos a negação dela? Basta imaginar que alguém nos disse isso e buscar o mínimo que precisamos fazer para desmentir esta pessoa. Neste caso, como a pessoa disse que algum coelho é verde (e não todos os coelhos), não adianta simplesmente encontrarmos um contra-exemplo (um coelho que não seja verde). Precisamos verificar TODOS os coelhos do mundo e confirmar que, realmente, nenhum deles é verde. Por isso, a negação desta frase é:
"Nenhum coelho é verde"
ou
"Todo coelho NÃO é verde"
ou
"Não existe coelho verde"
Para terminar, vamos encontrar a negação de:
"Algum coelho não é verde"
Se alguém nos disser isso, precisamos fazer o que para desmentir esta pessoa? Como está sendo afirmado que algum coelho não é verde, precisamos avaliar todos os coelhos e demonstrar que todos eles realmente são da cor verde. Não basta encontrarmos um ou dois coelhos que sejam verdes, ou mesmo um milhão de coelhos verdes, pois se houver por aí algum coelho que seja de outra cor (branco, por exemplo), a frase da pessoa estará correta. Por isso, a negação é dada por:
"Todo coelho é verde"
Ficou claro? Espero que sim. Deixo abaixo uma tabelinha com um resumo bem legal para você – embora eu NÃO aconselhe você a decorar, mas sim a ENTENDER a lógica da nossa análise.