Aula 2 álgebra matricial

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Álgebra matricial
Prof. Elisson de Andrade
eapandra@uol.com.br
Dica: anote todos os passos, pois ao final de cada explicação, terá que fazer o mesmo exercício com outros números
Matriz quadrada 3x3
Notação para matrizes: m x n (linha por coluna)
Vetor coluna 3x1
Soma e subtração
Duas matrizes só podem ser somadas ou subtraídas se tiverem a mesma dimensão
Resolva:
Multiplicação Escalar
Multiplicação de uma matriz por um número (um escalar)
Resolva:
Multiplicação de Matrizes
Se queremos multiplicar duas matrizes: AB
A coluna de A precisa ter a mesma dimensão da linha de B
Ex: A (1x2) e B (2x3)
Multiplicação de Matrizes
Multiplica-se cada linha de A por cada coluna de B
Multiplicação de Matrizes
Multiplique as matrizes abaixo
Matriz Identidade
É uma matriz quadrada com vários números 1 na sua diagonal principal, e zero em todas as demais posições
Importância: desempenha papel similar ao número 1 em álgebra de números
Matriz Identidade
Exemplo: Calcule IA
Resultado:
Matriz Nula
É uma matriz quadrada com vários números 0 em todas suas posições e não precisa ser quadrada
Importância: ao multiplicarmos uma matriz por uma matriz nula, teremos uma matriz nula como resposta 
Matriz Transposta
Quando linhas e colunas são trocadas: a primeira linha vira primeira coluna e assim por diante. Seja:
Sua Transposta será:
Matriz Transposta
Represente a transposta da seguinte matriz
Sua Transposta será:
Matriz Inversa
Só é possível calcular a Inversa, se a matriz é QUADRADA 
Mas nem toda matriz quadrada tem inversa (condição necessária e não suficiente)
Se possui inversa: matriz não-singular
Se não possui: matriz singular
Portanto, primeiro desafio: testar a não singularidade da matriz
Matriz Inversa
Uma vez que a matriz é quadrada (condição necessária), precisamos saber se suas colunas (ou linhas) são independentes (condição suficiente)
Podemos testar a não-singularidade de uma matriz utilizando-se de determinantes
Determinante
Em uma matriz 2x2 o determinante é calculado fazendo o produto dos elementos da diagonal principal, e depois subtraindo do produto dos outros dois números
Cálculo do determinante de segunda ordem (por ser uma matriz 2x2)
Determinante
Em uma matriz 3x3 o determinante é calculado da seguinte forma:
Cálculo do determinante de terceira ordem (por ser uma matriz 3x3)
Determinante
Em uma matriz 4x4 (ou maior) precisamos utilizar a expansão de Laplace (mas por ora, vamos continuar na matriz 3x3 só para explicitar o método):
Vamos pegar o primeiro elemento e eliminar sua linha e sua coluna. Vamos achar o menor do elemento a11 (e assim para os outros elementos da linha)
Cofator: será o sinal de Mij. Quando i+j é par o sinal de Mij será mantido, se a soma for ímpar, o sinal deverá ser invertido. No nosso caso, multiplicaremos cada menor pelo seu respectivo aij, e aplicaremos a regra de sinal de cofator. 
Determinante
Calcule o determinante a seguir pelo Método de Laplace
Determinante
Calcule o determinante a seguir pelo Método de Laplace
Voltando à Matriz Inversa
Matriz Inversa
Vamos achar a inversa da seguinte matriz
O próximo passo é criar uma matriz de cofatores C (escolhendo cada elemento aij, eliminando sua linha e coluna respectiva, e achando o determinante do restante dos elementos (e fazendo a regra do sinal). Como essa matriz é 2x2, o processo se torna mais fácil.
Matriz Inversa
O próximo passo é TRANSPOR a matriz de cofatores, que denominaremos de Matriz Adjunta de A
Logo, transpondo C, temos:
Assim, a INVERSA de A será dada por:
Uma questão interessante...
Temos as duas matrizes
Multiplique as duas matrizes:
Na álgebra com números, um número dividido por ele mesmo dá 1: a/a = 1
Que em outra notação ficaria a.a-1 = 1 
Em álgebra matricial, não é possível dividir matrizes. 
Mas se der para fazer uma analogia vemos que A.A-1 = I
Ou seja, a multiplicação de uma matriz por sua inversa dá uma coluna principal de 1 
Calcular a inversa de:
Matriz de cofatores
Calcular a inversa de:
Regra de Cramer
Regra de Cramer
Regra de Cramer
Invertendo:
Matriz Cofatores:
Matriz Adjunta (transposta):
Inversa:
Determinante de A
Regra de Cramer
Regra de Cramer
Respostas: 
x1 = 1
x2 = 3
x3 = 4
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