Variável complexa

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I
ISBN: 978-972-8394-27-1
III
UNIVERSIDADE DE LISBOA
Faculdade de Ciências 
Departamento de Matemática 
2016
IV
V
Índice Geral
Prefácio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
Prefácio à 2ª edição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
1 Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A. Generalidades sobre números complexos 1
B. Sucessões de números complexos 18
C. Séries de números complexos 24
Exercícios resolvidos 29
2 Funções Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A. Generalidades. Algumas funções elementares 51
B. Limites e continuidade 63
C. Funções holomorfas 69
Exercícios Resolvidos 79
3 Integração de Funções Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A. Curvas no plano complexo. Integral de linha 107
B. Teorema de Cauchy 121
Exercícios resolvidos 129
4 Consequências do Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A. Fórmulas integrais de Cauchy 147
B. Teoremas fundamentais 153
Exercícios resolvidos 156
VI
5 Representação em Série das Funções Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A. Sucessões e séries de funções. Série de potências 171
B. Teorema de Taylor. Funções analíticas 188
C. Singularidades. Teorema de Laurent 198
Exercícios resolvidos 215
6 Resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
A. Cálculo de resíduos 247
B. Teorema dos resíduos de Cauchy 251
C. Aplicações 254
Exercícios resolvidos 268
7 Funções Harmónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
A. Princípio do módulo máximo e do módulo mínimo 297
B. Funções harmónicas 305
C. Problemas de Dirichlet no disco. Integral de Poisson 310
Exercícios resolvidos 318
8 Aplicação Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A. Teoria básica das aplicações conformes 331
B. Algumas aplicações conformes elementares 340
Exercícios resolvidos 353
9 Alguns Desenvolvimentos Complementares sobre Funções Analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
A. Princípio do argumento 371
B. Prolongamento analítico 384
C. Resíduo no ponto infinito 390
VII
10 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Apêndice 1: Estruturas Algébricas e Topológicas 449
Apêndice 2: Sucessões de Números Reais 453
Apêndice 3: Séries Numéricas Reais 457
Apêndice 4: Limite e Continuidade de Funções Definidas num Aberto de IRn 461
Apêndice 5: Funções diferenciáveis num Aberto de IRn 463
Apêndice 6: Sucessões e Séries de Funções 467
Bibliografia 473
Índice Remissivo 475
IX
Prefácio i
X
XI
Prefácio à 2ª edição
O título “Variável Complexa: Teoria Elementar e Exercícios Resolvidos” foi publicado em 
1998 pela Editora McGraw Hill de Portugal.
 
A partir de 2002, com o encerramento desta editora o título continuou a ser distribuído pela 
Editora McGraw Hill/Interamericana de Espanha, situação que se manteve até Setembro de 
2008, em que a obra foi considerada “out of print”.
 
Durante esse período “Variável Complexa: Teoria Elementar e Exercícios Resolvidos” fez 
parte da bibliografia adotada em várias escolas superiores e, nos últimos anos, tem-nos sido 
solicitado por alunos de escolas onde continua a ser recomendado.
 
Ficamos pois muito gratas aos Editores da Coleção “Textos de Matemática” do Departamen-
to de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa por incluírem nesta 
coleção este livro, tornando-o assim acessível a qualquer leitor que se interesse pelo tema.
 
Nesta 2ª edição manteve-se no essencial o texto anterior, incluindo a paginação, corrigindo-
-se apenas algumas gralhas. 
 
Maria Adelaide Carreira
Maria Suzana Metello de Nápoles
A . Generalidades sobre números complexos
Capítulo
1
números comPlexos
Generalidades sobre números complexos 1
Números CompleXos2
Generalidades sobre números complexos 3
Números CompleXos4
Generalidades sobre números complexos 5
Números CompleXos6
Generalidades sobre números complexos 7
Números CompleXos8
Generalidades sobre números complexos 9
Números CompleXos10
Generalidades sobre números complexos 11
Números CompleXos12
Generalidades sobre números complexos 13
Números CompleXos14
Generalidades sobre números complexos 15
Números CompleXos16
Generalidades sobre números complexos 17
B . Sucessões de números complexos
Números CompleXos18
Sucessões de números complexos 19
Números CompleXos20
Sucessões de números complexos 21
Números CompleXos22
Sucessões de números complexos 23
C . Séries de números complexos
Números CompleXos24
Séries de números complexos 25
Números CompleXos26
Séries de números complexos 27
Números CompleXos28
Exercícios resolvidos
Exercícios resolvidos 29
Números CompleXos30
Exercícios resolvidos 31
Números CompleXos32
Exercícios resolvidos 33
Números CompleXos34
Exercícios resolvidos 35
Números CompleXos36
Exercícios resolvidos 37
Números CompleXos38
Exercícios resolvidos 39
Números CompleXos40
Exercícios resolvidos 41
Números CompleXos42
Exercícios resolvidos 43
Números CompleXos44
Exercícios resolvidos 45
Números CompleXos46
Exercícios resolvidos 47Números CompleXos48
Exercícios resolvidos 49
Números CompleXos50
Capítulo
2
funções Holomorfas
A . Generalidades . Algumas funções elementares
Generalidades. Algumas funções elementares 51
FuNções HolomorFas52
Generalidades. Algumas funções elementares 53
FuNções HolomorFas54
Generalidades. Algumas funções elementares 55
FuNções HolomorFas56
Generalidades. Algumas funções elementares 57
FuNções HolomorFas58
Generalidades. Algumas funções elementares 59
FuNções HolomorFas60
Generalidades. Algumas funções elementares 61
FuNções HolomorFas62
B . Limites e continuidade
Limites e continuidade 63
FuNções HolomorFas64
Limites e continuidade 65
FuNções HolomorFas66
Limites e continuidade 67
FuNções HolomorFas68
C . Funções holomorfas
Funções holomorfas 69
FuNções HolomorFas70
Funções holomorfas 71
FuNções HolomorFas72
Funções holomorfas 73
FuNções HolomorFas74
Funções holomorfas 75
FuNções HolomorFas76
Funções holomorfas 77
FuNções HolomorFas78
Exercícios Resolvidos
Exercícios resolvidos 79
FuNções HolomorFas80
Exercícios resolvidos 81
FuNções HolomorFas82
Exercícios resolvidos 83
FuNções HolomorFas84
Exercícios resolvidos 85
FuNções HolomorFas86
Exercícios resolvidos 87
FuNções HolomorFas88
Exercícios resolvidos 89
FuNções HolomorFas90
Exercícios resolvidos 91
FuNções HolomorFas92
Exercícios resolvidos 93
FuNções HolomorFas94
Exercícios resolvidos 95
FuNções HolomorFas96
Exercícios resolvidos 97
FuNções HolomorFas98
Exercícios resolvidos 99
FuNções HolomorFas100
Exercícios resolvidos 101
FuNções HolomorFas102
Exercícios resolvidos 103
FuNções HolomorFas104
Exercícios resolvidos 105
inteGração de funções comPlexas
Capítulo
3
A . Curvas no plano complexo . Integral de linha
Curvas no plano complexo. Integral de linha 107
INtegração de FuNções CompleXas108
Curvas no plano complexo. Integral de linha 109
INtegração de FuNções CompleXas110
Curvas no plano complexo. Integral de linha 111
INtegração de FuNções CompleXas112
Curvas no plano complexo. Integral de linha 113
INtegração de FuNções CompleXas114
Curvas no plano complexo. Integral de linha 115
INtegração de FuNções CompleXas116
Curvas no plano complexo. Integral de linha 117
INtegração de FuNções CompleXas118
Curvas no plano complexo. Integral de linha 119
INtegração de FuNções CompleXas120
B . Teorema de Cauchy
Teorema de Cauchy 121
INtegração de FuNções CompleXas122
Teorema de Cauchy 123
INtegração de FuNções CompleXas124
Teorema de Cauchy 125
INtegração de FuNções CompleXas126
Teorema de Cauchy 127
INtegração de FuNções CompleXas128
Exercícios resolvidos
Exercícios resolvidos 129
INtegração de FuNções CompleXas130
Exercícios resolvidos 131
INtegração de FuNções CompleXas132
Exercícios resolvidos 133
INtegração de FuNções CompleXas134
Exercícios resolvidos 135
INtegração de FuNções CompleXas136
Exercícios resolvidos 137
INtegração de FuNções CompleXas138
Exercícios resolvidos 139
INtegração de FuNções CompleXas140
Exercícios resolvidos 141
INtegração de FuNções CompleXas142
Exercícios resolvidos 143
INtegração de FuNções CompleXas144
Exercícios resolvidos 145
consequências do teorema de caucHy
Capítulo
4
A . Fórmulas integrais de Cauchy
Fórmulas integrais de Cauchy 147
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy148
Fórmulas integrais de Cauchy 149
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy150
Fórmulas integrais de Cauchy 151
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy152
B . Teoremas fundamentais
Teoremas fundamentais 153
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy154
Teoremas fundamentais 155
Exercícios resolvidos
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy156
Exercícios resolvidos 157
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy158
Exercícios resolvidos 159
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy160
Exercícios resolvidos 161
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy162
Exercícios resolvidos 163
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy164
Exercícios resolvidos 165
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy166
Exercícios resolvidos 167
CoNsequêNCIas do teorema de CauCHy168
Exercícios resolvidos 169
Capítulo
5
rePresentação em série das funções 
Holomorfas
A . Sucessões e séries de funções . Série de potências
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 171
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas172
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 173
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas174
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 175
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas176
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 177
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas178
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 179
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas180
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 181
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas182
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 183
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas184
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 185
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas186
Sucessões e séries de funções. Séries de potências 187
B . Teorema de Taylor . Funções analíticas
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas188
Teorema de Taylor. Funções analíticas 189
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas190
Teorema de Taylor. Funções analíticas 191
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas192
Teorema de Taylor. Funções analíticas 193
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas194
Teorema de Taylor. Funções analíticas 195
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas196
Teorema de Taylor. Funções analíticas 197
C . Singularidades . Teorema de Laurent
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas198
Singularidades. Teorema de Laurent 199
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas200
Singularidades. Teorema de Laurent 201
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas202
Singularidades. Teorema de Laurent 203
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas204
Singularidades. Teorema de Laurent 205
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas206
Singularidades. Teorema de Laurent 207
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas208
Singularidades. Teorema de Laurent 209
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas210
Singularidades. Teorema de Laurent 211
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas212
Singularidades. Teorema de Laurent 213
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas214
Exercícios resolvidos
Exercícios resolvidos 215
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas216
Exercícios resolvidos 217
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas218
Exercícios resolvidos 219
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas220
Exercícios resolvidos 221
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas222
Exercícios resolvidos 223
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas224
Exercícios resolvidos 225
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas226
Exercícios resolvidos227
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas228
Exercícios resolvidos 229
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas230
Exercícios resolvidos 231
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas232
Exercícios resolvidos 233
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas234
Exercícios resolvidos 235
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas236
Exercícios resolvidos 237
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas238
Exercícios resolvidos 239
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas240
Exercícios resolvidos 241
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas242
Exercícios resolvidos 243
represeNtação em sérIe das FuNções HolomorFas244
Exercícios resolvidos 245
Capítulo
6
resÍduos
A . Cálculo de resíduos
Cálculo de resíduos 247
resíduos248
Cálculo de resíduos 249
resíduos250
B . Teorema dos resíduos de Cauchy
Teorema dos resíduos de Cauchy 251
resíduos252
Teorema dos resíduos de Cauchy 253
C . Aplicações
resíduos254
Aplicações 255
resíduos256
Aplicações 257
resíduos258
Aplicações 259
resíduos260
Aplicações 261
resíduos262
Aplicações 263
resíduos264
Aplicações 265
resíduos266
Aplicações 267
Exercícios resolvidos
resíduos268
Exercícios resolvidos 269
resíduos270
Exercícios resolvidos 271
resíduos272
Exercícios resolvidos 273
resíduos274
Exercícios resolvidos 275
resíduos276
Exercícios resolvidos 277
resíduos278
Exercícios resolvidos 279
resíduos280
Exercícios resolvidos 281
resíduos282
Exercícios resolvidos 283
resíduos284
Exercícios resolvidos 285
resíduos286
Exercícios resolvidos 287
resíduos288
Exercícios resolvidos 289
resíduos290
Exercícios resolvidos 291
resíduos292
Exercícios resolvidos 293
resíduos294
Exercícios resolvidos 295
Capítulo
7
funções Harmónicas
A . Princípio do módulo máximo e do módulo mínimo
Princípio do módulo máximo e do módulo mínimo 297
FuNções HarmóNICas298
Princípio do módulo máximo e do módulo mínimo 299
FuNções HarmóNICas300
Princípio do módulo máximo e do módulo mínimo 301
FuNções HarmóNICas302
Princípio do módulo máximo e do módulo mínimo 303
FuNções HarmóNICas304
B . Funções harmónicas
Funções harmónicas 305
FuNções HarmóNICas306
Funções harmónicas 307
FuNções HarmóNICas308
Funções harmónicas 309
C . Problemas de Dirichlet no disco . Integral de Poisson
FuNções HarmóNICas310
Problemas de Dirichlet no disco. Integral de Poisson 311
FuNções HarmóNICas312
Problemas de Dirichlet no disco. Integral de Poisson 313
FuNções HarmóNICas314
Problemas de Dirichlet no disco. Integral de Poisson 315
FuNções HarmóNICas316
Problemas de Dirichlet no disco. Integral de Poisson 317
Exercícios resolvidos
FuNções HarmóNICas318
Exercícios resolvidos 319
FuNções HarmóNICas320
Exercícios resolvidos 321
FuNções HarmóNICas322
Exercícios resolvidos 323
FuNções HarmóNICas324
Exercícios resolvidos 325
FuNções HarmóNICas326
Exercícios resolvidos 327
FuNções HarmóNICas328
Exercícios resolvidos 329
Capítulo
8
aPlicação conforme
A . Teoria básica das aplicações conformes
Teoria básica das aplicações conformes 331
aplICação CoNForme332
Teoria básica das aplicações conformes 333
aplICação CoNForme334
Teoria básica das aplicações conformes 335
aplICação CoNForme336
Teoria básica das aplicações conformes 337
aplICação CoNForme338
Teoria básica das aplicações conformes 339
B . Algumas aplicações conformes elementares
aplICação CoNForme340
Algumas aplicações conformes elementares 341
aplICação CoNForme342
Algumas aplicações conformes elementares 343
aplICação CoNForme344
Algumas aplicações conformes elementares 345
aplICação CoNForme346
Algumas aplicações conformes elementares 347
aplICação CoNForme348
Algumas aplicações conformes elementares 349
aplICação CoNForme350
Algumas aplicações conformes elementares 351
aplICação CoNForme352
Exercícios resolvidos
Exercícios resolvidos 353
aplICação CoNForme354
Exercícios resolvidos 355
aplICação CoNForme356
Exercícios resolvidos 357
aplICação CoNForme358
Exercícios resolvidos 359
aplICação CoNForme360
Exercícios resolvidos 361
aplICação CoNForme362
Exercícios resolvidos 363
aplICação CoNForme364
Exercícios resolvidos 365
aplICação CoNForme366
Exercícios resolvidos 367
aplICação CoNForme368
Exercícios resolvidos 369
aplICação CoNForme370
Capítulo
9
alGuns desenvolvimentos comPlementares 
sobre funções analÍticas
A . Princípio do argumento
Princípio do agrupamento. Teorema de Rouché 371
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas372
Princípio do agrupamento. Teorema de Rouché 373
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas374
Princípio do agrupamento. Teorema de Rouché 375
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas376
Princípio do agrupamento. Teorema de Rouché 377
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas378
Princípio do agrupamento. Teorema de Rouché 379
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas380
Princípio do agrupamento. Teorema de Rouché 381
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas382
Princípio do agrupamento. Teorema de Rouché 383
B . Prolongamento analítico
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas384
Prolongamento analítico 385
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas386
Prolongamento analítico 387
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas388
Prolongamento analítico 389
C. Resíduo no ponto infinito
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas390
Resíduo no ponto infinito 391
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas392
Resíduo no ponto infinito 393
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas394
Resíduo no ponto infinito 395
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas396
Resíduo no ponto infinito 397
alguNs deseNVolVImeNtos ComplemeNtares sobre FuNções aNalítICas398
Resíduo no ponto infinito 399
Capítulo
10
exercÍcios comPlementares
eXerCíCIos ComplemeNtares 401
eXerCíCIos ComplemeNtares402
eXerCíCIos ComplemeNtares 403
eXerCíCIos ComplemeNtares404
eXerCíCIos ComplemeNtares 405
eXerCíCIos ComplemeNtares406
eXerCíCIos ComplemeNtares 407
eXerCíCIos ComplemeNtares408
eXerCíCIos ComplemeNtares 409
eXerCíCIos ComplemeNtares410
eXerCíCIos ComplemeNtares 411
eXerCíCIos ComplemeNtares412
eXerCíCIos ComplemeNtares 413
eXerCíCIos ComplemeNtares414
eXerCíCIos ComplemeNtares 415
eXerCíCIos ComplemeNtares416
eXerCíCIos ComplemeNtares 417
eXerCíCIos ComplemeNtares418
eXerCíCIos ComplemeNtares 419
eXerCíCIos ComplemeNtares420
eXerCíCIos ComplemeNtares 421
eXerCíCIos ComplemeNtares422
eXerCíCIos ComplemeNtares 423
eXerCíCIos ComplemeNtares424
eXerCíCIos ComplemeNtares425
eXerCíCIos ComplemeNtares426
eXerCíCIos ComplemeNtares 427
eXerCíCIos ComplemeNtares428
eXerCíCIos ComplemeNtares 429
eXerCíCIos ComplemeNtares430
eXerCíCIos ComplemeNtares 431
eXerCíCIos ComplemeNtares432
eXerCíCIos ComplemeNtares 433
eXerCíCIos ComplemeNtares434
eXerCíCIos ComplemeNtares 435
eXerCíCIos ComplemeNtares436
eXerCíCIos ComplemeNtares 437
eXerCíCIos ComplemeNtares438
eXerCíCIos ComplemeNtares 439
eXerCíCIos ComplemeNtares440
eXerCíCIos ComplemeNtares 441
eXerCíCIos ComplemeNtares442
eXerCíCIos ComplemeNtares 443
eXerCíCIos ComplemeNtares444
eXerCíCIos ComplemeNtares 445
eXerCíCIos ComplemeNtares446
eXerCíCIos ComplemeNtares 447
Apêndice
1
estruturas alGébricas e toPolóGicas
estruturas algébrICas e topológICas 449
apêNdICe 1450
estruturas algébrICas e topológICas 451
Apêndice
2
sucessões de números reais
suCessões de Números reaIs 453
apêNdICe 2454
suCessões de Números reaIs 455
apêNdICe 2456
Apêndice
3
séries numéricas reais
sérIes NumérICas reaIs 457
apêNdICe 3458
sérIes NumérICas reaIs 459
apêNdICe 3460
Apêndice
4
limite e continuidade de funções definidas 
num aberto de IRn
lImIte e CoNtINuIdade de FuNções deFINIdas Num aberto de IRn 461
apêNdICe 4462
Apêndice
5
funções diferenciáveis num aberto de IRn
FuNções dIFereNCIáVeIs Num aberto de IRn 463
apêNdICe 5464
FuNções dIFereNCIáVeIs Num aberto de IRn 465
Apêndice
6
sucessões e séries de funções
suCessões e sérIes de FuNções 467
apêNdICe 6468
suCessões e sérIes de FuNções 469
apêNdICe 6470
suCessões e sérIes de FuNções 471
biblioGrafia
bIblIograFIa 473
bIblIograFIa474
Índice remissivo
íNdICe remIssIVo 475
íNdICe remIssIVo476
íNdICe remIssIVo 477
íNdICe remIssIVo478
íNdICe remIssIVo 479
	Prefácio I
	Prefácio à 2ª edição
	Números Complexos
	A. Generalidades sobre números complexos
	B. Sucessões de números complexos
	C. Séries de números complexos
	Exercícios resolvidos
	Funções Holomorfas
	A. Generalidades. Algumas funções elementares
	B. Limites e continuidade
	C. Funções holomorfas
	Exercícios Resolvidos
	Integração de Funções Complexas
	A. Curvas no plano complexo. Integral de linha
	B. Teorema de Cauchy
	Exercícios resolvidos
	Consequências do Teorema de Cauchy
	A. Fórmulas integrais de Cauchy
	B. Teoremas fundamentais
	Exercícios resolvidos
	Representação em Série das Funções Holomorfas
	A. Sucessões e séries de funções. Série de potências
	B. Teorema de Taylor. Funções analíticas
	C. Singularidades. Teorema de Laurent
	Exercícios resolvidos
	Resíduos
	A. Cálculo de resíduos
	B. Teorema dos resíduos de Cauchy
	C. Aplicações
	Exercícios resolvidos
	Funções Harmónicas
	A. Princípio do módulo máximo e do módulo mínimo
	B. Funções harmónicas
	C. Problemas de Dirichlet no disco. Integral de Poisson
	Exercícios resolvidos
	Aplicação Conforme
	A. Teoria básica das aplicações conformes
	B. Algumas aplicações conformes elementares
	Exercícios resolvidos
	Alguns Desenvolvimentos Complementares sobre Funções Analíticas
	A. Princípio do argumento
	B. Prolongamento analítico
	C. Resíduo no ponto infinito
	Exercícios Complementares
	Apendice 1 - Estruturas Algébricas e Topológicas
	Apendice 2 - Sucessões de Números Reais
	Apendice 3 - Séries Numéricas Reais
	Apendice 4 - Limite e Continuidade de Funções Definidas num Aberto de IRn
	Apendice 5 - Funções diferenciáveis num Aberto de IRn
	Apendice 6 - Sucessões e Séries de Funções
	Bibliografia
	Índice Remissivo
	pg II.pdf
	Prefácio I
	Prefácio à 2ª edição
	Números Complexos
	B. Sucessões de números complexos
	C. Séries de números complexos
	Exercícios resolvidos
	Funções Holomorfas
	B. Limites e continuidade
	C. Funções holomorfas
	Exercícios Resolvidos
	Integração de Funções Complexas
	B. Teorema de Cauchy
	Exercícios resolvidos
	Consequências do Teorema de Cauchy
	A. Fórmulas integrais de Cauchy
	B. Teoremas fundamentais
	Exercícios resolvidos
	Representação em Série das Funções Holomorfas
	A. Sucessões e séries de funções. Série de potências
	B. Teorema de Taylor. Funções analíticas
	C. Singularidades. Teorema de Laurent
	Exercícios resolvidos
	Resíduos
	A. Cálculo de resíduos
	B. Teorema dos resíduos de Cauchy
	C. Aplicações
	Exercícios resolvidos
	Funções Harmónicas
	A. Princípio do módulo máximo e do módulo mínimo
	B. Funções harmónicas
	C. Problemas de Dirichlet no disco. Integral de Poisson
	Exercícios resolvidos
	Aplicação Conforme
	A. Teoria básica das aplicações conformes
	B. Algumas aplicações conformes elementares
	Exercícios resolvidos
	Alguns Desenvolvimentos Complementares sobre Funções Analíticas
	A. Princípio do argumento
	B. Prolongamento analítico
	C. Resíduo no ponto infinito
	Exercícios Complementares
	Estruturas Algébricas e Topológicas
	Sucessões de Números Reais
	Séries Numéricas Reais
	Limite e Continuidade de Funções Definidas num Aberto de IRn
	Funções diferenciáveis num Aberto de IRn
	Sucessões e Séries de Funções
	Bibliografia
	Índice Remissivo