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AS CRIANÇAS, OS PROFESSORES E OS NÚMEROS�
Os procedimentos dos alunos
Para um mesmo problema numa mesma aula os procedimentos que os alunos utilizam serão sem dúvida muito diferentes. É uma dificuldade para o professor ao mesmo tempo em que uma riqueza pedagógica. Os intercâmbios, as explicações, as reclamações dos alunos assim como o recurso à imitação do que fazem seus companheiros são fatores de progresso para os alunos. O pensamento de cada um se constrói com o confronto com os demais.
A dificuldade aumenta ainda mais ao constatar que inclusive para um mesmo aluno os procedimentos elaborados são muito frágeis, instáveis, muito dependentes da situação proposta, e pouco transferíveis. Assim, em uma situação aparentemente próxima de uma situação já enfrentada, um aluno dará impressão de regressão, não reutilizará necessariamente uma solução que já experimentou com êxito, às vezes, a reconstruirá totalmente. O domínio de um procedimento particular, o reconhecimento de sua eficiência em determinada situação, se constrói em um longo tempo alternando fases de resolução de problemas e fases de exercícios mais temáticos, em particular para os procedimentos reconhecidos como importantes. 
Um longo tempo... nos parece importante insistir sobre este ponto porque em nosso trabalho com os professores vemos que está instalada a idéia de “conteúdo dado”, eventualmente em uma ou duas horas de aula e se as situações que propusermos forem assimiladas a essa idéia não vão produzir os efeitos que declaramos. As crianças precisam de muitas oportunidades para se debruçar sobre um problema, para reafirmar seus procedimentos, para socializar o que encontraram. 
Para poder levar adiante um trabalho assim o professor precisa ter uma representação dos procedimentos das crianças e deve ser capaz de reconhecer uma hierarquia entre os mesmos. 
Os procedimentos das crianças não são infinitos, pelo contrário é possível prevê-los e descrevê-los. Ao longo deste o projeto de formação, no início das seqüências que analisávamos, pedíamos às professoras que fizessem uma antecipação dos procedimentos dos alunos. À medida que avançamos as professoras podiam fazer antecipações mais ajustadas e vinculadas à classe de problemas que analisavam, aos números envolvidos, etc.
Conhecer os procedimentos é fundamental, mas o maior desafio é poder provocar a evolução dos alunos do nível de procedimentos que utilizam. Desenvolveremos esses aspectos a seguir. 
Estamos convencidos da importância de oferecer aos alunos oportunidades de enfrentar os problemas com seus recursos, para buscar um caminho pessoal até a solução, mas às vezes... e aqui está o duplo desafio, é necessário que os alunos avancem em seus procedimentos e que todos cheguem a dominar os procedimentos “eficazes”, aqueles que o professor (e a comunidade) reconhecem como os que permitem dominar a situação, qualquer que seja o campo numérico, ou a dimensão com que está proposto. 
Trabalhar sobre um exemplo vai nos permitir ter uma idéia mais clara a respeito da evolução que estamos falando: “Acabaram de subir 8 pessoas no ônibus. Agora há 45 pessoas no ônibus. Quantas pessoas haviam antes desta parada?”. 
É possível descrever vários tipos de resolução corretas ao problema apresentado:
Solução 1: o aluno desenha 45 marcas, então apaga 8 e conta as restantes.
Solução 2: o aluno não reconhece nenhuma operação vinculada ao problema, mas constrói uma representação do problema em função da qual pode escolher um procedimento, por exemplo, descontar 8 de 45, de um em um, eventualmente utilizando os dedos. De algum modo, é como se mentalmente fizesse descer um a um os passageiros que subiram, para reencontrar a situação inicial.
Solução 3 (muito próxima da mais eficaz): o aluno representa o problema como uma adição na qual desconhece um dos termos e busca resolvê-lo. O que em uma equação se expressaria assim: ..... + 8 = 45
Solução 4 (a mais “eficiente” ou canônica): o aluno reconhece este problema como um problema de subtração (45 – 8) e a realiza mentalmente ou por escrito.
Estes quatro alunos fizeram matemática, no sentido de que articularam seus conhecimentos disponíveis e suas significações com a representação que fazem do problema. Com efeito, tanto a contagem (solução 1) como a subtração (solução 4) são ferramentas matemáticas, mas o problema, que para o aluno 4 é de subtração não o é para o aluno 1. 
Mostramos que a solução correta de um problema de subtração (do ponto de vista do professor) não supõem a priori o domínio da subtração.
É possível distinguir as soluções dadas como exemplo em dois pólos:
 O pólo das soluções que utilizam uma representação figurativa da situação: nas quais os alunos simulam o real mentalmente (como na solução 2) ou desenhando, ou poderia ser com objetos (como na solução 1). 
 O pólo das soluções que utilizam uma representação matemática da situação: nas quais os alunos propõem de algum modo o problema em uma equação (algoritmo) para poder trabalhar unicamente no nível dos números (como nas soluções 3 e 4).
A passagem do primeiro para o segundo pólo é acompanhada freqüentemente por uma mudança das técnicas utilizadas: no primeiro caso, os alunos utilizam as que vêm da contagem, no segundo caso fundamentalmente são utilizadas técnicas de cálculo. Essa distinção não dá conta, no entanto, de todos os níveis de representação da situação que podem existir entre os alunos. Assim a solução 3 mostra que o aluno produz uma escrita que traduz uma certa simulação da realidade tratada, particularmente em seu desenvolvimento temporal “... + 8 = 45”, “...” (os passageiros que estavam no ônibus), “+8” (os que subiram), “=45” (os que estão agora no ônibus). 
É preciso aceitar que, em cada categoria de problemas, a passagem de procedimentos ligados à contagem e vinculados a uma representação figurativa da situação, ao reconhecimento de um modelo de resolução que implica o uso de técnicas de cálculo eficazes é freqüentemente lento, raramente definitivo para um aluno e nunca simultâneo para todos os alunos. 
Esta observação implica muitas conseqüências:
É preciso aceitar, inclusive favorecer, na aula a pluralidade de procedimentos de resolução. Porque não só anima os alunos a elaborarem sua própria resolução, mas ainda pode ser fonte de progresso, de aprendizagem a partir dos confrontos que se podem organizar entre eles.
É preciso aceitar também que, para situações aparentemente análogas, alguns alunos dão a impressão de retroceder. A aprendizagem está cheia de dúvidas, de retrocessos, de aparentes paradas até que as aquisições se estabilizem.
Uma exigência precoce de formalização de soluções (reconhecimento do e produção da escrita matemática correspondente) pode ser uma fonte de obstáculo para muitos alunos que vão tratar de produzir a escrita matemática diretamente a partir do enunciado apoiando-se em palavras chaves, e produziriam 45 + 8 no problema descrito, sem envolver-se na fase essencial de tratar de compreender a situação proposta.
O meio de que dispõe o professor para favorecer a passagem de um pólo ao outro é fundamentalmente variar as situações que propõe aos alunos (para os problemas de adição e subtração o “tamanho” dos números é uma variável decisiva), o que vai exigir novos procedimentos e mostrar os limites ou a inutilidade dos anteriores. Outra ferramenta fundamental que o professor dispõe é organizar os intercâmbios e as discussões entre os alunos, assim como assegurar a difusão dos “avanços” dos alunos entre todos. Chegam momentos no trabalho em que certos procedimentos e, particularmente, certas formas de escrita matemática se “oficializam”.
Da contagem ao cálculo
Acabamos de mostrar, no marco da resolução de um problema, um conjunto de procedimentos que vão desde os que se apóiam na contagem aos que trabalham no nível do cálculo.
Vamos propor a seguir, como é possível favorecer a passagem da contagem ao cálculo. Embora nos centremos em metas a conseguir no níveldos procedimentos queremos sublinhar que o sentido das propostas segue sendo ajudar os alunos a resolver melhor os problemas propostos. 
O trabalho no nível dos procedimentos não está dissociado do problema da compreensão do significado das operações e da capacidade de resolver problemas. Sempre será a medida mais completa do nível de sucesso alcançado.
Insistimos com os exemplos porque nos permitem mostrar o enorme esforço de construção que chegar a trabalhar no nível do cálculo envolve. Imaginemos que foi proposta esta situação:
“Juliano tinha 23 figurinhas de carro e um amigo, que não coleciona mais, lhe deu 18. Quantas têm agora?”:
								 1
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I					 23
							 +18
I I I I I I I I I I I I I I I I I I						 41	
Quem faz as marcas e conta precisa ter presente a quantidade.
Quem usa o algoritmo da soma está utilizando propriedades do sistema de numeração e da operação que supõe muitos conhecimentos, compreender muitos aspectos.
De fato, para a humanidade, esse acontecimento foi muito longo e custoso. Devemos acompanhar as crianças no seu, o que não quer dizer que tenham que fazer esse longo caminho, dado que não se pode ignorar a presença e o uso social atual dos números e das operações, mas a referência da história nos deverá devolver o respeito pelo processo que as crianças devem levar a diante.
A contagem
No trecho correspondente a “Que sabem as crianças?” fizemos referência a revalorização do papel da contagem nas aprendizagens numéricas.
As crianças necessitam enfrentar múltiplas situações nas quais podem recorrer a utilidade de contar e a necessidade de precisão (não contar nenhum duas vezes, não pular nenhum).
No início do primeiro ano, para resolver um problema de aumentar ou de diminuir uma quantidade o procedimento mais utilizado pelas crianças é materializar as quantidades (objetos, desenhos, dedos, etc.) e resolver por contagem.
Vamos propor então a melhora da contagem em duas frentes:
Enquanto contagem utilizada para resolver situações.
Enquanto domínio e extensão da série numérica oral.
a) No inicio, para resolver 6+3 as crianças recontam a partir do um: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Propomos então que cheguem a utilizar a SOBRECONTAGEM 6... 7, 8, 9.
Quer dizer, que partam de um dos números e acrescentem a outra quantidade contando.
Muitos alunos começam a usar implicitamente propriedades da soma, por exemplo, a comutatividade. Assim para fazer 3+9, fazem 9...10,11,12.
Não estamos propondo que o professor “ensine” esta propriedade, mas sim que favoreça o intercâmbio entre os alunos (como veremos no desenvolvimento das seqüências) de modo que os “modos de fazer” de cada um se convertam em terreno comum.
Para uma situação de subtração, 12-4, muitas crianças fazem 12 marcas, riscam 4 e cotam as que sobram.
E necessário realizar atividades para que possam DESCONTAR (contar para baixo, “para trás”).
Além do interesse imediato, esses procedimentos encontrarão posteriormente uma prolongação, particularmente no cálculo mental. Por exemplo, para calcular 23+17, um aluno de segundo ano poderá partir de 27 e agregar sucessivamente 3 e depois 10.
b) Para poder colocar em jogo esses procedimentos requer por parte do aluno uma boa disponibilidade da série numérica oral, particularmente da capacidade de:
Dizer diretamente o seguinte e o anterior de um número sem recitar a série desde o início.
Continuar a série oralmente a partir de um número dado, num sentido e no outro.
Falar, por exemplo, quatro números a partir de um número dado, num sentido e no outro.
Dizer, por exemplo, os números entre 7 e 11, podendo especificar ao terminar, quantos números disse.
Poder contar de 2 em 2, de 5 em 5, de 10 em 10 resulta particularmente importante entre tantos apoios fundamentais para o cálculo.
Para assegurar esse domínio em todos os alunos será necessário realizar múltiplas atividades e jogos, em situações cotidianas e planejadas. Trata-se de que a contagem ocupe um lugar garantido no currículo escolar. Os dois aspectos em que propomos a melhora da contagem deve se desenvolver simultaneamente.
As crianças têm que ter oportunidades de comprovar o que sabem e reconhecer as metas a chegar. Nossa experiência nos mostra que são muito capazes de se comprometer se puderem saber com o que e para que. 
Os procedimentos mentais de resolução
Consideramos que um objetivo fundamental de primeira e segunda série é o desenvolvimento de procedimentos mentais de resolução no marco dos problemas referidos anteriormente.
Trata-se, por sua vez, de favorecer a representação mental das situações e a construção, por parte dos alunos, de soluções desprendidas da ação em si, quer dizer, que permitam antecipar os resultados de uma ação, todavia não realizada.
Mais tarde, se favorece o procedimento escrito que se apóiam nas regras de escrita dos números (sistema posicional). Mas, para que os alunos possam trabalhar neste nível precisam ser capazes de construir uma representação mental correta da situação e dispor da possibilidade de obter mentalmente certos resultados.
No princípio, estes procedimentos mentais funcionam para os alunos de maneira muito restrita, para certos números. Se buscará ampliar progressivamente o domínio do seu funcionamento e da sua disponibilidade para poder dar-lhe um caráter mais geral. Por exemplo, um aluno pode ser capaz de resolver mentalmente um problema que envolva os números 2 e 3, e não poder resolvê-lo com os números 4 e 6. (múltiplos)
Os professores com experiência em 1ª e 2ª série constatam que há crianças que dispõe de procedimentos mentais de resolução e outras que não; há quem memorize com facilidade e há quem tem que reconstituir sempre tudo; há quem pensa em diversas maneiras de resolver e há quem dispõe de pouquíssimos recursos.
Portanto, consideramos fundamental conseguir que todos os alunos disponham de procedimentos mentais de resolução e construam compreensivamente os algoritmos. Vamos propor que todos estes êxitos sejam assumidos como metas de ensino.
Há uma primeira condição: no fim da segunda série, os alunos precisam saber reproduzir rapidamente (quase instantaneamente) uma boa resposta ao que se costuma chamar repertório aditivo: encontrar um dos termos a, b ou c em a+b=c, quando a < 10 e b < 10, o que não exclui o conhecimento de outros resultados, mas, condiciona sua produção. Esta é a base do cálculo, seja escrito ou mental. 
Vamos assinalar sinteticamente as metas que são possíveis propor neste processo, depois vamos nos referir as aulas de atividades que se pode promover.
A)	A memorização de cálculos simples
Constance Kamii, em “A criança reinventa a aritmética”, faz observações válidas sobre este ponto: “Depois de definir como objetivo a construção de adições, por parte da criança, o professor necessita estabelecer uma seqüência entre as atividades que põem a disposição das crianças para sua eleição. Evidentemente, o nível de dificuldade não pode ser o mesmo em março, julho e novembro. Como foi dito anteriormente a maior parte dos programas de aritmética de primeiro ano que existem na atualidade iniciam a adição definindo como objetivo as somas que dão 5 ou 6, para continuar até 9 ou 10, 12 e 18. Assim, a seqüência de objetivos continua estabelecendo-se de acordo com a magnitude da soma, apesar de que as investigações demonstraram que a dificuldade depende do tamanho das parcelas. Por exemplo, 5+1=6 é mais fácil de lembrar do que 3+2=5. A seqüência de objetivos que vem a seguir se baseia na magnitude das parcelas, que corresponde a maneira como as crianças aprendem. Esta informação deveria ajudar os professores a decidir que jogos devem por à disposição dos alunos na aula" �
A autora sugere:
- adição de parcelas até 4
- adição de parcelas até 6 (pela utilização de dados)
- adição de dobros (2+2, 3+3, etc) até 10.
Diversas investigaçõesafirmam que os dobros e as combinações em que se agrega 1 a um número são mais facilmente memorizadas que outras combinações. Kamii assinala que entre os dobros, 2+2 é o primeiro a ser memorizado, seguido de 5+5. Este último, apesar de ser uma soma maior é mais fácil de recordar que 3+3 ou 4+4. Da mesma forma 10+10 é mais fácil que 9+9. Além disso, 2, 5 e 10 são apoios fundamentais na organização do repertório e no tratamento das quantidades. Os dobros, além de serem mais fáceis de memorizar se convertem na base para resolver outros cálculos, assim 5+6 pode ser pensado como 5+5+1.
No trecho deste documento relativo ao "Número para antecipar" e no cálculo mental se apresenta uma distribuição de conteúdos elaborada por Lic. Irma Saiz�, no qual aparecem outros cálculos simples importantes de dominar. Por exemplo, a+b=10, 10+a (a<10). Ali também apresentamos trabalhos realizados com crianças no marco desta orientação.
B) Resolução de cálculos não tão simples utilizando os simples
Como sugerimos anteriormente se busca favorecer que os alunos utilizem seus conhecimentos para tratar as situações a respeito das quais não dispõe de resultados memorizados.
Por exemplo, dispor dos pares de parcelas que dão 10, permite aos alunos tratar diversos cálculos. Assim, para fazer 8+6, muitas crianças pensam em (8+2)+4. Ou em cálculos de subtração, por exemplo: 14-6, o convertem em (14-4)-2
É importante favorecer a busca e explicação de distintas maneiras de tratar um cálculo. Por exemplo, para 7+8
(7+7)+1 reagrupamento em torno do dobro
(7+3)+5 reagrupamento em torno de 10
(8+2)+5 reagrupamento em torno de 10
(5+5)+2+3 reagrupamento em torno de 5
No entanto, não se trata de "ensinar" estas diferentes alternativas nem de que cada aluno precise "conhecer" cada uma. Trata-se de que cada um encontre suas maneiras preferidas, utilizando para isso profundamente o grupo como ocasião de aderir às soluções propostas pelos outros. O recurso à imitação é um recurso inteligente na medida em que supõe o reconhecimento do valor do proposto por outro. Sabemos que há crianças que temos a impressão que nunca lhes ocorre nada, mas nossa experiência nos mostra que se assumirmos este trabalho a partir da perspectiva do ensino, e como meta para toda a classe, essas crianças deixam de estar sozinhos frente a tamanho empreendimento e se envolvem na tarefa conseguindo distintos avanços. (fator psicológico – incentivo)
A utilização de cálculos simples para resolver outros mais complexos se vincula de modo imediato com o trabalho que se faz em relação à extensão da série numérica, a compreensão das regularidades, de seu funcionamento, a interpretação de sua codificação escrita, etc. Este aspecto foi desenvolvido no trecho deste documento relativo ao sistema de numeração. No texto "Nomear, ler e escrever números" se descreve as fases fundamentais dessa construção.
Aqui, queremos nos referir a importância de desenvolver nas crianças diversos modos de resolução em que utilizem seus conhecimentos sobre os números e as propriedades das operações como condição para uma construção dos algoritmos, na qual os alunos conservem o controle do que fazem e entendam seu sentido. 
C) Construção de Algoritmos
Os algoritmos são técnicas elaboradas reconhecidas na cultura, por permitir obter um resultado independentemente dos números envolvidos. Tem um caráter geral e estamos convencidos de que os alunos devem dispor dos algoritmos.
No entanto, defendemos a idéia de que os alunos construam seu próprio caminho até os algoritmos e, além disso, sejam capazes de reconhecer quando é pertinente e imprescindível usá-los.
Durante a 1ª série e boa parte da 2ª os alunos interpretam os números de dois algarismos, 23, por exemplo, como uma representação de uma quantidade, similar aos dois algarismos, são 23 objetos. Estamos convencidos de que a análise em termos de dezena e unidades ultrapassa as possibilidades dos alunos da 1ª série, fundamentalmente porque não se vincula com o que sabem e com o modo que têm de apropriar-se da série numérica.
Vejamos distintas resoluções de um mesmo cálculo em alunos da 1ª série:
	aluno 1
	 
	aluno 2
	
	aluno 3
	
	aluno 4
	2
	3
	
	2
	3
	
	2
	3
	
	2
	3
	+
	6
	
	+6
	
	
	+6
	
	
	+
	6
	29
	
	29
	
	83
	
	11
O segundo e terceiro aluno “encolunaram” errado, no entanto, o segundo guarda o significado do 6 e o adiciona corretamente. O terceiro utiliza regras que permanecem para ele arbitrárias e sem sentido, tanto que perde totalmente o controle sobre a resposta que produz. Provavelmente no esforço de usar uma regra “oficial” descarta outros procedimentos de que talvez disponha, como contar 6 partindo do 23. 
Algo similar sucede com o quarto aluno que mostra uma versão mais degradada da regra que se quis transmitir: soma todos os algarismos onde 2 já não é 20 nem forma parte do 23. No entanto, sabe muitas coisas sobre o número 23: que está depois do 22 e antes do 24, que está entre o 20 e o 30, que é 20+3, que é 10+10+ 3, etc.
E é neste conhecimento dos números que os alunos vão apoiar-se para resolver cálculos como 23+14.
Podem pensar como: 20+10+3+4
			 23+10+4 
Para poder entender o “encolunamento” é preciso estar assegurada a compreensão do “ 2 ” que vale 20 e temos que favorecer este modo de proceder, porque é ele que permite “partir do que as crianças sabem” .
Anteriormente, indicamos duas resoluções possíveis de 23+18, que marcam, de certo modo, os extremos do caminho “da contagem ao calculo”. Já mencionamos os procedimentos resultantes da melhora da contagem. Existem ainda, antes do algoritmo, outras soluções possíveis, no terreno dos procedimentos mentais de resolução.
Por exemplo:
20 + 3 + 10 + 8		23 + 20 – 2		 23 + 7 +10 + 1
 30 11 43 - 2 30 + 10 + 1
 
 40 + 1 
Certamente, o algoritmo é mais econômico e eficiente, mas para os alunos esse convencimento chega com o domínio do mesmo.
Estamos nos referindo a um problema muito complexo e sabemos que não dispomos de respostas contundentes e globais para enfrentá-lo. Porém, queremos acercar propostas que tenham caráter de aproximação, a partir de uma perspectiva em que buscamos aceitar as exigências do que as crianças sabem e assegurar construções com significado.
Estas reflexões foram muito comoventes e mobilizadoras para as professoras com quem trabalhamos, muitas delas disseram, em avaliações, que nas propostas que lhes fazíamos não se propunha um trabalho fácil, mas lhes permitia reencontrar-se com idéias que haviam tido, com intuições presentes nas suas buscas, com preocupações para as quais não haviam tido resposta. De alguma maneira, também permitia a elas conectar-se com o que sabem, mas dando-lhes um marco que assegura a coerência do que propunham, condição indissociável para a eficácia que pede a finalidade de assegurar aprendizagens significativas a todos os alunos.
CÁLCULO MENTAL
Propomos que os procedimentos mentais de resolução tenham um papel fundamental na passagem da contagem no cálculo e na construção de algoritmos. Estes procedimentos se englobam no conceito de cálculo mental que consideramos necessários desenvolver mais para mostrar sua importância na aquisição de noções matemáticas que não se esgota, muito pelo contrário, no 1º e 2º ano.
O cálculo mental, tal como o definimos aqui, não se opõe ao cálculo escrito, nem se associa a velocidade. Trata-se fundamentalmente de cálculo refletido, pensado.
Diferencia-se do que alguns autores chamam de cálculo automático, que se caracteriza pelo emprego sistemático, para uma operação dada, sejam quais forem os números, de um algoritmo único: emprego de uma técnica escrita, de um material (ábaco, régua de cálculo, tabela de logaritmo,etc.).
O cálculo pensado é particularizante se desenvolve a partir da análise dos números e da operação envolvida. Neste sentido cada problema é novo e a aprendizagem consiste essencialmente em tomar consciência de que para uma mesma operação certos cálculos são mais simples que outros. Isto implica que os alunos possam usar e levar em conta de certas facilidades que apóiam o cálculo, as propriedades do sistema de numeração posicional.
Como acabamos de definir, o cálculo mental é uma opção, entre outras, a qual pode apelar um sujeito que domina as distintas alternativas. Na vida cotidiana usamos a estimativa, o arredondamento, a aproximação se a situação não requer uma resposta exata. E ainda, em certos casos de resposta exata não optamos pelo algoritmo, mas usamos um recurso articulado sobre a peculiaridade das quantidades envolvidas. Por exemplo, para fazer 35.000+29.000, é cômodo fazer 35.000+30.000–1.000.
Queremos insistir ainda tem um evidente interesse prático na argumentação que temos apresentado relativa a importância que tem o cálculo mental na aquisição das noções matemática.
Demos antes exemplos que mostravam que ao invés de ser opção é uma via de acesso a construção dos algoritmos.
A finalidade do trabalho de cálculo mental é que os alunos tenham hábitos de reflexão sobre os cálculos e disponham de meios permanentes de aproximação, de controle sobre o que obtém usando técnicas como o algoritmo. O cálculo pensado é hoje, existindo as calculadoras, mais útil e formador que o cálculo automático (para o qual existem justamente as calculadoras). Por muito que facilitem as calculadoras sempre terá que haver um sujeito que faz um uso inteligente das mesmas, que ordena as operações (tem que saber qual) e que controla a razoabilidade do que se obtém.
O que acabamos de dizer aponta a reequilibrar os pesos, mas de nenhuma maneira, estamos propondo excluir ou recolocar o cálculo escrito e exato. Todas as crianças devem poder realizar qualquer calculo que lhes proponha. O cálculo escrito tem a vantagem de poder aplicar-se mecanicamente sem necessidade de refletir sobre cada passo. É certo que não é necessário em todos os casos e os alunos terão que aprender a reconhecer sua pertinência de uso.
Como o Professor pode organizar o ensino para alcançar as finalidades propostas?
A construção paralela e vinculada do cálculo pensado e do cálculo matemático requer que se leva a diante, sistematicamente, dois tipos de atividades:
um trabalho de memorização de repertórios e regras, a medida que se vão construindo e
um trabalho coletivo, lento e detalhado, de aprendizagem do cálculo mental pensado, que se apóia na comparação de diversos procedimentos utilizados por distintas crianças para tratar o mesmo problema.
Sobre a memorização
Citamos aqui o exposto pela equipe ERMEL�:
“Existem numerosos trabalhos sobre memória a partir dos quais é bastante difícil deduzir regras de ação para o pedagogo.
Simplificando ao extremo é possível, no entanto, listar alguns elementos:
a repetição é um fator favorecedor, com a condição de não ser o único meio utilizado e de ser realizado através de atividades variadas: jogos, entrevistas rápidas etc.
o modo como se memorizou influi na capacidade de recuperação de resultados (todos conhecemos alunos que para encontrar o resultado de 7 x 8 se vêem obrigados a recitar a tabuada desde o inicio), melhor evitar este tipo de recitado.
se memoriza melhor o que se compreendeu, o que tem sentido e interesse para ele.
se memoriza melhor um conjunto de elementos estruturados, organizados entre eles do que um conjunto de elementos isolados. A professora proporá então atividades que favoreçam essa estruturação: apoio sobre os dobros, passagem pela dezena, utilização de resultados conhecidos para encontrar um resultado vizinho, por exemplo, resolver 8+5, conhecendo 8+4=12.
Por utilizar uma fórmula, pode se dizer que “memória” e “inteligência” não somente não se opõe como a “inteligência” que se tem das coisas favorece a “memorização”.
A reconstrução e a tomada de consciência
No princípio não se coloca em cena memorização. Frente a situações e atividades que são propostas os alunos produzem resultados pelos seus próprios meios. O professor seleciona e propõe cálculos que favoreçam procedimentos reconstrutivos. Os alunos buscam recursos para resolvê-los interatuando em pequenos grupos, e utilizando se necessário papel e lápis. Posteriormente se analisam os distintos recursos e se discute a aplicabilidade e eficiência de cada um no cálculo proposto.
Isto vai permitindo aos alunos reconhecer a utilidade de usar resultados conhecidos para resolver outros cálculos. Vai se construindo um repertório coletivo, visível na classe e utilizável como recurso.
No desenvolvimento da seqüência no jogo da caixa, apresentado nesse documento, se mostram algumas das atividades que é possível propor no início do repertório e que conduzem a reflexões sobre os cálculos e sobre a toma de consciência por parte dos alunos, do que sabem (no que podem se apoiar) e do que tem que aprender para poder resolver melhor os problemas ou os cálculos e... ganhar os jogos (os jogos constituem uma boa motivação para memorização).
Como disseram os membros da equipe ERMEL em seu documento: “O cálculo mental é um assunto de trabalho (saber e treinamento), de memória e, sobretudo, de confiança em si mesmo”.
Alguma coisa desta afirmação não se chega no 1º e no 2º ano, mas devemos apontar para ele desde o início. É a relação com o saber o que está em jogo devemos cuidar desde os primeiros contatos.
Texto original disponível em:
www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php
�	“Los niños, los maestros y los números” - tradução livre para fins didáticos, por Priscila e Lucas Monteiro, do Desarrolo Curricular – matemática 1º y 2º grado, Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires, 1992, segunda edición 1996. Acessado em 7 de outubro de 2009.
�	 Kamii, "A Criança Reinventa A Aritmética"
�	 Ver texto “Cálculo mental na escola primária” – tabela de conteúdos
�	ERMEL “Apprentisages numériques, et résolucion de problémes”, C.P. p. 125					 
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