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Matemática Básica Aula 10 Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
 
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Extensão da tangente, cossecante, cotangente e secante 
Definimos as funções trigonométricas 
𝑡𝑔𝜃 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
 , 
 para 𝜃 ≠
(2𝑘+1)𝜋
2
, onde k é inteiro. 
 Note que os ângulos do tipo 𝜃 =
(2𝑘+1)𝜋
2
 são os ângulos com lado terminal sobre 𝑜𝑦, 
congruentes a 
𝜋
2
 ou 
3𝜋
2
 , exatamente onde o cosseno se anula. Também, definimos 
𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
 , 
 para 𝜃 ≠ 𝑘𝜋, onde k é inteiro. Nesse caso, as funções não estão bem definidas para os 
ângulos com lado terminal sobre 𝑜𝑥, que correspondem aos ângulos congruentes a 
0 𝑜𝑢 𝜋. 
Observe na tabela abaixo alguns valores da tangente. 
x (rad) 0 𝜋
6
 
𝜋
4
 
𝜋
3
 
5𝜋
6
 
3𝜋
4
 
tgx 0 3
3
 
 1 3 
−
 3
3
 
 -1 
 
Agora, calcule você mesmo alguns valores da secante, cotangente e cossecante. 
 
Segmento representativo da tangente no círculo trigonométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na reta t paralela a oy e orientada para cima 
com origem em A=(1,0), marcamos a 
interseção T com o lado terminal do ângulo 
se 𝜃 for um ângulo do 1-º ou do 4-º quadran-
te. A tg𝜃 é dada pelo segmento 𝐴𝑇 orientado, 
isto é, com o sinal positivo, se T estiver 
acima de A e negativo, se estiver abaixo. Se 
T=A, a tangente é zero. 
 
Quando 𝜃 é um ângulo do 2-º ou 3-º qua-
drante, prolongamos o lado terminal do 
ângulo e marcamos o ponto T. Na figura ao 
lado, 𝜃 é do 2-º quadrante, logo a tangente 
é negativa. 
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Pensando no segmento representativo da tangente, note que 𝑡𝑔 𝜃 + 𝜋 = 𝑡𝑔𝜃 e, em 
geral, 𝑡𝑔 𝜃 + 2𝑘𝜋 = 𝑡𝑔𝜃 , ∀𝜃 ≠
(2𝑘+1)𝜋
2
 (faça um esboço!). Consequentemente, 
temos pela tabela acima que 𝑡𝑔 
5𝜋
4
 = 𝑡𝑔 
𝜋
4
 = 1, 𝑡𝑔 
7𝜋
6
 = 𝑡𝑔 
𝜋
6
 = 
 3
3
, 𝑡𝑔 
7𝜋
4
 =
𝑡𝑔 
3𝜋
4
 = −1 , etc.. 
Exemplo 7: 
1) Calcule 𝑎)𝑡𝑔225°, b)𝑡𝑔 
5𝜋
6
 
Solução: 𝑎)𝑡𝑔225°=𝑡𝑔 180° + 45° = 𝑡𝑔45° = 1. 
b)𝑡𝑔 
5𝜋
6
 =
sen (
5𝜋
6
)
cos ⁡(
5𝜋
6
)
=
sen
𝜋
6
−cos ⁡(
𝜋
6
)
= −
 3
3
. 
2) Coloque em ordem crescente tg50°, tg 100°, tg200°, tg300°. 
Solução: Observe o esboço no círculo trigonométrico abaixo. 
 
Então, tg100°<tg300°<tg200°<tg50°. 
 
3) Determine o domínio de a)𝑡𝑔2𝑥 b)𝑡𝑔(𝑥 −
𝜋
4
). 
Solução: a) Considere a mudança de variável 𝑡 = 2𝑥, então 𝑡 ≠
(2𝑘+1)𝜋
2
 . Logo, 
voltando a 𝑥, temos 𝑥 ≠
(2𝑘+1)𝜋
4
. Assim, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
 2𝑘+1 𝜋
4
, 𝑘 ∈ ℤ}. 
b) Considere a mudança de variável 𝑡 = 𝑥 −
𝜋
4
, então 𝑡 ≠
(2𝑘+1)𝜋
2
 . Logo, 
voltando a x, temos 𝑥 −
𝜋
4
≠
(2𝑘+1)𝜋
2
. Assim, 
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 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 +
3𝜋
4
, 𝑘 ∈ ℤ}. 
 
4) Dos números tg40°, tg64°, tg345°, tg89°, tg100° , quais são maiores do que 1? 
Solução: Pensando no eixo representativo da tangente, temos 𝑡𝑔𝑥 > 1 se e só se 
45° < 𝑥 < 90° ou 225° < 𝑥 < 270° . Logo, são maiores do que 1 tg64° e 
tg89°. 
5) Calcule 𝑡𝑔𝑥, sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,1 e que 0 < 𝑥 <
𝜋
2
. 
Solução: Pela identidade trigonométrica fundamental e por ser 𝑥 um ângulo do 
1° quadrante, temos 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 − (0,1)2 = 0,99. Logo, 𝑡𝑔𝑥 =
 0,99.
0,1
= 3 11. 
Atividade 6 
1) Calcule 𝑡𝑔𝑥, sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
5
6
 e que 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
. 
2) Simplifique as expressões: 
a)
𝑠𝑒𝑐 2𝑥
1+𝑡𝑔2𝑥 
 b)
𝑠𝑒𝑛 4𝑥−𝑐𝑜𝑠 4𝑥
1− 2 𝑐𝑜𝑠𝑥
 c)
𝑡𝑔𝑥 +𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 2𝑥
 
3) Dado 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
 5
3
 e 𝑡𝑔𝑥 > 0, calcule y=𝑡𝑔2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 
4) Determine o sinal de a) 𝑡𝑔(
11𝜋
5
) b) 𝑠𝑒𝑛 21° × cos 90°1′ × 𝑡𝑔(181°) 
5) Para que ângulos, no intervalo −3𝜋, 5𝜋 , a tangente não está definida? E 
a cotangente? 
 
Algumas identidades trigonométricas 
Frequentemente, quando trabalhamos com funções trigonométricas, utilizamos 
identidades para simplificar o estudo. Listamos a seguir algumas das principais 
identidades que utilizaremos. 
1. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛽 = 1 , ∀𝛼 ∈ ℝ. 
2. 𝑡𝑔2 𝛼 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝛼 , ∀𝜃 ≠ 
 (2𝑘+1)𝜋
2
 , onde k é inteiro. 
3. 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝛼 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝛼 , ∀𝜃 ≠ 𝑘𝜋 , onde k é inteiro. 
4. cos −𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 , ∀𝛼 ∈ ℝ. 
5. 𝑠𝑒𝑛 −𝛼 = −𝑠𝑒𝑛𝛼 , ∀𝛼 ∈ ℝ. 
6. cos(𝛼 + 𝛽)= cos𝛼cos𝛽 − sen𝛼sen𝛽 , 
 cos(𝛼 − 𝛽)= cos𝛼cos𝛽 + sen𝛼sen𝛽 , ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. 
7. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛼 , 
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𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛼 , ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. 
8. Arco duplo: 
cos(2𝛼)= 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 , ∀𝛼 ∈ ℝ. 
𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 , ∀𝛼 ∈ ℝ. 
9. Arco metade : 
𝑐𝑜𝑠2 
𝛼
2
 =
1+𝑐𝑜𝑠𝛼
2
 , ∀𝛼 ∈ ℝ. 
𝑠𝑒𝑛2 
𝛼
2
 =
1−𝑐𝑜𝑠𝛼
2
 , ∀𝛼 ∈ ℝ. 
 
As identidades acima são demonstradas a partir das definições das funções 
trigonométricas, por exemplo, dividindo a identidade trigonométrica fundamental (1) 
por 𝑐𝑜𝑠2𝛼 , obtemos a identidade (2). E se usarmos 𝑠𝑒𝑛2𝛼, obtemos (3). Para (4) e (5), 
faça uma figura marcando no círculo trigonométrico 𝛼 𝑒 − 𝛼, por simetria, o resultado 
segue. Já as identidades do arco duplo, seguem de (6) e (7), para 𝛼 = 𝛽 . As do arco 
metade, são obtidas da primeira identidade de (8), substituindo 𝛼 por 
𝛼
2
 e usando a 
identidade (1) do lado direito (para o ângulo 
𝛼
2
 ). As identidades (6) e (7) são menos 
diretas e serão deixadas como exercício ( consulte um livro). 
 
Atenção: um erro frequente, cometido por muitos alunos é pensar que vale a igualdade 
sen2x=2senx,∀𝑥 ∈ ℝ , porém essa igualdade é falsa!!! Veja o exemplo 8-1) abaixo. 
 
Exemplo 8: 
1) Dê um exemplo que mostre que em geral, 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ≠ 2𝑠𝑒𝑛𝑥 . Agora, construa 
uma infinidade de exemplos. 
Solução: Tome 𝑥 =
𝜋
6
, 𝑠𝑒𝑛 2.
𝜋
6
 = 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
3
 =
 3
2
 ≠ 2𝑠𝑒𝑛 
𝜋
6
 = 1. 
Construindo uma infinidade de exemplos: 𝑥 = 
𝜋
4
+
1
𝑛
 onde 𝑛 ≥ 2, então, como 
𝜋
4
<
𝜋
4
+
1
𝑛
<
𝜋
2
 , segue que 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
+
1
𝑛
 > 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
 =
 2
2
 . Logo, 2𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
+
1
𝑛
 >
 2 > 1 e portanto 2𝑠𝑒𝑛 
𝜋
4
+
1
𝑛
 ≠ 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
2
+
2
𝑛
)<1. 
 
 
 
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2) Calcular 𝑠𝑒𝑛75° e 𝑐𝑜𝑠75°. 
Solução: Vamos usar as identidades do arco metade para 𝛼 =
150°. 𝐸𝑛𝑡ã𝑜, 
𝑐𝑜𝑠2 75° =
1+𝑐𝑜𝑠150°
2
=
1−
 3
2
2
=
2− 3
4
⟹ 𝑐𝑜𝑠75° =
 2− 3
2
 , e 
 𝑠𝑒𝑛2 75° =
1−𝑐𝑜𝑠150°
2
=
1+
 3
2
2
=
2+ 3
4
⟹ 𝑠𝑒𝑛75° =
 2+ 3
2
 , 
Pois 75° é do 1º quadrante. 
 
Atividade 7 
 
1) O que você acha sobre a igualdade 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥, é falsa ou verdadeira em ℝ? 
2) Calcule o valor de 𝑠𝑒𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 . 
3) Simplifique as expressões abaixo: 
a) 
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
 
b) 
𝑐𝑜𝑠2𝑥− 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑐𝑜𝑠 2𝑥− 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
 
c) 
cos 
𝜋
2
 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
2
 − 𝑥 cos ⁡(𝜋+𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑥 cos 𝑥 − 2𝜋 cos ⁡(
𝜋2
 + 𝑥)
 
4) Calcule 𝑠𝑒𝑛105° . 
5) Calcule 𝑐𝑜𝑠15°. 
6) Demonstre as identidades a) 𝑡𝑔 𝛼 + 𝛽 = 
𝑡𝑔𝛼 +𝑡𝑔𝛽
1−𝑡𝑔𝛼 .𝑡𝑔𝛽
 
 𝑏)𝑡𝑔 𝛼 − 𝛽 = 
𝑡𝑔𝛼−𝑡𝑔𝛽
1+𝑡𝑔𝛼 .𝑡𝑔𝛽
. 
7) Se 𝑡𝑔𝑥 =
6
5
, qual o valor de 𝑡𝑔2𝑥 ? 
(Sugestão: use o exercício 6) acima) 
8) Mostre que 𝑡𝑔(22°30′) = 2 − 1. 
9) Mostre que 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 
𝜋
4
). 
 
Equações trigonométricas 
Resolver uma equação trigonométrica significa encontrar os valores dos ângulos que 
pertencem ao intervalo dado, que tornam a equação verdadeira. Se nenhum intervalo 
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for dado inicialmente, supomos que queremos todos os ângulos reais que satisfazem a 
equação. 
 
Exemplo 9- Equações mais simples. 
1) Resolva 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
 3
2
 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 . Marque o conjunto solução no círculo 
trigonométrico. 
Solução: Os ângulos no intervalo 0,2𝜋 são 𝑥 =
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 =
11𝜋
6
. 
 
2) Resolva 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
 3
2
 , 𝑥 ∈ 0, 𝜋 . 
Solução:O ângulo no intervalo 0, 𝜋 é 𝑥 =
𝜋
6
 . 
 
3) Resolva 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
 3
2
 , 𝑥 ∈ −𝜋, 𝜋 . Marque o conjunto solução no círculo 
trigonométrico. 
Solução:Os ângulos no intervalo −𝜋, 𝜋 são 𝑥 =
𝜋
6
 ou 𝑥 = −
𝜋
6
. 
 
 
4) Resolva 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
 3
2
 , 𝑥 ∈ ℝ. 
Solução: Os ângulos são todos os congruentes a 𝑥 =
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
6
 (𝑜𝑢
11𝜋
6
). 
Assim, 𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = ±
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ . 
 
 
5) 𝑅esolva 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
2
 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 . Marque o conjunto solução no círculo 
trigonométrico. 
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Solução:𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
2
 ⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
 2
2
 ou 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
 2
2
. Logo, S={
𝜋
4
,
3𝜋
4
,
5𝜋
4
,
7𝜋
4
 }. 
 
6) Resolva sen2𝑥 = 1 , 𝑥 ∈ ℝ. Marque o conjunto solução no círculo 
trigonométrico. 
Solução: Mudando a variável, 𝑡 = 2𝑥, temos 𝑠𝑒𝑛𝑡 = 1 ⟺ 𝑡 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 . Logo, 
2𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 . 
 
7) Resolva sen(2𝑥 −
𝜋
4
) = −1 , 𝑥 ∈ ℝ. Marque o conjunto solução no círculo 
trigonométrico. 
Solução:Mudando a variável, 𝑡 = 2𝑥 −
𝜋
4
, temos 𝑠𝑒𝑛𝑡 = −1 ⟺ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 . 
Logo, 2𝑥 −
𝜋
4
=
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
7𝜋
8
+ 𝑘𝜋 . 
 
OBS:No exemplo acima vimos várias equações do tipo senx=a ou cosx=a. 
Note que como cosx e senx são números reais pertencentes ao intervalo [-1,1], 
uma equação desse tipo admite solução, se e só se , 𝑎 ∈ −1,1 . Por exemplo, as 
equações senx=2, 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 3 , cosx= -5, cosx = 𝜋 não possuem solução 
(𝑆 = ∅). Por outro lado, equações em que −1 ≤ 𝑎 ≤ 1, do tipo senx=0,1 , 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1/ 3 , cosx= -1/5, cosx = 𝜋 − 3 , sempre possuem solução, mesmo 
que os valores não correspondam a ângulos notáveis. 
 
Exemplo 10- Equações mais elaboradas, algumas requerem o uso de 
identidades. 
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Resolva as equações abaixo. 
1) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 . 
Solução:2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0 ⟺ 
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
1
2
 Logo, 𝑥 =
𝜋
2
 ,
3𝜋
2
,
2𝜋
3
,
4𝜋
3
. 
 
2) 𝑡𝑔𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 , 𝜃 ∈ 0,
𝜋
2
 ∪ 
𝜋
2
,
3𝜋 
2
 ∪ 
3𝜋
2
, 2𝜋 . 
Solução: 𝑡𝑔𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 ⟺
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
= 2𝑠𝑒𝑛𝜃 ⟺ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑜𝑢 
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
= 2 ⟺
 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1
2
 ⟺ 𝜃 = 0, 𝜋, 2𝜋,
𝜋
3
,
5𝜋
3
 . 
 
3) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0. 
𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜: Usando a identidade trigonométrica fundamental, obtemos 𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 ⟺ 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 = 0. 
Mudando a variável 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 , obtemos a equação do 2º grau 𝑡2 − 𝑡 − 2 = 0, 
cujas raízes são 𝑡1 = −1 𝑒 𝑡2 = 2. Voltando a 𝑥, temos duas equações 
 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 , que não tem solução pois −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1; 
 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1, que tem como solução 𝑥 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋. 
Logo, 𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ . 
 
4) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
Solução:Usando a identidade do arco duplo, a equação dada é equivalente a 
2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
0 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
1
2
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
2
 ,
3𝜋
2
,
7𝜋
6
,
11𝜋
6
. 
 
Atividade 8 
Nos exercícios a seguir, encontre a solução e marque no círculo trigonométrico. 
1) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = −1, 𝑥 ∈ [−𝜋, 2𝜋]. 
2) 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 𝜋 = 0. 
3) 2𝑠𝑒𝑛4𝑥 − 1 = 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
4) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 −3𝑥 = −1. 
5) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0. 
6) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 0. 
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7) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
2
 , 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
8) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0, 𝑥 ∈ [−𝜋, 3𝜋]. 
9) 𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0. 
10) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 5 − 8𝑠𝑒𝑛2𝑥, em [0,2𝜋]. 
 
Inequações trigonométricas 
Para resolver uma inequação trigonométrica, procure determinar 
primeiro a solução da equação associada para ter uma idéia do problema. 
Depois, faça um esboço no círculo trigonométrico para determinar a solução da 
inequação. 
Exemplo 11: 
Resolva e marque o conjunto solução no círculo trigonométrico. 
1) 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥
 2
2
 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 . 
Solução: A equação associada é 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
 2
2
 , cujas soluções no 
intervalo dado são 𝑥 =
𝜋
4
 𝑜𝑢 𝑥 =
3𝜋
4
 . Olhando no círculo 
trigonométrico, temos 𝑆 = 
𝜋
4
 ,
3𝜋
4
 , pois para os ângulos desse 
intervalo, quando projetamos o ponto correspondente no círculo sobre 
𝑜𝑦 o valor da ordenada é maior do que, ou igual a 
 2
2
. 
 
2) 𝑐𝑜𝑠𝑥 >
 2
2
 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 . 
Solução: A equação associada é 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
 2
2
 , cujas soluções no 
intervalo dado são 𝑥 =
𝜋
4
 𝑜𝑢 𝑥 =
7𝜋
4
 ( esses ângulos não 
satisfazem a inequação!). Olhando no círculo trigonométrico, 
temos 𝑆 = 0,
𝜋
4
 ∪ (
7𝜋
4
 , 2𝜋] , pois para os ângulos desse 
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intervalo, quando projetamos o ponto correspondente no círculo 
sobre 𝑜𝑥 , o valor da abscissa é maior do que 
 2
2
. 
 
3) 𝑡𝑔𝑥 ≥ 3 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 , 𝑥 ≠
𝜋
2
,
3𝜋
2
. 
Solução: A equação associada é 𝑡𝑔𝑥 = 3 , cujas soluções no 
intervalo dado são 𝑥 =
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 =
4𝜋
3
 . Olhando no círculo 
trigonométrico, temos 𝑆 = 
𝜋
3
 ,
𝜋
2
 ∪ [
4𝜋
3
 ,
3𝜋
2
) , pois para os 
ângulos desse intervalo, quando prolongamos seu lado terminal 
até o eixo representativo da tangente, sua interseção ocorre em 
pontos acima de A=(1,0) e a distância ao ponto A=(1,0) é maior 
do que, ou igual a 3. 
 
 
4) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 ≥ 0 . 
Solução: A inequação dada é equivalente a 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ −
1
2
 . Marcando o 
conjunto solução da equação associada, 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
1
2
 , no círculo 
trigonométrico, observamos que o conjunto solução em [0,2𝜋] é 
dado por 0,
7𝜋
6
 ∪ 
11𝜋
6
, 2𝜋 . Como o problema requer todas as 
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28 
 
soluções em ℝ, então respeitando a ordem dos reais, podemos 
escrever 𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ; −
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤
7𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ .5) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 < 0. 
Solução: Nesse exemplo, primeiro vamos transformar a inequação 
dada em duas mais simples. Observe. 
 Mudamos a variável 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑥, então temos 2𝑡2 − 1 < 0. 
 Estudamos o sinal da parábola 𝑦 = 2𝑡2 − 1, cujas raízes são 
−
 2
2
 e 
 2
2
 e 𝑦 = 2𝑡2 − 1 < 0 ⟺ −
 2
2
< 𝑡 <
 2
2
. 
 Voltando à variável 𝑥, segue que 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 < 0 ⟺
−
 2
2
< 𝑐𝑜𝑠𝑥 <
 2
2
 . 
 Marcamos no círculo trigonométrico as soluções das equações 
𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
 2
2
 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
 2
2
 , e determinamos para quais os 
ângulos teremos a projeção em 𝑜𝑥 entre −
 2
2
 e 
 2
2
. 
Portanto, 𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ;
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 <
7𝜋4+2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ. 
 
 
 
 
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Atividade 9 
 Nos exercícios de 1) a 5) resolva e marque o conjunto solução no círculo 
trigonométrico. 
1) 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥
1
2
 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 . 
2) 𝑐𝑜𝑠𝑥 <
 3
2
 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 . 
3) 𝑡𝑔𝑥 ≥ 1 , 𝑥 ∈ 0,2𝜋 , 𝑥 ≠
𝜋
2
,
3𝜋
2
. 
4) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 < 0. 
5) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 6𝑐𝑜𝑠𝑥 + 5 ≥ 0, 𝑥 ∈ 0,2𝜋 . 
 
6) Determine o domínio das funções 
a) 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
 
b)𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
Lei dos Senos em triângulos quaisquer 
Dado um triângulo qualquer ABC de lados a, b e c , respectivamente, opostos 
aos ângulos A, B e C, valem as igualdades: 
 
 
 
 
 
Em palavras, podemos enunciar a lei dos senos como segue. 
“Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos 
opostos.” 
 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
 
 
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30 
 
Lei dos Cossenos em triângulos quaisquer 
Dado um triângulo qualquer ABC de lados a, b e c , respectivamente opostos aos 
ângulos A, B e C , vale a seguinte relação: 
 
 
 
 
Observe que a lei dos cossenos estende o teorema de Pitágoras, pois quando o 
ângulo A é reto , temos 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 0 e a igualdade fica 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. 
 
Exemplo 12: 
1) Calcule x e y. 
 
 
Solução: Veja no exemplo 8-2) o cálculo de 𝑠𝑒𝑛75° =
 2+ 3
2
. 
Pela lei dos senos, temos 
𝑥
𝑠𝑒𝑛45°
=
6
𝑠𝑒𝑛60°
 ⟹ 𝑥 =
 2
2
. 6.
2
 3
= 2 6 . Analogamente, 
𝑦
𝑠𝑒𝑛75°
=
6
𝑠𝑒𝑛60°
 ⟹ 𝑦 =
 2+ 3
2
. 6.
2
 3
= 2 2 3 + 3 . 
 
2) Deseja-se determinar a distância entre dois pontos A e B, entre os quais há um 
lago. Para isso coloca-se uma marca no ponto C, a 50 m de A, e determina-se, 
usando um teodolito *, 𝐴𝐶 𝐵 = 44° e 𝐶𝐴 𝐵 = 102°. Calcule a distância 
aproximada de AB, sabendo que 𝑠𝑒𝑛44° ≅ 0,695 , 𝑠𝑒𝑛34° ≅ 0,559 e 
𝑠𝑒𝑛78° ≅ 0,978. 
 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 
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Ion Moutinho 
 
31 
 
 
Solução: Pela lei dos senos, sabemos que 
50
𝑠𝑒𝑛34°
=
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛44°
 ⟹ 𝐴𝐵 =
50.𝑠𝑒𝑛44°
𝑠𝑒𝑛34°
≅
34,75
0,559
≅
62,16 . Logo, a distância aproximada é de 62m. 
 
3) Para determinar a distância entre dois pontos P e Q, um em cada ilha, um 
topógrafo, situado na praia, coloca duas marcas nos pontos A e B, e mede as 
distâncias. Depois, põe o teodolito no ponto A , mede os ângulos 𝛼 𝑒 𝛽 , em 
seguida no ponto B e mede os ângulos 𝛾 𝑒 𝛿 (conforme a figura abaixo). Como 
ele determina a distância entre os pontos que estão um em cada ilha? 
 
 
 
Solução: Podemos usar a lei dos senos e calcular PB e BQ: 
 Do triângulo APB, temos 
𝑃𝐵
𝑠𝑒𝑛 (𝛼+𝛽)
=
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛𝜃
 , onde 𝜃=180°- 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 . Daí, 
𝑃𝐵 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛𝜃
= 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽+𝛾 
 , onde na última igualdade 
usamos a fórmula do seno da diferença. 
 Do triângulo ABQ, temos 
𝐵𝑄
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛𝜑
 , onde 𝜑=180°- 𝛾 + 𝛿 + 𝛽 . Daí, 
𝐵𝑄 = 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛𝜑
= 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝛾+𝛿+𝛽 
 , onde na última igualdade usamos a 
fórmula do seno da diferença. 
 
Queremos calcular 𝑃𝑄. Pela lei dos cossenos no triângulo BPQ, temos: 
𝑃𝑄2 = 𝑃𝐵2 + 𝐵𝑄2 − 2𝑃𝐵. 𝐵𝑄. 𝑐𝑜𝑠𝛿 , donde 
 
PQ=𝐴𝐵. 
𝑠𝑒𝑛 2 𝛼+𝛽 
𝑠𝑒𝑛 2 𝛼+𝛽+𝛾 
+
𝑠𝑒𝑛 2𝛽
𝑠𝑒𝑛 2 𝛾+𝛿+𝛽 
− 2
𝑐𝑜𝑠𝛿 .𝑠𝑒𝑛𝛽 .𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 
𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽+𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛾+𝛿+𝛽 
 . 
 
Atividade 10 
1) Num triângulo ABC, temos AC=8 cm, BC=6 cm, 𝛼 = 𝐵𝐴 𝐶 e 𝛽 = 𝐴𝐵 𝐶. Se 
𝛽 = 60°, calcule 𝑠𝑒𝑛𝛼. 
 
2) Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 9 cm e formam um ângulo de 60°. 
Calcular o outro lado. 
 
3) Determine os ângulos do triângulo cujos lados medem 3 , 3 𝑒 2 3. 
 
4) Prove que , 
a) se 𝑎 é o maior lado do triângulo ABC e 𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2, então o triângulo 
é acutângulo; 
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32 
 
b) se 𝑎 é o maior lado do triângulo ABC e 𝑎2 > 𝑏2 + 𝑐2, então o triângulo 
é obtusângulo; 
De a) e b), segue que se 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, então o triângulo é ___________________. 
(Recíproca do teorema de Pitágoras.) 
 
5) Dados os lados dos triângulos, usando o exercício 4), verifique se o triângulo é 
acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 
a) 10,24,26 
b) 10,15,20 
c) 9,40,41 
d) 16,33,30 
 
 
 
 
 * Teodolito 
 
 
 
______________________________________________________________________ 
 
Há muitas variedades de teodolitos, alguns para 
fins de Topografia e outros, com maior precisão, 
de uso em Astronomia. 
Veja http://pt.wikipedia.org/wiki/Teodolito