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LISTA DE EXERCÍCIOS – ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 1 – Ache o conjunto solução de: a) 376 yx c) 58743 wzyx b) 8742 zyx d) 0432 zyxwv 2 – Achar a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares: a) 32 143 02 yx yx yx c) 32 22 1 wz tzy zx b) 32 1 zyx zx d) 2 1 y x 3 – Ache um sistema de equações lineares correspondente a cada uma das seguintes matrizes aumentadas: a) 4210 3112 2101 c) 12345 54321 b) 111 010 001 d) 41000 30100 20010 10001 4 – Para que valores da constante K o sistema de equações lineares abaixo não admite solução? Kyx yx 22 3 5 – Resolva os sistemas lineares dados abaixo utilizando o método de eliminação de Gauss- Jordan. (Escalonamento de Matrizes) a) 443 82 yx yx f) 2432 52 zyz zyx k) 2725 32 1332 yx yx yx b) 123 52 12432 zyx zyx zyx g) 4283 124 zyx zyx l) 125 123 65 yx yx yx c) 4 8224 223 zyx zyx zyx h) 3286 843 zyx zyx m) 53 852 43 yx yx yx d) 8543 15432 12642 zyx zyx zyx i) 6622 123 zyx zyx n) 73 822 632 zyx zyx zyx e) 1033 5 yx yx j) 243 52 1 yx yx yx 6 – Dado o sistema linear tyx yx 24 52 Determine t para que: a) o sistema tenha uma solução b) o sistema não tem solução alguma c) o sistema tenha infinitas soluções 7 - Uma indústria química produz três tipos diferentes de produtos: A, B e C. Cada um deles é processado em duas máquinas, X e Y. Neste processo, cada uma das máquinas é utilizada durante os seguintes períodos de tempo: 1. Uma tonelada de A requer 2 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y. 2. Uma tonelada de B requer 3 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y. 3. Uma tonelada de C requer 4 horas da máquina X e 3 horas da máquina Y. A máquina X está disponível 80 horas por semana, enquanto a máquina Y está disponível 60 horas por semana. Como a administração da fábrica não quer manter as dispendiosas máquinas X e Y paradas, quantas toneladas de cada produto devem ser manufaturadas para que as máquinas sejam utilizadas de maneira ótima? 8 - Uma refinaria produz combustível com baixo e com alto teor de enxofre. Cada tonelada de combustível com baixo teor de enxofre necessita de 5 minutos no setor de mistura e de 4 minutos no setor de refinaria; cada tonelada de combustível com alto teor de enxofre necessita de 4 minutos no setor de mistura e de 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura fica disponível por 3 horas e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser produzidas de modo que esses dois setores não fiquem ociosos? 9 – Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida por linhas? a) 100 000 001 d) 2310 5501 g) 300 210 402 b) 000 001 010 e) 000 010 001 h) 00000 10000 02201 02031 c) 100 000 321 f) 4010 3100 5001 i) 00000 10000 01100 03021 10 – Supondo que cada uma das matrizes do exercício anterior é a matriz ampliada de um sistema de equações lineares, classifique estes sistemas considerando o posto das suas matrizes. 11 – Em cada item, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares tenha sido reduzida por operações sobre linhas às seguintes formas escalonadas reduzida por linhas. Resolva o sistema. a) 2000 3110 4001 c) 000000 241000 130100 150051 b) 21100 41010 23001 d) 1000 0100 0021 12 – Resolva cada um dos seguintes sistemas escalonando suas matrizes aumentadas: a) 10473 132 82 zyx zyx zyx d) 123 12 232 yx yx yx g) 032 0625 zyx zyx b) 077 0252 0222 zyx zyx zyx e) 30711 1133 0235 1523 yx zyx zyx zyx h) 5161112 2273 142 tzyx tzyx tzyx c) 333 142 2222 12 wx wzyx wzyx wzyx f) 642 963 1284 yx yx yx 13 – Para que valores de a o sistema abaixo não admite solução? Admite exatamente uma solução? Admite infinitas soluções? 2144 253 432 2 azayx zyx zyx 14 – Sem usar lápis e papel, determinar quais dos seguintes sistemas homogêneos admitem soluções não-triviais: a) 08723 0374 053 wzyx wzyx wzyx c) 0 0 232221 131211 zayaxa zayaxa b) 05 04 032 z zy zyx d) 022 0 yx yx 15 – Resolva os seguintes sistemas de equações lineares: a) 0 02 032 zy yx zyx c) 02 03 022 025 042 wzyx zyx wzy zyx wzyx b) 05 03 wzyx wzyx d) 042 026 zyx zyx 16 – Para que valores de o seguinte sistema de equações admite soluções não-triviais? 03 03 yx yx 17 - Uma loja vende certo componente eletrônico, que é fabricado por três marcas diferentes: A, B, e C. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durante três dias consecutivos, revelou que: No 17º dia, foram vendidos 2 componentes da marca A, um da marca B e um da marca C, resultando um total de vendas igual a R$ 150,00. No 2º dia, foram vendidos 4 componentes da marcaA, 3 da marca B e nenhum da marca C, num total de R$ 240,00. No 3º dia, não houve vendas da marca A, mas foram vendidos 5 da marca B e 3 da marca C, totalizando R$ 350,00. Qual é o preço do componente fabricado por A? E por B? E por C? 18 - Em três tipos de alimentos, verificou-se que, para cada grama dos alimentos I, II e III, temos a quantidade de vitaminas segundo a tabela abaixo: Alimento I II III Vitamina A 2 unidades 2 unidades 5 unidades Vitamina B 2 unidades 1 unidades 5 unidades Vitamina C 3 unidades Não contém 3 unidades Ache todas as quantidades possíveis dos alimentos I, II e III que forneça, simultaneamente, 11 unidades de vitamina A, 3 de vitamina B e 20 de vitamina C. 19 – Determine os valores de a e b para que o sistema abaixo seja impossível? bazyx zyx zyx 2 232 1 20 – Se 2,1 é a única solução do sistema 3 11 aybx byax , encontre os valores de a e b.
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