álgebra moderna

Prévia do material em texto

UnisulVirtual
Palhoça, 2016
Álgebra Moderna
Universidade Sul de Santa Catarina
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina – Unisul
Reitor
Sebastião Salésio Herdt
Vice-Reitor
Mauri Luiz Heerdt
Pró-Reitor de Ensino, de Pesquisa e de Extensão
Mauri Luiz Heerdt
Pró-Reitor de Desenvolvimento Institucional
Luciano Rodrigues Marcelino
Pró-Reitor de Operações e Serviços Acadêmicos
Valter Alves Schmitz Neto
Diretor do Campus Universitário de Tubarão
Heitor Wensing Júnior
Diretor do Campus Universitário da Grande Florianópolis
Hércules Nunes de Araújo
Diretor do Campus Universitário UnisulVirtual
Fabiano Ceretta
Campus Universitário UnisulVirtual
Diretor
Fabiano Ceretta
Unidade de Articulação Acadêmica (UnA) – Ciências Sociais, Direito, Negócios e Serviços
Amanda Pizzolo (coordenadora)
Unidade de Articulação Acadêmica (UnA) – Educação, Humanidades e Artes
Felipe Felisbino (coordenador)
Unidade de Articulação Acadêmica (UnA) – Produção, Construção e Agroindústria
Anelise Leal Vieira Cubas (coordenadora)
Unidade de Articulação Acadêmica (UnA) – Saúde e Bem-estar Social
Aureo dos Santos (coordenador)
Gerente de Operações e Serviços Acadêmicos 
Moacir Heerdt
Gerente de Ensino, Pesquisa e Extensão
Roberto Iunskovski
Gerente de Desenho, Desenvolvimento e Produção de Recursos Didáticos 
Márcia Loch
Gerente de Prospecção Mercadológica 
Eliza Bianchini Dallanhol
Livro didático
UnisulVirtual
Palhoça, 2016
Designer instrucional
Rafael da Cunha Lara
Álgebra Moderna
Kelen Regina Salles Silva
Jane de Oliveira Crippa
Livro Didático
Copyright © 
UnisulVirtual 2016
Professores conteudistas
Kelen Regina Salles Silva
Jane de Oliveira Crippa
Designer instrucional
Rafael da Cunha Lara
Projeto gráfico e capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramador(a)
Fernanda Fernandes
Revisor
Contextuar
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por 
qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
C94
Silva, Kelen Regina Salles, 
Álgebra moderna : livro didático / Kelen Regina Salles Silva, Jane de Oliveira 
Crippa ; design instrucional Rafael da Cunha Lara. – Palhoça : UnisulVirtual, 2016.
172 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-506-0007-9
e-ISBN 978-85-506-0008-6
1. Álgebra. I. Silva, Kelen Regina Salles. II. Lara, Rafael da Cunha. III. Título.
CDD (21. ed.) 512
ISBN
978-85-506-0007-9
e-ISBN
978-85-506-0008-6
Sumário
Introdução | 7
Capítulo 1
O conjunto dos números inteiros | 9
Capítulo 2
O conjunto dos números racionais | 45
Capítulo 3
Congruência | 61
Capítulo 4
Aplicações | 95
Capítulo 5
Operações | 119
Considerações Finais | 167
Referências | 169
Sobre as Professoras Conteudistas | 171
Introdução 
Este livro didático corresponde à unidade de aprendizagem Álgebra Moderna e 
foi desenvolvido visando proporcionar ao aluno uma aprendizagem autônoma, 
contribuindo para o aprendizado à distância. Para isso, o livro apresenta 
uma linguagem didática, com muitos exemplos resolvidos e atividades de 
autoavaliação relacionadas ao conteúdo de cada capítulo. 
Sua estrutura é dividida em cinco capítulos que buscam contextualizar assuntos 
básicos para a melhor compreensão dos conceitos fundamentais da álgebra.
No primeiro capítulo são apresentadas algumas estruturas algébricas do conjunto 
dos números inteiros, além de operações básicas, proposições e propriedades 
associadas a essas operações. Também discute-se o algoritmo da divisão e 
contextualizar os métodos de determinação de MDC e MMC.
O segundo capítulo discute as estruturas algébricas no conjunto dos números 
racionais, operações e proposições.
Relações e congruência são os conceitos apresentados no terceiro capítulo, 
fundamentais para o estudo da álgebra. Por isso, o capítulo apresenta desde 
as noções intuitivas, até propriedades que, posteriormente, serão largamente 
analisadas nos demais capítulos.
O quarto capítulo mostra os conceitos de aplicação sob o enfoque de relação, 
apresentando interpretação gráfica e proposições associadas a operações entre 
aplicações. 
Finalmente, o quinto capítulo introduz os conceitos de grupo, anel e corpo, os 
quais compõem assuntos principais da álgebra abstrata. São apresentados 
exemplos clássicos e resolvidos e toda a base para que o assunto seja estudado 
profundamente, caso necessário.
É importante ainda que o aluno compreenda a necessidade de acompanhamento 
deste material ao longo do período da unidade de aprendizagem e busque 
constantemente o apoio do(a) professor(a) pelo Espaço Virtual de Aprendizagem. 
Bons estudos.
9
Capítulo 1
O conjunto dos números 
inteiros
1.1 Introdução
Os números fascinam o homem desde muito cedo. Foram utilizados intuitivamente 
para contagem e, a partir daí, de diversas formas no nosso dia a dia. Na 
matemática, foram classificados em conjuntos e largamente estudados ao longo 
de séculos. Na Álgebra, são objeto importante para o desenvolvimento de teorias 
e conclusões. Veremos que algumas dessas conclusões estão relacionadas a 
elementos de um conjunto e associadas a operações realizadas entre eles.
As teorias estudadas a seguir iniciam a partir dos números naturais N, 
considerados pelo matemático alemão Leopold Kronecker (1823–1891) como 
“[...] criados por Deus; o resto foi trabalho do homem”. Formalmente foram 
construídos juntamente com suas operações, pelo axioma de Peano. Vamos 
admitir o conjunto dos naturais como e as operações de adição e 
multiplicação usuais.
Os números negativos com regras aritméticas apareceram em uma obra de 
Brahmagupta em 628 d. C., no entanto, muitos séculos depois foi que Albert 
Girard (1590–1639) reconheceu a utilidade algébrica de admitir as raízes negativas 
como soluções de equações e, somente no século XIX, com Dedekind (1831–
1916), foi que se conseguiu formalizar o conjunto dos números inteiros. Quando 
falamos em “os números inteiros”, não estamos simplesmente nos referindo ao 
conjunto dos números inteiros, mas sim, em uma estrutura onde tem sentido todo 
um desenvolvimento matemático.
Pensando, portanto, no que é importante para o desenvolvimento de uma 
teoria, percebemos a necessidade de conhecer, além do conjunto com o qual 
trabalharemos, também as operações e regras já existentes e que facilitam e dão 
sustentabilidade à teoria desenvolvida neste contexto e, claro, que não destruam 
10
Capítulo 1 
o que já existe. Vamos indicar o conjunto dos números inteiros pelo símbolo Z, 
pois já é de nosso conhecimento que Z é um conjunto enumerável infinito. 
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
1.2 As operações em Z
1.2.1 Adição em Z 
A operação de adição em Z será apresentada de forma intuitiva e coerente com a 
utilidade mundana dos números inteiros. Lembre-se de como você adiciona números 
naturais (inteiros não negativos) e mantenha a mesma regra. Adotando essa regra, 
para os números negativos agiremos considerando-os como débitos; os números 
positivos como créditos e o 0 nem débito, nem crédito. Dessa forma, temos:
 • a adição de dois números negativos produzirá um número negativo 
(débito “mais” débito é um débito);
 • a adição de um número positivo com um número negativo, ou vice-
versa, produzirá um número positivo se o crédito for maior que o 
débito, ou número negativo se o débito for maior que o crédito;
 • a adição de um número negativo com zero, ou vice-versa, produzirá 
o mesmo número negativo (débito “mais” zero não altera o débito).
Exemplo 1.1: adição no conjunto dos inteiros: 
–3 + –5 = –8
–3 + 5 = 2
3 + –5 = –2.
Lembre-se de que o resultado da adição é chamado de soma e que os elementos 
da adição são chamados de parcelas. O resultado da adição de duas parcelas é 
chamado de soma.
Observaçãoimportante: a soma de dois números inteiros quaisquer é 
sempre um número inteiro.
11
Álgebra Moderna 
Propriedades da adição nos inteiros
Após a introdução da operação de adição, é preciso preocupar-se com as 
propriedades que esta operação possui no conjunto dos números inteiros. As 
propriedades clássicas que se deve verificar são as apresentadas a seguir.
Associativa: para quaisquer inteiros a, b e c, deve-se ter:
(a + b) + c = a + (b + c).
Comutativa: para quaisquer inteiros a e b, deve-se ter:
a + b = b + a.
Elemento neutro: deve existir um (único) inteiro e tal que para qualquer inteiro a: 
a + e = e + a = a.
Elemento oposto: para cada inteiro a deve existir um inteiro x tal que:
a + x = x + a = e.
A propriedade associativa é o que nos permite fazer a adição de mais de duas 
parcelas.
Exemplo 1.2: propriedade associativa aplicada a números inteiros:
4 + 6 + 8 + 3 + 4 + 10 = (4 + 6) + (8 + 3) + (4 + 10) = ...
Na adição de números naturais, já conhecemos o papel que o zero representa, 
ou seja, 0 + a = a +0 = a para qualquer número natural a, e pela interpretação que 
demos aos números negativos (débitos) está claro que o 0 é o elemento neutro da 
adição de números inteiros. 
Exemplo 1.3: o elemento neutro da adição de números inteiros:
4 + 0 = 4
0 + (–5) = –5.
Identificar o elemento neutro da adição de números inteiros nos permite 
reescrever a propriedade do elemento oposto: para cada inteiro a, deve existir um 
inteiro x tal que a + x = x + a = 0.
12
Capítulo 1 
Neste momento, você já terá uma boa justificativa para a propriedade comutativa, 
portanto, a igualdade a + x = x + a já pode ser aceita.
A propriedade comutativa nos permite fazer a adição de duas parcelas 
independentemente da ordem entre elas.
Exemplo 1.4: propriedade comutativa aplicada a números inteiros:
4 + 6 = 6 + 4
2 + (–5) = (–5) + 2. 
Seja a um inteiro positivo (crédito), se tivermos um crédito a e queremos obter 0 
(nem crédito, nem débito) o que faremos? 
Ora, fazendo um débito a e somando com o crédito a obteremos 0, ou seja, zero 
crédito e zero débito. Para a positivo, encontramos o inteiro x tal que a + x = 0, ou 
seja, x = –a (oposto de a).
Seja a um inteiro negativo (débito) ........... (complete o raciocínio para concluir que 
o oposto de a é –a ). 
A justificativa para perceber que o oposto do zero é o próprio zero vem de que 
0 + 0 = 0.
Exemplo 1.5: o elemento oposto de 1 é –1. Dizemos que –1 é o oposto de 1.
O elemento oposto de –7 é 7. Dizemos que 7 é o oposto de –7.
Observe que (–7) + 7 = 0
No apêndice deste livro, apresentaremos a construção dos números inteiros e, 
então, poderemos demonstrar essas propriedades com rigor.
No conjunto dos números inteiros Z, temos:
 • o zero _ 0 _ ; 
 • os números menores que zero, ou seja, os números negativos, que 
representam débitos; e
 • os números maiores que zero, ou seja, os números positivos, que 
representam créditos. 
13
Álgebra Moderna 
Pela definição que demos para a adição de números inteiros, concluímos que a 
soma de dois inteiros maiores que zero é um inteiro maior que zero e que a soma 
de dois inteiros menores que zero é um inteiro menor que zero.
1.2.2 Multiplicação em Z
Recordando a multiplicação de números naturais, exemplificamos:
4 . 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 0 . 7 = 0.
O ponto (.) indica a multiplicação.
Definição 1.1: sejam a e b números inteiros, chamamos de produto de a por b e 
denotamos por a . b:
a . b = para a > 0 
e
a . b = – (–a . b) para a < 0 
e
0 . b = 0.
Exemplo 1.6: multiplicação nos inteiros:
3 . (–7) = (–7) + (–7) + (–7) = –21.
(–3) . (–7) = – (3. (–7)) = – (–21) = 21 (Lembre-se de que 3 é o oposto de –3).
5 . 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
O resultado da multiplicação é chamado de produto. 
Os elementos da multiplicação são chamados de fatores. 
O produto de dois números inteiros quaisquer sempre é um número inteiro.
Quais propriedades a operação de multiplicação em Z admite?
Propriedades da multiplicação nos inteiros: 
Observe que os elementos são números inteiros, mas a operação é multiplicação. 
As propriedades a serem analisadas são: associativa, comutativa, elemento 
neutro e elemento inverso. Vejamos a seguir.
14
Capítulo 1 
(a) Associativa: para quaisquer inteiros a, b e c, deve-se ter:
(a . b) . c = a . (b . c).
Demonstração:
Pela definição que demos para a multiplicação, devemos separar a demonstração 
em três etapas:
1a etapa: a = 0 . (0 . b) . c = 0 . c = 0 (pela definição)
0 . (b . c) = 0 (pela definição).
Logo, (0 . b) . c = 0. (b . c).
2a etapa: a > 0 (a . b) . c = ( ).c = 
 = – (– (a . b)) . c = – ( ).
Se b < 0, temos a . b < 0 e, portanto, – (a . b) > 0. Se b > 0, temos a . b > 0. Justifique 
esta resposta, discutindo-a no Fórum.
Por outro lado:
a . (b . c) = a . ( ) = =
Para o caso de b > 0, veja que temos b parcelas iguais a c, a vezes.
= 
Pela propriedade associativa da adição.
15
Álgebra Moderna 
= a . (– (–b . c)) = a . (– ( )) = 
= = 
Pela propriedade associativa da adição.
3a etapa: a < 0 (a . b) . c = – (–a . b) . c = – (–a . (b . c)) = a . (b . c).
Pela 2a etapa. Observe que –a > 0.
Com isso, concluímos nossa demonstração. Analise bem a demonstração, confira 
todos os passos. Refaça se necessário. Apresente exemplos. Compare os 
exemplos com as três etapas da demonstração.
(b) Comutativa: para quaisquer inteiros a e b deve-se ter:
(a . b) = (b . a).
Demonstração:
Considerando a propriedade válida para todos os inteiros não negativos (conjunto 
dos números naturais), vamos mostrar que ela vale para os outros casos.
Observe que sempre devemos ter um ponto de partida, neste caso, o 
conhecimento anterior das propriedades dos números naturais.
1a etapa: a > 0 e b < 0
 
 (pois: –b > 0 e a > 0)
 (o oposto do produto)
 
 .
O oposto do oposto de um inteiro é 
o próprio inteiro.
16
Capítulo 1 
2a etapa: a < 0 e b = 0
 
 . 
3a etapa: a < 0 e b < 0
 
 . 
(c) Elemento neutro: deve existir um (único) inteiro e, tal que para qualquer inteiro a:
a . e = e . a = a.
Demonstração:
Pelo conhecimento adquirido com a multiplicação de números naturais, podemos 
verificar que se e = 1 a propriedade do elemento neutro da multiplicação em Z é 
válida, isto é:
(1 . a) = a (pela definição de multiplicação nos inteiros).
Como a multiplicação dos inteiros é comutativa, temos também que:
(a . 1) = a. 
Logo, 1 é o elemento neutro para a multiplicação de números inteiros.
Mais tarde, veremos de maneira geral que o elemento neutro, quando existe, é 
único.
(d) Elemento inverso: para cada inteiro a deve existir um inteiro x, tal que:
a . x = x . a = e.
Observação: como a operação é multiplicação, a última propriedade chama-se 
elemento inverso e não oposto. De maneira geral, esta propriedade pode ser 
chamada de “elemento simétrico”.
No caso e = 1 (neutro da multiplicação): observe que a propriedade do elemento 
inverso não é válida, porque para o inteiro 0 não encontramos nenhum inteiro b, 
tal que 0 . b = 1, já que 0 . b = 0 para qualquer inteiro b. Se não é válida para um 
número inteiro, não podemos dizer que é válida para todos os inteiros.
17
Álgebra Moderna 
A validade da propriedade “elemento simétrico” está diretamente associada 
à validade do elemento neutro, ou seja, se não existisse o elemento neutro 
não precisaríamos analisar a existência do simétrico.
Outras propriedades associadas à adição e multiplicação de inteiros
(a) Distributiva: para quaisquer inteiros a, b e c, vale a seguinte igualdade:
a . (b + c) = a . b + a . c.
Observamos que como a multiplicação de inteiros é comutativa, vale também que: 
(b + c) . a = b . a + c . a.
Novamente, vamosseparar a demonstração em 3 etapas:
1a etapa: a = 0.
0 . (b + c) = 0 (por definição) 0 . b + 0 . c = 0 + 0 = 0.
Portanto, 0 . (b + c) = 0 . b + 0 . c.
2a etapa: a > 0.
a . (b + c) = = b + (c + b) + (c + b) +...+ (c + b) + c = b + (b + c). 
Pela propriedade associativa da 
adição.
+ (b + c) + … + (b + c) + c = ….= + = a . b + a . c.
Utilize várias vezes as propriedades associativa e comutativa da adição.
Pela propriedade comutativa da 
adição.
18
Capítulo 1 
3a etapa: a < 0.
 
 (segunda etapa da propriedade distributiva)
 
 
 
 . 
(b) Anulamento dos fatores: sejam a, b inteiros:
a . b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0.
Se a = 0, temos por definição que 0 . b = 0.
Se b = 0, temos também por definição que: a > 0 a . 0 = = 0
a < 0 a . 0 = – (–a . 0) = – = –0 = 0.
Logo, se a = 0 ou b = 0 temos que a . b = 0.
Sejam agora a ≠ 0 e b ≠ 0 (negação da tese):
a ≠ 0 a > 0 ou a < 0.
Lembre-se de que este símbolo significa “se..., então...”.
a > 0 a . b = e, portanto, diferente de zero.
a < 0 a . b = – (–a . b) = – ( = e, portanto, diferente de zero.
Assim, se a ≠ 0 e b ≠ 0, então, a . b ≠ 0 (negação da tese, implicou na negação da 
hipótese).
Logo, se a . b = 0, então, a = 0 ou b = 0.
19
Álgebra Moderna 
(c) Oposto do produto: oposto do produto de dois inteiros a e b é igual ao 
produto do inteiro a pelo oposto do inteiro b, ou seja, – (a . b) = a . (–b).
Vejamos,
a . b + a . (–b) = a . (b + (–b)) = a . 0 = 0 – (a . b) = a . (–b).
Propriedade 
distributiva.
1.2.3 Subtração em Z
Definição 1.2: Sejam a e b números inteiros, chamamos de subtração de a por b e 
denotamos por a – b: 
a – b = a + (–b).
O resultado da subtração de dois números é chamado de diferença. 
a é chamado de subtraendo e b é chamado de minuendo. 
A diferença de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Quais propriedades esta operação admite?
(a) Ela é associativa?
Afirmamos que esta operação não é associativa.
Você saberia provar? Como isto poderia ser feito?
Lembre-se de que para provar que uma propriedade não é válida, podemos 
utilizar um contra-exemplo, pois se ela falha para um valor, ela não é válida para 
todos os valores.
Vamos exemplificar: (4 – 3) – 7 ≠ 4 – (3 – 7), pois
(4 – 3 ) – 7 = (4+ (–3)) – 7 = 1 – 7 = 1+ (–7) = –6
4 – (3 – 7 ) = 4 – ( 3 + (–7)) = 4 – (–4) = 4 + (– (–4)) = 4 + 4 = 8.
Como –6 ≠ 8, está comprovada a afirmação.
Propriedade do 
elemento oposto.
Definição.
20
Capítulo 1 
(b) Ela é comutativa?
Afirmamos que esta operação não é comutativa.
– Você concorda? 
– Exemplifique.
(c) Ela admite elemento neutro?
Para verificar, devemos pensar na seguinte pergunta:
Existe um elemento inteiro e tal que para qualquer inteiro a vale que a – e = e – a = a ?
Quem você indicaria como candidato a e ?
– Indicamos e = 0.
Vejamos, a – 0 = a + (–0) = a + 0 = a.
Até aqui tudo bem.
Mas, 0 – a = 0 + (–a) = –a, e basta pegar a = 1 para ver que 1 ≠ –1.
Portanto, quando consideramos e = 0 a igualdade não vale para todo inteiro a.
– Você tem outro candidato?
Podemos procurar o valor desconhecido e na equação a – e = a.
– Vejamos, a – e = a + (–e) = a a + (–e) = a –a + (a + (–e)) = –a + a (–a + a) + 
(–e) = 0 0 + (–e) = 0 –e = 0 – (–e) = –0 e = 0, mas já vimos que este valor 
não serve.
Logo, não existe elemento neutro para a operação de subtração em Z.
1
2 3
1 Associativa e elemento oposto da adição.
2 Elemento neutro da adição.
3 Oposto do oposto de um inteiro e oposto do zero.
21
Álgebra Moderna 
1.2.4 Divisão em Z
A ideia que temos de divisão de dois números, infelizmente, não pode ser 
estendida a todos os números inteiros. 
Enquanto podemos dizer que 4 dividido por 2 (4 2) é 2, não podemos encontrar 
um inteiro que represente 7 2.
Concluímos que a divisão não é uma operação em Z. 
1.3 Atividades de autoavaliação
1. Mostre que o oposto do oposto de um número inteiro é o próprio número 
inteiro.
2. Mostre que o oposto da soma de dois inteiros é a soma dos opostos destes 
inteiros.
3. Escreva as versões finais das propriedades comutativa e do elemento neutro 
da multiplicação de números inteiros, assim como as respectivas provas.
Sejam a, b e c inteiros, com a < 0.
4. Mostre que a . (b + c) = a . b + a . c.
5. Mostre a lei do cancelamento, ou seja, se a . b = a . c e a ≠ 0, então, b = c.
1.4 Algoritmo da divisão
Definição 1.3: para quaisquer inteiros a e b, com b ≠ 0, existem únicos inteiros q e 
r, tais que a = b . q + r, com 0 ≤ r < |b|.
O que significa “<”? Definimos que um inteiro a é menor que um inteiro b se e 
somente se existe um inteiro positivo x (x > 0) tal que b = a + x.
O que significa | r | ?
Nomeamos | r | de valor absoluto de r, e definimos: | r | = .
Não confundir com o 
algoritmo da divisão.
22
Capítulo 1 
Exemplo 1.7: valor absoluto
| 23 | = 23 | –23 | = – (–23) = 23
Que propriedade foi usada? Veja como ela é importante. Ela já apareceu outras vezes?
Exemplo 1.8: Vejamos dois exemplos antes de demonstrar o algoritmo da divisão.
Para a = 0 e b = 7, existem q = 0 e r = 0, tais que 0 = 7 . 0 + 0.
Para a = 9 e b = – 7, existem q = –1 e r = 2, tais que 9 = (–7) . (–1) + 2. 
Veja que r = 2 < |–7| = | b |.
Demonstração do algoritmo da divisão:
Nós vamos dividir a prova em várias etapas.
1ª etapa: sejam a e b inteiros com a b > 0.
Visualize a situação.
0 1 b tb a (t+1)b 
b > 0 b 1
É claro que existe um único t > 0, tal que (*) 
 . 
Queremos chegar o mais perto possível de a (não esqueça que a é inteiro).
a = 10 e b = 5.
t Tb (t + 1)b
0 0 5
1 5 10
2 10 = a 15 > a
23
Álgebra Moderna 
Portanto, o q procurado é 2 e r = 0. 
10 = 5 . 2 + 0.
a = 11 e b = 3.
t Tb (t + 1) b
0 0 3
1 3 6
2 6 9
3 9 ≤ a 12 > a
Portanto, o q procurado é 3 e r = 2. 
11 = 3 . 3 + 2.
Continuemos a demonstração. 
Ao calcularmos 0 . b, 1 . b, 2 . b , ......, t . b, ...., a . b, escolhemos q = t como em (*) 
e r = a – b . q.
Assim, a = b . q + r, com r = 0 (quando a = b . q) ou
r = a – b . q < (q + 1) . b – b . q = q . b + b – b . q = b = | b |.
2ª etapa: sejam a e b inteiros, com 0 ≤ a < b.
Visualize a situação:
 0 b a 
Vejamos um caso particular.
a = 2 e b = 7:
t Tb (t + 1) b
0 0 ≤ a 7 > a
1 7 14
24
Capítulo 1 
Portanto, o q procurado é 0 e r = 2 . 2 = 7 . 0 + 2.
Existem q = 0 e r = a tal que a = b . q + r, com 0 ≤ r = a < b = | b |.
3ª etapa: sejam a e b inteiros, com a < b < 0.
a < b < 0 –a > –b > 0 q , r Z, com 0 ≤ r < |–b| e –a = (–b) . q + r.
–a = (–b) . q + r a = b . q + (–r) = b . q + b+ (–r) – b = b(q + 1) + (– (r + b)).
Oposto de cada 
elemento.
Chamando Q = q + 1 e R = – (r + b), temos a = b . Q + R, com 
0 ≤ R = –r + (–b) = –r + | b | < | b |.
4ª etapa: sejam a e b inteiros, com a < 0 e b > 0.
a < 0 –a > 0.
–a > 0 e b > 0 q, r Z, com 0 ≤ r < | b | e –a = b . q + r.
–a = b . q + r a = b . (–q) + (–r) a = b . (–q) + (–b) + (–r) + b a = b . (–q –1) + b – r.
Chamando Q = –q – 1 e R = b – r, temos a = b . Q + R, com 0 ≤ R = b – r < b = |b|.
Vejamos agora que q e r são únicos.
Suponhamos que existam q1 , q2 , r1 , r2 inteiros tais que a = b . q1 + r1 = b . q2 + r2 
com .
Então, (b . q1 + r1) – (b . q2 + r2) = 0, ou seja, b . (q1 – q2) = r2 – r1, consequentemente 
|b||q1 – q2| = |r2 – r1| < |b|, mas |b||q1 – q2| < |b|, sendo |q1 – q2| 0, se e somente se 
|q1 – q2| = 0 e, portanto, também |r2 – r1| = 0. Logo, q1 = q2 e r1 = r2.
E, assim, concluímos a prova do algoritmo da divisão no conjunto dos números 
inteiros. 
Adição e subtração do 
mesmo elemento b.
Propriedade 
distributiva.
25
Álgebra Moderna 
1.5 Divisores e múltiplosDefinição 1.4: dizemos que o inteiro a é um divisor do inteiro b se existe um 
inteiro c, tal que b = a . c.
Também é correto dizer que “a divide b”. 
Também é correto dizer que “b é múltiplo de a”.
Exemplo 1.9: Divisores
(–11) é um divisor de 55, pois existe o inteiro (–5) tal que 55 = (–5) . (–11).
35 é múltiplo de 5, pois existe o inteiro 7 tal que 35 = 5 . 7.
 • Quais são os divisores de 36?
Os divisores de 36 são: –1, –2, –3, –4, –6, –9, –12, –18, –36, 1, 2, 3, 
4, 6, 9, 12, 18, 36. 
Você é capaz de achar todos os divisores de 324?
Agora, mãos à obra. 
 • Quais são os divisores de 7? 
Os divisores de 7 são: –1, –7, 1, e 7.
 • Quais são os divisores de 11?
Os divisores de 11 são: –1, –11, 1 e 11.
Este tipo de número inteiro tem uma característica especial.
Você percebe?
O 7 e o 11 são chamados de números primos.
Os números 1 e –1 não são números primos.
Definição 1.5: um número inteiro p ≠ –1, 1 é chamado de número primo se os 
únicos divisores de p são –1, 1, –p e p.
26
Capítulo 1 
Propriedades:
1. Qualquer inteiro é divisor de si mesmo (qualquer inteiro é múltiplo de si mesmo).
2. Se o inteiro a é divisor dos inteiros b e c, então, a é divisor do inteiro b + c, assim 
como do inteiro b – c.
3. Se o inteiro a é divisor do inteiro b, então, a é divisor de qualquer múltiplo de b.
4. Os inteiros –1 e 1 são divisores de qualquer outro inteiro.
5. Se o inteiro a é um divisor do inteiro b + c e também do inteiro b, então, a é um 
divisor do inteiro c.
6. Se o inteiro a é um divisor do inteiro b e b ≠ 0, então, |a| ≤ |b|.
7. 0 é múltiplo de qualquer inteiro.
Demonstrações:
Para exemplificar o tipo de demonstração utilizada nessas afirmações, 
demonstraremos as propriedades 3 e 6 anteriores.
Propriedade 3: sendo a divisor de b, existe um inteiro x, tal que b = a . x.
Seja m um múltiplo qualquer de b para algum inteiro y, teremos m = b . y.
Assim, m = b . y = (a . x) . y = a . (x . y).
Logo, a é um divisor de m.
Propriedade 6: sendo a um divisor de b, existe um inteiro x, tal que b = a . x.
Como b ≠ 0, temos que o inteiro x que existe também é diferente de zero.
Sendo x ≠ 0, temos que |x| ≥ 1 e, portanto, por definição, existe um inteiro y ≥ 0 tal 
que |x| = 1 + y.
Retornando à primeira frase e agora utilizando a simbologia matemática, 
podemos escrever.
b = a . x |b| = |a . x| = |a| . |x| = |a| . (1 + y) = |a| + |a| . y .
Como |a| . y ≥ 0 e |b| = |a| + |a| . y, concluímos que |a| ≤ |b|.
27
Álgebra Moderna 
1.6 Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
Vimos anteriorimente que a divisibilidade está diretamente ligada com a 
multiplicidade. Veremos a seguir as noções de como encontrar divisores comuns 
e múltiplos comuns, assim como as possibilidades de determinar um maior 
divisor comum e um menor múltiplo comum.
Podemos perceber que as ideias são simples e estão presentes em nosso dia a 
dia e, dessa forma, é importante sabermos expressá-las matematicamente.
Exemplo 1.10: Maria comprou duas peças de tecidos de cores diferentes, uma 
com 48 metros e outra com 30 metros. Ela necessita obter a mesma quantidade 
de pedaços de cada tecido. Quanto deve medir em metros cada pedaço?
Maria precisa dividir cada peça de tecido e de maneira correta para não perder os 
tecidos, seja por falta ou por sobra. Vejamos, portanto, os divisores positivos de 
48 e de 30.
Divisores positivos de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Divisores positivos de 30: 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30.
Maria deseja obter a mesma quantidade de pedaços de cada tecido, então, 
vejamos o que é comum em nossos cálculos.
Se considerarmos o divisor 1, Maria terá 1 pedaço de cada tecido, sendo um com 
48 metros e o outro com 30 metros, ou seja, ela estará com as peças que foram 
compradas e não fez nenhum corte.
Se considerarmos o divisor 2, Maria terá 2 pedaços de cada tecido.
Quanto medirá cada pedaço?
48 = 2 . 24 e 30 = 2 . 15
Teremos dois pedaços de 24 metros e dois pedaços de 15 metros.
Maria ainda pode obter 3 pedaços de cada tecido, ou 6 pedaços de cada tecido. 
Em cada caso teremos pedaços com medidas diferentes.
Maria poderia querer obter a maior quantidade possível de pedaços e, neste caso, a 
resposta seria 6 pedaços de cada tecido (6 medindo 8 metros e 6 medindo 5 metros).
Analisando os divisores de 48 e de 30, podemos facilmente perceber que 6 é o 
maior divisor comum entre os divisores positivos de 48 e de 30.
28
Capítulo 1 
Definição 1.6: um inteiro d > 0 é o máximo divisor comum de inteiros dados a e 
b não simultaneamente nulos se e somente se:
(i) d é um divisor de a e de b.
(ii) qualquer outro divisor inteiro de a e de b também é um 
divisor de d.
A simbologia utilizada é: MDC(a, b) = d.
Atenção: MDC (0, 0) = 0.
Definição 1.7: um inteiro m > 0 é mínimo múltiplo comum de inteiros a e b não 
nulos se e somente se:
(i) m é um múltiplo de a e de b;
(ii) qualquer outro múltiplo inteiro de a e de b também é um 
múltiplo de m.
A simbologia utilizada é: MMC (a, b) = m.
Atenção: MMC (0, a) = 0 para qualquer inteiro a.
Exemplos 1.11: a determinação do máximo divisor comum dos inteiros a = –45 e 
b = 36 é d = 9.
Vejamos:
 • 9 é um divisor de –45, pois –45 = 9 . (–5);
 • 9 é um divisor de 36, pois 36 = 9 . 4;
 • seja x um divisor qualquer de –45 e de 36.
Os divisores de –45 são: –1, –3, –5, –9, –15, –45, 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Os divisores de 36 são: –1, –2, –3, –4, –6, –9, –12, –18, –36, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Os divisores comuns entre –45 e 36 são: –1, –3, –9, 1, 3, 9.
Considerando x como –1, ou –3, ou –9, ou 1, ou 3 ou 9 temos que x é um divisor de 9.
Garante que d é o maior 
divisor entre a e b.
Garante que m é o 
menor múltiplo positivo 
entre a e b.
29
Álgebra Moderna 
Qual é o mínimo múltiplo comum dos inteiros a = 12 e b = –15?
 • múltiplos de 12 : 0, ±12,± 24, ±36, ±48, ±60, ±72, ±84, ...
 • múltiplos de –15: 0, ±15, ±30, ±45, ±60, ±75, ±90, ...
 • múltiplos positivos comuns de 12 e –15: 60, 120, 180, ...
 • o menor múltiplo positivo comum de 12 é –15 é 60.
Logo, MMC (12, –15) = 60.
Este método não é prático para a determinação do MDC. A seguir, 
veremos um método mais amigável, mas antes apresentaremos algumas 
propriedades.
Propriedades do MDC
1. Seja a um inteiro qualquer.
MDC(a, 0) = |a|.
Demonstração:
Se a = 0, temos por definição que MDC (0, 0) = 0 = |0|.
Seja a ≠ 0, temos:
 • |a| é um divisor de a, pois a = |a| . 1 para a > 0 e a = –|a| = (–1) . |a| 
para a < 0;
 • |a| é um divisor de 0, pois 0 = |a| . 0;
 • seja x um divisor qualquer de a e de 0.
Assim, existe um inteiro y tal que a = x . y.
Basta considerar x como divisor de a, pois qualquer inteiro é divisor de zero.
Na realidade, só nos 
interessa os múltiplos 
positivos, pois, por 
definição, o MMC é 
maior que zero.
30
Capítulo 1 
a = x . y |a| = |x . y| |a| = |x| . |y|.
Portanto, x é um divisor de |a|.
Perceba que x é um divisor de |x|.
2. Sejam a e b inteiros.
Se a é um divisor de b, então, MDC (a, b) = |a|.
Demonstração:
|a| é um divisor de a (já mostrado acima).
|a| é um divisor de b.
a é um divisor de b e, portanto, existe um inteiro x tal que b = a . x.
|a| é um divisor de a e, portanto, existe um inteiro y, tal que a = |a| . y,
assim, b = (|a| . y) . x = |a| . (y . x) e, consequentemente, |a| é um divisor de b
Seja z um divisor qualquer de a e b.
Já vimos acima que neste caso z é um divisor de |a|.
Logo, |a| é máximo divisor comum de a e b quando a é um divisor de b.
3. Sejam a e b inteiros, com b ≠ 0. 
Pelo algoritmo da divisão, existem únicos inteiros q e r tais que a = b . q + r com 
0 ≤ r < |b|.
Vale que MDC (a, b) = MDC (b, r).
31
Álgebra Moderna 
Demonstração:
Seja d = MDC (a, b). Mostremos que d = MDC (b, r).
d é um divisor de b e,portanto, é um divisor de b . q (reveja as propriedades de 
divisibilidade).
d é um divisor de a e de b . q e, portanto, é um divisor de a – b . q, ou seja, um 
divisor de r.
Seja x um divisor de b e r.
x é divisor de b e, portanto, é divisor de b . q, e como também é divisor de r será 
também divisor de a. (reveja as propriedades de divisibilidade).
Como d = MDC (a, b), concluímos que x é um divisor de d.
Logo, d = MDC (b, r).
De forma semelhante, mostra-se que d = MDC (b, r) implica em d = MDC (a, b).
Esta propriedade garante a validade do processo das divisões sucessivas para a 
obtenção do MDC. A condição 0 ≤ r < |b| estabelecida pelo algoritmo da divisão garante 
que o processo tem um fim. Este tipo de procedimento também é um algoritmo. 
Leia mais sobre algoritmos em Algoritmos Numéricos, de Bernardo G. 
Riso, Christiane M. Schweitzer e Gastón P. A. Heerdt. Florianópolis: Editora 
da UFSC, 1996. 
Exemplo 1.12: vejamos, novamente, o cálculo do máximo divisor comum de –45 e 36, 
apresentado de outra forma no Exemplo 1.10, só que agora com muito mais facilidade.
–45 = 36. (–2) + 27 e, portanto, MDC (–45, 36) = MDC (36, 27).
36 = 27.1 + 9 e, portanto, MDC (36, 27) = MDC (27, 9).
27 = 9.3 + 0 e, portanto, MDC (27, 9) = MDC (9, 0) = 9.
Logo, MDC (–45, 36) = 9.
A seguir, apresentamos o dispositivo prático para a obtenção do MDC que utiliza 
o método das divisões sucessivas e que já deve ser de seu conhecimento. O 
importante aqui é fazer a ligação entre o dispositivo prático e a propriedade 
3 demonstrada anteriormente.
32
Capítulo 1 
–2 1 3
–45 36 27 9
72 –27 –27
27 9 0
O resultado |a| . |b| = MDC (a, b) . MMC (a, b) para a e b inteiros não nulos permite 
calcular o mínimo múltiplo comum de a e b sem dificuldade.
Vejamos alguns resultados importantes apresentados como proposições:
Proposição 1.1: sejam a e b inteiros, existem inteiros x1 e y1, tais que d = MDC (a, b) 
sendo d = ax1 + by1.
Demonstração:
Suponha a > 0 e b > 0, e seja M = {ax + by, tal que x, y Z}. Neste caso, M possui 
elementos estritamente positivos, seja d o menor dentre todos os elementos de 
M, então d = ax1 + by1 para os elementos convenientemente escolhidos x1 e y1 de Z, 
assim d = MDC(a, b), pois: 
(i) d é um divisor de a e de b.
Como d > 0, pelo algoritmo da euclidiano a = dq + r (0 ≤ r < d), mas 
d = ax1 + by1 , então
 .
Portanto, r pertence a M, logo r não pode ser estritamente positivo, 
pois é menor que d (o mínimo de M). Assim, r = 0, e portanto a = dq, 
concluindo que d divide a.
(ii) qualquer outro divisor inteiro de a e de b também é um divisor de d.
Suponha d1 divisor de a e de b, então d1 é divisor de d, pois d = ax1 + by1.
33
Álgebra Moderna 
Definição 1.8: os inteiros a e b são ditos “primos entre si” se e somente se 
MDC (a, b) = 1.
Proposição 1.2: sejam a e b inteiros primos entre si.
Existem inteiros x e y,tal que 1 = a . x + b . y.
Demonstração:
Pelo algoritmo da divisão existem inteiros q e r, com 0 r < |b| , tais que a = b . q + r.
Se r = 0, temos que a = b . q e, portanto, MDC (a, b) = |b|.
Por hipótese a e b são primos entre si, ou seja, MDC (a, b) = 1 e, assim, 
concluímos que |b| = 1. Neste caso, b = 1 ou b = –1.
Portanto, existe x = 0 e y = 1 ou y = –1 (depende de b), tal que 1 = a . x + b . y e a 
prova está concluída.
Caso contrário, ou seja, 0 < r, podemos aplicar o algoritmo da divisão novamente 
para b e r.
Existem inteiros q1 e r1, com 0 r1 < r, tais que b = r . q1 + r1.
Pela propriedade 3 e hipótese temos que 1 = MDC (a, b) = MDC (b, r) .
Se r1 = 0, temos b = r . q1 e, portanto, MDC (b, r) = r, e pela frase acima concluímos 
que r = 1.
Por que não precisamos considerar |r| como no caso |b|?
Portanto, existem x1 = 0 e y1 = 1, tais que 1 = b . x1 + r . y1.
Assim, temos que r = a – b . q e 1 = b . 0 + r . 1, ou seja, 1 = (a – b . q) . 1 = a + b . (–q).
Portanto, existem x = 1 e y = –q, tais que 1 = a . x + b .y e a prova está concluída.
Caso contrário, ou seja, 0 < r1, podemos aplicar o algoritmo da divisão novamente 
para r e r1, e assim sucessivamente até encontrarmos um rn = 0, o que fatalmente 
acontecerá já que o algoritmo da divisão nos garante um resto que é sempre 
menor que o valor absoluto do divisor.
34
Capítulo 1 
Proposição 1.3: sejam a um inteiro e p um inteiro primo não divisor de a.
Então, a e p são primos entre si.
Demonstração:
Para provar que a e p são primos entre si, devemos mostrar que MDC (a, p) = 1.
É claro que 1 é divisor de a e de p.
Por outro lado, se x é outro divisor de p e de a, temos que x só pode ser –1, 1, –p 
ou p, pois p é primo, mas x não pode ser p nem –p, pois, por hipótese, p não é um 
divisor de a, portanto, x só pode ser 1 ou –1 que são divisores de 1.
Logo, por definição de máximo divisor comum, temos que MDC (a, p) = 1 e assim 
a e p são primos entre si.
Teorema 1.1 (fundamental da aritmética): seja a um inteiro diferente dos inteiros 
0, –1 e 1.
Existem primos p1, p2, ..., pn maiores que zero, tais que a = p1 . p2 . ... . pn . 
Esta decomposição é única para a ordem dos fatores. 
A decomposição do inteiro a em primos p1, p2, ..., pn 
é conhecida como decomposição em fatores primos. 
Essa decomposição possui grande utilidade em várias 
demonstrações e também no cálculo do máximo divisor 
comum e do mínimo múltiplo comum.
Juntando todos os primos iguais na decomposição de a, podemos escrever: 
a = p1k1 . p2k2 . ... .psks. 
Esta é a decomposição canônica de a.
Para a demonstração deste teorema e complementação da teoria, leia: 
Fundamentos de Aritmética, de Hygino H. Domingues. Editora Atual, 1991.
Caso a seja primo, 
escrevemos a = ± a. 
Consideramos um 
produto com somente 
um fator.
35
Álgebra Moderna 
Proposição 1.4: todo inteiro que diferente de 0, –1 e de 1 possui um divisor primo. 
Demonstração:
Seja a um inteiro diferente de 0, –1 e de 1.
Pelo teorema fundamental da álgebra, existem primos p1, p2, ..., pn maiores que 
zero, tais que a = p1 . p2 . ... . pn. É evidente pela definição de divisores que 
qualquer um dos pi, 1 i n é um divisor de a.
Proposição 1.5: existem infinitos números inteiros primos.
Demonstração:
Suponhamos que exista uma quantidade finita de números primos. Neste caso, 
podemos listá-los: p1, p2, ..., pn (basta listar os primos maiores que zero). 
Você sabe dizer por quê?
Consideremos agora o número inteiro a = p1 . p2 . ... .pn + 1.
É evidente que a é diferente de 0 e de 1 e que não é primo, portanto, pelo 
resultado 1 a possui um divisor primo pi, 1 i n. 
Como pi é também um divisor de p1 . p2 . ... . pn, concluímos que pi é um divisor de 
1, o que é um absurdo, pois pi sendo primo é diferente de 1.
Exemplo 1.13: utilizando a decomposição em fatores primos, calcule o máximo 
divisor comum de –45 e de 36.
–45 = – 32 . 5 
36 = 22. 32.
Relembrando o Ensino Médio: MDC (–45, 36) = 32 = 9 (na decomposição em 
fatores primos selecionamos os fatores comuns e de menor expoente).
36
Capítulo 1 
Exemplo 1.14: Utilizando a decomposição em fatores primos, calcular o mínimo 
múltiplo comum de 12 e –15.
12 = 22 . 3
–15 = – 3 . 5
Relembrando os conteúdos do Ensino Médio: MMC (12, –15) = 22 . 3 . 5 = 60 (na 
decomposição em fatores primos selecionamos todos os fatores que aparecem e, 
quando comuns, os de maiores expoentes).
Exemplo 1.15: seja a = ±p1k1 . p2k2 . ... . psks a decomposição canônica de um inteiro a.
O número de divisores de a, anotado por d(a), é o dobro do seguinte produto:
(k1 +1).(k2 + 1) . ... . (ks + 1). Aqui, vamos somente exemplificar este resultado, o que 
mostra mais um resultado interessante do teorema fundamental da aritmética.
Quantos divisores o inteiro 120 possui?
A decomposição canônica de 120 é:
120 = 23 . 3 . 5. 
Vejam que os primos dadecomposição são: 2, 3 e 5.
Os expoentes que aparecem na decomposição são: 3, 1, e 1 
d(120) = 2 . (3 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 32.
Agora, você pode citar todos. Não esqueça que 1 e –1 são divisores.
1.7 Atividades de autoavaliação
1. Mostre que qualquer inteiro a é divisor de si mesmo.
2. Sejam a, b e c inteiros, mostre que se a é um divisor de b e c, então a é um 
divisor de b + c.
3. Mostre que se o inteiro a é um divisor do inteiro b, então o oposto de a também 
é um divisor de b.
4. Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos e d = MDC (a, b), mostre que 
existem inteiros x e y, tais que d = a . x + b . y.
37
Álgebra Moderna 
5. Mostre que dois inteiros consecutivos são primos entre si (lembre-se de que se 
a é um inteiro, a + 1 é seu consecutivo).
6. Sejam a, b e c inteiros, mostre que se a é um divisor de b . c e sendo a e b 
primos entre si, então a é um divisor de c.
7. Sejam a, b e c inteiros, com b > 0. Mostre que se a < c, então, a . b < c . b.
1.8 Equações Diofantinas Lineares
As equações diofantinas recebem este nome em homenagem ao matemático grego 
Diofanto de Alexandria (século III d.C.), considerado por sua obra o pai da Álgebra.
São chamadas de equações diofantinas todas as equações polinomiais cujos 
coeficientes são números inteiros, independente do número de variáveis. Mas neste 
momento, veremos apenas as equações diofantinas lineares com duas variáveis. 
Definição 1.9: sejam x e y variáveis, a e b números inteiros não nulos e c um 
inteiro qualquer, chama-se equação diofantina linear a equação:
ax + by = c.
Chama-se solução da equação ao par ordenado de números inteiros (x1, y1), tal 
que: a . x1 + b . y1 = c.
Mas será que sempre uma equação diofantina linear tem solução?
Quem responde esta pergunta é a seguinte proposição:
Proposição 1.6: uma equação diofantina linear ax + by = c admite solução se, e 
somete se, d = MDC (a, b) é um divisor de c.
38
Capítulo 1 
Demonstração:
Suponha (x1, y1) uma solução da equação, ou seja, vale a igualdade: ax1 + by1 = c.
Se d = MDC (a, b), então d|a e d|b, ou seja:
se d | a então existe um q1 tal que a = dq1 (*);
se d | b então existe um q2 tal que b = dq2 (**).
Multiplicando (*) por x1 e (**) por y1 temos:
a . x1 = d . x1 . q1 
b . y1= d . y1 . q2 . 
Somando as duas equações:
a . x1 + b . y1 = d . x1 . q1 + d . y1 . q2 
a . x1 + b . y1 = d . (x1 . q1 + y1 . q2). 
Logo, d | (ax1 + by1) ou ainda d|c.
Por outro lado, supondo que d = MDC (a, b) e d | c, pela Proposição 1.1, é possível 
determinar inteiros x1 e y1 tal que c = a . x1 + b . y1. 
Mas por hipótese d|c, assim c = dq para algum inteiro q, logo, 
c = dq = (a . x1 + b . y1) q = a (x1 . q) + b(y1 . q), concluindo assim que (a . x1, b . y1) é 
solução da equação dada.
Apesar de termos considerado (x1, y1) solução de ax + by = c com a, b > 0, 
observamos que (–x1, y1), (x1,–y1), (–x1,– y1) são soluções de (–a)x + by = c, 
ax + (–b)y = c, (–a)x + (–b)y = c, respectivamente. 
Exemplo 1.16: determine uma solução da equação diofantina 72x + 45y = 18.
Vamos inicialmente determinar MDC(72, 45), que é 9. Como 9 divide 18, então a 
equação acima admite solução.
Aplicando o dispositivo prático:
1 1 1 2
72 45 27 18 9
27 18 9 0
39
Álgebra Moderna 
Veja:
72 = 45 . 1 + 27
45 = 27 . 1 + 18
27 = 18 . 1 + 9
18 = 9 . 2 + 0
9 = 9 . 1.
Logo:
9= 27 – 18 . 1 = 27– (45 – 27 . 1) . 1 = (72 – 45) – (45 – (72 – 45) .1) . 1 = 72 . 2 – 45 . 3
 = (2) . 72 + (–3) . 45, o que nos leva a solução (2, –3) da equação 72x + 45y = 9:
Portanto, uma solução da equação 72x + 45y = 18 é (4, –6).
Proposição 1.7: se (x1, y1) é solução da equação diofantina linear ax + by = c, então 
ela admite infinitas soluções descritas por:
 sendo d = MDC (a, b).
Demonstração:
Da equação ax + by = c temos que é solução, pois 
por hipótese. 
Agora, como chegar a esta solução?
Suponha (x2, y2) uma solução genérica da equação dada, ou seja:
ax2 + by2 = c = ax1 + by1
a . (x2 – x1) = b . (y1 – y2). 
40
Capítulo 1 
Admitindo d como divisor de a e de b, então existem q1 e q2 primos entre si, tais que:
a = d . q1 e b = d . q2
d . q1 . (x2 – x1) = d . q2 (y1 – y2) 
q1 . (x2 – x1) = q2. (y1 – y2). 
O que nos mostra que q1 divide q2.(y1 – y2), mas como q1 e q2 são primos entre si, 
então q1 divide (y1 – y2), logo existe um inteiro k tal que y1 – y2 = k . q1.
Como a = d . q1 e b = d . q2
 
temos:
 .
Consequentemente:
q1 . (x2 – x1) = q2(y1 – y2) 
q1 . (x2 – x1) = q2 . k . q1
(x2 – x1) = q2 . k
x2 = x1 + q2 . k
 .
Acabamos de mostrar que quando uma equação diofantina linear 
admite uma solução, ela admite infinitas soluções e se pensarmos 
geometricamente, serão os pontos (de coordenadas inteiras) de uma reta 
dada pela equação ax + by = c.
Exemplo 1.17: determine todas as soluções da equação diofantina linear 
24x + 69y = 9.
Vamos inicialmente determinar MDC (24, 69).
41
Álgebra Moderna 
Aplicando o dispositivo prático 
2 1 7
69 24 21 3
21 3 0
Veja:
69 = 24 . 2 + 21
24 = 21 . 1 +3
21 = 3 . 7 + 0
3 = 3 . 1, logo é MDC(24, 69) = 3.
Assim:
3 = 24 – 21 . 1
3 = 24 – (69 – 24 . 2) . 1 = 24 – 69 + 24 . 2 = (3) . 24 + (–1) . 69, o que nos leva à 
solução (3, –1) da equação 24x + 69y = 3.
Portanto, uma solução da equação 24x + 69y = 9 é (9, –3) e a solução geral é:
 com .
1.9 Aplicações
(1) Carla perguntou a Marcos qual sua data de nascimento, e este respondeu que 
se multiplicasse o dia de seu aniversário por 15 e o mês do aniversário por 52, e 
somasse os resultados, obteria 507. Qual é a data de nascimento de Marcos? 
Solução: para resolver este problema, Carla iniciou denominando duas variáveis:
x: o número que representa o dia do aniversário de Marcos.
y: o número que representa o mês do aniversário de Marcos. 
Obtendo então, a seguinte equação: 
15 . x + 52 . y = 507
Como é uma equação diofantina linear, Carla passou a resolvê-la:
42
Capítulo 1 
Primeiramente é necessário determinar o MDC (15, 52) pelo algoritmo de Euclides: 
3 2 7
52 15 7 1
7 1 0
Veja:
52 = 15 . 3 + 7
15 = 7 . 2 +1
7 = 1 . 7 + 0
1 = 1 . 1, logo é MDC (15, 52) = 1.
Como 1 divide 507, a equação admite solução.
Escrevendo 1 em função de 15 e 52, temos:
1 = 15 – 7 . 2 = 15 – (52 – 15 . 3) . 2 = 15 . 7 + (–2) . 52.
Multiplicando a equação por 507, temos:
15 . 3549 + 52 . (–1014) = 507.
Obtendo a seguinte solução particular: x1 = 3549 e y1= –1014.
Pela proposição 1.7, vimos que a solução geral pode ser obtida de:
com k Z.
Precisamos lembrar que x representa o dia e y o mês de aniversário de Marcos, 
então temos limitações para essas variáveis:
 .
 .
43
Álgebra Moderna 
Ou ainda, fazendo algumas aproximações, observamos que k = –68 e com isso:
 
 .
Portanto Marcos faz aniversário no dia 13 de junho.
(2) Um clube deseja promover um campeonato com as atividades de vôlei e 
handebol que atenda 104 estudantes, simultaneamente. Sabendo que todos os 
estudantes têm interesse em participar das duas atividades, o clube precisa saber 
quantas quadras são necessárias para cada modalidade. 
Solução: iniciamos definindo duas variáveis:
x: o número de quadras para vôlei; 
y: o número de quadras para handebol.
Sabendo que um time de vôlei é composto por 6 jogadores e um time de 
handebol de 7 jogadores e que são precisos dois times para cada partida, o 
problema pode ser descrito utilizando a seguinte equação diofantina linear:
12 . x + 14 . y = 104
MDC (12, 14) pelo algoritmo de Euclides: 
1 2 7
14 12 2 1
2 1 0
Veja:
14 = 12 . 1 + 2
12 = 2 . 6 + 0 
2 = 1 . 2 logo é MDC(12, 14) = 2.
Como 2 divide 104, a equação admite solução.
Escrevendo 2 em função de 12 e 14, temos:
2 = 14 – 12 .1 = 14 + (–1) . 12.
44
Capítulo 1 
Multiplicando a equação por 52 (resultado da divisão de 104 por 2), temos:
12 . (–52) + 14 . 52 = 104.
Obtendo a seguinte solução particular: x1 = –52 e y1 = 52.
Pela proposição 1.7, vimos que a solução geral pode ser obtida de:
 com k Z.
No caso, o número de quadras é positivo, então a condição a ser imposta às 
variáveis x e y são: .
 .
Como k é um número inteiro positivo, o único valor que satisfaz as duas 
condições é k = 8. Assim, para atender à situação a escola deve disponibilizar:
x = –52 + 7 . 8 = 4 quadras para vôlei.
y = 52 – 6 . 8 = 4 quadras para handebol.
1.10 Atividades de autoavaliação
1. Estude e se possível resolva as seguintes equações diofantinas lineares 
a) 52x + 38y = 5
b) 52x – 38y = –4.
2. Utilize equações diofantinas lineares para determinar todos os números 
naturais z menores que 1000, tais que: o resto da divisão de z por 5 é 3 e o reto 
da divisão de z por 2 é 5.
3. Um quiosque vende dois tipos de suco: com uma fruta ou com duas frutas. 
Sabendo que o preço do suco com uma fruta é R$ 7,00 e o preço do suco com 
duas frutas é de R$ 11,00 e que ontem a receita foi de R$ 657,00, responda: Qual 
é o menor número possível de sucos vendidos? E qual o maior?
45
Capítulo 2
O conjunto dos números 
racionais
2.1 Introdução
No conjunto dos números inteiros, definimos duas operações importantes: a 
adição e a multiplicação. E, por meio delas e de suas propriedades, podemos 
resolver vários problemas envolvendo números inteiros; mas não todos os 
problemas. Vejamos através dos problemas 1 e 2 descritos a seguir. 
Problema 1: a soma das idades de dois irmãos é 30 e o mais velho tem o dobro 
da idade do mais jovem. Quais as idades dos irmãos?
Os dados que envolvem este problema são números inteiros e podemos equacioná-
lo. Representando as idades por x e y (idade do mais velho), podemos escrever:
x + y = 30
y = 2 . x.
Assim, x + 2 . x = 30, ou seja, 3 . x = 30.
3 . x = 30 3 . x = 3 . 10 x = 10.
Lei do cancelamento.
As idades são 10 e 20 anos.
46
Capítulo 2 
Problema 2: meu amigo, que adora brincar com números, pediu-me para 
comprar uma determinada quantidade de fita, dando-me as seguintes 
informações: “quero uma quantidade tal (em metros) que o dobro dela mais 3 
metros seja igual a 4 metros”.
Novamente, os dados que envolvem o problema são números inteiros e podemos 
equacioná-lo. Representando por x a quantidade de fita que devo comprar 
escrevemos:
2 . x + 3 = 4.
Podemos somar em ambos os lados da igualdade o oposto do inteiro 3, ou seja, –3.
(2 . x + 3) + (–3) = 4 + (–3).
Usamos a propriedade associativa e obtemos 2 . x + (3 + (–3)) = 1.
Pela propriedade do elemento oposto, podemos escrever 2 . x + 0 = 1.
Pela propriedade do elemento neutro obtemos 2 . x = 1.
Não conseguimos nenhum número inteiro que multiplicado por 2 seja igual a 1.
O problema não tem solução? 
Não conseguirei comprar a fita que meu amigo pediu?
Ora, devo comprar uma quantidade de fita cujo dobro seja igual a 1 metro de fita 
e isto é fácil, basta solicitar ao vendedor meio metro de fita. 
E, então, como fica o problema? 
Como devo apresentar a solução?
Devo concordar que este problema não tem solução no conjunto dos números 
inteiros, mas como encontramos uma solução, deve existir outro universo onde a 
solução habita.
Este universo é o conjunto dos números racionais, cujos elementos 
representamos por frações. 
Estamos interessados em encontrar um universo onde as equações da forma 
b . x = a, com a e b inteiros e b 0 tenham sempre soluções. 
47
Álgebra Moderna 
2.2 As frações
A ideia mais usual de fração é a de parte de um todo. O todo representa a 
unidade. Esta unidade é dividida em partes iguais e destas partes iguais 
consideramos algumas.
Exemplo 2.1: a unidade considerada (o todo) é uma barra de chocolate dividida 
em 5 partes.
 
Se considerarmos 2 destas partes, estaremos com a fração da barra.
No entanto, temos outras ideias relacionadas com fração, por exemplo, quando 
tratamos com grandezas discretas, ou quando queremos dividir dois inteiros.
Exemplo 2.2: a unidade considerada (o todo) é o conjunto formado por 5 barras 
de chocolate.
A fração deste conjunto representa duas barras de chocolate.
Algebricamente, percebemos que a fração aqui é um subconjunto do conjunto dado. 
A unidade considerada é a barra de chocolate, mas agora queremos dividir 2 
barras para cinco pessoas. 
O que representa ? 
A divisão de duas barras para cinco pessoas.
Quanto de chocolate cada pessoa receberá? 
 de chocolate. Mas quanto isto representa?
Dividindo cada barra em 5 pedaços iguais, consideramos 2 pedaços da barra 
(não esqueça que a unidade é a barra) e continuamos com a mesma ideia 
primeiramente apresentada. 
Cada pessoa receberá da barra de chocolate.
48
Capítulo 2 
Algebricamente, temos a seguinte representação: 
2 5 = e, claro, isto não podemos fazer no conjunto dos inteiros.
As frações são representadas na forma sendo a e b inteiros, 
a ≥ 0 e b > 0. 
b representa o número de partes em que o todo é dividido e chama-se 
denominador.
2.2.1 Denominações das frações
 • Fração própria: quando a < b.
 • Fração imprópria: quando a b.
 • Fração decimal: quando b é uma potência de 10, por exemplo: 10, 
100, 1000, 104, 105, ....
 • Fração aparente: quando a é um múltiplo de b. 
 • Fração unitária: quando a = 1.
2.2.2 Nomenclatura
 (um terço).
 (dois quartos).
 (oito nonos).
 (sete onze avos).
 (oito).
49
Álgebra Moderna 
2.2.3 Frações equivalentes
As frações representam números e estamos encaminhando o estudo para 
descrever de que forma isto acontece e como tratamos esta representação.
As frações representam o mesmo número.
Analise as situações a seguir:
A porção considerada da barra é sempre a mesma, seja dividindo a barra em 2, 4, 
6 ou 8 pedaços e selecionando 1, 2, 3 ou 4 pedaços respectivamente.
Também podemos perceber que estas frações representam soluções de 
equações que são equivalentes, ou seja, é solução da equação 2 . x = 1, e esta 
equação por sua vez é equivalente à equação 4 . x = 2 (multiplicamos ambos os 
membros da equação por 2), cuja solução é a fração e assim sucessivamente. 
Como b . x = a, com b 0, é uma equação de primeiro grau e, portanto, possui 
no máximo uma solução, podemos afirmar que as frações apresentadas 
representam o mesmo número.
Estas frações, a exemplo das equações, são chamadas de “frações equivalentes”.
Elas possuem uma característica comum: comparando , vemos que 
1 . 4 = 2 . 2; comparando , vemos que 2 . 6 = 4 . 3, e o mesmo se 
compararmos outras duas equivalentes.
50
Capítulo 2 
Definição 2.1: duas frações são equivalentes se e somente se a . d = b . c.
Como representam o mesmo número, escrevemos .
Exemplo 2.3: (oito meios) é equivalente a (quatro) que podemos 
simplesmente escrever 4.
Definição 2.2: uma fração é dita irredutível se e somente se MDC (a, b) = 1 
(lembre-se que neste caso, a e b são primos entre si).
Exemplo 2.4: a fração (quatro quinze avos) é irredutível, pois MDC (4, 15) = 1.
A fração (doze vinte e um avos) não é irredutível, pois MDC (12, 21) = 3.
Podemos encontrar uma fração equivalente a e que seja irredutível? 
Sim, basta dividirmos o numerador e o denominador da fração dada por 3 e 
teremos uma fração equivalente à fração em questão. é equivalente a e 
irredutível.
Proposição 2.1: para qualquer fração , existe uma fração irredutível 
equivalente a .
Demonstração:
Seja com MDC (a, b) = d.
d = MDC (a, b) x, y Z tal que d = a . x + b . y (*) 
(veja Capítulo 1, item 1.4 – Divisores e Múltiplos)
51
Álgebra Moderna 
d = MDC (a, b) d | a e d | b 
d |a n Z tal que a = d . n
d | b m Z tal que b = d . m.
Substituindo estes valores em (*) obtemos 
d = (d . n) . x + (d . m) . y = d . (n . x) + d . (m . y) = d . (n . x + m . y). 
Pela lei do cancelamento, obtemos 1 = n . x + m . y. 
Assim, MDC (n, m) = 1 e a fração é irredutível.
Mostraremos, agora, que as frações são equivalentes (pela definição devemos 
mostrar que a . m = b . n).
a = d . n e b = d . m a . (d . m) = b . (d . n) (a . d) . m = (b . d) . n (d . a) . m = 
(d . b) . n d . (a . m) = d . (b . n).
Pela lei do cancelamento, obtemos a . m = b . n.
Definição 2.3: dadas as frações , tem-se se e somente se 
a . d < b . c.
Exemplo 2.5: observe que , pois 44 = 2.22 < 14.5 = 70.
 , pois 3 < 4.
Relembrando a nossa representação de fração , podemos nos perguntar por 
que não considerar a e b inteiros, com b > 0, já que problemas insolúveis em Z nos 
impelem a uma ampliação deste conjunto. Isto realmente é possível.
Dado n um inteiro qualquer, podemos representá-lo através da fração .
Permitindo representações como, por exemplo, , criaremos um novo 
conjunto o qual dará um significado algébrico a esses novos elementos.
Observe que d ≠ 0.
52
Capítulo 2 
2.3 O conjunto dos números racionais
Anotamos o conjunto dos números racionais pelo símbolo Q e o definimos por:
Q = { tal que a, b Z e b > 0 e MDC (a, b) = 1}.
Como em qualquer fração aparente , temos a múltiplo de b, ou seja, 
a = b . x para algum inteiro x. Vemos que a fração dada é equivalente à fração 
que identificamos com o inteiro x. 
Logo, Z Q, ou seja, Z é um subconjunto de Q.
Para podermos trabalhar algebricamente com Q, devemos definir operações 
neste conjunto.
2.3.1 Adição em Q
Para quaisquer números racionais , definimos .
Veja que a soma é um número racional.
Observe que sempre consideramos a fração irredutível que representa o número 
racional, mesmo que a fração obtida na soma não o seja.
Exemplo 2.6: .
Devemos também perceber que b . d > 0, já que b > 0 e d > 0, assim como 
a . d + b . c é um número inteiro. O resultado importante mostrado na página 
anterior e que pode ser estendido para frações com numeradores menores 
que zero nos garante que sempre encontraremos uma única fração irredutível 
equivalente à fração encontrada.
53
Álgebra Moderna 
Propriedades da adição em Q
1. A adição de números racionais é comutativa.
 tem-se que .
Demonstração:
 .
Devemos mostrar que .
Usando a propriedade comutativa para adição e multiplicação de números 
inteiros, obtemos imediatamente que: b . d = d . b e a . d + b . c = c . b + d . a e, 
portanto, as frações são equivalentes.
2. A adição de números racionais é associativa
 tem-se que .
Demonstração:
 .
Por outro lado:
 ,
pois vale a comutatividade dos números inteiros.
54
Capítulo 2 
3. A adição de números racionais possui a propriedade do elemento neutro.
 tal que , tem-se .
Demonstração:
A primeira consideração que fazemos é que a primeira igualdade é válida já que a 
adição de racionais é comutativa.
A segunda consideração é que devido ao fato de Z Q e desejarmos que Q seja 
uma extensão de Z , é preciso verificar se é elemento neutro (lembre-se de 
que 0 é o elemento neutro da adição de inteiros).
 , portanto, 0 é o elemento neutro da adição de números 
racionais (futuramente, mostraremos que o elemento neutro é único). 
4. A adição de números racionais possui a propriedade do elemento oposto.
 .
Demonstração:
A primeira consideração que fazemos é que a primeira igualdade é válida, já que 
a adição de racionais é comutativa.
Da mesma forma como na prova anterior, é natural verificarmos se para cada 
racional , .
 . 
55
Álgebra Moderna 
Se você tem dúvidas em , reveja o conceito de frações equivalentes.
O oposto do racional , anotado por – é o racional .
2.3.2 Multiplicação em Q
Para quaisquer números racionais , definimos .
Observe que sempre consideramos a fração irredutível que representa o número 
racional, mesmo que a fração obtida no produto não o seja. 
É importante você perceber a . c e b . d são inteiros e que b . d > 0.
Exemplo 2.7: dado o produto . Como MDC (30, 80) = 10, vemos que a 
fração obtida não é irredutível.
Qual é a fração irredutível equivalente a ela? 
É a fração . 
Perceba que MDC (3, 8) = 1.
Propriedades da multiplicação em Q
1. A multiplicação de números racionais é comutativa.
 
Demonstração:
 , pois vale a comutatividade em Z.
56
Capítulo 2 
2. A multiplicação de números racionais é associativa.
 tem-se 
Demonstração:
 , pois vale a 
associatividade em Z.
3. A multiplicação de números racionais possui a propriedade do elemento neutro.
 .
Que número racional você irá testar como candidato a elemento neutro? 
Demonstração:
Pensando no que foi feito na multiplicação de números inteiros, podemos 
escolher para candidato a neutro o número inteiro , vejamos:
Para qualquer , temos que , pois 1 é neutro da multiplicação 
dos inteiros, além disso, como a propriedade da multiplicação é válida, temos:
 .
Logo, o elemento neutro existe e a propriedade é válida.
Poderíamos não ter intuído que o 1 fosse elemento neutro. Como 
poderíamos agir?
57
Álgebra Moderna 
Estamos procurando um elemento racional , tal que para qualquer racional 
seja válida a igualdade . Vamos procurar:
 (*)
Como n, m, a, b são inteiros e vale a propriedade comutativa da multiplicação dos 
inteiros, temos que .
Utilizamos a lei do cancelamento (da multiplicação dos inteiros) apresentada na 
atividade 5 de autoavaliação 1.3 do capítulo 1, e, para isso, consideramos que 
 .
Ora , por construção, portanto, basta que a seja diferente de zero. 
Considerando , é possível utilizar a lei do cancelamento e, assim, de (*) 
temos que .
Dessa forma, a fração que talvez sirva como o elemento neutro é .
Mas falta verificar se ela vale para , pois foi considerado , e o elemento 
neutro tem que servir para todos os racionais. Devemos ainda verificar se o 
elemento neutro encontrado mantém a propriedade para o racional 0.
Vejamos:
 .
4. A multiplicação de números racionais possui a propriedade do elemento inverso? 
 .
Esta propriedade é muito interessante e nos permite obter resultados importantes 
com relação às estruturas algébricas. Veremos isto mais tarde.
58
Capítulo 2 
Propriedade adicional – Distributiva
A multiplicação de números racionais é distributiva em relação à adição de 
números racionais.
 tem-se (a distributiva à direita também é válida).
Demonstração:
 (*)
 = (**)
Pelas propriedades associativa, comutativa e distributiva aplicadas à adição e 
multiplicação de números inteiros.
Como as frações (*) e (**) possuem o mesmo numerador e o mesmo denominador, 
concluímos que elas são equivalentes.
2.3.3 Subtração em Q
Para quaisquer racionais , definimos .
As propriedades ficam como exercício.
Lembre-se do que vimos nos inteiros.
2.3.4 Divisão em Q*
Q* significa o conjunto dos números racionais sem o elemento neutro aditivo, ou seja, 
Q* = Q – {0}.
59
Álgebra Moderna 
Para quaisquer racionais não nulos , definimos .
Observe que é possível considerarmos a fração , pois c 0. Caso c < 0, 
consideramos a fração equivalente à fração com o denominador maior que zero.
Qual a fração irredutível com denominador maior que zero equivalente à 
fração ?
Facilmente, você verá que é a fração .
Outro detalhe importante a considerar é garantir que pertence a Q*.
Para garantir isso, devemos mostrar que e isso você mostrará em 
exercício. 
Lembre-se de que na multiplicação já garantimos o fato do produto ser racional.
Exemplo 2.7: operações com frações:
a.4 = = =7.
b. .
c. .
Quais propriedades são válidas para a operação de divisão em Q*?
Proposição 2.1: qualquer equação de grau 1 com coeficientes inteiros tem 
solução em Q.
Veja que a afirmação “qualquer equação de grau 1 com coeficientes racionais tem 
solução em Q” recai no resultado anterior.
60
Capítulo 2 
Demonstração:
Sejam a, b, c inteiros com a 0.
A equação ax + b = c tem solução em Q.
x = é solução racional da equação.
c – b, a são inteiros, a 0 e, portanto, Q (novamente, lembre-se de que se 
a < 0, consideramos a fração equivalente com denominador positivo).
a . + b = + b = (c – b) + b = (c + (–b)) + b = c + (–b + b) = c + 0 = c, e, 
portanto, x = é solução da equação ax + b = c.
2.4 Atividades de autoavaliação
1. Que fração da hora é o minuto?
2. Quantos minutos há em de hora?
3. Se subtrairmos o mesmo número inteiro não nulo no numerador e no 
denominador de uma fração irredutível 1 obteremos uma fração equivalente à 
fração ? Justifique.
4. Uma peça de fazenda, depois de molhada, encolheu de seu comprimento, 
ficando com 39 m. Quantos metros tinha esta peça antes de encolher?
5. Analise as propriedades comutativa, associativa, elemento neutro e elemento 
oposto para a subtração de números racionais.
Sejam .
6. Mostre que .
(Este exercício garante que se , então, ).
7. Analise as propriedades comutativa, associativa e elemento neutro da divisão 
de números racionais não nulos.
8. Em Q definimos a adição e a multiplicação de números racionais e verificamos 
a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Para definir a 
divisão de números racionais, precisamos restringir o conjunto Q ao conjunto Q*. 
Podemos definir a adição de números racionais em Q* e verificar as propriedades 
distributivas da divisão em relação à adição?
61
Capítulo 3
Congruência
3.1 Introdução e revisão
No decorrer deste capítulo, vamos apresentar conceitos, exemplos e proposições 
que permitam ao estudante desenvolver habilidades para reconhecer uma 
relação e, em seguida, compreender algumas propriedades que classificam tipos 
especiais de relações; bem como compreender o conceito de congruência e 
associá-lo à divisibilidade e a algumas aplicações.
A congruência é uma ferramenta matemática muito utilizada na resolução de 
problemas que envolvem divisibilidade. É fundamental para a explicação de 
alguns resultados matemáticos como os critérios de divisibilidade, o Teorema do 
Resto Chinês, o Pequeno Teorema de Fermat e no estudo de números pseudo-
primos (primos de determinada forma) estudados por Euler.
O desenvolvimento da congruência enquanto ferramenta matemática foi 
publicado em 1801 por Karl Fridrich Gauss na sua obra Disquisitiones 
Arithmeticae. Para estudá-la, vamos iniciar com alguns conceitos básicos, como 
produto cartesiano e relação.
3.2 Produto cartesiano
Pares ordenados são empregados para representar relações entre elementos 
de um conjunto. O conceito de relação envolve uma regra que associa dois 
elementos: a de um conjunto A e b de um conjunto B, e define pares ordenados 
 satisfazendo essa regra. A relação pode ser representada como o conjunto 
desses pares ordenados.
62
Capítulo 3 
Definição 3.1: dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se produto 
cartesiano de A por B o conjunto formado por todos os pares ordenados tal 
que .
Assim, a notação significa “A cartesiano B” e é dada por: 
 .
Observação: é possível determinar o produto cartesiano de um conjunto A por 
ele mesmo, neste caso utiliza-se a notação A x A, ou A2. 
Exemplos 3.1: se e , então:
 • o produto cartesiano de A por B é:
 .
 • o produto cartesiano de B por A é:
 .
Exemplo 3.2: se , então o produto cartesiano , é:
 .
Exemplo 3.3: suponha que há uma família composta por dois irmãos, Miguel e João, 
sendo que Miguel tem dois filhos, Gabriel e Ana, e João tem uma filha, Beatriz. Se 
chamarmos de A o conjunto composto por todas as pessoas citadas, teremos:
A = {Miguel, João, Gabriel, Ana, Beatriz}.
O conjunto que representa o produto cartesiano A x A é:
 = {(Miguel, Miguel), (Miguel, João), (Miguel, Gabriel), (Miguel, Ana), (Miguel, 
Beatriz), (João, Miguel), (João, João), (João, Gabriel), (João, Ana), (João, Beatriz), 
(Gabriel, Miguel), (Gabriel, João), (Gabriel, Gabriel), (Gabriel, Ana), (Gabriel, 
Beatriz), (Ana, Miguel), (Ana, João), (Ana, Gabriel), (Ana, Ana), (Ana, Beatriz), 
(Beatriz, Miguel), (Beatriz, João), (Beatriz, Gabriel), (Beatriz, Ana), (Beatriz, Beatriz)}.
Se A = R (conjunto dos números reais), então R x R representa o R2, plano 
cartesiano.
63
Álgebra Moderna 
3.3 Relação e relação de equivalência
Quando analisamos uma representação gráfica, estamos compreendendo a 
relação entre dois elementos. Estes elementos podem pertencer a um ou dois 
conjuntos. As relações são largamente estudadas em matemática e podem 
ser apresentadas de diversas maneiras. Existem algumas que satisfazem 
determinadas propriedades e são classificadas como relação de equivalência. 
Vamos estudá-las a seguir.
3.3.1 Relação binária
Vamos pensar em algumas formas de “relacionar” os membros da família 
apresentada no exemplo 3.3. 
Exemplo 3.4: considere a e b elementos pertencentes a A. Se chamarmos de 
relação R1 a afirmação “a é filho ou filha de b”, que descreve uma forma de 
relacionar os membros desta família, podemos dizer então que:
“Gabriel é filho de Miguel”;
“Ana é filha de Miguel”;
“Beatriz é filha de João”.
Poderíamos escrever de outra forma as frases anteriores:
“Gabriel R1 Miguel”;
“Ana R1 Miguel”;
“Beatriz R1 João”.
Ainda podemos representar esta relação utilizando pares ordenados:
R1 = {(Gabriel, Miguel), (Ana, Miguel), (Beatriz, João)}. 
Vamos agora analisar outra relação entre os membros da mesma família, se 
chamarmos de R2 a relação definida pela afirmação “a é irmão ou irmã de b”, teremos:
“Miguel R2 João”;
“João R2 Miguel”;
“Gabriel R2 Ana”;
“Ana R2 Gabriel”.
64
Capítulo 3 
Ou utilizando pares ordenados:
R2 = {( Miguel, João), (João, Miguel), (Gabriel, Ana), (Ana, Gabriel)}.
Observe que R1 e R2 são subconjuntos de A x A.
Definição 3.2: sejam dois conjuntos A e B, não vazios. Chama-se relação de A 
em B ou relação binária de A em B a todo subconjunto de .
Importante:
 • uma relação é um conjunto, seus elementos devem estar entre 
chaves e separados por vírgulas;
 • se um par pertence à uma relação , diremos que a está 
relacionado com b pela relação , e denotamos por , ou 
 ;
 • se um par não pertence à uma relação ( ), diremos 
que a não está relacionado com b pela relação , escrevemos ;
Exemplo 3.5: R1 e R2 do exemplo 3.4 são ditas relações de A em A.
As relações mais triviais entre dois conjuntos A e B são o conjunto vazio e o 
produto cartesiano A x B. Vale lembrar que o conjunto vazio é um subconjunto 
de qualquer conjunto e A x B também é um subconjunto dele mesmo. 
Exemplo 3.6: sejam os conjuntos A e B do exemplo 3.1. 
São relações de A em B:
 • ;
 • ;
 • ;
 • . 
Existem outras relações de A em B.
Algumas relações são representadas por uma regra ou lei de formação.
65
Álgebra Moderna 
Exemplo 3.7: sejam A = Z e B = Z, então é um conjunto formado por todos 
os pares ordenados nos quais as coordenadas são números inteiros. 
São exemplos de relação de Z em Z, ou em , ou definidas em Z:
 • R1: “a é o oposto de b”, ou seja, (a está relacionado a b 
por R1 se e somente se a = – b).
tal que . 
Podemos dizer que: “–2 R1 2”, “–1 R1 1”, “0 R1 0”..., mas “–1 2” , 
“0 3”...
 • R2: “a é igual a b”, ou seja, (a está relacionado a b por R2 
se e somente se a = b).
tal que .
 • R3: “a é menor ou igual a b”, ou seja, (a está relacionado 
a b por R3 se e somente se a ≤ b).tal que . 
Alguns elementos de R3 são pois em 
todos os casos a primeira coordenada do par ordenado é menor ou 
igual à segunda coordenada.
 • R4: “a divide b”, ou seja, . 
tal que . 
Alguns elementos de R4 são 
pois em todos os casos a primeira coordenada do par ordenado 
divide a segunda coordenada. Mas observe que o par ordenado 
 não pertence a R4, pois zero não divide quatro.
Será que só podemos falar de relação envolvendo números inteiros? A 
resposta é não. Veja outros exemplos:
Exemplo 3.8: se A = B = IR (conjunto dos números reais), então é um conjunto 
formado por todos os pares ordenados de números reais. Um exemplo é a relação de 
IR em IR:
tal que , todos os pares ordenados cujas 
coordenadas são números reais não negativos.
Algumas relações envolvem outros tipos de conjuntos. 
66
Capítulo 3 
Exemplo 3.9: se A = B = , isto é, A e B são conjuntos cujos elementos são 
pares ordenados. Logo, os elementos dos pares ordenados de são pares 
ordenados de números naturais. No caso:
tal que .
Portanto, qualquer relação R relaciona um par ordenado a outro par ordenado. 
Veja exemplos de relação neste conjunto:
 • R1: “(a, b) é igual a (c, d)”, ou seja: 
 ((a, b) está relacionado a (c, 
d)”, se e somente se a = c e b = d).
.
tal que
 
 • R2: “(a, b) está relacionado a (c, d) se a soma da primeira coordenada 
do primeiro par ordenado com a última coordenada do segundo par 
ordenado for igual a soma da segunda coordenada do primeiro par 
ordenado com a primeira coordenada do segundo par ordenado”, 
ou seja:
 
tal que .
Veja alguns elementos:
 .
Mas observe que , pois .
 • R3 “a é menor ou igual a b”, ou seja, (a está relacionado 
a b se e somente se a ≤ b).
Observação: cuidado ao estudar uma relação R definida sobre os conjuntos A e 
B, pois você deve identificar como são os elementos destes conjuntos e a lei de 
formação de R. 
3.3.2 Relação de equivalência 
Existem algumas relações largamente estudadas em álgebra: são as relações de 
equivalência e relações de ordem. Para que uma relação seja classificada de uma 
destas formas, ela deve satisfazer algumas propriedades, estudadas a seguir.
67
Álgebra Moderna 
Definição 3.3: uma relação R, definida em A, é reflexiva se todo elemento de A 
estiver relacionado a ele mesmo. Ou seja, se a A, aRa.
Exemplo 3.10: a relação tal que do exemplo 3.7 é 
reflexiva, pois para todo .
Exemplo 3.11: a relação tal que do exemplo 3.7 não é 
reflexiva. Veja um contraexemplo:
Dado tem-se que visto que não satisfaz a lei de formação 
 .
Exemplo 3.12: a relação tal que 
do exemplo 3.9 é reflexiva, pois para todo tem-se que:
 (pela comutatividade da adição dos números naturais).
Definição 3.4: uma relação R definida em A é simétrica se dados dois elementos 
a e b de A tem-se:
b relacionado a a sempre que a estiver relacionado a b. 
Ou seja: a,b A, se aRb, então bRa.
Importante: cuidado com o “se”, isto é, só precisamos verificar bRa se aRb ocorrer.
Exemplo 3.13: a relação tal que do exemplo 3.7 é 
simétrica, pois para quaisquer inteiros a e b tem-se:
Se a = b 
b = a 
Exemplo 3.14: A relação tal que do exemplo 3.7 é 
simétrica, pois para quaisquer inteiros a e b tem-se que:
Se a = –b 
b = –a .
68
Capítulo 3 
Exemplo 3.15: a relação tal que 
do exemplo 3.9 é simétrica. Pois, para quaisquer , 
se 
 
 .
Exemplo 3.16: a relação tal que do exemplo 3.7 não é 
simétrica. Veja um contraexemplo:
Dado: , ou seja, , mas 0 não divide –4. 
Definição 3.5: uma relação R definida em A é transitiva se dados três elementos 
a, b e c de A tem-se:
a relacionado a c sempre que a estiver relacionado a b e b estiver relacionado a c.
Ou seja: a, b, c A, se aRb e bRc, então aRc.
Importante: cuidado com o “se”, isto é, só precisamos verificar aRc se as duas 
condições aRb e bRc ocorrerem.
Exemplo 3.17: a relação tal que do exemplo 3.7 é 
transitiva, pois para quaisquer inteiros a, b e c tem-se que:
Se e e 
 .
Exemplo 3.18: a relação tal que do exemplo 3.7 é 
transitiva, pois para quaisquer inteiros a, b e c tem-se que:
Se e e 
 .
69
Álgebra Moderna 
Exemplo 3.19: a relação tal que 
do exemplo 3.9 é transitiva, pois para quaisquer 
se 
e 
somando as igualdades
 
 (pela lei do cancelamento)
 
 .
Exemplo 3.20: a relação tal que do exemplo 3.7 não é 
transitiva. Observe um contraexemplo:
Dados ao pares (2, –2) e (–2, 2) 
tem-se que e mas .
Observação: lembre-se de que para mostrarmos que uma relação satisfaz 
alguma propriedade devemos mostrar de forma genérica, mas se ela não é válida, 
basta apresentar um contraexemplo.
Definição 3.6: uma relação R, definida em A, é denominada relação de 
equivalência se satisfaz as seguintes propriedades:
(i) R é reflexiva;
(ii) R é simétrica;
(iii) R é transitiva.
Exemplo 3.21: a relação tal que do exemplo 3.7 é uma 
relação de equivalência, pois verificamos as três propriedades nos exemplos 3.10, 
3.13 e 3.17.
70
Capítulo 3 
Exemplo 3.22: a relação tal que 
do exemplo 3.9 é uma relação de equivalência, pois verificamos as três 
propriedades nos exemplos 3.12, 3.15 e 3.19.
Exemplo 3.23: a relação tal que do exemplo 3.7 não é 
uma relação de equivalência, pois não satisfaz a propriedade transitiva conforme 
mostrado no exemplo 3.20.
Para ser de equivalência, uma relação deve satisfazer as três propriedades; 
se uma falhar, ela não é de equivalência. 
3.3.3 Relação de ordem
Para que uma relação seja classificada como relação de ordem, ela precisa 
satisfazer uma nova propriedade.
Definição 3.7: uma relação R, definida em A, é antissimétrica se dados dois 
elementos a e b de A tem-se:
a igual a, sempre que a estiver relacionado a b e b estiver relacionado a a.
Ou seja: a, b A, se aRb e bRa, então a = b. 
Exemplo 3.24: a relação tal que do exemplo 3.7 é 
antissimétrica, pois se aRb e bRa, significa que e , o que só ocorre se .
Definição 3.8: uma relação R definida em A é denominada relação de ordem se 
satisfaz as seguintes propriedades:
(i) R é reflexiva;
(ii) R é antissimétrica;
(iii) R é transitiva.
71
Álgebra Moderna 
Exemplo 3.25: a relação tal que do exemplo 3.7 é uma 
relação de ordem:
(i) R é reflexiva, pois para qualquer inteiro a tem-se aRa, ou seja ;
(ii) R é antissimétrica, conforme mostrado no exemplo 3.24;
(iii) R é transitiva, conforme mostrado no exemplo 3.18.
3.4 Atividades de autoavaliação
1. Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, escreva os elementos das relações de 
A em B a seguir:
R1= {(a, b) tal que a > b}.
R2= {(a, b) tal que b = a + 2}.
R3= {(a, b) tal que b = 2a}.
2. Sejam A = {0, 1, 2} e a relação R = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 2)}, verifique se 
R é uma relação de equivalência. 
3. Verifique se a relação R1 do exemplo 3.4 é uma relação de equivalência.
4. Seja A o conjunto de todas as retas no plano e a relação R definida por:
tem-se que é paralela a , verifique se R é uma relação de 
equivalência.
5. Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e a relação R definida por
tem-se é múltiplo de , verifique se R é uma relação de 
equivalência.
6. Considerando A = {a, b, c} e as seguintes relações em A:
R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}.
R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, c)}.
72
Capítulo 3 
R3 = {(a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}.
R4 = A x A. 
Verifique quais são reflexivas, simétricas, transitivas e/ou antissimétricas.
7. Dado tal que e sendo R a relação definida por
 , identifique:
a) os elementos de R;
b) se R é uma relação de equivalência.
3.5 Congruências módulo m
Alguns problemas do nosso dia a dia são resolvidos baseados no estudo das 
congruências. Por exemplo,para descobrir o dia da semana em que você 
nasceu, em otimização de redes de computadores e em códigos numéricos de 
identificação, como códigos de barras e até em números dos documentos (como 
de identidade, CPF, ISBN, criptografia etc.), entre outros.
A congruência módulo m é uma importante relação de equivalência e se 
caracteriza como uma ferramenta associada ao conjunto dos números inteiros. 
É utilizada para resolver problemas que envolvem divisibilidade baseada no 
algoritmo da divisão.
Definição 3.9: sejam a e b e m um inteiro estritamente 
positivo, dizemos que a é côngruo a b módulo m, e 
denotamos por , se e somente se . 
Ou seja:
 
(m divide e pela definição de divisibilidade: se existe um inteiro q, tal que 
 ou ainda ). 
Atenção: m é 
estritamente positivo, 
então diferente de zero.
73
Álgebra Moderna 
Caso a não seja côngruo a b módulo m, denotamos: 
 .
Como interpretar a congruência como uma relação R?
Dizemos que se aRb ao dividir a e b, separadamente por um inteiro não negativo 
m, apresentar o mesmo resto, este resultado é demonstrado na propriedade 3.4. 
Exemplo 3.26: como interpretar a relação de congruência:
 • , pois 2 divide 5 – 3 = 2.
Observe que ao dividir 3 por 2 o quociente é 1 e o resto é 1, ao 
dividir 5 por 2 o quociente é 2 e o resto é 1.
 • , pois 2 divide 3 – 5 = –2.
 • , pois 77 – 13 = 64 que é divisível por 8.
 • , pois 45 – (–5) = 50 e 10 | 50.
 • , pois 26 – 3 = 23 e 5 não divide 23.
Exemplo 3.27: um caso clássico de congruência que envolve a congruência 
módulo 24 está relacionado às horas do dia. Pois como a cada 24 horas se inicia 
um novo ciclo, então a 25ª hora é congruente a uma hora módulo 24, a 26ª é 
congruente a duas horas módulo 24, e assim sucessivamente.
Com isso, podemos observar as seguintes relações:
.
Suponha que agora são 11 horas. Que hora será daqui 165 horas?
Inicialmente vamos admitir que a hora 11 representa o ponto inicial. 
Pelo algoritmo da divisão:
165 = 6 . 24 + 21.
Ou seja, serão 6 dias e 21 horas a partir das 11 horas iniciais.
74
Capítulo 3 
Podemos representar esta conclusão utilizando congruência como:
 .
Proposição 3.1: a relação de congruência é uma relação de equivalência
Para ser uma relação de equivalência, a relação de congruência deve satisfazer 
as três propriedades, conforme definição 3.6.
(i) Reflexiva: .
(ii) Simétrica: Se , então .
(iii) Transitiva: Se e , então .
Demonstração:
(i) É reflexiva, pois . Assim,
 (qualquer número inteiro não nulo divide zero). Neste caso, 
dizemos que qualquer inteiro é côngruo a ele mesmo módulo m.
(ii) É simétrica: , então .
tal que
 
(iii) É transitiva: se e , então 
 .
.
75
Álgebra Moderna 
3.5.1 Propriedades da congruência
A relação de congruência satisfaz ainda outros resultados:
Propriedade 3.1: se e , então .
Demonstração:
tal que
 
Exemplo 3.28: se , então:
 
 , pois .
Propriedade 3.2: se e , então .
Demonstração: 
Se (pela propriedade 3.1).
Se (pela propriedade 3.1).
Então, se e , como a congruência é 
transitiva: .
Observação: esta propriedade pode ser estendida, ou seja:
Se , ,..., e então:
 .
76
Capítulo 3 
Exemplo 3.29: sendo e , observe que:
 
 pois .
Propriedade 3.3: se r é o resto da divisão de a por m , então , com 
 . 
Demonstração:
Pelo algoritmo da divisão:
 
Exemplo 3.30: o resto da divisão de 48 por 5 é 3, então podemos dizer que 
 .
Propriedade 3.4: se se e somente se, o resto da divisão de a por m é 
igual ao resto da divisão de b por m.
Demonstração:
 Vamos demonstrar a afirmação “Se o resto da divisão de a 
por m é igual ao resto da divisão de b por m”.
Sabemos que tal que .
Se chamarmos de q1 o quociente da divisão de a por m e de r o resto desta 
divisão, tem-se: 
77
Álgebra Moderna 
 .
Como 
 (lembre-se de que é um número inteiro).
Logo, r é o resto da divisão de b por m.
 Agora vamos demonstrar a afirmação “Se o resto da divisão de a por m é 
igual ao resto da divisão de b por m ”.
Seja r o resto da divisão de a e de b por m, isto é:
Chamando os respectivos quocientes de e :
 .
Subtraindo as duas igualdades: 
 
 (lembre-se de que é um número inteiro).
Logo, .
Exemplos 3.31: 12 7 (mod 5), pois 2 é o resto da divisão de 12 por 5 e de 7 por 
5, ou seja, 7 e 12 deixam o mesmo resto na divisão por 5. 
Propriedade 3.5: se e , então .
Demonstração:
tal que (multiplicando por c).
 
 (lembre-se de que c . q é um número inteiro)
 .
78
Capítulo 3 
Exemplo 3.32: se , então:
 
 , pois .
Propriedade 3.6: se e , então 
Demonstração: 
Se (pela propriedade 3.5).
Se (pela propriedade 3.5).
Então, se e , como a congruência é transitiva: 
 .
Observação: esta propriedade pode ser estendida, ou seja:
Se , ,..., , então:
 .
Exemplo 3.33: se , , , então:
 
 , pois .
Propriedade 3.7: se , então .
Demonstração:
Se a partir da propriedade 3.6 admitir-se:
 
 .
79
Álgebra Moderna 
Exemplo 3.34: calcular o resto da divisão de por 5. 
Para isso, vamos aplicar as propriedades demonstradas.
Inicialmente, vamos determinar o menor inteiro congruente a 348 módulo 5.
 (pois 5|(348-3).
Então, aplicando a propriedade 3.7, tem-se: 
 ou, ainda, .
Continuando a trabalhar com potências:
 
 (vamos trabalhar com esse resultado, o 
expoente de 348 múltiplo de 4).
Pensando no expoente do número , observamos que 467 será múltiplo de 4 
se diminuirmos 3 unidades, ou seja, podemos escrever 467 = 464 + 3 = 4 . 116 + 3. 
Assim a potência pode ser escrita como:
 .
Pelas propriedades 3.6 e 3.7, tem-se:
 .
Portanto, o resto da divisão por 5 é 2.
Exemplo 3.35: calcular algarismo das unidades de . 
Inicialmente, vamos lembrar que o algarismo das unidades é o resto da divisão do 
número por 10. Assim, vamos utilizar a congruência módulo 10 e as propriedades 
de congruência para resolver este problema.
 (pois 10 | (81 – 1).
Então, aplicando a propriedade 3.7, tem-se 
 .
Com isso, o algarismo das unidades é 1.
80
Capítulo 3 
3.5.2 Aplicações da congruência 
I. Calendário
Os dias da semana, domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-
feira, sexta-feira e sábado, são respectivamente côngruos módulo 7 aos outros 
domingos, segundas-feiras, terças-feiras, quartas-feiras, quintas-feiras, sextas-
feiras e sábados, pois todos se repetem de 7 em 7 dias. 
Você pode fazer a seguinte correspondência, que será útil em alguns cálculos.
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM
0 1 2 3 4 5 6
Em que dia da semana você nasceu?
Vamos descrever aqui o procedimento e as respectivas explicações para que 
você possa descobrir o dia da semana em que nasceu. É claro que o 
procedimento pode ser utilizado para descobrir outras datas.
Escolhemos como ano básico o ano de 1900. Isto porque para nossa geração é 
razoável em termos de idade, porque foi um ano bissexto (fevereiro tem 29 dias, 
ocorre de 4 em 4 anos), e porque eu sei o dia da semana de 1/ 1/1900.
O dia da semana de 1/1/1900 foi uma segunda-feira.
Seguiremos a correspondência já estabelecida. 
Primeira semana de 1/1/1900.
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM
0 1 2 3 4 5 6
Se soubermos o número de dias transcorridos desde o dia 1/1/1900 até o dia de 
nosso nascimento, podemos descobrir em que dia da semana nascemos. Isso porque 
se dois números forem côngruos entre si, módulo 7, cairão no mesmo dia da semana.
Por exemplo: 27/1/1900 caiu no domingo já que 27 6 mod 7 (veja a 
correspondência dada).
No entanto, pode ser muito monótono ou trabalhoso, principalmente para quem 
é jovem, calcular a quantidade de dias transcorridos até a data de nascimento. 
Pensamosem facilitar os cálculos com o procedimento proposto e aproveitar 
para utilizar as propriedades dadas.
Você pode utilizar outra 
se quiser, mas tenha 
cuidado em saber 
por onde começou a 
contar. 
81
Álgebra Moderna 
Procedimento
1. Veja quantos anos transcorreram de 1900 até o ano de seu 
nascimento.
Por exemplo, se você nasceu em 1955, transcorreram 55 anos.
Atenção: se não fossem os anos bissextos já saberíamos o dia da semana de 
1/1/1955 facilmente.
2. Calcule quantos anos bissextos tivemos neste período (basta aplicar 
o algoritmo da divisão para o obtido no item 1 e dividir por 4).
Para o nosso exemplo, tem-se 55 = 4 . 13 + 3 e, assim, tivemos neste período 13 
anos bissextos.
Cada ano tem 365 dias e os bissextos 366 dias.
Qual o dia da semana de 1/1/1955?
Como 365 = 7 . 52 + 1, tem-se pela propriedade 2 que 
365 1 mod 7. 
Como 55 = 7 . 7 + 6, tem-se pela propriedade 2 que 
55 6 mod 7.
Utilizando a propriedade 3, podemos afirmar que 5 
5.365 6.1 mod 7, ou seja, 55.365 6 mod 7 (isso garante 
que será considerado somente os anos transcorridos). 
E os anos bissextos?
Nos anos bissextos tem-se um dia a mais, 29 de fevereiro, portanto, se no período 
de 1900 a 1955 tivemos 13 anos bissextos, teremos 13 dias a mais neste período.
13 6 mod 7 e, pela propriedade 1, obtem-se 55 + 13 6 + 6 mod 7. Por outro 
lado, tem-se que 12 5 mod 7 e pela transitividade da relação de congruência 
será 55 + 13 5 mod 7.
Olhando em nossa tabela, concluímos que 1/1/1955 ocorreu em um sábado.
3. Considere o mês de seu nascimento e associe a ele o número 
segundo a tabela abaixo. Por exemplo, se você nasceu no mês de 
setembro, o número correspondente é o 5. Corresponde ao dia 1 
do mês de setembro.
Quando o ano não for 
bissexto, o dia primeiro 
do ano seguinte cairá 
em um dia da semana 
consecutivo ao dia 
da semana em que 
ocorreu o dia primeiro 
do ano considerado.
82
Capítulo 3 
janeiro 0 julho 6
fevereiro 3 agosto 2
março 3 setembro 5
abril 6 outubro 0
maio 1 novembro 3
junho 4 dezembro 5
Nesta tabela, associamos 0 ao mês de janeiro por ser o início de nossa contagem, 
ele é o primeiro mês do ano. A fevereiro atribuímos o número 3 porque até dia 1 
de fevereiro transcorreram 31 dias de janeiro e 31 3 mod 7, a março atribuímos 
também o número 3 , porque 3 + 28 = 31 3 mod 7.
Por que 6 para abril?
3 + 31 = 34 6 mod 7.
Assim, sucessivamente com todos os meses.
4. Considere, agora, o dia de seu nascimento (digamos que você 
tenha nascido no dia 20).
Como o dia 1 já foi considerado na atribuição do mês em questão (setembro), 
teremos até o dia 20, 19 dias transcorridos.
Calcule: 55 + 13 + 5 + 19 = 92.
92 = 7 . 13 + 1
92 1 mod 7. 
Olhe na tabela o dia da semana que está associado ao número 1.
Conclusão: A pessoa em questão nasceu em uma terça-feira.
Observe que você pode calcular também da seguinte forma: 55 6 mod 7
13 6 mod 7.
Setembro corresponde ao número 5.
19 5 mod 7.
6+ 6 + 5 + 5 = 22 1 mod 7.
83
Álgebra Moderna 
II. Critérios de divisibilidade
A congruência também é empregada para se estabelecer os critérios de 
divisibilidade de números inteiros.
Inicialmente vamos utilizar a representação polinomial de um número natural a:
 .
Sendo uma sequência de números naturais com 
 . 
Com isso, vamos analisar os critérios de divisibilidade.
Partindo da congruência: 
a. Critério de divisibilidade por 2: um número a inteiro é divisível por 2 
se for par.
Suponha que a seja um inteiro qualquer representado na forma polinomial
 .
Como , pela propriedade 3.7 tem-se que 
 . Dado um número natural , pela propriedade 3.5: 
 . 
Consequentemente:
 .
Pela propriedade 3.2:
 .
Logo
 
ou seja:
 .
Portanto, pela propriedade 3.4, têm mesmo resto na divisão por 2; assim, a 
é divisível por 2 se e somente se for divisível por 2, ou seja, se for par.
b. Critério de divisibilidade por 3: um número a inteiro é divisível por 3 
se a soma de seus algarismos for divisível por 3.
Suponha que a seja um inteiro qualquer representado na forma polinomial
 .
84
Capítulo 3 
Como , pela propriedade 3.7 tem-se que 
 . Dado um número natural , pela propriedade 3.5: 
 .
Consequentemente:
 .
Pela propriedade 3.2:
 .
Logo,
 .
Portanto, pela propriedade 3.4, têm mesmo resto na 
divisão por 3. Assim, a é divisível por 3 se e somente se , que 
representa a soma dos dígitos de a, for divisível por 3.
III. Problema do Resto Chinês
Um resultado interessante sobre a teoria das congruências é o Teorema do Resto 
Chinês, publicado entre os séculos III e V pelo matemático chinês Sun Tsu. O 
problema surgiu da necessidade de determinar um número x sabendo apenas 
que se divido por alguns inteiros resulta em determinados restos. Veja:
Determinar um número x cujo resto, ao ser dividido por 3, é 2; ao ser dividido por 
5, é 7; e ao ser dividido por 7, é 2.
Hoje sabemos que é possível determinar este número por substituição, e que ele 
não é único. Mas, utilizando a congruência podemos escrever o problema como:
 
Vamos apresentar o teorema do resto chinês que mostra como resolver o 
problema utilizando congruências.
85
Álgebra Moderna 
Teorema 3.1: sejam números inteiros maiores que 1, tais que 
MDC (mi, mj) = 1 para , isto é, são primos dois a dois. Dado 
 números inteiros quaisquer, o sistema de congruências
 
é possível e quaisquer duas soluções são congruentes módulo .
Demonstração:
Suponha uma solução do sistema 
 
Dada pelo número desde que
 e 
 
ou seja
 
Observe que y é realmente solução do sistema, para isso vejamos que y satisfaz a 
j-ésima (j = 1, ..., k) congruência do sistema dado: .
De fato, como tem-se
 .
Mas, 
 então e, portanto,
 .
86
Capítulo 3 
Nosso objetivo é determinar os números que satisfazem as condições de 
 .
Para isso, tomemos :
 
Sabemos que MDC (mi,mj) = 1 , então , pois como 
 , um divisor primo de teria que dividir 
também algum , o que não ocorre, pois são primos.
Logo, a congruência 
 (*)
tem solução. Para ilustrar, vamos tomar e admitir b1 uma solução 
da equação (*). Assim:
 , mas sabemos que é divisível por . Então,
 
portanto,
 
Seguindo o mesmo raciocínio, se b2 uma solução da equação (*):
 , então
 e
 .
Consequentemente:
 .
Portanto, uma solução do sistema é
 , ou ainda,
 .
Suponha agora outra solução do sistema dada por c, então 
 .
87
Álgebra Moderna 
Logo são divisores de c – b e como são primos dois a 
dois, então são divisores de c – b, ou seja .
Portanto 
 .
É a solução geral do sistema dado.
Exemplo 3.36: utilize o teorema do resto chinês para resolver o sistema:
 .
Observe que 
 e , então e 
 .
Precisamos determinar tal que:
 .
Vejamos:
 , mas , logo 
 
 , logo 
 logo .
Portanto,
 
e 
 .
Observe que
 
Assim, existem outras soluções que satisfazem este sistema.
88
Capítulo 3 
IV. Pequeno teorema de Fermat
Teorema 3.2: seja p um número primo e de tal forma que p não divide a, então 
 .
Demonstração:
Seja uma sequência dos (p – 1) múltiplos positivos de a:
 (**)
Observe que:
 .
Suponha e . Então, , pois 
MDC (a, p) = 1. Portanto, os números são congruentes aos 
números módulo p, em alguma ordem. Ou seja:
 .
Utilizando a notação de fatorial, tem-se:
 .
Como , o termo pode ser cancelado da congruência, 
resultando em:
 .
Exemplo 3.37: verifique o pequeno teorema de Fermat para a = 3 e p = 5.
Escrevendo a sequência , tem-se 
 , (pois p – 1 = 4). Os restos positivos da divisão de cada termo da 
sequência acima por 5 são respectivamente 3, 1, 4, 2, que podemser escritos na 
ordem: 1, 2, 3, 4.
Então:
 
ou ainda
 , de fato o resto da divisão de 81 por 5 é 1.
89
Álgebra Moderna 
Curiosidade: dado um número inteiro a e um número inteiro composto n, tal 
que an – 1 = 1 (mod n). Então, n é dito pseudoprimo de base a. 
 
Se n é pseudoprimo de base a para todo o inteiro a tal que MDC (a, n) = 1, 
então n é chamado de número de Carmichael. 
 
São alguns números pseudoprimos: 
• de base 2: 341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, ... 
• de Carmichel: 561, 1105, 1729, 2465, . . . 
3.6 Atividades de autoavaliação
1. Determine os restos das seguintes divisões
a) por 6.
b) por 100.
c) por 5.
2. Determine o algarismo das unidades de .
3. Determine todos os inteiros x que satisfazem:
a) 
b) 
c) 
4. Pesquise os critérios de divisibilidade por 4 e por 5 e demonstre-os utilizando 
congruência.
5. Resolva, utilizando o teorema do resto chinês:
a) .
b) (problema clássico, Regiomantanus do século XVI). 
90
Capítulo 3 
3.7 Classes de equivalência das congruências Módulo m
Definição 3.10: se R é uma relação de equivalência em um conjunto A e a um 
elemento de A. Chamamos de classe de equivalência de a, módulo R, ao conjunto 
constituído por todos os elementos , tais que (x está relacionado a a 
pela relação R).
As classes de equivalência são denotadas por:
 
Exemplo 3.38: seja a relação de equivalência R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 
2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} em que A = {0, 1, 2, 3}, apresentada no exemplo 3.23. 
São classes de equivalência:
 ={0, 1, 2} (o conjunto de todos os elementos de A, relacionados ao 0).
 ={0, 1, 2} (o conjunto de todos os elementos de A, relacionados ao 1).
 ={0, 1, 2} (o conjunto de todos os elementos de A, relacionados ao 2).
 ={3} (o conjunto de todos os elementos de A, relacionados ao 3).
Exemplo 3.39: seja R a relação definida em Z, por ; isto é: “x é 
côngruo a a módulo 5”. Como determinar as classes de equivalência de R?
R é uma relação de equivalência, e pela proposição 3.6, a e x têm mesmo resto 
em suas divisões por 5. Aplicando o algoritmo da divisão de um número b por 5: 
 para algum inteiro q
ou seja, os possíveis restos da divisão de um número inteiro por 5 são: 0, 1, 2, 3 e 4.
Assim, a partir da congruência teremos apenas 5 possibilidades:
 • (números inteiros cujo resto da divisão por 5 é 0);
 • (números inteiros cujo resto da divisão por 5 é 1);
 • (números inteiros cujo resto da divisão por 5 é 2);
 • (números inteiros cujo resto da divisão por 5 é 3);
 • (números inteiros cujo resto da divisão por 5 é 4).
91
Álgebra Moderna 
Observe que:
c. o conjunto de todos os inteiros que são côngruos a 0 módulo 5 é 
o conjunto de todos os múltiplos de 5: {..., –10, –5, 0, 5, 10,...} , ou 
ainda, cujo resto da divisão por 5 é 0;
d. o conjunto de todos os inteiros que são côngruos a 1 módulo 5 é o 
conjunto de todos os múltiplos de 5 mais 1: {..., –9, –4, 1, 6, 11,...}, 
ou ainda, cujo resto da divisão por 5 é 1;
e. o conjunto de todos os inteiros que são côngruos a 2 módulo 5 é o 
conjunto de todos os múltiplos de 5 mais 2: {..., –8, –3, 2, 7, 12,...}, 
ou ainda, cujo resto da divisão por 5 é 2;
f. o conjunto de todos os inteiros que são côngruos a 3 módulo 5 é o 
conjunto de todos os múltiplos de 5 mais 3: {..., –7, –2, 3, 8, 13,...}, 
ou ainda, cujo resto da divisão por 5 é 3;
g. o conjunto de todos os inteiros que são côngruos a 4 módulo 5 é o 
conjunto de todos os múltiplos de 5 mais 4: {..., –6, –1, 4, 9, 14,...}, 
ou ainda, cujo resto da divisão por 5 é 4.
Logo, as classes de equivalência módulo 5, são:
 ={..., -10, -5, 0, 5, 10,...} (o conjunto de todos os elementos de Z, cujo resto da 
divisão por 5 é 0);
 ={..., -9, -4, 1, 6, 11,...} (o conjunto de todos os elementos de Z, cujo resto da 
divisão por 5 é 1);
 ={..., -8, -3, 2, 7, 12,...} (o conjunto de todos os elementos de Z, cujo resto da 
divisão por 5 é 2);
 ={..., -7, -2, 3, 8, 13,...} (o conjunto de todos os elementos de Z, cujo resto da 
divisão por 5 é 3);
 ={..., -6, -1, 4, 9, 14,...} (o conjunto de todos os elementos de Z, cujo resto da 
divisão por 5 é 4).
Cada uma dessas classes é composta por subconjuntos do conjunto dos 
números inteiros de tal forma que a união desses subconjuntos resulta no 
próprio conjunto dos inteiros e a intersecção de dois a dois é vazia.
92
Capítulo 3 
O conjunto das classes de congruência módulo m, é chamado de conjunto 
quociente de Z pela relação de congruência módulo m e é denotado por Zm (lê-se 
“conjunto zeeme”). 
Se m é um inteiro estritamente positivo, teremos m classes de congruência 
módulo m, veja a seguinte proposição. 
Proposição 3.2: o conjunto tem exatamente m classes, são elas 
 
Demonstração:
Pela proposição 3.1, a relação de congruência módulo m é uma relação de 
equivalência em Z. 
Assim, dados a e b , tem-se que .
Logo, para cada a pertencente a Z, tem-se que , sendo r o resto da 
divisão de a por m. 
Pela divisão Euclidiana, sabe-se que . Assim, tem-se que 
a e, portanto, coincide com uma das classes de congruência .
Para finalizar a demonstração, vamos mostrar que as classes são distintas entre elas. 
Para isso, basta observar que se r1 e r2 são restos tais que , então
 .
Logo Zm tem m elementos.
Exemplo 3.40: o conjunto , para:
m = 2 
m = 3 
m = 7 
m = 11 .
93
Álgebra Moderna 
3.8 Atividades de autoavaliação
1. Determine os conjuntos com alguns elementos das classes de Z4.
2. Dada a relação de equivalência da atividade 7 de 3.4, determine os elementos 
de e .
3. Seja Q o conjunto dos números racionais e R a relação definida por:
 
a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
b) Descreva os elementos da classe 
95
Capítulo 4
Aplicações
4.1 Introdução e definições
O conceito de Aplicações é um dos mais importantes na matemática. São objetos 
indispensáveis para o estudo da álgebra e pesquisas relacionadas à quantificação 
de fenômenos naturais. Você conheceu algumas aplicações, como funções; e já 
pôde perceber seu peso no estudo da matemática.
Foi Leibniz (1646-1716), no início do século XVII, o primeiro matemático a utilizar 
os termos “função” e “variável” no estudo das aplicações. Apesar disso, até 
chegarmos à noção de função como temos hoje, um longo caminho foi percorrido. 
Há indícios de que os babilônios, em suas tábuas matemáticas, já apresentavam 
intuitivamente o conceito de função e até davam início à noção de função inversa. 
Seu desenvolvimento deve-se à necessidade de observação de fenômenos e das 
leis e como utilizar a matemática para descrevê-los. Nomes como Gallileu Galilei 
(1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727) foram fundamentais, pois já tentavam 
descrever fenômenos utilizando leis de dependência entre duas variáveis, 
conforme estudamos hoje em dia. 
Ao falar de funções, não podemos nos esquecer de grandes matemáticos como J. 
Bernoulli (1667-1748) que, seguindo a ideia proposta por Leibniz, passou a utilizar o 
termo função em seus estudos para descrever operações entre variáveis e constantes.
Porém, a simbologia f(x) que utilizamos hoje em dia foi inicialmente proposta por 
L. Euler (1707–1783), em 1734. Neste capítulo, você verá tanto essa notação, 
quanto outras formas de representar funções não só envolvendo conjuntos 
numéricos. O objetivo é ver que um conceito tão importante também tem seu 
peso na álgebra
96
Capítulo 4 
Definição 4.1: sejam dois conjuntos A e B, não vazios, e uma relação binária R de 
A em B. Chama-se:
(i) Domínio de R (D(R)), o subconjunto de A constituído por todos os 
primeiros elementos dos pares ordenados , ou seja: 
 .
(ii) Imagem de R (I(R)), o subconjunto de constituídos por todos os 
segundos elementos dos pares ordenados, ou seja: 
 .
Exemplo 4.1: dadas as relações apresentadas no exemplo 3.4:
R1 ={(Gabriel, Miguel), (Ana, Miguel), (Beatriz, João)}. 
R2 ={(Miguel, João), (João, Miguel), (Gabriel, Ana), (Ana, Gabriel)}.
Temos:
D(R1) = {Gabriel, Ana, Beatriz} e I(R1) = {Miguel, João}.
D(R2) = {Miguel, João, Gabriel, Ana} e I(R2) = {João, Miguel, Ana, Gabriel}.
Exemplo 4.2: dadas as relações apresentadas no exemplo 3.6:
 • ; 
 • ;
 • ;
 • . 
Temos:
 e ;
 e ;
 e ;
 e .
97
Álgebra Moderna 
Definição 4.2: sejam e conjuntos não vazios, relação binária R entre e é 
chamada de aplicação de em , se: 
(i) o domínio da relação for igual ao conjunto A, ou seja D(R) = A.
(ii) para cada existe um único tal que , ou seja, um 
elemento de A deve estar associado a apenas um elemento de B.
Notação: denotamos uma aplicação f de A em B, por e a igualdade 
 representa b como imagem de a por f.
O conjunto A é dito domínio de f e B é contradomínio de f.
Dadas as aplicações e , então , se e somente se 
 .
A definição 4.2 mostra que existem condições para que uma relação possa ser 
chamada de aplicação, veja: 
Exemplo 4.3: dados os conjuntos e , as relações 
de em dadas pelos conjuntos de pares ordenados são:
 • ;
 • ; 
 • .
Observe que:
 • R1 é aplicação de A em B, pois satisfaz as duas condições da 
definição 4.2, ou seja:
(i) D(R1) = .
(ii) Todo elemento de A está associado a apenas um elemento de B. 
Cuidado: pares indicam que dois elementos distintos do D(R3) têm a 
mesma imagem, o que não a impede de ser aplicação.
 • R2 não é aplicação, pois não satisfaz a condição (i), ou seja: 
D(R2) = {1, 2, 3, 4} ≠ .
 • R3 não é aplicação, pois não satisfaz a condição (ii) , pois o elemento 
 está relacionado a dois elementos de B, veja os pares 
ordenados . 
98
Capítulo 4 
Podemos utilizar diagramas de flechas para avaliar se uma relação pode ser 
chamada de aplicação. Vejamos as relações do exemplo 4.3:
 • .
Figura 4.1 – Diagrama de flechas representando R1
 
1 
2 
3 
4 
5 
a 
b 
 c 
 d 
e 
A B 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
Veja que, de cada elemento de A, “parte” uma seta, o fato de duas setas “chegarem” 
ao mesmo elemento em B, não descaracteriza a relação como aplicação.
 • . 
Figura 4.2 – Diagrama de flechas representando R2
 
1 
2 
3 
4 
5 
a 
b 
 c 
 d 
e 
A B 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
O diagrama mostra que nenhuma seta “parte” do elemento 5 de A, não 
satisfazendo a condição (i) da definição 4.2.
 • .
99
Álgebra Moderna 
Figura 4.3 – Diagrama de flechas representando R3
 
1 
2 
3 
4 
5 
a 
b 
 c 
 
d 
e 
A B
Fonte: Elaboração da autora (2016).
O diagrama mostra que nenhuma duas setas “partem” do elemento 3 de A, não 
satisfazendo a condição (ii) da definição 4.2.
Funções são aplicações cujos domínios e contradomínio são conjuntos 
numéricos (N, Z, Q, R, C). A partir de agora, sempre que nos referirmos a 
aplicações cujos conjuntos são numéricos, usaremos o termo função.
Como funções, aplicações também podem apresentar uma regra ou uma lei de 
formação.
Exemplo 4.4: dados os conjuntos , , podemos 
definir uma função f de A em B como f(a) = 2a.
Assim, .
Figura 4.4 – Diagrama de flechas representando f
 
1 
2 
 3 
 4 
5 
6 
1 
2 
3 
A B 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
Essa função também pode ser denotada por: .
100
Capítulo 4 
4.2 Atividades de autoavaliação
1. Se e e as relações a seguir A em B:
 .
 .
 .
 .
a) Identifique Domínio e Imagem de cada uma.
b) Verifique quais são aplicações.
2. Dados os conjuntos e , determine, utilizando conjuntos de 
pares ordenados, todas as possíveis aplicações .
3. Sejam , e as relações R1, R2 e R3 de A em 
B dadas respectivamente pelos diagramas (a), (b) e (c) a seguir. Identifique as 
aplicações, justifique.
a) Relação R1
 
-1 
0 
1 
2 
3 
- 4 
- 2 
 0 
 2 
4 
B A 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
b) Relação R2
 
-1 
0 
1 
2 
3 
- 4 
- 2 
 0 
 2 
4 
B A 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
101
Álgebra Moderna 
c) Relação R3
 
–1
0 
1
2 
3 
-4 
-2 
 0 
 2 
4 
B A 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
4. Dados os conjuntos , e a aplicação
 .
Apresente o conjunto de todos os pares ordenados resultantes da aplicação.
4.3 Estudo das aplicações
Algumas aplicações são de grande interesse para a álgebra. São aplicações que 
apresentam determinadas características e satisfazem algumas propriedades. 
Para que possamos nos aprofundar no estudo destas aplicações, vamos precisar 
compreender um pouco mais sobre elas.
4.3.1 Imagem Direta e Imagem Inversa
Definição 4.3: seja uma aplicação e um conjunto , chama-se 
imagem direta de em relação a f ao subconjunto de B:
 .
Observe que .
Quando tomarmos , chamamos a imagem direta simplesmente 
de imagem de . Em outras palavras, imagem direta é um subconjunto do 
contradomínio cujos elementos são imagens dos elementos do domínio. 
Definição 4.4: seja uma aplicação e , chama-se imagem inversa 
de em relação a f ao subconjunto de A:
 .
Ou ainda, é o conjunto dos elementos de A que tem imagem em B por f. 
102
Capítulo 4 
Exemplo 4.5: dada a aplicação apresentada no exemplo 4.4. 
Temos que o domínio de f é D(f) ={1,2,3}. A imagem direta de A por f é {2, 4, 6}.
Assim, a imagem inversa de {2, 4, 6} é {1, 2, 3}, que pode ser representada por 
 .
Suponha e a aplicação f de S em B definida por f(a) = 2a. Neste caso, 
temos:
 imagem direta de S
 imagem inversa de .
4.3.2 Aplicações Injetoras e Sobrejetoras
Definição 4.5: uma aplicação é dita:
 • injetora ou injetiva quando para quaisquer tivermos 
 . Ou seja, é injetora se implicar em , 
para todo .
 • sobrejetora ou sobrejetiva quando sua imagem for igual ao 
contradomínio, ou seja, . 
 • bijetora se é injetora e sobrejetora.
Existe aplicação que é apenas injetora ou apenas sobrejetora ou bijetora, 
ou ainda nem injetora e nem sobrejetora.
Exemplo 4.6: a aplicação apresentada no exemplo 4.4, 
 é uma aplicação injetora, pois cada 
elemento de A tem uma imagem distinta em B, mas não é sobrejetora, pois 
existem elementos em B que não estão relacionados a elementos de A. Veja 
não é imagem de algum elemento de A por f.
Exemplo 4.7: dados os conjuntos e , a aplicação 
de em , é bijetora, pois:
 • é injetora, quaisquer dois elementos distintos de A possuem 
imagens distintas;
 • é sobrejetora, todo elemento de B é imagem de algum elemento de A.
Podemos conferir essa conclusão analisando o diagrama das flechas.
103
Álgebra Moderna 
Figura 4.5 – Diagrama de flechas representando g
 
1 
2 
3 
4 
5 
a 
b 
 c 
 d 
e 
B A 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
Veja que a todo elemento de B “chega” uma única seta.
Será que só podemos falar de aplicação quando os conjuntos são finitos? 
Não. Conforme dito anteriormente, se os conjuntos domínio e contradomínio forem 
conjuntos numéricos, interpretamos as aplicações como funções e podemos 
representá-las no plano cartesiano. Como uma aplicação resulta em um conjunto 
de pares ordenados, se os conjuntos do domínio e contradomínio são números 
reais então podemos representar o gráfico da aplicação no R2 unindo os pontos.
Exemplo 4.8: dada a função , tal que , cujo gráfico é 
apresentado na figura a seguir. 
Gráfico 4.1 – Função 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
104
Capítulo 4 
 • f não é injetora. Observando o gráfico da função quadrática, vemos 
que dados dois números reais distintos, por exemplo, a1 = –3 e a2 = 3, 
suas respectivas imagens são iguais f(–3) = 9 = f(3). Graficamente,se 
traçarmos retas paralelas ao eixo a, todas interceptam a curva em 
dois pontos. 
Gráfico 4.2 – Aplicação e retas paralelas ao eixo a
 • f também não é sobrejetora. Nenhum número real não positivo é 
imagem de algum número real do domínio. Por exemplo, não existe 
 , tal que . Ou seja .
Gráfico 4.3 – Função não sobrejetora
Fonte: Elaboração da autora (2016).
105
Álgebra Moderna 
Exemplo 4.9: dada a função , tal que , e seu gráfico 
conforme representado a seguir.
Gráfico 4.4 – Função 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
 • g é injetora, pois a cada dois números reais distintos do domínio, 
suas respectivas imagens são distintas. Graficamente, cada reta 
paralela ao eixo a intercepta a reta em um único ponto.
Gráfico 4.5 – Função e paralelas ao eixo a
Fonte: Elaboração da autora (2016).
 • É sobrejetora: todo número real do contradomínio é imagem de 
algum número real do domínio. 
 • Logo g é bijetora.
Podemos restringir o domínio e/ou o contradomínio de uma aplicação para que 
ela se torne bijetora.
106
Capítulo 4 
Exemplo 4.10: vimos que a função , tal que , não é injetora 
nem sobrejetora. Mas observe que, se tomarmos um subconjunto do domínio 
e um subconjunto do contradomínio, podemos ter uma função bijetora definida 
pela mesma lei.
Sejam e , tal que é bijetora. Veja 
graficamente:
Gráfico 4.6 – Função tal que 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
Podemos pensar nas imagens direta e inversa da aplicação e utilizar a notação de 
intervalo, veja:
 e .
Algumas aplicações podem ser definidas associando pares ordenados a números 
reais. 
Exemplo 4.11: dada a relação definida por . 
Observe que R é uma aplicação, pois satisfaz as duas condições da definição 4.2.
De fato: 
(i) , pois é possível determinar MDC de quaisquer 
dois números naturais.
(ii) Dado , suponha que e .
Então, pela definição 1.6, temos que d | p e p | d logo d = p (observe que 
MCD (a, b) é único). 
107
Álgebra Moderna 
Portanto, cada par do domínio de R tem apenas uma imagem. Com isso, 
podemos garantir que R é uma aplicação. Veja alguns exemplos numéricos dessa 
aplicação:
 
 • Porém, R não é injetora, pois dados dois pares temos
 . 
 • Mas, a aplicação é sobrejetora, pois qualquer número natural diferente 
de zero pode ser resultado do MDC de dois números naturais.
4.4 Atividades de autoavaliação
1. Classifique como injetora, sobrejetora ou nem injetora nem sobrejetora cada uma 
das aplicações identificadas no (b) da atividade de autoavaliação 1 da seção 4.2.
2. Seja a aplicação definida por , determine , , 
 , , .
3. Dada a aplicação definida por , determine , 
 , .
4. Dada a aplicação definida por determine , 
 , .
5. Represente graficamente a aplicação 
 explique porque f não é bijetora.
6. Verifique se a aplicação definida por é bijetora.
7. Verifique se a aplicação definida por é bijetora.
108
Capítulo 4 
4.5 Inversão e composição de aplicações
Você já estudou funções e viu que algumas admitem inversa. As aplicações, de 
forma geral, também podem ou não admitir inversa. Vejamos a seguir como 
identificá-las.
Se chamarmos de uma determinada aplicação, sua inversa será chamada de 
 . O conceito da aplicação inversa é o mesmo estudado em funções, mas 
agora veremos sua interpretação para qualquer tipo de aplicação.
Vamos inicialmente visualizar um exemplo de aplicação utilizando o diagrama de setas. 
Exemplo 4.12: dada a aplicação apresentada no exemplo 4.7, se 
 , então sua inversa será
 .
Figura 4.6 – Diagrama de flechas representando g e g–1
 
1 
2 
3 
4 
5 
a 
b 
 c 
 d 
e 
B A g 
g-1 
Fonte: Elaboração da autora (2016).
Mas como ocorre com as funções, nem toda aplicação admite inversa: o 
teorema 4.1 mostra quais são invertíveis. 
Teorema 4.1: se é uma aplicação, então é uma aplicação se, 
e somente se, é bijetora. 
Demonstração:
 se é uma aplicação então é bijetora.
 • Dados , tal que , então 
logo . Por hipótese é uma aplicação, então 
 e , portanto , ou ainda , 
isto é, é injetora.
109
Álgebra Moderna 
 • Se , como é uma aplicação de B em A, então existe , 
tal que então , é sobrejetora.
 se é bijetora, então é uma aplicação.
 • Dado , suponha então 
e como f é uma aplicação . Por hipótese, f é 
injetora, então temos , logo, para cada , existe um único 
 .
 • Para todo , como f é sobrejetora, logo 
 , assim, . Portanto, é uma aplicação de B em A.
Proposição 4.1: se f é bijetora, então f –1 também é bijetora.
Demonstração:
 • Se f é injetora, então, para todo tem-se 
 , logo , ou seja, 
é injetora.
 • Se f é sobrejetora, então, para cada , existe um 
 e como f é uma aplicação, todo admite 
apenas uma imagem, logo é sobrejetora. 
 • Portanto, é bijetora.
Exemplo 4.13: dada , bijetora, para determinar sua 
inversa, podemos seguir a mesma metodologia estudada em cálculo: igualar a lei 
a y, trocar x por y e isolar y.
 logo .
Exemplo 4.14: dada a aplicação apresentada no exemplo 4.10, , 
 bijetora, sua inversa será:
 , ou seja, .
Observe que o domínio de é dado pelo conjunto e a imagem é .
110
Capítulo 4 
Definição 4.6: dadas as aplicações e , existe uma aplicação 
de A em C , denotado por , definida por , 
chamada aplicação composta de f e g.
(1) A composta de f e g só é definida se o contradomínio da f coincidir com 
o domínio da g. 
(2) A composta tem o mesmo domínio da f e o mesmo contradomínio 
da g .
Exemplo 4.15: dados os conjuntos , e ; e as 
aplicações , . A aplicação 
composta é obtida por:
 
Logo, .
Exemplo 4.16: dado o conjunto e as seguintes aplicações de A em A:
 e .
Podemos utilizar uma forma prática para determinar algumas aplicações 
compostas: 
 , , e .
Primeiro, vamos escrever f1 e f2 empregando notação de matrizes:
 e .
Sendo que a primeira linha representa os elementos do domínio da função e a 
segunda, suas respectivas imagens, ou seja:
 , , , , e .
Vamos determinar algumas composições entre essas duas aplicações:
 .
111
Álgebra Moderna 
Mas como chegamos a este resultado? Determinamos as imagens, uma a uma.
 
 
 .
Olhamos na matriz que representa f1, a imagem de a que é c, em seguida 
procuramos a imagem de c na segunda matriz, que é a. Então, escrevemos a matriz 
que representa a composição das duas anteriores associando a com a.
Seguindo o mesmo raciocínio, temos:
 , pois
 ;
 ;
 .
Com isso: 
 .
Exemplo 4.17: dadas as funções , definidas pelas leis 
 e , podemos determinar as seguintes aplicações compostas:
 
 
 
 .
Exemplo 4.18: dadas quatro funções , definidas pelas leis 
 , , e .
112
Capítulo 4 
Podemos realizar a composição das quatro funções duas as duas:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 .
113
Álgebra Moderna 
Podemos realizar a composição das quatro funções, três a três:
 
 
 
 
 .
Você pode continuar este exemplo.
Proposição 4.2: Se f : A → B e g : B → C são injetoras, então ( g ◦ f ) é injetora.
Demonstração:
Se e são injetoras, então com 
e com . 
Logo,
 com e logo .
Portanto é injetora.
Mas cuidado, a recíproca não é verdadeira, pois temos que se ( g ◦ f ) é 
injetora, então apenas f é injetora. Apresente um contraexemplo.
Proposição 4.3: Se f : A → B e g : B → C são sobrejetoras, então ( g ◦ f ) é 
sobrejetora.
114
Capítulo 4 
Demonstração:
Se e são sobrejetoras, então , , tal que e 
 existe , tal que . Então
 .
Definição 4.7: seja e a aplicação é chamada de identidade (ou 
idêntica) e denotada por id, se .
Exemplo 4.19: a identidade doexemplo 4.16 é a aplicação:
 .
Exemplo 4.20: podem ser classificadas como aplicação identidade, as seguintes 
aplicações do exemplo 4.18: , , , , , . 
Você deve ter encontrado outras, quais?
Proposição 4.4: suponha A ≠ B e f : A → B uma aplicação bijetoras, então: 
• ( f ◦ f –1 ) é uma aplicação identidade, com ( f ◦ f –1 ) : B → B.
• ( f –1 ◦ f ) é uma aplicação identidade, com ( f –1 ◦ f ) : A → A.
Demonstração:
Se é bijetora, então pelo teorema 4.1, é uma aplicação de B em A. Assim, 
 , tal que com , temos que , com isso:
 
 .
As identidades ( f ◦ f –1 ) e ( f –1 ◦ f ) podem ser chamadas de idB e idA , 
respectivamente. 
Se f : A → A, a função identidade pode ser chamada de id ou idA .
115
Álgebra Moderna 
Exemplo 4.21: no exemplo 4.14, vimos que se , e sua 
inversa é .
Observe que 
 
 .
Sendo:
 
 .
Proposição 4.5: dadas as aplicações f : A → B e g : B → A, então: 
• ( f ◦ idA ) = f e ( idA ◦ f ) = f .
• ( g ◦ idB ) = g e ( idB ◦ g ) = g .
Demonstração:
 • Como e tem-se , ou ainda .
Então e , além disso:
 , 
por outro lado
 
logo .
 • Como e tem-se , ou ainda .
Então e , além disso:
 , logo .
116
Capítulo 4 
Proposição 4.6: se f : A → B e g : B → A, tal que ( g ◦ f ) = idA e ( f ◦ g ) = idB , então 
f e g são bijetoras e g = f –1 .
Demonstração:
Dados tais que , então , ou seja 
 . Mas por hipótese , então 
 , portanto, é uma aplicação injetora.
Seja , temos que , se . Logo, 
f é sobrejetora, assim é bijetora.
Como a aplicação é bijetora, temos que , então 
 . Além disso, , então 
 e como f é injetora .
Exemplo 4.22: dadas as aplicações apresentadas no exemplo 4.16:
 e .
Temos que 
 e , pois como , 
 , , , 
 e .
4.6 Atividades de autoavaliação
1. Determine a aplicação inversa de definida por , com m 
e n constantes reais e 
2. Sendo , tal que , e , tal que 
 , determine e . O que podemos concluir sobre essas novas 
aplicações?
117
Álgebra Moderna 
3. Sejam funções de em , definidas por e 
 
a) Determine as compostas , , , , e .
b) Verifique se .
4. Se dadas as aplicações de A em A e 
 .
Determine: 
a) , , .
b) idA.
5. Se dadas as aplicações de A em A , 
 , e .
Determine: 
a) , e .
b) .
c) .
119
Capítulo 5
Operações
Neste capítulo, você irá compreender o que é uma operação e estudar operações 
propriedades associadas a um conjunto. O estudo deste capítulo possibilitará a você 
construir tabelas de operações e identificar operações em uma tabela de operações 
propriedades, além de conhecer a estrutura de grupo e identificar subgrupos.
5.1 Operação binária interna
Em muitas situações que envolvem a matemática, determinados conteúdos 
podem comportar-se de forma similar, mesmo, aparentemente, sendo distintos. 
Isso faz com que esses conteúdos possam ser classificados em determinadas 
categorias e, consequentemente, apresentar algumas conclusões similares. 
Veremos a noção de três estruturas que envolvem um conjunto e algumas 
operações: são os chamados grupos, anéis e corpos. 
Historicamente, a estrutura de grupo foi introduzida pelo matemático francês 
Evariste Galois (1811-1832), o qual associou a cada equação um grupo formado 
por permutações de suas raízes. A partir daí, observou-se que esta estrutura era 
um importante instrumento que auxiliava na organização e no estudo de vários 
tópicos matemáticos.
Em paralelo a este estudo, o matemático irlandês William R. Hamilton (19805-
1865) dedicou-se ao desenvolvimento de um sistema numérico que culminou 
na criação de novos números, os chamados quaternários. E pôde perceber 
que, entre eles, algumas operações não admitiam determinadas propriedade 
(comutatividade), plantando, assim, a ideia inicial de corpo e anel.
120
Capítulo 5 
Para compreender essas estruturas, você precisa percorrer um caminho inicial 
e estudar detalhadamente o conceito de operação associada a um conjunto, o 
que fará com que você perceba uma maior abstração – e veja que existem outras 
formas de operar elementos além das usuais (adição, multiplicação, subtração etc.). 
Uma operação pode ser entendida como um “comando” ou uma “tarefa” a ser 
executada por uma determinada “lei” ou “regra”. Se a operação envolve dois 
elementos de um determinado conjunto, ela é chamada de operação binária e se, 
além disso, o resultado da operação, obtido após a aplicação da lei, pertencer ao 
conjunto dado, essa operação é chamada de operação binária interna.
É importante entender que uma operação está associada a elementos de 
um conjunto.
Definição 5.1: seja A um conjunto não vazio, uma operação binária interna (*) 
definida em A é uma aplicação f de em A. 
Nesse caso, dizemos que se A é um conjunto munido da operação *, e se 
 , então é o resultado da operação * sobre .
Dado um conjunto A, algumas operações conhecidas são:
 • Adição: dados .
A operação + chama-se adição, e é chamada de soma.
 • Multiplicação: dados .
A operação . chama-se multiplicação, e é chamada de produto.
Outras operações podem ser definidas e, quando não for uma operação 
usual, os símbolos *, são utilizados para representá-las.
Exemplo 5.1: a adição, a multiplicação e a subtração definidas em Z são alguns 
exemplos de operações binárias internas.
Observe a representação de cada uma:
 
(a, b) a + b 
 
121
Álgebra Moderna 
(a, b) a . b 
 
(a, b) a – b.
Em todas elas, o domínio é , o contradomínio é Z e, para cada elemento do 
domínio, é associado um único elemento do contradomínio.
Exemplo 5.2: as operações adição e multiplicação usuais também são ditas 
binárias internas nos conjuntos numéricos N, Q, IR, C.
Exemplo 5.3: a potenciação em N* definida por tal que 
 é uma operação binária interna. Pois, dado . O resultado 
obtido pela lei é um número natural, diferente de zero.
Exemplo 5.4: a divisão em Q*, definida por , tal que é 
uma operação binária interna. Pois, dado , o resultado obtido pela 
lei é um número racional, diferente de zero.
Exemplo 5.5: a divisão em Z* definida por , tal que não 
é uma operação binária interna, pois se tem-se .
Exemplo 5.6: no conjunto das matrizes do tipo m por n de números reais, 
a operação de adição é binária interna. Ou seja, dadas duas matrizes quaisquer:
 e .
Temos que: 
.
 
122
Capítulo 5 
Outras operações com matrizes também podem ser chamadas de binárias 
internas, por exemplo, a multiplicação usual em .
Veja a seguir alguns exemplos de operações não usuais. 
Exemplo 5.7: a operação , tal que é binária interna, 
sendo “.” a multiplicação usual nos inteiros e “–” a subtração usual nos inteiros. 
Assim, dados quaisquer dois números inteiros a e b, o resultado da operação 
 será um número inteiro.
Veja:
Se , então , pois a operação multiplicação é binária interna em Z, 
além disso, , justificada acima, com b = 3.
Logo , pois a subtração de dois inteiros resulta em um inteiro.
Somente para ilustrar, veja alguns exemplos numéricos:
 
 
 .
Exemplo 5.8: a operação tal que é binária interna, 
sendo “+” a adição usual nos reais. Isto é, dados quaisquer dois números reais a 
e b, o resultado da operação será um número real.
Pois, dados então (a operação adição é binária interna em IR).
Dividindo um número real por 2, resulta em um número real.
Vamos ilustrar com alguns exemplos numéricos:
 
 
 .
123
Álgebra Moderna 
É importante compreender que, ao estudarmos uma operação binária 
interna, você precisa saber a qual conjunto ela está associada. Além disso, 
o conjunto não necessariamente é um conjunto numérico e a operação não 
necessariamente é uma aplicação usual.
No Capítulo 3,você estudou congruência e classes de congruência, viu que 
as classes formam conjuntos. Vamos ver agora que é possível realizar algumas 
operações em Zn.
5.1.1 Operações no Zm 
Definição 5.2: a operação binária interna em , m > 0, 
chamada de:
 • Adição, definida por:
+: 
( ) .
 • Multiplicação, definida por:
. : 
( ) .
O domínio dessas operações é Zm × Zm e o contradomínio é Zm .
Com isso, vemos que é possível somar e multiplicar duas a duas classes de 
congruência módulo m e suas respectivas imagens são classes de congruência 
módulo m.
Além disso, você viu no Capítulo 3 que as classes de congruência módulo m 
estão diretamente relacionadas aos restos da divisão por m. Isso garante que a 
cada elemento do domínio é associado um único elemento do contradomínio. 
Visto que se a + b > m – 1, existe um único 0 r < m, tal que = .
124
Capítulo 5 
Exemplo 5.9: dado , conforme vimos no Exemplo 3.34, vamos 
realizar algumas adições com elementos de Z5:
 
 
 que, conforme visto em 3.34, é igual a .
Analogamente,
 (resto da divisão de 6 por 5).
 (resto da divisão de 7 por 5).
Algumas multiplicações:
 
 
 
 . 
Por que é importante estudar as operações?
Porque operações associadas a conjuntos podem formar determinadas 
estruturas algébricas.
5.1.2 Propriedades das operações
No Capítulo 1, você estudou algumas propriedades da adição dos inteiros. Essas 
propriedades também podem ser analisadas em outros conjuntos com outras 
operações. Vamos chamar um conjunto qualquer de A e uma operação qualquer 
de operação *.
125
Álgebra Moderna 
Assim, podemos escrever as propriedades como:
associativa: para quaisquer a, b e c ∈ A deve-se ter:
(a * b) * c = a * (b * c).
comutativa: para quaisquer a e b ∈ A deve-se ter:
a * b = b * a.
elemento neutro: deve existir um (único) elemento e ∈ A tal que para qualquer a ∈ A:
a * e = e * a = a.
elemento simetrizável: para cada a ∈ A deve existir um a' ∈ A tal que:
a * a' = a' * a = e 
Podemos denotar o simétrico de a por a–1.
Atenção: um elemento é dito simetrizável se admite 
simétrico. A propriedade do elemento simetrizável só pode 
ser analisada se a propriedade do elemento neutro for 
satisfeita. Pode acontecer de apenas alguns elementos de 
um conjunto admitirem simétrico para determinada operação.
Conforme mostrado no Capítulo 1, as propriedades são válidas 
para a adição e a multiplicação no conjunto dos números 
inteiros. Vejamos agora como avaliar a validade dessas 
propriedades para outras operações em outros conjuntos.
Exemplo 5.10: a adição nos conjuntos N, Q e IR admite a:
Associativa: para quaisquer a, b e c N, Q e IR vale a igualdade:
(a + b) + c = a + (b + c).
Simetrizável
Se a operação é 
adição, chamamos o 
simétrico de oposto, 
se é multiplicação, ele 
é chamado de inverso 
e, neste caso, dizemos 
que o elemento é 
invertível ou inversível. 
126
Capítulo 5 
Comutativa: para quaisquer a e b N, Q e IR vale a igualdade:
a + b = b + a.
Existência do elemento neutro: para qualquer a N, Q e IR o elemento neutro é o 0, pois:
a + 0 = 0 + a = a.
Elementos simetrizáveis: todo elemento a N, Q e IR admite oposto, o elemento (–a), pois:
a + (–a) = (–a) + a = 0.
Observe que não existem elementos simetrizáveis no conjunto dos números 
naturais N com a operação adição. 
Exemplo 5.11: a multiplicação nos conjuntos N, Q e IR admite a:
Associativa: para quaisquer a, b e c N, Q e IR vale a igualdade:
(a . b) . c = a . (b . c).
127
Álgebra Moderna 
Comutativa: para quaisquer a e b N, Q e IR vale a igualdade:
a . b = b . a.
Existência do elemento neutro: para qualquer a N, Q e IR o elemento neutro é o 1, pois:
a . 1 = 1 . a = a.
Elemento simétrico: todo elemento a Q* e IR* admite inverso, o elemento , pois:
 .
Você viu no Capítulo 1 que nem todo número inteiro admite inverso. 
Veja agora que apenas os inteiros 1 e –1 são invertíveis, pois . O 
inverso de 1 é 1:
 o inverso de é .
No conjunto dos N, algum elemento é invertível?
Exemplo 5.12: a adição usual em admite todas as propriedades. 
Sendo
 . 
128
Capítulo 5 
Valem as propriedades listadas a seguir.
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C), pois 
 
Pois os elementos aij, bij, cij IR e vale a associatividade na adição dos reais.
 .
Comutativa: (A + B) = (B + A), pois
 
Pois os elementos aij, bij IR e vale a comutatividade na adição dos reais.
129
Álgebra Moderna 
Elemento neutro: para qualquer matriz A M2x2 (IR) o elemento neutro é a matriz 
nula de M2x2 (IR) , pois
 .
Pois o elemento neutro da adição dos reais é o 0.
Elemento simétrico (oposto): toda matriz A M2x2 (IR) admite oposta.
Dada a matriz , devemos determinar uma matriz , tal que
 
Portanto, a oposta da matriz A é .
Também podemos analisar as propriedades quando a operação não é usual.
130
Capítulo 5 
Exemplo 5.13: suponha o conjunto (conjunto das triplas ordenadas de 
números inteiros) e a operação *, definida por tem-se 
 , sendo “.” a multiplicação usual nos inteiros. Vamos 
verificar se:
* é associativa;
* é comutativa;
* admite elemento neutro;
* admite algum elemento simetrizável.
Dados 
Associativa: , pois 
.
 
Por outro lado
. 
Comutativa, vale a igualdade
 
pois, 
 .
131
Álgebra Moderna 
Elemento neutro
Para estudar a existência do neutro, temos que verificar se existe 
tal que: .
Vejamos:
 .
Logo .
Elementos simetrizáveis
Agora, que mostramos a existência do neutro, podemos analisar a simetria, então 
temos que verificar se existe tal que: 
 .
Assim, o simétrico de um elemento por * seria da forma , mas 
observe que ele só pertence a se . 
Portanto, os elementos de que admitem simétrico por * são da forma 
 .
Atenção: é importante você saber que se uma operação admite elemento neutro 
em um conjunto ele é único, o mesmo vale para o simétrico de algum elemento.
132
Capítulo 5 
Proposição 5.1: se uma operação * sobre um conjunto A admite elemento neutro, 
ele é único.
Demonstração:
Suponha que sejam elementos neutros da operação *, então:
Se e é o neutro , temos .
Se é o neutro , temos , logo .
Proposição 5.2: se uma operação * sobre um conjunto A é associativa e admite 
elemento neutro, temos:
(i) se qualquer elemento a A admite simétrico a´, então este é único;
(ii) se a A é simetrizável, então seu simétrico a´ também é e o simétrico de a´ é a.
Demonstração:
(i) Suponha que sejam simétricos de a, então se e é o 
elemento neutro:
 , logo .
(ii) Suponha simétrico de a, temos
 , logo é simétrico de , isto é, .
Exemplo 5.14: suponha o conjunto e a operação *, definida por 
tem-se . Vamos verificar se * admite elemento neutro. Ou seja, verificar se 
existe em algum e, tal que .
133
Álgebra Moderna 
Observe que:
se e = 1, vale a igualdade ;
se e = –4, vale a igualdade ;
se e = 15, vale a igualdade .
Ou seja, para qualquer valor de e, a igualdade é válida. Neste caso, o 
neutro não existe, pois ele deve ser único.
Em algumas situações, vamos precisar analisar ainda outra propriedade, a 
chamada distributiva, que associa duas operações.
Distributiva: dadas duas operações * e ∆ sobre um conjunto A. 
Dizemos que ∆ é:
Distributiva à esquerda relativamente a * se para quaisquer a, b, c, A:
 .
Distributiva à direita relativamente a * se para quaisquer a, b, c, A:
 .
Exemplo 5.15: vale a distributiva na multiplicação de inteiros em relação à adição, 
tanto à direita quanto à esquerda. Ou seja, dados a, b, c, , tem-se:
 e .
Quando o conjunto A sobre o qual está associado uma operação * é finito, existe 
uma maneira prática para analisar aspropriedades dessa operação, construindo 
uma tabela ou tábua da operação.
5.1.3 Tábua de uma operação
Dado um conjunto finito com n elementos , podemos 
indicar uma operação * em A por meio de uma tabela de dupla entrada. Na primeira 
linha (linha fundamental) e primeira coluna (coluna fundamental), marcamos os 
elementos de A nas intersecções das linhas e colunas e marcamos o elemento 
obtido operando o elemento da linha com o elemento da coluna. Observe:
134
Capítulo 5 
Exemplo 5.16: seja e a operação de multiplicação, a tábua que 
representa a operação em A é formada da seguinte maneira. 
Tabela 5.1 – Tábua da multiplicação em A 
–1 1 1
–1 1 0 –1
0 0 0 0
1 –1 0
5.1.4 Tábua de uma operação e propriedades
Propriedade associativa
Devemos inicialmente calcular todos os compostos do tipo 
 ; em seguida, os compostos 
 , e comparar aqueles que têm os mesmos i, j e k. 
Esse método requer o cálculo de compostos.
135
Álgebra Moderna 
Propriedade comutativa
Se é a diagonal principal, os componentes e ocupam 
posições simétricas relativamente a diagonal principal. 
Uma operação * é comutativa se desde que sua tábua seja simétrica em relação à 
diagonal principal.
Elemento neutro 
Um elemento e é neutro para a operação * quando
(i) ;
(ii) .
Assim, uma operação * tem elemento neutro desde que exista um elemento cuja 
linha e coluna são respectivamente iguais à linha e coluna fundamentais.
Elementos simetrizáveis
Um elemento é simetrizável quando o neutro “aparece” ao menos uma vez 
na linha i e na coluna i da tábua, ocupando posições simétricas em relação à 
diagonal principal.
A única propriedade que não apresenta facilidade na utilização da tábua é a 
propriedade associativa.
136
Capítulo 5 
Exemplo 5.17: observando a tábua do Exemplo 5.15, vemos que a operação é
Comutativa, pois apresenta a simetria em relação à diagonal principal. 
Tabela 5.2 – Comutatividade na tábua da multiplicação em A 
–1 1 1
–1 1 0 –1
0 0 0 0
1 –1 0 1
O elemento neutro é o 1, pois linha a fundamental se repete a partir dele. 
Tabela 5.3 – Elemento neutro na tábua da multiplicação em A
–1 1 1
–1 1 0 –1
0 0 0 0
1 –1 0 1
Dois elementos admitem simétrico: 1 e –1, pois o neutro aparece nas linhas e 
colunas encabeçadas por eles.
Tabela 5.4 – Elemento simetrizável na tábua da multiplicação em A 
–1 1 1
–1 1 0 –1
0 0 0 0
1 –1 0 1
Além disso, o simétrico de –1 é –1 e o simétrico de 1 é 1.
137
Álgebra Moderna 
Exemplo 5.18: seja e a operação , vamos 
construir a tábua e analisar as propriedades comutativa, existência do elemento 
neutro e simetria.
Tabela 5.5 – Tábua do MDC em B 
MDC 1 2 4 8
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
4 1 2 4 4
8 1 2 4 8
Operação comutativa.
Elemento neutro: 8.
Apenas o elemento 8 admite simétrico.
Exemplo 5.19: seja e as operações adição e multiplicação, 
vamos construir a tábua e analisar as propriedades.
Adição
Tabela 5.6 – Tábua da adição em Z5 
+ 
 
 
 
 
 
138
Capítulo 5 
Propriedades válidas:
Comutativa.
Elemento neutro: .
Todos os elementos admitem simétrico (oposto):
Simétrico de é .
Simétrico de é , consequentemente simétrico de é , simétrico de é e 
vice-versa.
Podemos escrever ainda: , , , .
Multiplicação
Tabela 5.7 – Tábua da multiplicação em Z5
. 
 
 
 
 
 
Comutativa.
Elemento neutro: .
Admitem simétrico (inverso): , e .
 , , e .
139
Álgebra Moderna 
Exemplo 5.20: seja S = {1, 2, 3}, o conjunto das partes de S, representado por 
(S), tal que seus elementos são todos os subconjuntos de S, ou seja:
Elementos (S) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, S}.
Vejamos que a intersecção de conjuntos (regra, lei), anotada por , é uma 
operação binária interna em (S).
O domínio é (S)x (S).
O contradomínio é (S).
A intersecção de dois subconjuntos de S é um subconjunto de S, e a regra fornece 
um resultado único.
Tabela 5.8 – Tábua da em (S)
 {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} S
 
{1} {1} {1} {1} {1}
{2} {2} {2} {2} {2}
{3} {3} {3} {3} {3}
{1,2} {1} {2} {1,2} {1} {2} {1,2}
{1,3} {1} {3} {1} {1,3} {3} {1,3}
{2,3} {2} {3} {2} {3} {2,3} {2,3}
S {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} S
140
Capítulo 5 
A propriedade associativa é válida, mas se tivéssemos que mostrar elemento a 
elemento, teríamos muito trabalho (504 verificações). Por isso, vamos fazer uma 
interpretação de forma genérica.
Sejam A, B, C (S).
Devemos mostrar que (A = . 
Para isso, temos duas etapas: e .
Mostraremos a primeira, a outra mostra-se de modo análogo.
x 
 .
Comutativa.
Elemento neutro: S.
O único elemento que admite simétrico é o S.
Exemplo 5.21: seja aplicações definidas por 
 , e .
Realizando a composição das aplicações, duas a duas, conforme a metodologia 
apresentada no Exemplo 4.16, construímos a Tabela 5.9, faça as composições e 
confira.
Tabela 5.9 – Tábua da composição em A
O 
 
 
 
141
Álgebra Moderna 
Comutativa.
Elemento neutro: .
Todos os elementos admitem simétrico. 
 , e .
5.2 Atividades de autoavaliação
1. Seja A = {1, 3, 4, 6}, verifique se a*b= MDC (a, b), definida em Z uma operação 
em A.
2. Dado o conjunto dos números naturais N e a operação potenciação, definida 
por , verifique se a operação é associativa, comutativa e 
admite elemento neutro.
3. Dado o conjunto dos números reais IR e a operação * definida por: 
 , verifique se a operação é associativa, comutativa 
e admite elemento neutro.
4. Se é a operação intersecção, complete a tábua e 
verifique quais operações são satisfeitas. 
∩ B C D E
B
C
D
E
5. Definida a operação * sobre Z x Z, tal que , verifique se a 
operação é associativa, comutativa e admite elemento neutro.
6. Dado o conjunto , das matrizes quadradas de ordem 2, e a operação 
multiplicação de matrizes, explique porque a operação não é comutativa, 
identifique o elemento neutro e determine 3 elementos simetrizáveis.
142
Capítulo 5 
7. Construa a tábua da operação composição de duas a duas funções, conforme 
mostra o Exemplo 4.18, e verifique quais propriedades são satisfeitas. Utilize 
essa tábua para determinar o resultado da composição .
8. Construa as tábuas da adição e multiplicação de e verifique quais 
propriedades são satisfeitas.
5.3 Grupos
Um grupo é uma estrutura algébrica que envolve um conjunto e uma operação. 
Muitos conjuntos que conhecemos associados também a operações usuais 
podem ser classificados como grupo.
Definição 5.3: um conjunto não vazio G munido de uma operação binária interna *
 
é um grupo se esta operação admitir as propriedades: 
Associativa: .
Elemento neutro: .
Elemento simétrico: .
Denotamos o grupo G, munido da operação *, por (G, *).
5.3.1 Alguns grupos clássicos
 • O grupo aditivo dos inteiros (Z, +), pois possui todas as propriedades 
conforme vimos no Capítulo 1.
 • O grupo aditivo dos racionais (Q, +), visto no Exemplo 5.10.
 • O grupo aditivo dos reais (IR, +), visto no Exemplo 5.10.
 • O grupo multiplicativo dos racionais não nulos (Q*, .), visto no 
Exemplo 5.11.
 • O grupo multiplicativo dos reais não nulo (IR, *), visto no Exemplo 5.11.
 • O grupo aditivo das matrizes quadradas de ordem 2 ( , 
visto no Exemplo 5.12.
143
Álgebra Moderna 
 • O grupo aditivo das classes de congruência módulo 5, ( , +), visto 
no Exemplo 5.19. 
 • Grupo aditivo das classes de congruência módulo m, ( , +), pois 
possui as propriedades: 
Associativa
Sejam .
( =( ) + = = = . 
a, b, c são números inteiros e a adição de númerosinteiros é associativa.
Elemento neutro
O elemento neutro é . 
Para todo um elemento qualquer de .
 e .
Elementos simetrizáveis
Seja .
Determinar um elemento , tal que .
144
Capítulo 5 
 , tal que a + x = m . q.
a + x = m . q x = m . q – a = m . q – a + m – m = m . q – m + (m – a) = m . (q – 1) + (m – a).
O resto da divisão por m deve ser 0. Como isso não acontece aqui, reescrevemos 
a expressão somando e subtraindo m e, assim, não alteramos a igualdade e 
obtemos o resto desejado.
Como , temos que , portanto, .
 .
Assim, encontramos o candidato a simétrico de e ainda nos falta verificar a 
outra igualdade.
 .
Logo, cada elemento possui um simétrico que é .
Portanto, a estrutura ( , +) representa grupos finitos.
 • Grupo multiplicativo das classes de congruência módulo m: 
Você viu na Tabela 5.7 da multiplicação em que o elemento não admite 
simétrico; então, podemos dizer que essa estrutura não representa um grupo.
Porém, se excluirmos o zero, a estrutura ( , .) possui todas as propriedades e 
pode ser classificada como grupo. 
 .
Mas será que podemos generalizar e dizer que ( , .) é um grupo?
Vejamos:
145
Álgebra Moderna 
Associativa
Sejam .
 .
a, b, c são números inteiros e a multiplicação de números inteiros é associativa.
Elemento neutro
O elemento neutro é .
Para todo um elemento qualquer de .
 e .
Elementos simetrizáveis
Seja .
Determinar um elemento , tal que .
Podemos pensar que o fato de excluirmos o elemento já seja suficiente para 
garantir que a estrutura ( , . ) seja um grupo, mas isso não ocorre, veja a 
seguinte situação: 
Seja , então .
A operação em é fechada se e somente se m for um número primo.
146
Capítulo 5 
Demonstração
 Suponha m não primo, com m > 1. Existem com , tais que 
 e com isso . Por outro lado, e que, por hipótese, é 
impossível. 
 Sejam , a operação é fechada se , ou seja, não acontece 
 . Mas se , então , ou ainda, e como m é 
primo (por hipótese), temos ou . Suponha a primeira possibilidade , 
então existe algum inteiro q, tal que , logo
 , absurdo, pois .
Vamos mostrar agora que, se m é primo, a estrutura é um grupo ( , . ).
Ou seja, todos os elementos de admitem simétrico, ou ainda existe 
 , tal que .
Demonstração
Se e m é primo, a não é múltiplo de m, então MDC (a, m) = 1, pela 
proposição 1.1, existem x1 e y1, tal que 
ax1 + my1 = 1
Logo,
 
Assim, é o inverso de 
Portanto, a estrutura ( , . ) representa um grupo se e somente se m for um 
número primo.
 • Grupo das simetrias espaciais de um triângulo equilátero.
Você sabe o que é simetria de um polígono regular?
Dois polígonos são simétricos quando um pode ser obtido do outro por meio de 
uma translação, de uma rotação ou de uma reflexão (chamadas de isometrias).
Vamos ver simetrias envolvendo rotações e reflexões em um mesmo triângulo 
equilátero, de tal modo que ele permaneça o mesmo, mas os vértices mudam de lugar.
Consideremos o triângulo equilátero MNP da figura a seguir.
147
Álgebra Moderna 
Figura 5.1 – Posição inicial do triângulo MNP
M N 
P 
Triângulo MNP
Vamos fazer rotações no sentido anti-horário, fixando um eixo perpendicular ao 
plano do triângulo e passando pelo centro do mesmo. Se a rotação for de 120º 
(chamada de R1), o vértice M vai tomar o lugar do vértice N, o vértice N vai tomar 
o lugar do vértice P, e o vértice P, o lugar do vértice M. 
Veja a nova posição na Figura 5.2. Observe, também, como se apresenta 
o triângulo após uma rotação de 240º e uma rotação de 360º, chamadas, 
respectivamente, de R2 e R3.
Figura 5.2 – Rotações no triângulo MNP
P M 
N 
N P 
M 
M N 
P 
R1
(Rotação de 120º)
R2
(Rotação de 240º)
R3
(Rotação de 360º)
Partindo do triângulo da Figura 5.1, para fazer uma reflexão, precisamos, 
inicialmente, fixar uma bissetriz, por exemplo, a bissetriz passando pelo vértice 
M do triângulo da reflexão do triângulo segundo este eixo (chamada de reflexão 
a). Observe na Figura 5.3 que o vértice M permanece na mesma posição, mas 
os vértices N e P trocam de lugar. Analogamente, chamaremos as reflexões em 
relação aos vértices N e P, respectivamente, de b e c, resultando nos triângulos da 
figura a seguir.
148
Capítulo 5 
Figura 5.3 – Reflexões no triângulo MNP
M P 
N 
P N 
M 
N M 
P 
a
(Reflexão vértice M)
b
(Reflexão vértice N)
c
(Reflexão vértice P)
Se chamarmos de D3 o conjunto formado por esses movimentos realizados, temos:
D3 = {R1, R2, R3, a, b, c}.
Vamos agora pensar na operação composição de movimentos (como se fosse 
composição de funções), denotada por , que realiza a composição de dois a 
dois movimentos do triângulo dado. Por exemplo:
A composição (R1 R2), no triângulo da Figura 5.1, 
representa primeiro uma rotação de 2400 nele e, em 
seguida, uma rotação de 1200 nesta posição.
A composição (R2 a) representa primeiro uma reflexão segundo a bissetriz, 
passando por A em seguida uma rotação de 2400, veja o resultado na figura a seguir.
Figura 5.4 – Composição (R2 a) no triângulo MNP
M P 
N 
P N 
M 
P N 
M 
A
(Reflexão eixo M)
R2
(Rotação de 240º)
Resultado de 
(R2 a)
R1 R2(∆) = R1(R2(∆)), 
como em funções.
149
Álgebra Moderna 
É possível construir uma tabela com todas as possíveis composições de dois a 
dois movimentos e, em seguida, estudar o comportamento desta operação.
Tabela 5.10 – Composições de rotação e reflexão sobre o triângulo MNP
 R1 R2 R3 a b c
R1 R2 R3 R1 c a b
R2 R3 R1 R2 b c a
R3 R1 R2 R3 a b c
a b c a R3 R1 R2
b c a b R2 R3 R1
c a b c R1 R2 R3
Veja que todos os elementos da Tabela 5.10 pertencem a D3, ou seja, é uma 
operação binária interna em D3.
Analisando as propriedades desta operação.
Associativa
É a mais trabalhosa se não usamos o fato da composição de funções ser uma 
operação associativa. 
Observe alguns elementos: 
(R1 R2) R3 = R3 R3 = R3 = R1 R2 = R1 (R2 R3),
(R1 R3) R1 = R1 R1 = R2 = R1 R1 = R1 (R3 R1),
(R2 a) R1 = b R1 = c = R2 b = R2 (a R1),
(a b) c = R1 c = b = a R1 = a (b c).
Vamos fazer outras verificações, mas temos um total de 190 verificações.
Utilize a Tabela 5.10 para obter os respectivos resultados. 
150
Capítulo 5 
Elemento neutro
É o R3 (Rotação de 3600) que pertence a D3. 
Elementos simetrizáveis
Todo o elemento de D3 possui um simétrico em D3.
R2–1= R1
R3–1 = R3
a–1 = a
b–1= b
c–1 = c.
Podemos concluir que (D3, ) é um grupo. Ele é chamado 
de grupo diedral de ordem 6.
Exemplo 5.22: alguns conjuntos munidos de uma 
operação podem não ser classificados como grupo. É o 
caso o Exemplo 5.20, que analisa a interseção no conjunto 
 (S), conforme visto na Tabela 5.8, pois a propriedade do elemento simétrico 
não é válida.
Definição 5.6: se a operação * em (G, *) admite a propriedade comutativa, ou seja, 
 , dizemos que (G, *) é um grupo abeliano (ou comutativo).
Exemplo 5.23: são grupos abelianos. Citamos: , , .
Exemplo 5.24: o grupo D3 não é abeliano, pois a R1 = b c = R1 a.
A ordem de um grupo é 
o número de elementos 
que ele possui. Se 
o grupo é infinito, 
dizemos que ele tem 
ordem infinita.
151
Álgebra Moderna 
Definição 5.7: se G é um conjunto finito com n elementos, dizemos que o grupo 
(G, *) é de ordem n.
Exemplo 5.25: é um grupo de ordem n.
Exemplo 5.26: (D3, o) é um grupo de ordem 6.
5.3.2 Propriedades de grupos
I. O elemento neutro de um grupo (G, *) é único.
Sejam e, e’ G elementos neutros de (G, *).
e elemento neutro de (G, *) e * e’ = e’
e’ elemento neutro de (G, *) e * e’ = e.
Portanto, e = e’.
II. Cada elemento possui um único simétrico nogrupo (G, *).
Sejam a’, a’’ G simétricos do elemento a G e e o elemento neutro.
a’ simétrico de a a * a’ = e;
a’’ simétrico de a a’’ * a = e;
a’’ = a’’ * e = a’’ * (a * a’) = (a’’ * a) * a’ = e * a’ = a’.
Portanto, a’’ = a’.
III. .
(a * b) * (b–1 * a–1) = a * (b * b–1) * a–1 = a * e * a–1 = (a * e) * a–1= a * a–1 = e.
Da mesma forma, você mostra que (b–1 * a–1) * (a * b) = e.
5.3.3 Subgrupos
Sabemos que e que as estruturas (Z, +) e (Q, +) são classificadas como 
grupo. Observe que nos dois casos a operação é a mesma, podemos dizer, então, 
que (Z, +) é um subgrupo de (Q, +).
152
Capítulo 5 
Definição 5.8: se (G, *) é um grupo, dizemos que um subconjunto não vazio 
 munido da mesma operação * é um subgrupo de G, se:
(i) dados , então (H é fechado para a operação *);
(ii) (H, *) também é um grupo;
Se e é elemento neutro do grupo (G, *), então (G, *) e ({e}, *) são subgrupos 
de (G, *). 
Dizemos que eles são subgrupos triviais. 
Os demais subgrupos de (G, *) são ditos subgrupos próprios.
Felizmente, não precisamos verificar todas as propriedades de grupo para 
concluir se um subconjunto de um grupo é também um grupo. O Teorema 5.1 
apresenta-nos uma forma de avaliar essa situação.
Teorema 5.1: seja H um subconjunto não vazio de G, ambos munidos da mesma 
operação *. (H, *) é um subgrupo de (G, *) se e somente se .
Demonstração
Vejamos agora as propriedades necessárias para que (H, *) seja um grupo.
Associativa
Se H G, a operação * é a mesma em G e H, então, se vale a associatividade em 
G, vale em H.
Elemento neutro
Se , por hipótese.
Dados .
Como o elemento neutro é único e ele está em H, a propriedade é válida.
153
Álgebra Moderna 
Elementos simetrizáveis
Como cada elemento de G admite um único simétrico, então todos os elementos 
de H são simetrizáveis.
Portanto (H, *) é um grupo e, por definição, um subgrupo de (G, *).
Exemplo 5.27: dado o grupo , se , então é 
subgrupo de . Vamos estudar a tábua da adição em H.
Tabela 5.8 – Tábua da adição em H
+ 
 
 
 
 
(i) A adição é fechada em H, pois dados dois a dois elementos de H, a 
adição deles resulta em um elemento de H. 
(ii) é grupo, pois todos os elementos de H admitem simétrico e 
seus simétricos pertencem a H.
Veja: o neutro é .
 , , , .
5.4 Atividades de autoavaliação
1. Dado o conjunto chamado de D4, composto pelas simetrias espaciais do 
quadrado (são 8), monte a tábua da operação composição desses movimentos 
utilizando movimentos no sentido anti-horário. 
2. Seja , conjunto dos números complexos. Se , 
construa a tábua da operação multiplicação em A e verifique se (A, .) é um grupo.
3. Verifique se os conjuntos seguintes com as respectivas operações são grupos.
a) b) (D4, ).
154
Capítulo 5 
4. Determine um subgrupo não trivial de .
5. Determine um subgrupo não trivial de (D4, ).
6. Verifique se o conjunto de todos os números inteiros pares, anotado por 2Z, é 
um subgrupo de (Z, +).
7. Se , mostre que (H, +) é um subgrupo de ( ,+).
8. Dado o conjunto chamado de conjunto das permutações ou ???.
Sendo os elementos as aplicações:
 , , 
e e a operação “o”, composição.
a) Construa a tábua da operação.
b) Mostre que é um grupo. Ele é abeliano?
c) Dado , verifique se é um subgrupo de .
d) Calcule .
5.5 Anéis e corpos
As estruturas chamadas de anel e corpo são mais “fortes” que a estrutura de 
grupo, pois envolvem duas operações associadas a um conjunto. Você verá a 
seguir os conceitos de anel e corpo e alguns exemplos clássicos.
Definição 5.9: um conjunto não vazio A, munido de duas operações binárias 
internas, é um anel se e somente se:
(i) (A, +) é um grupo abeliano. 
(ii) A segunda operação é associativa. 
(iii) A segunda operação é distributiva à direita e à esquerda com 
relação à primeira operação.
155
Álgebra Moderna 
A notação usada para anel é (A, +, .).
Os símbolos + e . não representam, necessariamente, as operações de 
adição e multiplicação usuais.
O elemento neutro aditivo é representado pelo símbolo 0A. e é chamado de zero 
do anel. 
Exemplo 5.28: (Z, +, .) é um anel, sendo as operações + e . as usuais de adição e 
multiplicação.
(i) Já vimos que (Z, +) é um grupo. Além disso, como vale a 
comutatividade na adição dos inteiros (mostrado no Capítulo 1), 
então esse grupo é abeliano.
(ii) A multiplicação é associativa:
 vale .
(iii) A multiplicação é associativa e distributiva à direita e à esquerda 
com relação à adição:
 vale e .
Exemplo 5.29: se definirmos as seguintes operações, não usuais, em Z:
a b = a + b +1 e
a b = a.b + a + b;
 é um anel, pois
 é um grupo abeliano.
156
Capítulo 5 
Associativa
Sejam a, b, c .
( (a + b + 1) c = a + b + 1 + c + 1 = a + b + c + 2
a a (b + c + 1) = a + (b + c + 1) + 1 = a + b + c + 2
Logo, ( a .
Elemento neutro
 
e a = e + a + 1 = a (e + a + 1) + (–a) + (–1) = a + (–a) + (–1) e = –1 
Adicionamos o mesmo elemento em ambos os lados da igualdade.
Por outro lado, a (–1) = a + (–1) +1 = a.
Logo, o elemento neutro existe e é igual a –1, ou seja, o zero do anel é –1.
Elementos* simetrizáveis
*Como em um anel, usamos a notação aditiva, então podemos nos referir a oposto em vez de simétrico.
 
 (–a) + a + a’ + 1 + (–1) = (–a) + (–1) + (–1) a’ = –a + (–2) e 
-a + (–2) 
157
Álgebra Moderna 
Por outro lado, = (–a + (–2)) + a + 1= –1. 
Logo, cada elemento de Z possui um simétrico.
 
Comutativa
Sejam a, b .
a = b + a +1 = .
Propriedade comutativa da adição de inteiros.
Logo, é um grupo abeliano.
Propriedade associativa para a operação 
Sejam a, b, c .
 = 
(a . b) . c + a . c + b . c + a . b + a + b + c = a . b . c + a . c + b . c + a . b + a + b + c.
Propriedade associativa da 
multiplicação e da adição de inteiros.
 = 
a . (b . c) + a . b + a . c + a + b . c + b + c = a . b . c + a . c + b . c + a . b + a + b + c.
Propriedade associativa da 
multiplicação e da adição de inteiros.
Distributiva da multiplicação em 
relação à adição de inteiros.
Distributiva da multiplicação em 
relação à adição de inteiros.
158
Capítulo 5 
Logo, .
Distributiva à direita da operação em relação à operação 
Sejam a, b, c .
 = a . c + b . c + 1 . c + a + b + 1 + c = 
a . c + b . c + c + a + b + 1 + c = a . c + b . c + a + b + 2c + 1
 = 
a . c + b . c + a + b + 2c + 1.
*1 Distributiva da multiplicação em relação à adição de inteiros e associativa.
*2 Elemento neutro da multiplicação de inteiros.
*3 Comutativa da adição e distributiva da multiplicação em relação à adição de 
inteiros.
Distributiva à esquerda da operação em relação à operação 
 .
A prova é semelhante à anterior.
*1 *2
*3
*3
159
Álgebra Moderna 
Exemplo 5.30: é um anel finito.
(i) é um grupo, conforme mostrado em 5.2.1.
+ é comutativa, abeliano.
Sejam .
 = = .
Comutativa da adição de inteiros.
(ii) A multiplicação é associativa 
Sejam .
 . = = = = .
Associativa da multiplicação de inteiros.
(iii) Distributiva à esquerda e à direita: 
Sejam .
 = = = + = .
160
Capítulo 5 
Distributiva da multiplicação em relação à adição de inteiros.
Você pode mostrar a distributiva à direita de forma semelhante.
Exemplo 5.31: seja o anel das matrizes 2 x 2 com elementos reais. 
Operações de adição e multiplicação de matrizes usual:
 
 .
(i) Conforme exemplo 5.12 ( ,+) é um grupo abeliano.
(ii) A multiplicação é associativa: , pois 
 
Por outro lado: 
161
Álgebra Moderna 
(iii) Distributiva à esquerda e à direita 
 
Por outro lado:
 
Você pode mostrar a outra igualdade.Definição 5.10: um anel (A, +, .) é dito comutativo quando a segunda operação é 
comutativa.
Exemplo 5.32: são anéis comutativos . Mas não é 
um anel comutativo. Veja o Exemplo 5.31.
Exemplos 5.33: seja o anel apresentado no Exemplo 5.31. 
Operações de adição e multiplicação de matrizes usuais.
162
Capítulo 5 
Como a segunda operação, multiplicação de matrizes, não é comutativa; portanto, 
o anel não é comutativo. Veja um exemplo a seguir.
 
 .
5.5.1 Anéis com unidade e de integridade
Definição 5.11: um anel (A, +, .) é chamado de anel com unidade, se a segunda 
operação admite a propriedade do elemento neutro.
Este elemento neutro é denotado pelo símbolo 1A (unidade do anel).
Exemplo 5.34: o anel ( , +,.) é um anel com unidade, pois a matriz 
identidade é a unidade do anel.
Exemplos 5.35: o número inteiro 1 é a unidade do anel , denotada por 
 .
Exemplo 5.36: a unidade do anel é . Além disso, a segunda 
operação é comutativa, então este é um anel comutativo com unidade.
Definição 5.12: um anel (A, +, . ) comutativo com unidade 1A 0A é chamado de 
anel de integridade quando: 
 (chamada de lei do anulamento do 
produto).
Exemplo 5.37: o anel (Z, +, .) é de integridade. 
163
Álgebra Moderna 
Exemplo 5.38: (Q, +, .) é um anel de integridade. 
No Exemplo 5.10, você viu que (Q, +); e no Capítulo 2, viu que as propriedades 
associativa, elemento neutro e comutativa são válidas para a multiplicação. Viu 
também que a multiplicação é distributiva em relação à adição de racionais.
A propriedade do elemento simétrico somente é válida para os racionais 
diferentes de zero. Ou seja, todo elemento de (Q*, .) admite simétrico. 
Assim, podemos concluir que (Q, +, . ) é um anel comutativo com unidade.
E (Q*, .) é um grupo, pois todas as propriedades da multiplicação dos racionais 
também são válidas para Q*. 
A unidade do anel (Q, +, . ) é o racional 1, que também pertence a Q* e, como o 
elemento neutro é único, temos que a propriedade do elemento neutro é válida em Q*.
Dado , mas , logo .
Então, e, portanto, a propriedade do elemento simétrico é 
válida em Q*.
Portanto (Q*, .) é um grupo.
Como é o elemento neutro aditivo de Q, temos que:
 .
 
Exemplos 5.39: outros anéis de integridade são (IR, +, .) , (C, +, .).
Exemplo 5.40: , com p primo é um anel de integridade.
Nem todo anel é anel de integridade.
Exemplo 5.41: ( , +,.) não é um anel de integridade por não ser 
comutativo. Além disso, a propriedade do anulamento dos fatores também não é 
válida para a multiplicação de matrizes.
164
Capítulo 5 
Pois, dado
 e .
Temos que .
Assim, não vale a lei do cancelamento na multiplicação de matrizes.
Observação: muito cuidado quando estiver operando e resolvendo equações em 
um anel, principalmente quando ele não for de integridade.
5.5.2 Corpo
Definição 5.12: dados um conjunto não vazio K e duas operações binárias 
internas denotadas por “+” e “.”. Se (K, +, .) é um anel comutativo com unidade e 
(K*, .) é um grupo, então (K, +, .) é um corpo.
Exemplo 5.42: são corpos (Q, +, .) , (IR, +, .) , (C, +, .).
C = {a + bi, tal que a, b IR} conjunto dos números complexos.
Exemplo 5.43: (Z, +, .) não é corpo, pois (Z*, .) não é um grupo visto que nem 
todos os elementos admitem inverso.
Proposição 5.3: todo corpo é um anel de integridade.
Demonstração 
Seja (K, +, .) um corpo, então para que este seja um anel de integridade, deve 
valer a lei do anulamento do produto. 
 tal que , se .
165
Álgebra Moderna 
Multiplicando os dois membros da igualdade por 
 , mas , então .
Analogamente para .
Portanto (K, +, .) é um anel de integridade.
A recíproca não é verdadeira, ou seja o fato de (K, +, .) ser um anel de 
integridade não garante que (K, +, .) é um corpo.
Exemplo 5.44: é o caso de (Z, +, .), explicado em 5.41.
5.6 Atividades de autoavaliação
1. Verifique se é um anel com unidade, se são definidas as operações:
 .
2. Seja . Determine o conjunto de todos os elementos inversíveis em 
relação à multiplicação.
3. Mostre que é um anel de integridade. Ele é um corpo? 
4. Verifique se é um anel de integridade, sendo e as 
operações usuais de adição e multiplicação.
5. Verifique se é um corpo, sendo e as 
operações usuais de adição e multiplicação.
6. Mostre que é um corpo se p é primo.
167
Considerações Finais
A finalização dos estudos do conteúdo deste livro não significa o esgotamento 
dos assuntos relacionados à álgebra abstrata, muito pelo contrário: o assunto é 
amplo, e este material apenas apresenta noções básicas, iniciais e fundamentais 
para um aprofundamento. Para alcançar este aperfeiçoamento, o estudante deve 
buscar referências, como as apresentadas no final deste texto, além de possíveis 
novas literaturas associadas ao assunto.
Alguns textos extras podem ser publicados no EVA com o objetivo de 
complementar o estudo.
O estudo da matemática é um caminho crescente de descobertas que se 
encaixam e proporcionam sua aplicação, não apenas no nosso dia a dia, mas 
também dando subsídios para novas construções. A álgebra é uma das principais 
áreas da matemática, pois apresenta a construção de vários conceitos utilizados 
no ensino básico e aprofundado.
169
Referências
AZEVEDO, A.; PICCININI, R. Introdução à teoria de grupos. Rio de Janeiro: 
Impa, 1969. 
CRIPPA, J. Álgebra com o maple. Disponível em: <www. mtm.ufsc.br/~jane>. 
DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991. 
______; IEZZI, G. Álgebra moderna. São Paulo: Atual, 1982. 
FLEMMING, M. D.; GONÇALVES, B. M. Cálculo A. São Paulo: Prentice Hall, 2006. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Álgebra: um curso de introdução. Projeto Euclides. Rio 
de Janeiro: Impa, 1988. 
HALMOS, R. P. Teoria ingênua dos conjuntos. Coleção Clássicos da 
Matemática. São Paulo: Ciência Moderna, 2001. 
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. v. 6. São Paulo: Atual, 2005. 
KUELKAMP, N. Introdução à topologia geral. Série Didática. Florianópolis: 
UFSC, 1988. 
LIMA, L. E. Análise real: funções de uma variável. v. 1. Coleção matemática 
universitária. Rio de Janeiro: Impa, 2008. 
______. Curso de análise. v.1. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: Impa. 1976. 
LYNDON, R.; SCHUPP, P. Combinatorial groups theory. Springer Verlag, 1977.
RISO, B.; SCHWEITZER, M. C.; HEERDT, P. G. Algoritmos numéricos. 
Florianópolis: UFSC, 1996. 
VILANOVA, C. O anel de Félix Klein. Porto Alegre: URGS, 1977. WIKIPEDIA. A 
enciclopédia livre. Biografia de Felix Klein. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/
wiki/Felix_Klein>. Acesso em: 10 jul. 2016.
170
171
Sobre as Professoras Conteudistas
Jane de Oliveira Crippa 
Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal do Rio Grande 
do Sul (1972) e mestrado pela Associação Instituto Nacional de Matemática 
Pura e Aplicada (1975). Atualmente é coordenadora de tutores da Licenciatura 
em Matemática na modalidade à distância em parceria com UNIVIMA/UFSC e 
formadora de tutores em SC do Pró-Letramento em colaboração com UFRJ/
UNIRIO. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Teoria dos 
Números, atuando principalmente nos seguintes temas: grupo cíclico e grupo.
Kelen Regina Salles Silva 
É graduada em Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de 
Maringá (UEM, 1986). Mestre em Engenharia de Produção, na área de Pesquisa 
Operacional, pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC, 1994). 
Professora na Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL, desde 2004), 
onde ministra disciplinas para os cursos de Matemática e Engenharias. Ainda, 
como professora, trabalhou na Universidade Estadual de Maringá (UEM, de 1988 
a 1990 e de 1993 a 1995); na Fundação Universidade Federal de Rio Grande 
(FURG, 1992 e 1993);na Universidade do Vale do Itajaí (UNIVALI, de 1998 a 
2005) e na Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC, de 2009 a 2011). 
É coautora dos livros Geometria I e Geometria II, Álgebra Linear e Tópicos de 
Matemática Elementar III, todos utilizados pela UNISUL no curso de Licenciatura 
em Matemática. Também atua no Núcleo de Estudos em Educação Matemática 
(NEEM), em atividades de ensino e extensão voltadas às dificuldades de 
aprendizagem da matemática, bem como em atividades da UnisulVirtual, como 
professora conteudista e tutora.
	Introdução 
	Capítulo 1
	O conjunto dos números inteiros
	Capítulo 2
	O conjunto dos números racionais
	Capítulo 3
	Congruência
	Capítulo 4
	Aplicações
	Capítulo 5
	Operações
	Considerações Finais
	Referências
	Sobre as Professoras Conteudistas