Cálculo Diferencial e Integral I Unidade II

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2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Reitor 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
Gestão da Educação a Distância 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
Design Instrucional e Diagramação 
Diógenes Caxin 
Victor Rocha 
 
Coord. do Núcleo Pedagógico 
Prof.ª Ms. Terezinha Nunes Gomes Garcia 
Prof.ª Dr.ª Gleicione Aparecida Dias Bagne de Souza 
 
Revisão ortográfica / gramatical 
Erika de Paula Sousa 
 
 
 
 
 
 
4 
Autor 
Alessandro Ferreira Alves 
 
Doutor em Matemática Aplicada pela Faculdade de Engenharia 
Elétrica e Computação (FEEC) da Universidade Estadual de 
Campinas (UNICAMP-SP) no departamento de Telemática. Mestre 
em Matemática Pura pelo Instituto de Matemática, Estatística e 
Computação (IMECC) da Universidade Estadual de Campinas 
(UNICAMP-SP). Possui Licenciatura Plena em Matemática pela 
Universidade Federal de Uberlândia (UFU-MG). Atua como 
professor titular no Centro Universitário do Sul de Minas (UNIS-
MG), desde o ano de 2001, como professor em diversos Cursos de 
Graduação, bem como cursos de Pós-graduação, nas 
Modalidades Presencial (GEP) e a Distância (GEaD). Além disso, é 
Coordenador do Curso de Licenciatura Plena em Matemática na 
Modalidade a Distância desde o segundo semestre de 2007, bem 
como, já atuou como coordenador dos cursos de Pós-graduação 
do UNIS-MG, tais como: MBA em Finanças Corporativas (GEDUP – 
2007 e 2008), MBA em Gestão Empresarial (GeaD – 2008), Pós-
graduação em Matemática Empresarial (GEP – 2004, 2005 e 2006) 
e Lato Sensu em Matemática e Ensino (GEDUP – 2002 e 2003). 
Atualmente, atua como professor titular de disciplinas em vários 
cursos de nossa instituição, como por exemplo, Engenharia 
Mecânica, Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, 
Física, Comércio Exterior, Sistemas de Informação e Ciência da 
Computação, relacionadas à Matemática, Estatística e 
Computação, bem como, como professor em diversos cursos da 
GEPOS, tais como, MBA em Finanças Corporativas e Gestão 
 
 
 
5 
Bancária, MBA em Gestão Estratégica e Inteligência em Negócios, 
MBA em Gestão Empresarial, MBA em Logística Empresarial e Lato 
Sensu em Ensino de Matemática e Física. O professor Alessandro 
Ferreira Alves também é membro do CONSELHO UNIVERSITÁRIO 
– CONSUN do Centro Universitário do Sul de Minas Gerais desde 
o ano de 2008, atuando como representante do quadro de 
coordenadores da instituição. De outra forma, atua com projetos 
de consultoria na área de Finanças, Estatística Aplicada a Mercado 
e Controle Estatístico de Processos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALVES, Alessandro Ferreira 
Guia de Estudo – 
Cálculo Diferencial Integral II – 
Alessandro Ferreira Alves. Varginha: 
GEaD-UNIS/MG, 2010. 197p. 
 
 
2. A Derivada. I. Título. 
 
 
 
 
7 
 
Sumário 
2 A DERIVADA ............................................................................................. 12 
2.1 Aspectos Introdutórios 16 
2.2 Interpretação Geométrica da Derivada: Qual o significado da Reta 
Tangente? 18 
2.3 Interpretando a Derivada na Física: Velocidade e Aceleração 30 
2.4 Definindo a Derivada de Uma Função em um Ponto 38 
2.5 A Derivada de Uma Função y = f(x) 39 
2.6 Continuidade e Derivada: Estudando a Continuidade de Funções 
Deriváveis 55 
2.7 Regras Operatórias das Derivadas 68 
2.8 A Derivada da Função Composta: A Regra da Cadeia 80 
2.9 A Derivada da Função Inversa 90 
2.10 A Derivada de Funções Elementares da Matemática 93 
2.11 A Derivada das Funções Trigonométricas Inversas 112 
2.12 A Função Arco Seno de x (arcsenx) 113 
2.13 A Função Arco Cosseno de x (arccosx) 122 
2.14 A Função Arco Tangente de x (arc tgx) 129 
A função tangente definida por: 129 
2.15 A Derivada da Função Arco Tangente de x 135 
2.16 Derivadas Sucessivas 139 
2.17 Derivação Implícita 145 
2.18 A Derivada de Uma Função na Forma Implícita 151 
2.19 Derivada de Funções na Forma Paramétrica 156 
2.20 Diferencial 158 
2.21 Interpretação Geométrica da Diferencial 161 
2.22 A Regra de L’Hospital 164 
2.23 Exercicios Resolvidos 167 
2.24 Resumo da Unidade 192 
Diretrizes para a Próxima Unidade 192 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 193 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EMENTA 
 
Limites. Continuidade. Derivadas. Estudo da Variação das Funções. 
Máximos e Mínimos. A Integral Indefinida. A Integral Definida. 
Técnicas de Integração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro (a) aluno (a) 
Uma das grandes caracteríscas atuais no mundo dos 
negócios é a enorme permeabilidade a mudança. As revoluções 
acontecem em ondas sucessivas e a garantia de sucesso em um 
forte mercado, altamente competitivo, esta na capacidade de 
reagir rapidamente e seguramente a esses acontecimentos. Para 
Druker(1999), as mudanças mais importantes são aquelas que 
acontecem sem que ninguém as prevejaa. Não se podeo tomar 
decisões para o futuro. Decisões são compromissos com ações e 
 
 
 
11 
estas se dão no presente. Porém, as ações no presente são a 
única maneira de fazer o futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
2 A DERIVADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
META 
 
Nesta segunda unidade é de nosso interesse apresentar os 
conceitos fundamentais da teoria envolvendo a derivada. Em 
diversas áreas do conhecimento encontramos problemas que 
serão resolvidos utilizando a derivada como uma taxa de variação. 
Desta forma, aqui apresentamos os conceitos introdutórios da 
derivada, tais como taxa de variação, reta tangente e as regras 
operatórias da teoria da derivação de funções de uma variável real, 
bem como os principais teoremas relacionados. Além disso, 
apresentaremos uma série de resoluções de aplicações de 
problemas simulados utilizando os conceitos apresentados 
anteriormente. 
 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta unidade, você 
seja capaz de: 
- Apresentar os principais conceitos acerca da derivada de 
uma função y = f(x); 
 
 
 
14 
- Interpretar geometricamente o conceito de derivada de uma 
função y = f(x); 
- Compreender o conceito de derivada como uma taxa de 
variação; 
- Compreender a importãncia do estudo das derivadas de 
funções de uma variável para a resolução de diversas 
situações dentro da matemática, física e outras áreas do 
conhecimento; 
- Interpretar e aplicar a noção de derivada na resolução de 
problemas simulados nas áreas da matemática e da física; 
- Estar plenamente familiarizado com os principais conceitos 
e resultados envonvendo derivadas e regras operatórias; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
PRÉ-REQUISITOS 
Em verdade, para se ter um bom aproveitamento desta unidade, é 
importante você relembrar alguns tópicos discutidos na nossa 
primeira Unidade do guia de estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
2.1 Aspectos Introdutórios 
O conceito de derivada foi introduzido em meados dos 
séculos XVIII e XVIII em estudos de problemas de Física ligados ao 
estudo dos movimentos. Entre outros, destacam-se neste estudo o 
físico e matemático inglês Issac Newton (1642 – 1727), o filósofo e 
matemático Gottfried Leibniz (1646 –1716) e o matemático 
francês Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813, que em verdade 
nasceu em Turim na Itália, mas viveu praticamente toda sua vida 
na França). 
 
 
Séculos XVII e XVIII Isacc Newton 
Gottfried Leibniz Joseph-Louis Lagrange 
Nomes importantes 
para o Desenvolvimento 
das Derivadas 
 
 
 
17 
Figura 01: Nomes importantes para o desenvolvimento das derivadas. 
 
Salientamos que as idéias preliminares introduzidas na Física 
foram aos poucos sendo incorporadas em outras áreas do 
conhecimento. Em Economia e Administração, por exemplo, o 
conceito de derivada é utilizado principalmente no estudo gráfico 
de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculo de 
taxas de variação de funções. 
 
Figura 02: A aplicabilidade do conceito de derivadas em Administração e 
Economia. 
Aplicação 
das 
Derivadas 
Estudo 
Gráfico de 
Funções 
Máximos e 
Mínimos 
Cálculo de 
Taxas de 
Variação de 
Funções 
 
 
 
18 
2.2 Interpretação Geométrica da Derivada: Qual o 
significado da Reta Tangente? 
 
Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidos 
por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas 
antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de 
reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que 
significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência é 
uma reta que toca a circunferência exatamente em um ponto P e é 
perpendicular ao segmento OP, como vemos na Figura 03 abaixo. 
 
Figura 03: A idéia do significado da reta tangente. 
 
Ao tentar estender essa idéia acerca da reta tangente a uma 
curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta 
definição perde o sentido, como mostramos na Figura 04 abaixo. 
 
 
 
19 
 
Figura 04: A idéia do significado da reta tangente. 
 
Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no 
ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. 
Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P 
e a suposta reta tangente toca a curva em mais do que um ponto. 
Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q. 
Sendo assim, vamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) 
para, em seguida, encontrar a equação da reta tangente à curvas 
num ponto dado, de acordo com o realizado por Newton e 
Leibniz, no século XVIII. 
Consideremos y = f(x) uma curva definida no intervalo aberto 
(a,b), como na Figura 05 abaixo. 
 
 
 
 
20 
 
Figura 05: Uma função y = f(x) definida num intervalo aberto (a, b). 
Sejam P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 ) dois pontos distintos da curva y = 
f(x). Além disso, consideremos a reta s reta secante que passa 
pelos pontos P e Q. Considerando o triângulo retângulo PMQ, na 
Figura 05 acima, temos que a inclinação da reta s (ou o 
coeficiente angular de s) é dado por: 
Coeficiente angular de s = tgα = x
y
xx
yy





12
12
 
 
Agora, vamos supor quem, mantendo o ponto P fixo, Q se 
mova sobre a curva em direção ao ponto P. Diante disto, a 
inclinação da reta secante s sofrerá uma variação. Notemos que à 
 
 
 
21 
medida que Q vai se aproximando cada vez mais do ponto P, a 
inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um 
valor limite constante, como mostramos na Figura 06 abaixo. 
 
 
Figura 06: A interpretação do valor limite na inclinação da reta s. 
 
Esse valor limite é chamado de inclinação da reta tangente à 
curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P. Sendo 
assim, temos a seguinte definição associada. 
Definição (Inclinação da Reta Tangente): Dada uma curva y 
= f(x), seja o ponto P(x 1 , y1 ) um ponto sobre ela. A inclinação da 
reta tangente no ponto P é dada por: 
 
 
 
22 
 
 
 
 
Este limite definido acima, se tomarmos x 2 = x 1 + x podemos 
reescrevê-lo como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) m(x
1
) = 
x
y
QP 


lim
 = 
12
12 )()(lim
12 xx
xfxf
xx 


, quando o limite existe. 
 
 
(2) m(x
1
) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
. 
 
Importante! Se conhecemos a inclinação da reta tangente à 
curva no ponto P, podemos encontrar a equação da reta 
tangente à curva em P. 
 
 
 
23 
Definição (Equação da Reta Tangente): Se a função y = f(x) 
é contínua em x 1 , então a reta tangente à curva y = f(x) em P(x 1 , y
1 ) é dada por: 
i) A reta que passa por P tendo inclinação: 
m(x 1 ) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 , se este limite existe. 
Neste caso, temos a equação: 
y – f(x 1 ) = m.(x – x 1 ) 
 
ii) A reta x = x 1 se x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 for infinito. 
 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
 
 
Vamos encontrar a inclinação da reta tangente à 
curva y = f(x) = x 2 – 2x + 1 no ponto (x 1 ,y1 ). 
 
Solução: Se f(x) = x 2 – 2x + 1, então: 
 
 
 
24 
f(x 1 ) = (x 1 ) 2 – 2.x 1 + 1 
E 
f(x 1 + x ) = (x 1 + x ) 2 –2.(x 1 + x ) + 1 = x 1 2 + 2. x 1 . x +( x ) 2 – 2. x1 
– 2. x + 1 
 
Desta forma, usando (2), vem que: 
m(x 1 ) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 
m(x 1 ) = x
xxxxxx
x 


)1.2(1.22.- ) (+ . x2. + x
lim 1
2
11
2
1
2
1
0 
m(x 1 ) = x
xxx
x 


.2 ) (+ . x2. 
lim
2
1
0 = 
22
2)- . x2..( 
lim 1
1
0




x
x
xx
x 
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) = x 2 – 
2x + 1 no ponto (x 1 ,y1 ). m(x 1 ) = 22 1 x . A Figura 07 nos mostra a 
interpretação geométrica deste exempo. 
 
 
 
 
25 
 
 
Figura 07: A interpretação do exemplo. 
 
 
 
Dada a equação quadrática y(x) = x 2 (parábola), 
encontre a inclinação da reta tangente à parábola no 
ponto (2; 4). 
 
 
Solução: Temos que a inclinação da reta tangente que passa pelo 
ponto (2; 4) dada pela equação y(x) = x² , para x 1 = 2,é dada por: 
 
 
 
 
26 
4)4(lim
.4
lim
)2()2(
lim
)()2(
lim)2()(
0
2
0
22
0
0
0
1 










x
x
xx
x
x
x
xfxf
mxm
xxxx
 
 
Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 
no ponto cuja abscissa é 2. 
 
 
Solução: Inicialmente, notemos quee o ponto da curva y = 2x
2 + 3 cuja abscissa é 2, é o ponto P(2, f(2)) = (2,11). Daí, devemos 
então encontrar a inclinação da curva y = 2x 2 + 3 no ponto P(2, 11). 
Para tal, vamos encontrar primeiramente a inclinação da curva em 
um ponto P(x 1 , y 1 ) qualquer . Temos que: 
m(x 1 ) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 
 
m(x 1 ) = x
xx
x 


)3(2.-3 ) .(x 2.
lim
2
1
2
1
0 
 
m(x 1 ) = x
xx
x 


32x-3 ) 2(+ . x4.+ 2x
lim
2
1
2
1
2
1
0 
 
 
 
27 
 
m(x 1 ) = x
xx
x 


) 2.(4x 
lim 1
0 
 
m(x 1 ) = 4.x 1 
 
Como m(x 1 ) = 4.x 1 , então m(2) = 4.2 = 8. Logo, podemos 
escrever a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 em P(2,11) 
como segue: 
 
y – f(x 1 ) = m.(x – x 1 ) 
 
y – 11 = 8.(x – 2) 
Ou seja, 
8x – y – 5 = 0 
 
A Figura 08 abaixo nos mostra a representação geométrica 
descrita neste exemplo. 
 
 
 
 
28 
 
Figura 08: A interpretação geomérrica do exemplo. 
 
 
Encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da 
função definida por 
 
 
 
 
No ponto (x 1 ,y 1 ).Solução: Neste caso, temos que: 
f(x 1 ) = x 1 3 – 3.x 1 + 4 
 
y = x3 – 3.x + 4 
 
 
 
 
29 
f(x 1 +  x) = (x 1 +  x) 3 – 3. (x 1 +  x) + 4 
Logo, 
m(x 1 ) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 = 
x
xxxxxx
x 


)4.3(4).(3)(
lim 1
3
11
3
1
0 = 
 
x
xxxxxx
x 


.3)().(.3.3
lim
32
1
2
1
0 
 
Como  x ≠ 0, podemos dividir o numerador e o denominador 
por  x e obter: 
m(x 1 ) = 3. x 1 2 – 3 
 
Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da 
função definida por 
 
 
 
 
 
 
y = x3 – 3.x + 4 
 
 
 
 
30 
 
No ponto (2, 6). 
Solução: Como a inclinação da reta tangente em qualquer 
ponto (x 1 ,y 1 ) é dada por: 
m(x 1 ) = 3. x 1 2 – 3 (Exemplo anterior) 
 
a inclinação da reta tangente no ponto (2, 6) é: 
m(2) = 9 
 
Portanto, uma equação da reta pedida na forma ponto-
inclinação é: 
y – 6 = 9.(x – 2) 
9.x – y – 12 = 0 
 
2.3 Interpretando a Derivada na Física: Velocidade e 
Aceleração 
Num curso introdutório de Mecânica, importante ramo da 
Física estudamos conceitos bem simples, bem conhecidos do 
nosso dia-a-dia, como por exemplo Velocidade e Aceleração. 
 
 
 
31 
Sendo assim, exemplificando melhor, quando dirigimos um 
automóvel, podemos medir a distância percorrida num dado 
intervalo de tempo decorrido, além disso podemos tirar 
conclusões acerca da velocidade a partir dos valores mostrados 
no velocímetro, bem como a partir do momento que pisamos no 
freio podemos analisar a aceleração. Podemos utilizar a teoria de 
limites e conseqüentemente a teoria envolvendo as derivadas para 
calcularmos velocidades e acelerações em determinadas 
situações. 
Definição (Velocidade Média): Consideremos que um corpo 
se mova em linha reta e que s = s(t) represente o espaço 
percorrido pelo móvel no instante t. Então, o intervalo de tempo 
entre t e t +  t, o corpo sofre um deslocamento  s = s( t+  t) – 
s(t). Sendo assim, definimos a velocidade média nesse intervalo 
de tempo pela expressão v m = t tstts   )()( . 
 
 
 
Importante! Em outras palavras, a velocidade média significa o 
quociente entre o espaço percorrido pelo tempo gasto para 
percorrê-lo. 
 
 
 
 
32 
 
 
Além disso, podemos observar que em linhas gerais, a 
velocidade média ainda não nos dá nenhum tipo de informação 
acerca da velocidade do corpo no instante t. Sendo assim, 
definimos a velocidade instantânea do móvel como segue. 
Definição (Velocidade Instantânea): A velocidade 
instantânea ou a velociade no instante t é o limite das 
velocidades médias quando  t se aproxima de zero, ou seja, em 
símbolos escrevemos v(t) = tst  0lim = t tsttst   )()(lim0 . 
Agora, podemos introduzir de modo análogo o conceito de 
aceleração como realizado para velocidade. 
Definição (Aceleração Média): A aceleração média no 
intervalo de tempo t e t +  t é dada a m = t tsttv   )()( . 
Definição (Aceleração Instantânea): Similarmente, definimos 
a aceleração instantânea como sendo o limite a(t) = 
t
tvttv
t 


)()(
lim
0 = v’(t). 
 
 
 
33 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a aplicabilidade e 
interpretação dos conceitos de espaço, velocidade e aceleração 
descritos anteriormente. 
 
 
No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. 
Sua posição no instante t é dada por s(t) = 16t – t2 . Pede-se: 
 
 
a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2;4]. 
 
b) A velocidade do corpo no instante t = 0. 
 
c) A aceleração média no intervalo [0;4]. 
 
d) A aceleração no instante t = 4. 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2;4] é 
dada por: 
 
 
 
34 
v m = t tstts   )()( = 24 )2()4(  ss = 24
)22.16()44.16( 22


 
 
v m = 2 2848  = 10 (unid. veloc.) 
 
b) A velocidade do corpo no instante t = 0 é dada por: 
 
v(t) = t tsttst   )()(lim0 = t
tttttt
t 


]16[])().(16[
lim
22
0 
 
v(t) = t
tttt
t 


2
0
)(..2.16
lim 
 
v(t) = ).216(lim0 ttt  
 
v(t) = 16 – 2t (unid. veloc.) 
 
 
 
 
 
35 
 Por exempo, quando t = 2 temos: v(2) = 16 – 2.2 = 12 
unid. veloc. 
 
c) A aceleração média no intervalo [0;4] é dada por: 
 
a m = t tsttv   )()( = 04 )2()4(  vv 
 
 Como v(t) = 16 – 2t, temos que: 
 
a m = 04 )2()4(  vv = 4 )0.216()4.216(  = 4168  = – 2 unid. 
aceler. 
 
d) A aceleração no instante t = 4 é dada por: 
 
a(t) = t tvttvt   )()(lim0 = t tttt   216).(216lim0 
 
 
 
 
 
36 
a(t) = t tttt   216.2.216lim0 
a(t) = t tt  .2lim0 
 
a(t) = – 2 unid. aceler. 
 
 
 
 
 
 
 
 A equação do movimento de um corpo em queda 
livre é s = 21 .gt 2 , sendo g um valor constante. Determinar 
a velocidade e a aceleração do corpo em um instante 
qualquer t. 
 
 
Observamos que a aceleração negativa significa que o corpo está 
com a sua velocidade diminuindo. A aceleração no instante t = 4 é 
dada por a(4) = – 2 unid.aceler. 
 
 
 
 
37 
Solução: Num instante qualquer t, a velocidade é dada por: 
 
v(t) = t tsttst   )()(lim0 = t
tgttg
t 


22
0
..
2
1
).(.
2
1
lim 
 
v(t) = t
tgttg
t 


2
0
).(.
2
1
..
lim 
 
v(t) = 






ttg
t
.
2
1
.lim
0 
 
v(t) = g.t m/s 
 
A aceleração num instante t qualquer é dada por: 
 
a(t) = t tvttvt   )()(lim0 = t tgttgt   .).(lim0 
 
 
 
 
 
38 
a(t) = t tgtgtgt   ..lim0 
 
a(t) = ttgt  0lim 
 
a(t) = g unid. aceler. 
 
Observamos que g é a aceleração da gravidade e tem 
aproximadamente o valor de 9,8 m/s 2 . 
 
 
2.4 Definindo a Derivada de Uma Função em um Ponto 
Agora, vamos definir em linhas formais o conceito de 
derivada num determinado ponto como segue. 
Definição (Derivada num ponto x 1 ): A derivada de uma 
função f(x) no ponto x 1 , denotada por f ’(x 1 ) (vamos ler f linha de 
x, no ponto x 1 ), é definida pelo limite 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
Além disso, este limite acima pode ser escrito como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 A Derivada de Uma Função y = f(x) 
Definimos a derivada de uma função f(x) como segue. 
Definição (Derivada de uma função y = f(x)): A derivada de 
uma função y = f(x) é a função f ’(x) (vamos ler f linha de x), tal 
 
f ’(x
1
) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
, quando este limite existe. 
 
f ’(x
1
) = 
12
12 )()(lim
12 xx
xfxf
xx 


 
Importante! Em outras palavras, este limite nos dá a inclinação da 
reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x
1
, f(x
1
)). Ou seja, 
geometricamente falando a derivada da função y = f(x) no ponto x
1
representa a inclinação da curva neste ponto. 
 
 
 
 
40 
que o seu valor em qualquer ponto do domínio de f, i.e., para 
qualquer ponto x D f é dado pelo limite: 
 
 
 
 
 
 
Além disso, vamos falar que uma função é derivável quando 
existe a derivada em todos os pontos de seu domínio . Abaixo, 
listamos algumas outras notações que são utilizadas para a 
representação da derivada de uma função y = f(x). 
 
i) D x f(x) (vamos ler: derivada de f(x) em relaçãoa x). 
ii) D x y (vamos ler: derivada de y com relação a x). 
iii) dxdy (vamos ler: derivada de y com relação a x) 
 
f ’(x) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim
0
, quando este limite existe. 
 
 
 
41 
iv) 0xxdx
dy







 (vamos ler: derivada de y com relação a x no 
ponto x = x 0 ) 
 
Vamos apresentar alguns exemplos ilustrativos, em que 
determinamos a derivada de uma função f(x) através da definição 
formal de derivada. 
 
 
 
Vamos encontrar a derivada da função f(x) = x 2 
no ponto x 0 = 3? 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
f '(3) = x fxfx   )3()3(lim0 = x
x
x 


22
0
3)3(
lim = x
xx
x 


2
0
)(6
lim 
= )6(lim0 xx  = 6 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 Qual a derivada de f(x) = x 2 no ponto x 0 = – 2? 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
f '( – 2) = x fxfx   )2()2(lim0 = x
x
x 


22
0
)2()2(
lim 
= x
xx
x 


2
0
)(.4
lim = )4(lim0 xx  = – 4 
 
 
 
 
 
 
Isso significa que um pequeno acréscimo
x
 dado a x, a partir de 
,30 x
 acarretará um correspondente acréscimo 
f
 que é 
aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo 
.x
 
 
Isso significa que um pequeno acréscimo de 

x dado a x, a partir 
de x
0
= -2 acarretará em um correspondente decréscimo 

f que é 
aproximadamente 4 vezes maior que o acréscimo 

x, em valor 
absoluto. 
 
 
 
 
43 
 
 
 
Consideremos a função f(x) = | x | (valor absoluto de x 
ou módulo de x). A função f(x) apresenta derivada no ponto x
0 = 0? 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
f '(0) = x fxfx   )0()0(lim0 = x fxfx  )0()(lim0 = x
x
x 

 0
lim 
 
Desta forma, percebemos que: 
 
- Se  x tende a 0 pela direita, então  x > 0 e |  x| =  x e, 
conseqüentemente o limite de f ’(0) = x
x
x 

 0
lim é igual a 1, ou 
seja, x
x
x 

 0
lim = 1. 
 
 
 
44 
 
- Se  x tende a 0 pela esquerda, então temos que  x < 0 e |
 x| = -  x e, desta maneira o limite de f ’(0) = x
x
x 

 0
lim é igual 
a -1, ou seja, x
x
x 

 0
lim = -1. 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a função f(x) = 5.x 2 + 6x – 1, vamos 
encontrar f ’(2). 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
f '(2) = x fxfx   )2()2(lim0 = x
xx
x 


2
0
).(5.26
lim = 
x
xx
x 


).526.(
lim
0 
 
f '(2) = ).526(lim0 xx  
 
Como os limites laterais são diferentes, concluímos que não existe 
o limite para 

x tendendo a 0. Logo, não existe a derivada de f(x) no 
ponto x
0
 = 0. 
 
 
 
 
46 
f '(2) = 26 
 
 
 
Considerando a função f(x) = 32xx , vamos encontrar f 
’(x). 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
f '(x) = x xfxxfx   )()(lim0 = xxxx
x
x 

 ).3).(3(
.5
lim
0 
f '(x) = )3).(3(
5
lim
0  xxxx 
 
f '(x) = 2)3(
5
x 
 
 
 
 
47 
 Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva 
y = x , que seja paralela à reta 8x – 4y + 1 = 0. 
 
 
Solução: Para resolvermos este exemplo, primeiramente 
vamos lembrar da Geometria Analítica Elementar que duas retas 
são paralelas quando os seus coeficientes angulares são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim, inicialmente vamos encontrar a inclinação da 
reta tangente à curva y = x num ponto qualquer (x 1 , y 1 ), ou seja, 
temos que: 
 
Importante! Da Geometria Analítica Elementar sabemos que 
duas retas são paralelas quando os seus coeficientes angulares são 
iguais. 
 
 
 
 
48 
m(x 1 ) = f ’ (x 1 ) 
 
m(x 1 ) = x
xxx
x 


11
0
lim = )(
)(
.lim
11
1111
0 xxx
xxx
x
xxx
x 



 
 
 
m(x 1 ) = ).(lim 110 xxxx
x
x 

 
 
m(x 1 ) = 1.2
1
x 
 
Portanto, m(x 1 ) = 1.2
1
x . Como a reta que queremos encontrar 
deve ser paralela a 8x – 4y + 1 = 0, podemos escrever: 
 
 
m(x 1 ) = 1.2
1
x = 2 
 
 
 
49 
 
Já que o coeficiente angular de 8x – 4y + 1 = 0 é igual a 2. 
Desta maneira, da igualdade: 
 
1.2
1
x = 2 
Segue que, 
x 1 = 161 
Sendo assim, a reta que queremos é a reta tangente à curva 
no ponto ( 161 , f(161 )), ou seja, ( 161 , 41 ). 
 
Daí, temos que: 
y – f(x 1 ) = m.(x – x 1 ) 
y – 41 = 2.(x – 161 ) 
16y – 4 = 32x – 2 
32x – 16y + 2 = 0 
Ou ainda, 
 
 
 
50 
16x – 8y + 1 = 0 
 
 
A interpretação geométrica do exemplo é mostrada na Figura 
09 abaixo. 
 
 
Figura 09: A interpretação geomérrica do exemplo. 
 
 
 
Vamos encontrar a equação da reta normal à curva y = 
x 2 no ponto (2,4). 
 
 
 
51 
 
Solução: Para resolvermos este exemplo, primeiramente 
vamos lembrar mais uma vez da Geometria Analítica Elementar 
que a reta normal a uma curva num ponto dado é a reta 
perpendicular à reta tangente neste ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim, vamos determinar a inclinação da reta tangente 
à curva no ponto P(2, 4). Temos que: 
 
m t (x 1 ) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 
 
Importante! Da Geometria Analítica Elementar sabemos que duas 
retas t e n são perpendiculares se m
t
.m
n
 = – 1, onde m
t
 e m
n
 são 
as inclinações das retas t e n, respectivamente, num dado ponto P. 
 
 
 
 
52 
m t (x 1 ) = 2.x 1 
 
Quando x 1 = 2 temos que m t (2) = 2.2 = 4. Agora, podemos 
utilizar a relação m t .m n = – 1 para encontrarmos a inclinação da 
reta normal à curva y = x 2 no ponto (2, 4). 
 
Daí: 
m t .m n = – 1 
 
4.m n = – 1 
 
m n = 41 
 
Desta forma, substituindo os dados que temos à equação da 
reta, vem que: 
 
y – f(x 1 ) = m.(x – x 1 ) 
 
 
 
53 
y – 4= 41 .(x – 2) 
4y + x – 18 = 0 
 
 
Donde concluímos, que a reta x + 4y – 18 = 0 é a reta normal 
à curva y = x 2 no ponto (2, 4). A representação geométrica é 
mostrada na Figura 10 abaixo. 
 
Figura 10: A interpretação geométrica do exemplo. 
 
 
 
 
54 
 
Considerando a função f(x) = x vamos encontrar f ’(4). 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '(x 1 = 4) = 1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 

 = 4
2
lim
1 

 x
x
xx = 2
)2(
.
4
2
lim
1 



 x
x
x
x
xx 
 
f '(x 1 = 4) = )2).(4(
4
lim
1 

 xx
x
xx 
 
f '(x 1 = 4) = )2(
1
lim
1  xxx 
 
f '(x 1 = 4) = 41 
 
 
 
 
55 
2.6 Continuidade e Derivada: Estudando a 
Continuidade de Funções Deriváveis 
Quando relacionamos continuidade e derivada, vimos por 
exemplo, que a função f(x) = | x | é contínua em x = 0, porém não 
admite derivada neste ponto, ou seja, uma função que é 
contínua num ponto não implica que a mesma é derivável 
naquele ponto. Porém, temos que a recíproca é verdadeira, como 
mostramos no resultado abaixo, i.e., se uma função f(x) é 
derivável em um ponto então a mesma é contínua naquele 
ponto. 
Teorema 01: Toda função derivável num ponto x 1 é contínua 
nesse ponto. 
Demonstração: Consideremos f(x) uma função tal que a 
mesma é derivável no ponto x 1 (Hipótese). Devemos provar que a 
função f(x) é contínua no ponto x 1 , ou seja, devemos provar de 
acordo com a definiçãode função contínua, visualizada na 
primeira Unidade que: 
 
i) f(x 1 ) é definida no ponto a, i.e., existe f(x 1 ); 
 
 
 
56 
 
ii) )(lim1 xfxx existe; 
 
iii) )(lim1 xfxx = f(x 1 ). 
 
Por hipótese, como f(x) é derivável em x 1 . Logo, f ’(x 1 ) existe e 
pela fórmula, 
 
f ’(x 1 ) = 1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 

 
 
Concluímos que f(x 1 ) deve existir para que o limite acima 
tenha sentido, i.e., tenha significado. 
Além disso, temos que: 
 
 
 
 
 
57 
 )()(lim 1
1
xfxf
xx

 = 








1
1
1
)()(
)(lim
1 xx
xfxf
xx
xx = )(lim 11 xxxx  . 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 

 
 
 )()(lim 1
1
xfxf
xx

 = 0. f ’(x 1 ) = 0 
 
 
Desta forma, podemos observar que: 
)(lim
1
xf
xx =  )()()(lim 111 xfxfxfxx  =  )()(lim 11 xfxfxx  + 
 )(lim 1
1
xf
xx = 0 + f(x 1 ) = f(x 1 ). 
Portanto, concluímos que são válidas as três condições que 
definem a continuidade da função f(x) no ponto x 1 , ou seja, 
concluímos que f(x) é contínua em x 1 
c.q.d. 
 
2.3 A Noção de Derivadas Laterais 
 
 
 
58 
Como foi visto na Unidade 01 na Teoria de Limites, é de nosso 
interesse agora descrever as definições acerca das derivadas 
laterais. 
Definição (Derivada à Direita): Se a função y = f(x) está 
definida em x 1 , então a derivada à direita de f em x 1 , denotada 
por f ' (x 1 ) é definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição (Derivada à Esquerda): Se a função y = f(x) está 
definida em x 1 , então a derivada à direita de f em x 1 , denotada 
por f ' (x 1 ) é definida por: 
 
 
f
'

(x
1
) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 = 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 



, caso este limite exista. 
 
 
 
59 
 
 
 
Sendo assim, temos que uma função é derivável em um 
ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto 
existem e são iguais. 
 
 
 
 
 
Definição (Ponto Anguloso): Quando as derivadas laterais (direita 
e esquerda) existem e são diferentes em um ponto x 1 , dizemos 
que este ponto é um ponto anguloso do gráfico da função. 
 
 
 
Consideremos a função f(x) definida por dupla 
sentença, 
 
f
'

(x
1
) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 = 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 



, caso este limite exista. 
Importante! Uma função f(x) é derivável em um ponto x
1
 quando as 
derivadas à direita e à esquerda existem e são iguais em x
1
. 
 
 
 
60 
f(x) = 



2,7
2,13
xsex
xsex
 
Desta forma, pede-se: 
 
a) Mostrar que f é contínua em x = 2. 
 
b) Determinar f ' (2) e f ' (2). 
 
Solução: Inicialmente, vamos observar o gráfico da função 
f(x) mostrada na Figura 11 abaixo. 
 
 
 
 
 
61 
Figura 11: A representação do gráfico da função f(x) = 





2,7
2,13
xsex
xsex
. 
 
Sendo assim, temos que: 
a) A função f(x) é contínua em x = 2, já que: 
)(lim
2
xf
x = )7(lim2 xx  = )13(lim2  xx = 5 
E, finalmente, 
)(lim
2
xf
x = f(2) = 5 
b) Vamos encontrar as derivadas f ' (2) e f ' (2) através das 
definições anteriores, ou seja, temos que: 
f ' (2) = x fxfx   )2()2(lim0 = x xx   5)]2(7[lim0 = 
x
x
x 


55
lim
0 
f ' (2) = )1(lim0 x 
f ' (2) = – 1 
E 
 
 
 
62 
f ' (2) = x fxfx   )2()2(lim0 = xxx   5]1)2.(3[lim0 = 
x
x
x 


5136
lim
0 
f ' (2) = 3lim0x 
f ' (2) = 3 
 
Como, 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 ≠ x fxfx   )2()2(lim0 
Concluímos que não existe o limite x fxfx   )2()2(lim0 . 
Portanto, a função f(x) não é derivável em x 1 = 2. Neste caso, 
dizemos que o ponto x 1 = 2 é um ponto anguloso do gráfico de 
f(x). 
 
 
 
Consideremos a função f(x) = (x – 2).| x |. Vamos 
encontrar f ' (0) e f ' (0). 
 
 
 
 
63 
Solução: Inicialmente, notemos que podemos escrever a 
função f(x) do exemplo de uma outra forma, como segue: 
f(x) = 





0,2)).(2(
0,2).2(
2
2
xsexxxx
xsexxxx
 
 
A Figura 12 abaixo, nos mostra a representação geométrica 
da função f(x) do exemplo. 
 
 
Figura 12: A representação do gráfico da função f(x) do 
exemplo. 
. 
 
 
 
64 
Desta forma, temos que: 
 
f ' (0) = x fxfx   )0()0(lim0 = x
xx
x 


2)(
lim
2
0 = )2(lim0  xx = 
– 2 
 
 
E 
f ' (0) = x fxfx   )0()0(lim0 = x
xx
x 


2)(
lim
2
0 = 
)2(lim
0


x
x = 2 
 
Concluímos desta forma que não existe f’(0) porque f ' (0) ≠ f '
(0). Além disso, podemos concluir que o gráfico da função f não 
admite uma reta tangente no ponto (0, 0). Utilizando as derivadas 
laterais obtemos: 
 
y – 0 = (– 2).(x – 0) = – 2x 
 
 
 
 
65 
E 
 
y – 0 = (2).(x – 0) = 2x 
 
 
Estas duas retas podem ser visualizadas na Figura 12 anterior. 
 
Que não existe o limite x fxfx   )2()2(lim0 . Portanto, a 
função f(x) não é derivável em x 1 = 2. Neste caso, 
dizemos que o ponto x 1 = 2 é um ponto anguloso do 
gráfico de f(x). 
 
 
Consideremos os gráficos descritos nas Figuras 13 e 14 
abaixo, desta forma pede-se para discutir a existência da 
derivada nos pontos x = 1 e x = 4, respectivamente. 
 
 
 
 
66 
 
Figura 13: Primeiro gráfico do exemplo. 
 
Figura 14: Segundo gráfico do exemplo. 
 
 
 
67 
Solução: Salientamos inicialmente que para realizarmos uma 
análise gráfica da existência da derivada em um ponto, podemos 
traçar retas secantes que passam pelo ponto dado e por outro 
ponto na sua vizinhança e observarmos a sua posição limite 
(posição de tangência). Quando as secantes não têm uma 
única posição limite ou se tornam verticais, a derivada não 
existe. Sendo assim, observando as figuras dadas podemos 
afirmar que em ambos os casos a derivada não existe. 
 
 No caso do gráfico mostrado na Figura 13 é possível 
observarmos que as retas secantes convergem para a posição 
vertical. Logo, dizemos que estamos diante de um ponto 
cuspidal. 
 No caso do gráfico mostrado na Figura 14 é possível notarmos 
que as secantes assumem duas posições diferentes no seu 
limite. Desta maneira, estamos diante da situação em que as 
derivadas laterais existem, mas são diferentes, portanto a 
derivada no ponto x = 4 não exite. Aqui, falamos então que 
estamos diante de um ponto anguloso. 
 
 
 
68 
 
Figura 15: Tipos de pontos. 
 
 
2.7 Regras Operatórias das Derivadas 
Nesta seção, estaremos apresentando a aritmética 
envolvendo as derivadas, ou seja, estaremos interessados em 
descrever as principais regras operatórias das derivadas, tais 
como, a derivada de uma constante, a derivada de uma soma, de 
um produto, etc. Salientamos que não é de nosso interesse 
Pontos 
Anguloso Cuspidal 
 
 
 
69 
apresentar as provas envolvendo tais regras, para tais provas você 
pode encontrar em qualquer uma das referências bibliográficas 
descritas no final da Unidade. 
Proposição 01 (Derivada de Uma Constante): Se c é uma 
constante e f(x) = c para todo x, então f ’(x) = 0, ou seja, a derivada 
de uma função constante é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 Consideremos a função y = f(x) = 2 então dxdy = 0. 
 
 
 
 
Se f(x) = c
 f ’(x) = 0 
 
 
 
70 
 
Se y = – 1 então dxdy = 0. 
 
 
 Se y = 12 então f ’(x) = 0. 
 
 
A derivada de uma função constante é zero, ou seja, se temos 
f(x) = c (constante) então f ’(x) = 0. 
 
 
 
Proposição 02 (Regra da Potência): Se n é um número 
inteiro positivo (n > 0) e f(x) = x n então f ’(x) = n. x 1n . 
 
 
 
 
 
Se f(x) = x n 

 f ’(x) = n. x 1n 
 
 
 
71 
 Consideremos a função y = x 3 então f ’(x) = 3.x 2 . 
 
 
 
Se y = x 5 então dxdy = 5.x 4 . 
 
 
 
Se y = 3x 6 então dxdy = 3.6..x 5 = 18 x 5 . 
 
 
 
 
 Se f(x) = 8x então f ’(x) = 8. 
 
Proposição 03 (Derivada do Produto de uma Constante por 
uma Função): Consideremos f(x) uma função, c uma constante e 
 
 
 
72 
g a função definida por g(x) = c.f(x). Se f ’(x) existe então g’(x) = c.f 
’(x). 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos a função f(x) = 8.x 2 então f ’(x) = 8.(2x) = 
16x. 
 
 
 
Se f(x) = 3x então f ’(x) = 3.(1) = 3. 
 
 
 Se y(t) = 3t 5 então dtdy = 3.(5t 4 ) = 15.t 4 . 
 
 
Se g(x) = c.f(x)

 g’(x) = c.f ’(x) 
 
 
 
73 
 
 
Se g(z) = 2z 6 então dzdg = 2.(6.x 5 )= 12x 5 .. 
 
 
Proposição 04 (Derivada de Uma Soma): Consideremos f(x) 
e g(x) duas funções e h(x) a função definida por h(x) = f(x) + g(x). 
Se f ’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = f ’(x) + g’(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se h(x) = f(x) + g(x) 

 h’(x) = f ’(x) + g’(x) 
Importante! Salientamos que a Proposição 04 se aplica a um 
número finito de funções, isto é, a derivada de uma soma de um 
número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se estas 
existirem. 
 
 
 
74 
 
 
 
 
 
 
 
Seja g(y) = 9y 5 – 4y 2 + 2y + 7 então g ’(y) = 9.(5y 4 ) – 4.(2y) + 
2.(1) + 0 = 45y 4 – 8y + 2 
Proposição 05 (Derivada de Um Produto): Consideremos f(x) e 
g(x) duas funções e h(x) a função definida por h(x) = f(x).g(x). Se f 
’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = f(x).g’(x) + f ’(x).g(x). 
 
 
 
Se f(x) = 3x 4 + 8x + 5 então f ’(x) = 3.(4x 3 ) + 8.(1) + 0 = 
12x 3 + 8. 
 Se f(x) = 3x – 4 então f ’(x) = 3.(1) – 0 = 3. 
 
Se h(x) = f(x).g(x) 

 h’(x) = f(x).g’(x) + f ’(x).g(x) 
 
 
 
75 
 
Seja f(x) = (2x – 1).(x + 3) então: 
 
f ’(x) = (2x – 1).(1) + (2).(x + 3) = 2x – 1 + 2x + 6 
= 4x + 5 
 
 Seja f(x) = (4x + 7).(5x + 2) então: 
 
f ’(x) = (4x + 7).(5) + (4).(5x + 2) = 20x + 35 + 
20x + 8 = 40x + 43 
 
 Seja f(x) = (2x 3 – 1).(x 4 + x 2 ) então: 
 
f ’(x) = (2x 3 – 1).(4x 3 + 2x) + (x 4 + x 2 ).(6x 2 ) 
 
 
 
Seja f(x) = (2x 3 – 1).(x 4 + x 2 ) então: 
 
 
 
 
 
76 
f ’(x) = (2x 3 – 1).(4x 3 + 2x) + (x 4 + x 2 ).(6x 2 ) 
 
 Seja f(x) = (4x + 7).(x 2 + 2) então: 
 
f ’(x) = (4x + 7).(2x) + (4).(x 2 + 2) = 8x 2 + 14x + 4x 2 + 
8 = 12x 2 + 14x + 8 
 
 
Proposição 06 (Derivada de Um Quociente): Consideremos 
f(x) e g(x) duas funções e h(x) a função definida por h(x) = )(
)(
xg
xf
, 
onde g(x) ≠ 0. Se f ’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = 
2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
. 
 
 
 
 
 
Se h(x) = 
)(
)(
xg
xf
, onde g(x) ≠ 0

 h’(x) = 
2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
. 
 
 
 
77 
 
 
Seja h(x) = 23 1xx então: 
 
h’(x) = 2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 2)23(
)1).(3()23.(1


x
xx
 
 
h’(x) = 2)23(
3323


x
xx
 = 2)23(
5


x 
 
 
 
 
Seja h(x) = 35 24 xx então: 
 
h’(x) = 2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 2)35(
)24).(5()35).(4(


x
xx
 
 
h’(x) = 2)35(
10201220


x
xx
 = 2)35(
2
x 
 
 
 
 
78 
 
 
Seja h(x) = 35
32
2
4


xx
x
 então: 
 
h’(x) = 2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
= 
22
423
)35(
)32).(52()35).(8(


xx
xxxxx
 
 
 
 
Seja h(x) = x1 então: 
 
h’(x) = 2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 2)(
1).1()).(0(
x
x 
 = 21x 
 
 
 Seja h(x) = 
2
1
x então: 
 
 
 
 
79 
h’(x) = 2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 22
2
)(
1).2()).(0(
x
xx 
 = 42x x = 32x 
 
 
Proposição 07: Se f(x) = x n onde n é um número inteiro 
positivo (n > 0) e x ≠ 0, então f ’(x) = – n. x 1 n . 
 
 
 
 
 
 Seja f(x) = 31x = x 3 então f’(x) = – 3.x 13 = – 
3.x 4 . 
 
 
 Seja f(x) = 101x = x 10 então f’(x) = – 10.x 110 = 
– 10.x 11 . 
 
Se f(x) = x n 

 f ’(x) = – n. x 1 n 
 
 
 
80 
 
2.8 A Derivada da Função Composta: A Regra da 
Cadeia 
Em diversas situações nos deparamos com uma função que 
se escreve como uma composição de outras funções , desta 
maneira, é necessário a determinação da derivada de tal função. 
Sendo assim, nesta seção estaremos interessados em descrever 
a regra que caracteriza o cálculo da derivada de uma função 
composta. Tal regra é conhecida como a Regra da Cadeia. Ou 
seja, as regras já apresentadas permitem derivar funções que 
podem ser representadas por expressões com termos simples, o 
que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se 
aplicam a funções mais complexas, como por exemplo 
f(x)=(4x+1)100 , pois é praticamente impossível derivar um produto 
com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar 
esta função como a composta de duas funções mais simples, 
motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função 
formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. 
 
 
 
81 
A seguir, apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada 
da função composta. 
Teorema 02 (A Regra da Cadeia): Sejam f e g funções 
deriváveis e h a função composta definida por h(x) = (f  g)(x) = 
f(g(x)). Se u = g(x) é derivável no ponto x e se y = f(u) é derivável 
no ponto u = g(x), então a função composta h é derivável no ponto 
x e a sua derivada é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a Regra da Cadeia, vamos encontrar a 
 
h'(x) = (f

g)’(x) = [f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) 
Importante! O Teorema 02 nos diz que a derivada de uma função 
composta é igual à derivada da função de fora aplicada na função 
de dentro, vezes a derivada da função de fora. 
 
 
 
82 
derivada das seguintes funções: 
a) h(x) = (2x + 1) 3 
b) h(x) = (x + 4) 10 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) h(x) = (2x + 1) 3 : notemos que para h(x) = (2x + 1) 3 , temos que 
g(x) = 2x + 1 e f(x) = x 3 , ou seja, a função h(x) é a composta das 
funções f(x) e g(x), ou ainda, h(x) = f(g(x)), portanto devemos 
utilizar a regra da cadeia para encontrarmos a derivada da 
função h(x). Logo: 
 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(2x+1).g’(x) = 3.(2x+1) 2 .(2) = 
6.(2x+1) 2 
 
b) h(x) = (x + 4) 10 : notemos que para h(x) = (x + 4) 10 , temos que 
g(x) = x + 4 e f(x) = x 10 , ou seja, a função h(x) é a composta das 
funções f(x) e g(x), ou ainda, h(x) = f(g(x)), portanto devemos 
 
 
 
83 
utilizar a regra da cadeia para encontrarmos a derivada da 
função h(x). Logo: 
 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(x+4).g’(x) = 10.(x+4) 9 .(1) = 10.(x+4)
9 
 
 
 
Solução: Neste caso, notemos que para h(x) = (3x + 2) 2 , 
temos que g(x) = 3x + 2 e f(x) = x 2 , ou seja, a função h(x) é a 
composta das funções f(x) e g(x), ou ainda, h(x) = f(g(x)), portanto 
devemos utilizar a regra da cadeia para encontrarmos a derivadada função h(x). Logo: 
 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(3x+2).g’(x) = 2.(3x+2).3 = 6.(3x + 2) 
= 18x + 12 
 
Utilizando a Regra da Cadeia, vamos encontrar a 
derivada da seguinte função h(x) = (3x + 2) 2 . 
 
 
 
84 
Notemos que aqui, f ’(x) = 2x e g’(x) = 3. 
 
 
Utilizando a Regra da Cadeia, vamos encontrar a 
derivada da seguinte função h(x) = (x 2 + 5x + 2) 7 . 
 
Solução: Neste caso, notemos que para h(x) = (x 2 + 5x + 2) 7 , 
temos que g(x) = x 2 + 5x + 2 e f(x) = x 7 , ou seja, a função h(x) é a 
composta das funções f(x) e g(x), ou ainda, h(x) = f(g(x)), portanto 
devemos utilizar a regra da cadeia para encontrarmos a derivada 
da função h(x). Logo: 
 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(x 2 + 5x + 2).g’(x) = 7.( x 2 + 5x + 2)6
.(2x+ 5) 
 
 
Considerando a função y = h(x) = 
5
12
23








x
x
, vamos 
encontrar dxdy . 
 
 
 
85 
 
Solução: Neste caso, podemos observar que a função h(x) é 
a composta envolvendo as funções g(x) = 






12
23
x
x
e f(x) = 5x , logo 
devemos utilizar a regra da cadeia para encontrarmos a derivada 
dx
dy . Além disso, devemos notar que quando ao determinarmos a 
derivada g’(x) na regra da cadeia, devemos utilizar a regra do 
quociente. Daí: 
dx
dy = h’(x) = [f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = 5.
4
12
23








x
x
.
  
)('
2)12(
)23.(2)12.(3
xg
x
xx


 
dx
dy = h’(x) = 5.
4
12
23








x
x
. 2)12(
1


x 
 
 
Considerando a função y = (3x 2 + 1) 3 . (x – x 2 )2 , 
vamos encontrar dxdy . 
 
 
 
86 
 
Solução: Neste caso, podemos observar que devemos 
aplicar a regra do quociente, bem como a regra da cadeia para 
encontrarmos dxdy , como segue: 
 
y' = dxdy = 3.( 3x 2 + 1) 2 .(6x).(x – x 2 )2 + 2.( x – x 2 ).(1 – 2x). (3x 2 + 
1) 3 
 
Proposição 08: Se u = g(x) é uma função derivável e n é um 
número inteiro não-nulo, então: 
 
 
 
 
 
Dada a função f(x) = 3.5 2 x , vamos calcular f ’(x). 
 
 
 
 nxg
dx
d
)(
 = n.[g(x)] 1n .g’(x) 
 
 
 
87 
Solução: Notemos primeiramente que podemos escrever a 
função f(x) como segue, 
f(x) = 212 )3.(5 x 
Desta forma, 
f '(x) = )2.()3.(2
1
.5 2
1
2 xx

 
Ou seja, 
f '(x) = 3
5
2 x
x
 
 
 
Dada a função g(t) = 3 3
2
1t
t
 , vamos calcular g ’(t). 
 
 
Solução: Vamos escrever a função g(t) dada como um 
produto, ou seja, vamos escrever a função g(t) da seguinte 
maneira, 
g(t) = 3132 )1.( tt 
 
 
 
88 
Desta forma, 
g '(t) = )2.()1()3.()1).(3
1
.( 3
1
32
1
3
1
32 ttttt





 
Ou seja, 
g '(t) = 3133434 )1).(2()1.(   tttt 
 
Abaixo, listamos as regras operatórias envolvendo as 
derivadas no Quadro 01. 
 
 
Quadro 01: Principais regras operatórias das derivadas. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
f(x) = c (função 
constante) 
 
f ’(x) = 0, para todo x 
f(x) = xn (função 
potência) 
 
f ’(x) = n. x 1n , para todo x 
f(x) = k.g(x) f ’(x) = k.g’(x) para todo x 
 
 
 
89 
 
f(x) = u(x) + v(x) 
 
f ’(x) = u’(x) + v’(x) para todo x 
f(x) = u(x) – v(x) 
 
f ’(x) = u’(x) – v’(x) para todo x 
f(x) = u(x).v(x) 
 
f ’(x) = u’(x).v(x) + v’(x).u(x) para 
todo x 
(x) = )(
)(
xv
xu
 
 
f ’(x) = )(
)().(')().('
2 xv
xuxvxvxu 
, com 
v(x) ≠ 0 
h(x) = f(g(x)) (Derivada 
da Composta) 
 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) 
 
u = g(x) 
 
 nxg
dx
d
)( = n.[g(x)] 1n .g’(x) 
 
 
 
 
 
 
90 
2.9 A Derivada da Função Inversa 
Nesta seção, estaremos interessados em discutir o cálculo da 
derivada de uma função inversa, ou seja, a partir da derivada de 
uma função y = f(x) é nosso objetivo encontrar a derivada de sua 
função inversa a partir do conhecimento de f ’(x). Para tal, temos o 
conhecido Teorema Derivada da Função Inversa que é descrito 
abaixo. 
Teorema 03 (Derivada da Função Inversa): Seja y = f(x) uma 
função definida em um intervalo aberto (a, b). Suponhamos que 
f(x) admita uma função inversa x = g(y) contínua. Se f’(x) existe e é 
diferente de zero (f’(x)≠ 0) para qualquer x  (a,b), então g = f 1 é 
derivável e é determinada pela expressão: 
 
 
 
Este resultado será muito importante para determinarmos a 
derivada de funções elementares que é a função inversa de outras 
funções, por exemplo, para encontrarmos a derivada da função 
logarítmica usaremos o fato da mesma ser a função inversa da 
g'(y) = 
)('
1
xf
 = 
))(('
1
ygf
 
 
 
 
91 
função exponencial. Tais derivadas de funções elementares serão 
discutidas na próxima seção. 
 
 
Consideremos a função y = f(x) = 4x – 3. Vamos calcular a 
derivada da sua inversa. 
 
Solução: Temos que a função inversa de f(x) é: 
x = g(y) = 41 .(y + 3) 
 
Além disso, f’(x) = 4 e desta forma pelo Teorema da Derivada 
da Função Inversa segue que: 
g'(y) = )('
1
xf = 41 
 
 Consideremos a função y = f(x) = 8.x 3 . Vamos encontrar 
a derivada de sua função inversa. 
 
Solução: Temos que a função inversa de f(x) é: 
 
 
 
92 
x = g(y) = 3.21 y 
 
Além disso, f’(x) = 24.x 2 e como f’(x) = 24.x 2 é maior que zero 
para todo x ≠ 0, e desta forma pelo Teorema da Derivada da 
Função Inversa, segue que: 
 
g'(y) = )('
1
xf = 2241x =
3
2
3 .6
1
2
1
24
1
yy







 
 
 
Na Figura 16 abaixo, apresentamos os gráficos 
referentes as funções f(x) = x 2 + 1 definida em [0, + ∞ ) e g(x) 
= 1x definida para o intervalo x  [1,+∞ ). Pela simetria 
com a bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x), 
podemos afirmar que f(x) e g(x) são funções inversas uma 
da outra. Propriedade esta relacionada a funções inversas, 
ou seja, duas funções inversas possuem os gráficos 
simétricos com relação a reta y = x. A equação da reta 
 
 
 
93 
tangente à curva f(x) = x 2 + 1 no ponto (2, 5) é y = 4x – 3 e a 
equação da reta tangente à curva g(x) = 1x no ponto (5, 
2) é dada por y = 41 x – ¾. Podemos notar que as 
declividades são inversas uma da outra, que vem casado de 
acordo com o Teorema 03 anterior. 
 
Figura 15: A interpretação geométrica do exemplo. 
2.10 A Derivada de Funções Elementares da 
Matemática 
 
 
 
 
94 
Agora é de nosso interesse apresentar as derivadas 
relacionadas as principais funções da Matemática, o que 
denominamos de funções elementares, que aparecem em 
diversas situações do Cálculo Diferencial e Integral. Sendo assim, 
por exemplo, podemos citar como funções elementares: a função 
exponencial, a função logarítmica, funções trigonométricas 
(seno, coseno, tangente, etc.), etc. Ressaltamos, que as regras 
apresentadas aqui serão utilizadas ao longo de todo o estudo do 
Cálculo Diferencial e Integral, sendo ele de uma variável real ou de 
várias variáveis. Todas as demonstrações dos resultados que 
apresentaremos a seguir, podem ser encontradas em qualquer 
uma das referências citadas ao final desta Unidade. 
Proposição 09 (Derivada da Função Exponencial): 
Consideremos a função exponencial de base a, f(x) = a x (a > 0 e a 
≠ 1) então a sua derivada é dada por: 
 
 
 
 
 
f ’(x) = a x .lna, (a > 0 e a ≠ 1) 
 
 
 
95 
 
 
Se considerarmos f(x) = 2 x (a função exponencial de 
base 2) então de acordo com a Proposição 09, temos que a 
suaderivada é dada por: 
f ’(x) = 2 x .ln2 
 
 
Se considerarmos f(x) = 3 x (a função exponencial de 
base 3) então de acordo com a Proposição 09, temos que a 
sua derivada é dada por: 
f ’(x) = 3 x .ln3 
 
 
Se considerarmos f(x) = 5 x (a função exponencial de 
base 5) então de acordo com a Proposição 09, temos que a 
sua derivada é dada por: 
 
f ’(x) = 5 x .ln5 
 
 
 
 
96 
Proposição 10 (Derivada da Função Logarítmica): 
Consideremos a função logarítmica f(x) = xalog (a > 0 e a ≠ 1) 
então a sua derivada é dada por: 
 
 
 
f ’(x) = 
x
1
.
ealog
, (a > 0 e a ≠ 1) 
 
 
 
97 
 
 
Se considerarmos a função logarítmica f(x) = x2log , 
então de acordo com a Proposição 10, temos que 
a sua derivada é dada por: 
f ’(x) = x
1 . e2log 
 
 
 
 
Se considerarmos a função logarítmica f(x) = x3log , 
então de acordo com a Proposição 10, temos que 
a sua derivada é dada por: 
f ’(x) = x
1 . e3log 
 
 
Se considerarmos a função logarítmica f(x) = x5log , então 
de acordo com a Proposição 10, temos que a sua derivada 
é dada por: 
 
 
 
98 
f ’(x) = x
1 . e5log 
 
Proposição 11 (Derivada da Função Exponencial 
Composta): Se y = u v , onde u = u(x) e v = v(x) são funções de x, 
deriváveis num intervalo I e u(x) > 0, Ix , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salientamos que se u(x) é uma função derivável, aplicando a 
Regra da Cadeia podemos generalizar as Proposições 09, 10 e 11 
descritas anteriormente. Abaixo listamos estas generalizações no 
Quadro 02. 
 
 
 
y’ = v.u 1v .u’ + u v . v'. lnu 
 
 
 
99 
 
Quadro 02: Regras derivadas das Proposições 09, 10 e 11. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
y = a u 
 
y ’ = au .lna. u’ 
y = eu 
 
y ’ = eu . u’ 
y = ualog 
y ’ = u
u '
. ealog 
y = lnu 
y ’ = u
u '
 
y = uv 
 
y ’ = v.u 1v .u’ + uv . v'. lnu, u > 0 
 
 
 
Vamos calcular as derivadas das seguintes funções: 
 
a) y = 3 132 2  xx 
 
 
 
100 
b) y = 
x






2
1
 
c) y = 11xxe 
 
d) y = xxe ln. 
 
e) y = )173(log 22  xx 
 
f) y = ln 






1x
e x
 
 
g) y = (x 2 + 1) 12 x 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) Vamos fazer u = 2.x 2 + 3x – 1, daí temos que y = 3 u , donde 
concluímos que: 
y' = 3 u .ln3. u’ 
 
 
 
101 
y' = 3 132 2  xx .ln3. (4x + 3) 
 
b) Temos y = 
u






2
1
, onde u = x . Desta maneira: 
y' = 
u






2
1
.ln 21 . u’ 
y' = 
u






2
1
.ln 21 . x2
1
 
c) Neste caso, vamos tomar y = ue com u = 11xx , donde segue 
que: 
y' = ue . u’ 
y' = 11xxe . 








2)1(
1).1(1).1(
x
xx
 
y' = 11xxe . 2)1(
2


x 
 
d) Fazendo y = y = ue com u = x.lnx, donde segue que: 
y' = ue . u’ 
y' = xxe ln. . (x.lnx)’ 
 
 
 
102 
y' = xxe ln. . (x. x1 + lnx. 1) 
y' = xxe ln. . (1 + lnx) 
e) Vamos fazer y = u2log onde u = 173 2  xx . Logo: 
y ’ = u
u ' . e2log 
y ’ = 173
)76(
2 

xx
x . e2log 
 
f) Temos que y = lnu, com u = 1x
e x
. Logo: 
y ’ = u
u ' 
y ’ = 1
)1(
1.).1(
2



x
e
x
eex
x
xx
 
y ’ = 1x
x 
g) Aqui, vamos fazer y = u v , onde u = x 2 + 1 > 0 e v = 2x – 1. 
Desta forma: 
 
 
 
 
103 
y ’ = v.u 1v .u’ + u v . v'. lnu 
 
y ’ = (2x – 1).( x 2 + 1) 112 x .(x 2 + 1)’ + (x 2 + 1) 1 -2x . (2x – 1)'. ln(x 2 
+ 1) 
 
y ’ = (2x – 1).( x 2 + 1) 22 x .(2x) + (x 2 + 1) 1 -2x . (2). ln(x 2 + 1) 
 
Agora, vamos trabalhar com a apresentação das derivadas 
das principais funções trigonométricas. 
Proposição 12 (Derivada da Função Seno): Se y = senx, 
então y’ = cosx. Ou seja: 
 
 
 
 
Proposição 13 (Derivada da Função Cosseno): Se y = cosx, 
então y’ = – senx. Ou seja: 
 
 
 
Se y = senx então y’ = cosx 
 
 
 
104 
 
 
 
 
Além disso, para as demais funções trigonométricas que são 
obviamente definidas a partir das funções seno e cosseno, temos 
as seguintes regras referentes a derivação, que são de fácil 
entendimento; tais regras são apresentadas no Quadro 03 abaixo. 
 
Quadro 03: Derivadas das demais funções tringonométricas. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
y = tgx = x
senx
cos 
 
y ’ = sec2 x = x2cos
1
 
y = cotgx = senx
xcos
 
 
y ’ = – cosec2 x = xsen2
1
 
y = secx = xcos
1
 
 
y ’ = secx.tgx 
 
Se y = cosx então y’ = – senx 
 
 
 
105 
y = cosecx = senx
1
 
 
y ’ = – cosecx.cotgx 
 
Por outro lado, levando em consideração a Regra da Cadeia 
obtemos as fórmulas gerais referentes a derivação de funções 
trigonométricas, como listadas no Quadro 04 abaixo. 
 
Quadro 04: Fórumlas Gerais de Derivadas das funções 
tringonométricas. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
y = senu y' = cosu.(u’) 
 
y = cosu y' = – senu.(u’) 
 
y = tgu 
 
y ’ = sec2 u.(u’) 
y = cotgu 
 
y ’ = – cosec2 u.(u’) 
y = secu y ’ = secu.tgu .(u’) 
 
 
 
106 
 
y = cosecu 
 
y ’ = – cosecu.cotgu.(u’) 
 
Em alguns casos, as identidades trigonométricas são 
freqüentemente usadas quando calculamos derivadas envolvendo 
funções trigonométricas. As dez identidades fundamentais abaixo 
são de fundamental importância. 
 senx . cosecx = 1 
 cosx . secx = 1 
 tgx . cotgx = 1 
 tgx = xxcossen 
 cotgx = xxsencos 
 secx = xcos1 
 cosecx = xsen1 
 sen 2 x + cos 2 x = 1 (Relação Trigonométrica Fundamental) 
 
 
 
107 
 1 + tg 2 x = sec 2 x 
 1 + cotg 2 x = cosec 2 x 
 
Vejamos alguns exemplos que ilustram o cálculo de 
derivadas envolvendo as funções trigonométricas. 
 
 
 Considerando f(x) = sen(3x) vamos determinar f ’(x). 
 
 
Solução: Neste caso, além de utilizarmos a derivada da 
função seno de x é necessário aplicarmos a Regra da Cadeia, 
como segue: fazendo u = 3x segue que u’ = 3, daí: 
f(x) = senu  f ’(x) = cosu.(u’) = 3.cos(3x) 
Ou seja, concluímos que f ’(x) = 3.cos(3x). 
 
 
 
 
 
 
108 
 
 Considerando f(x) = cos(5x) vamos determinar f ’(x). 
 
Solução: Neste caso, além de utilizarmos a derivada da 
função cosseno de x é necessário aplicarmos a Regra da Cadeia, 
como segue: fazendo u = 5x segue que u’ = 5, daí: 
f(x) = senu  f ’(x) = – cosu.(u’) = – 5.cos(5x) 
Ou seja, concluímos que f ’(x) = – 5.cos(5x). 
 
 Considerando f(x) = sen 2 x + cos 2 x vamos 
determinar f ’(x). 
 
 
Solução: Neste caso, notemos que f(x) nada mais é do que a 
relação trigonométrica fundamental (i.e., sabemos que sen 2 x + 
cos 2 x = 1), donde conluímos que f ’(x) = 0. Podemos averiguar tal 
fato também como segue: 
f(x) = sen 2 x + cos 2 x  f ’(x) = [sen 2 x] ’ + [cos 2 x] ’ 
 
 
 
109 
Ou seja, 
f ’(x) = 2.senx.[senx] ’ + 2.cosx.[cosx] ’ 
f ’(x) = 2.senx.cosx + 2.cosx.( – senx) 
f ’(x) = 2.senx.cosx – 2.cosx.senx 
f ’(x) = 0 
 
 
Vamos calcular a derivada das seguintes funções: 
a) y = sen(x 2 ) 
b) y = cos( x1 ) 
c) y = 3.tg( x ) + cotg(3x) 
d) y = gx
x
cot1
cos
 
e) y = sec(x 2 + 3x + 7) 
f) y = cosec( 11xx ) 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
 
 
110 
a) y = sen(x 2 ): Fazendo u = x 2 temos que y = senu, logo y’ = 
senu.(u’), ou seja, y’ = (cosu).(u’) = [cos(x 2 )].(2x) = 2x.cos(x
2 ) 
Portanto, y’ = 2x.cos(x 2 )b) y = cos( x1 ): Fazendo u = x1 temos que y = cosu, logo y’ = 
cosu.(u’), ou seja, y’ = (senu).(u’) = [ – sen( x1 )].( 21x ) = 21x
.sen( x1 ) 
Portanto, y’ = 21x .sen( x1 ) 
 
c) y = 3.tg( x ) + cotg(3x) logo: 
 y’ = [3.tg( x )]’ + [cotg(3x)]’ = 3.sec 2 ( x ).( x )’ + [– cosec 2
(3x)].(3x)’ = 3.sec 2 ( x ).( x2
1
) – 3.cosec 2 (3x) 
Portanto, y’ = 3.sec 2 ( x ).( x2
1
) – 3.cosec 2 (3x) 
d) y = gx
x
cot1
cos
 logo utilizando a regra do quociente, segue que: 
 
 
 
111 
y’ = 2)cot1(
)'cot1.(cos)').(coscot1(
gx
gxxxgx


 
y’ = 2
2
)cot1(
)cos.(cos)).(cot1(
gx
xecxsenxgx


 
y’ = 2
2
)cot1(
cos.coscot.
gx
xecxgxsenxsenx


 
e) y = sec(x 2 + 3x + 7): Fazendo u = x 2 +3x + 7, temos que y = 
secu, logo: 
y’ = secu.tgu.(u’) = [sec(x 2 + 3x + 7).( tg(x 2 + 3x + 7)].(2x + 3) 
y’ = (2x + 3). sec(x 2 + 3x + 7).tg(x 2 + 3x + 7) 
 
f) y = cosec( 11xx )): Fazendo u = 11xx , temos que y = cosecu, 
logo: 
y’ = – cosecu.cotgu.(u’) = [– cosec( 11xx ).cotg( 11xx )].( 2)1(
2


x ) 
y’ = 2)1(
2
x . cosec( 11xx ).cotg( 11xx ) 
 
 
 
 
 
112 
2.11 A Derivada das Funções Trigonométricas Inversas 
Agora é de nosso objetivo apresentar as derivadas 
relacionadas as principais funções trigonoméricas inversas. 
Inicialmente, devemos salientar para não deixar dúvidas, que as 
funções trigonométricas, sendo periódicas, não são funções 
bijetoras e, portanto, suas relações inversas não são funções; 
entretanto, restringindo o domínio das funções, podemos obter 
relações inversas que são funções. Antes de caracterizarmos as 
primitivas imediatas que resultam nas funções trigonométricas 
inversas, vamos fazer uma breve revisão sobre tais funções. Em 
verdade, é de nosso interesse calcularmos as derivadas da função 
arco seno, da função arco cosseno e da função arco tangente, que 
são as funções inversas da função seno, cosseno e tangente, 
respectivamente. Obviamente, vamos trabalhar em intervalos 
padronizados para a existência de tais inversas. 
 
 
 
 
 
 
 
113 
 
 
 
 
 
 
 
2.12 A Função Arco Seno de x (arcsenx) 
Sabemos que a função seno é definida do seguinte modo: 
 
f: ]1,1[ 
x  y = senx 
 
Observemos, no gráfico de y = senx, que existem infinitos 
valores x 1 , x 2 , x 3 , ... tais que y1 = y 2 = y 3 , ..., donde concluímos 
então que a função seno, assim definida, não é uma função 
bijetora (injetora e sobrejetora). Logo, sua relação inversa não é 
função. 
Importante! Temos as seguintes notações equivalentes: 
 
 arcsenx 

sen 1 x  função inversa da função senx; 
 
 arccosx 

cos 1 x  função inversa da função cosx; 
 
 arctgx

tg 1 x  função inversa da função tgx. 
 
 
 
114 
 
 
Figura 16: Gráfico da função y = senx. 
 
 
No gráfico de y = senx, notamos ainda que a função y = senx 
é bijetora nos intervalos em que é crescente ou decrescente. 
Desta forma, para que a função seno seja invertível (i.e., admita 
função inversa), restringimos seu domínio a um desses intervalos. 
 
 
 
 
 
 
Figura 17: Intervalos em que a função seno é crescente ou 
decrescente. 
 
 
 
 
 
115 
Vamos adotar o intervalo 




2
,
2

 para domínio, a definição 
da função seno será dada por: 
 
f: 




2
,
2

]1,1[ 
 
 x  y = senx 
 
E o gráfico da função assim definida está representado na 
Figura 18 abaixo. 
 
 
 
 
116 
 
Figura 18: Gráfico da função y = senx com domínio 




2
,
2

. 
 
 
Temos então que a função seno definida no intervalo 




2
,
2

 
é bijetora. Portanto, podemos definir sua inversa, que chamaremos 
de função arco seno, do seguinte modo: 
f 1 : [-1, 1]  




2
,
2

 
y = arcsenx  seny = x 
 
 
 
117 
 
 
 
 
i) Da definição da função arco seno, temos: 
Domínio: D = {x  / 11  x } 
Imagem: I = {y  / 22   y } 
ii) Gráfico 
 
Para a construção do gráfico da função arco seno, 
lembramos que o gráfico da função inversa é simétrico ao 
gráfico da função direta em relação à reta y = x (bissetriz dos 
quadrantes ímpares). Desta maneira, o gráfico da função arcsenx 
é apresentado na Figura 19 abaixo. 
 
Consequências Imediatas 
 
 
 
118 
 
Figura 19: Gráfico da função y = arcsenx – função inversa de 
senx. 
 
Vejamos alguns exemplos que serão úteis para nos 
familiarizarmos com a função arcsenx. 
 
 
 
Vamos determinar o valor das seguintes expressões: 
a) y = arcsen 1 
b) y = arcsen (-1) 
c) y = arcsen(1/2) 
 
 
 
119 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) y = arcsen1 membrososambosaseno funçãoaaplicando seny = 1 e y  




2
,
2

  y = 2 . 
 
b) y = arcsen(-1) membrososambosaseno funçãoaaplicando seny = -1 e y  




2
,
2

  y = -
2
 . 
 
c) y = arcsen(1/2) membrososambosaseno funçãoaaplicando seny = ½ e y 




2
,
2

  y = 
6
 . 
 
 
 
Vamos caracterizar o domínio da função y = 
arcsen2x. 
 
 
 
 
120 
Solução: Temos que, y = arcsen(2x) membrososambosaseno funçãoaaplicando seny = 
2.x. Agora, sabemos que -1  seny  1, logo: 
-1  2.x  1  -½  x  ½ 
Ou seja, temos que: 
D = {x  / 2/12/1  x } 
 
 
 
Vamos calcular y = cos 




3
1
arcsen . 
 
 
Solução: Seja y = cos 




3
1
arcsen . Daí, vamos chamar  = 
arcsen(1/3) logo sen  = 1/3 e obviamente  pertence ao primeiro 
quadrante da circunferência trigonométrica. Assim, y = cos e 
através da relação trigonométrica fundamental, segue que: 
y = cos  = 21 sen = 3
22
9
1
1  
Portanto 
 
 
 
121 
y = 3
22
. 
 
2.4 A Derivada da Função Arco Seno de x 
Sabemos que a função y = arcsenx, definida no intervalo I = [-
1, 1] com imagens em 




2
,
2

 é a função inversa de x = seny. 
Desta forma, temos a seguinte relação: 
 
y = arcsenx  x = seny 
 
Além disso, a pouco tempo acabamos de averiguar a 
derivada da função seno de x, ou seja: 
x = seny então x’ = cosy ( a derivada de seno é coseno) 
 
Logo, empregando a Regra da Derivada da Função Inversa, 
vem que: 
 
 
 
 
122 
y' = ycos
1
x´
1
 lfundamenta ricatrigonométrelação  ysen21
1
 senyx 21
1
x 
 
Ou seja, a derivada da função y = arcsenx é dada por y’= 
21
1
x . Portanto, temos que: 
 
 
 
 
 
2.13 A Função Arco Cosseno de x (arccosx) 
 
A função coseno definida da seguinte forma: 
f: ]1,1[ 
 x  y = cosx 
é uma função periódica, portanto sua relação inversa não é 
função. Porém, observando o gráfico de y = cosx, notamos que a 
função é bijetora nos intervalos em que é crescente ou 
 
Se y = arcsenx então y’ = 
21
1
x
 
 
 
 
123 
decrescente. Assim, para que a função coseno seja invertível (i.e. 
admita inversa), restringimos seu domínio a um desses intervalos. 
 
 
Figura 20: Gráfico da função coseno com os intervalos em 
que a função é crescente e decrescente. 
 
Adotando o intervalo [0,  ] para domínio, a definição da 
função coseno será: 
f: [0,  ] ]1,1[ 
 x  y = cosx 
E o gráfico da função assim definida está representado na 
Figura 21abaixo. 
 
 
 
 
124 
 
Figura 21: Gráfico da função y = cosx com domínio [0,  ]. 
 
Temos então que a função coseno definida no intervalo [0,  ] 
é bijetora. Portanto, podemos definir sua inversa, que chamaremos 
função arco coseno, do seguinte modo: 
f 1 : [-1, 1]  [0,  ] 
y = arccosx  cosy = x 
 
 
 
 
i) Da definição da função arco coseno, temos: 
Conseqüências Imediatas 
 
 
 
125 
Domínio: D = {x  / 11  x } 
Imagem: I = {y  /  y0 } 
ii) Gráfico 
Lembrando que o gráfico da função inversa é simétrico ao da 
função direta em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes 
ímpares), na Figura 22 apresentamos o gráfico da função arco 
cosseno de x. 
 
 
Figura 22: Gráfico da função inversa arccosx – função inversa 
de cosx. 
 
 
 
 
126 
Vejamos alguns exemplos que serão úteis para nos 
familiarizarmos com a função arccosx. 
 
 
Vamos determinar o valor das seguintes expressões: 
a) y = arccos1 
b) y = arccos (0) 
c) y = arccos(-1/2) 
 
Solução: 
 
a) y = arccos1 membrososambosaeno funçãoaaplicandocos  cosy = 1 e y  [0,  ]  y = 0. 
b) y = arccos(0) membrososambosaeno funçãoaaplicandocos  cosy = 0 e y  [0,  ]  y = 2 . 
c) y = arcsen(-1/2) membrososambosaeno funçãoaaplicandocos  cosy = -½ e y  [0,  ]  y = 
3
2 . 
 
 Vamos determinar o domínio de y = arccos4x. 
 
 
 
127 
 
Solução: y = arccos(4x) membrososambosaeno funçãoaaplicandocos  cosy = 4.x. Agora, 
sabemos que -1  cosy  1, logo: 
-1  4.x  1  -¼  x  ¼ 
Ou seja, temos que: 
D = {x  / -¼  x  ¼ } 
 
 
 
Calcular y = sen 




 )
3
1
arccos(.2 . 
 
Solução: Seja y = sen 




 )
3
1
arccos(.2 . Daí, vamos chamar  = 
arccos(-1/3) logo cos = – 1/3 e obviamente  pertence ao 
segundo quadrante da circunferência trigonométrica. Assim, y = 
sen(2  )= 2.sen  .cos (Fórmula do seno do arco duplo). 
Vamos obter o valor de sen  . Assim: 
 
 
 
 
128 
sen  = 2cos1 = 3
22
9
1
1  
Portanto, 
y = 2.sen  .cos  = 2. 3
22
.(-1/3) = 9
24
. 
 
2.5 A Derivada da Função Arco Cosseno de x 
Sabemos que a função y = arccosx, definida no intervalo I = [-
1, 1] com imagens em [0,  ] é a função inversa de x = cosy. Desta 
forma, temos a seguinte relação: 
y = arccosx  x = cosy 
 Acabamos de averiguar na Unidade que: 
x = cosy então x’ = – seny ( a derivada de coseno é menos 
seno) 
Logo, empregando a Regra da Derivada da Função Inversa, 
vem que: 
y’ = seny
1
x'
1
 lfundamenta ricatrigonométrelação  ysen21
1


 yx cos 21
1
x
 
 
 
 
 
129 
Ou seja, a derivada da função y = arccosx é dada por y’ = 
21
1
x
 . Portanto, temos que: 
 
 
 
 
2.14 A Função Arco Tangente de x (arc tgx) 
A função tangente definida por: 
 
f: 




 Zhhxx ,.
2
/ 
  
 x  y = tgx 
é uma função periódica, portanto sua relação inversa não é 
função. Porém, observando o gráfico de y = tgx, notamos que a 
função é bijetora nos intervalos em que é crescente. Assim, para 
que a função tangente seja invertível (i.e., admita inversa), 
restringimos seu domínio a um destes intervalos. 
 
 
Se y = arccosx então y’ = 
21
1
x

 
 
 
 
130 
 
Figura 23: Gráfico da função y = tgx. 
 
Adotando o intervalo 




2
,
2

para domínio, a definição da 
função tangente será: 
f: 




2
,
2

  
 x  y = tgx 
E o gráfico da função assim definida está representado na 
Figura 24 abaixo. 
 
 
 
 
131 
 
Figura 24: Gráfico da função y = tgx com domínio 




2
,
2

. 
 
 
Temos, então, que a função tangente definida no intervalo 






2
,
2

é bijetora. Portanto, podemos definir sua inversa, que 
chamaremos função arco tangente, do seguinte modo: 
 
 
 
132 
f 1 :   




2
,
2

 
y = arctgx  tgy = x 
 
 
 
 
 
 
i) Da definição da função arco tangente, temos: 
Domínio: D =  
Imagem: I = {y  / 22   y } 
ii) Gráfico 
Lembrando que o gráfico da função inversa é simétrico ao da 
função direta em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes 
ímpares), na Figura 25 apresentamos o gráfico da função arco 
tangente de x. 
Conseqüências Imediatas 
 
 
 
133 
 
Figura 25: Gráfico da função inversa arctgx. 
 
Vejamos alguns exemplos que serão úteis para nos 
familiarizarmos com a função arctgx. 
 
 
Vamos determinar o valor das seguintes expressões: 
a) y = arctgx(1) 
b) y = arctg(0) 
c) y = arctg(- 3 ) 
 
 
 
134 
Solução: 
a) y = arctg(1) membrososambosagente funçãoaaplicandotan  tgy = 1 e y  




2
,
2

 y = 4 . 
b) y = arctg(0) membrososambosagente funçãoaaplicandotan  tgy = 0 e y  




2
,
2

 y = 0. 
c) y = arctg(- 3 ) membrososambosagente funçãoaaplicandotan  tgy = - 3 e y 




2
,
2

 y 
= - 3 . 
 
 Vamos determinar y = tg  )3(.2 arctg . 
 
Solução: Seja y = tg[2.arctg(3)]. Daí, vamos chamar  = 
arctg(3), logo, tg  = 3 e obviamente  pertence ao primeiro 
quadrante da circunferência trigonométrica. Assim, devemos 
calcular y = tg(2  ) duplo arcodogentetan  

21
.2
tg
tg
 . Substituindo, obtemos: 
y = 231 3.2 = 86 = 43 
Portanto, 
 
 
 
135 
y = 43 . 
 
2.15 A Derivada da Função Arco Tangente de x 
Dada a função y = arctgx, de  em 




2
,
2

, sabemos que: 
y = arctgx  x = tgy. 
Daí, vem que: 
x = tgx então x’ = sec 2 y ( a derivada de tangente é secante 
ao quadrado) 
Logo, empregando a Regra da Derivada da Função Inversa, 
vem que: 
 
y’ = y2sec
1
x'
1
 ricatrigonométrelação  ytg 21
1
 tgyx 21 1x 
Ou seja, a derivada da função y = arctgx é dada por y’= 21 1x
. Portanto, temos que: 
 
 
 
 
136 
 
 
 
 
 
No Quadro 05 abaixo apresentamos um quadro resumo sobre as 
funções trigonométricas inversas. 
 
Quadro 05: As principais funções trigonométricas inversas. 
 
 
 
Se y = arctgx y’ = 
21
1
x
 
 
 
 
137 
Abaixo no Quadro 06 acrescentamos a interpretação da 
Regra da Cadeia para o cálculo envolvendo derivadas das 
principais funções trigonométricas inversas. 
 
Quadro 06: A Regra da Cadeia aplicada as principais funções 
trigonométricas inversas. 
Função Derivada Nomenclatura 
y = arc sen u 
y ’ = 21
'
u
u
 
Derivada da 
função arco seno 
de u 
y = arc cos u 
y ’ = 21
'
u
u


 
Derivada da 
função arco 
cosseno de u 
y = arc tg u 
y ’ = 21
'
u
u
 
Derivada da 
função arco 
tangente de u 
 
 
Vamos determinar as derivadas das seguintes 
funções: 
 
 
 
138 
a) y = arc sen(x + 1) 
b) y = arc cos(2x + 1) 
c) y = arc tg( 2
2
1
1
x
x


) 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
a) y = arc sen(x + 1): aqui temos y = arc sen u, com u = x + 1 e 
u’ = 1, logo: 
y ’ = 21
'
u
u
 = 2)1(1
1
 x 
a) y = arc cos(2x + 1): aqui temos y = arc cos u, com u = 2x + 1 
e u’ = 2, logo: 
y ’ = 21
'
u
u


 = 2)12(1
2


x 
a) y = arc tg( 2
2
1
1
x
x