Apostila de Números Complexos (10 páginas, 59 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 NÚMEROS COMPLEXOS
 
 
 
1 . REVISÃO DE CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1.1 Como surgiram os números? 
Os números foram criados pouco a pouco. 
A cada nova dificuldade ou necessidade, o homem 
foi juntando novos tipos de números aos já exis-
tentes. 
Com o tempo, por questões práticas, foi 
preciso agrupá-los formando estruturas com ca-
racterísticas peculiares e associar as propriedades 
comuns. 
 
1.2 Números naturais 
 
A necessidade de contar surgiu com o início 
da civilização dos povos. Povos primitivos conta-
vam apenas um, dois e muitos. Esses três concei-
tos, sozinhos, já resolviam seus problemas. Depois 
outras quantidades (três, quatro, etc.) foram sen-
do incorporadas. A ideia do zero só surgiu mais 
tarde. 
Os números utilizados para contar formam 
hoje o que chamamos de conjunto dos números 
naturais, simbolizado por ℕ e definido assim: 
 
ℕ = { 0, 1, 2, … , 𝑛, … } 
 
Limitação desse conjunto numérico: A soma 
de dois números naturais quaisquer tem como 
resultado sempre um número natural, mas a dife-
rença de dois números naturais quaisquer nem 
sempre tem como resultado um número natural. 
Por exemplo, 
 (5 + 2) ∈ ℕ e (2 + 5) ∈ ℕ 
 (5 − 2) ∈ ℕ, mas (2 − 5) ∉ ℕ 
 
1.3 Números inteiros 
 
(2 − 5) ∉ ℕ 
 
Subtrações como essa somente tem res-
posta com a introdução dos números negativos: 
−1,−2,−3,−4,… 
A união dos números naturais com os nú-
meros negativos forma o conjunto dos números 
inteiros, simbolizado por ℤ e definido assim: 
 
ℤ = {… , −𝑛, … , −2, −1, 0, 1, 2,… , 𝑛,… } 
 
Podemos separar os inteiros em três categorias: 
 Os positivos: 1, 2, 3, 4, … 
 O zero: 0 
 Os negativos: −1,−2,−3,−4,… 
Portanto, de maneira geral, se 𝑘 é um nú-
mero inteiro, o número −𝑘 também é número in-
teiro. Dizemos que 𝑘 e −𝑘 são simétricos ou 
opostos (algumas bibliografias de nível superior 
os chamam de inversos aditivos). 
Simetria em relação ao zero: 
 
 
 
Limitação desse conjunto numérico: A soma, a 
subtração e multiplicação de dois números inteiros 
quaisquer tem como resultado sempre um número 
inteiro, mas a divisão de dois números inteiros 
quaisquer nem sempre tem como resultado um 
número inteiro. Por exemplo: 
 [(+5) + (−2)] ∈ ℤ, 
 [(−7) − (+3)] ∈ ℤ, 
 [(+6) ∙ (−4)] ∈ ℤ 
 [(−10): (+5) ∈ ℤ, mas [(+5): (−10)] ∉ ℤ 
 
1.4 Números racionais 
 
[(+5) + (−2)] ∈ ℤ 
 
Divisões como essa somente tem resposta 
com a criação dos números fracionários 
 
3
5
,
8
7
,
1
10
, 𝑒𝑡𝑐 
 
Para que também a divisão fosse sempre 
possível foi criado um conjunto numérico mais 
amplo que o conjunto dos números inteiros, o 
conjunto dos números racionais, simbolizado 
por ℚ e definido assim: 
 
ℚ = {𝑥; 𝑥 =
𝑎
𝑏
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ≠ 0} 
 
Podemos representar os números racionais 
por pontos pertencentes a uma reta orientada. 
Veja os exemplos abaixo: 
 
 
 
Seguem exemplos abaixo de números que 
 são números racionais:
 
8
4
= 2; 
14
2
= 7; − 3; − 2; − 1;… (números inteiros)
 
 
2 
 
3
7
; 
13
5
; 
84
56
; … (frações)
 0,5 =
1
2
; 2,5 =
5
2
; 0,01 =
1
100
; − 0,125 = −
1
8
; … 
 (nºs decimais exatos)
 0,333 … =
1
3
; 0,166 … =
1
6
; 3,333 … =
10
3
 (dízimas 
 periódicas)
 
Limitação desse conjunto numérico: A figura a 
seguir mostra um triângulo retângulo cujos cate-
tos medem 1 unidade. Veja o cálculo para encon-
trar a sua hipotenusa, utilizando o Teorema de 
Pitágoras: 
 
 x2 = 12 + 12
 x2 = 2
Que número que elevado ao quadrado dá 2 ?
Resposta: x = 1,41421356237309...
 
A resposta x = 1,41421356237309... é um 
número decimal que não pode ser escrito em for-
ma de fração (não é número decimal exato e não 
é dízima periódica), portanto, é um número não-
racional - os pitagóricos o chamaram de inco-
 mensuráveis.
 
1.5 Números irracionais 
 
 Observe a resolução da equação abaixo: 
 
𝑥2 = 12 + 1 2
𝑥2 = 2
𝑥 = 2 = 1,41421356 … ∉ ℚ
 
Equações como essa não tem resposta em 
ℚ, a resposta foi possível pela descoberta de um 
novo conjunto numérico, o conjunto dos núme-
ros irracionais, simbolizado por 𝕀 e representado 
por números decimais que são dízimas aperiódi-
cas (números decimais de casas decimais infinitas 
e sem período). 
 
Exemplos de números irracionais: 
 2 = 1,41421356 …
 3 = 1,73205080 …
 5 = 2,23606797 …
 6 = 2,44948974 …
 7 = 2,64575131 …
 𝜋 = 3,141592653589 …
Vejamos, agora, como construir um ponto 
na reta numérica que tenha abscissa um número 
irracional: Num quadrado de lado 𝟏, como na figu-
ra abaixo. 
 
 
 
Pelo teorema de Pitágoras 𝑑2 = 12 + 12 ⟹
𝑑2 = 2 ⟹ 𝑑 = 2. Assim a abscissa de 𝑃 é 2 
que é número irracional. 
 
1.6 Números reais 
 Da união do conjunto dos números racio-
nais com o conjunto dos números irracionais surge 
o conjunto dos números reais, simbolizado por 
ℝ e definido assim: 
 
ℝ = {𝑥; 𝑥 é 𝑛° 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑛º 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} 
 
A representação dos números reais em dia-
gramas: 
 
 
 
Os diagramas mostram que o conjunto ℕ é 
subconjunto de ℤ, o conjunto ℤ é subconjunto de 
ℚ e ℚ, por sua vez, é subconjunto de ℝ; é sub-𝕀
conjunto de ℝ. Simbolicamente, 
 
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ e 𝕀 ⊂ ℝ 
 
Limitação desse conjunto numérico: 
 A equação 𝑥2 + 1 = 0 não tem solução em 
ℝ, pois: 
𝑥2 + 1 = 0 ⟹ 𝑥2 = −1 ⟹ 𝑥 = ± −1 
 
e não existe um número real 𝒙 que elevado ao 
quadrado resulte −1. Por isso, foi criado um con-
junto numérico mais amplo que o conjunto dos 
números reais, o conjunto dos números com-
plexos, simbolizado por ℂ. 
 
2. UMA ABORDAGEM HISTÓRICA DOS 
NÚMEROS COMPLEXOS 
Consideremos o problema proposto por Ge-
rônimo Cardano (1501-1576), eminente matemá-
tico do século XVI: 
“Divida 10 em duas partes tais que o produto seja 
40.” 
Chamando de 𝑥 e 𝑦 as partes procuradas e equa-
cionando o problema, temos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥𝑦 = 40 
 
 
cuja solução é dada por 𝑥 = 5 + −15 e 𝑦 = 5 −
 −15. 
Cardano chamou essas raízes quadrada de 
números negativos de “sofísticas”. Outros mate-
máticos, nos séculos XVI, XVII, XVIII, também as 
 
 
3 
chamaram de números “sem sentido”, “impossí-
veis”, “místicos”, “fictícios” e “imaginários”. E ope-
ravam com eles da seguinte maneira: 
 −4 = 4(−1) = 4 ∙ −1 = 2 −1 
 2 −1 + 4 −1 = 6 −1 
 (3 + 5 −1) + (2 + 3 −1) = 5 + 8 −1 
 
Esses números sempre podiam ser escritos na 
forma 𝑎 + 𝑏 −1 com 𝑎 e 𝑏 números reais. De um 
modo geral, a adição com os antigos símbolos 
(𝑎 + 𝑏 −1) + (𝑐 + 𝑑 −1) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑) −1 e 
a multiplicação (𝑎 + 𝑏 −1)(𝑐 + 𝑑 −1) =
(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) −1. Sem saber qual era o 
significado disso tudo, pois −1 não é um número 
real. E assim trabalharam com eles durante tre-
zentos anos. 
 
3 . FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS 
COMPLEXOS 
Resolvendo a equação 𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0, te-
mos: 
𝑥 =
−4 ± 16 − 20
2
=
−4 ± −4
2
 
 
O resultado é impossível em ℝ, portanto S = 

. 
Veremos que estudando números complexos a 
equação tem solução. 
 
3.1 A unidade imaginária 
Foi criado um símbolo para o número −1. 
Ele é chamado unidade imaginária e indicado 
por 𝑖. Portanto: 
 
𝑖 = −1 
 
 
Observação: 
 
 Convencionou-se que 𝑖2 = −1. 
 
3.2 A forma algébrica 
 Todo número complexo, pode ser escrito da 
seguinte maneira: 
 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 
 
 
, onde, 𝑎 ∈ ℝ, 𝑏 ∈ ℝ e 𝑖 = −1. 
 
 Essa é a forma algébrica dos números 
complexos. 
Os números complexostêm duas partes: 
 
𝑧 = 𝑎⏟
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙
+ 𝑏⏟
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎
 
 
Parte real de 𝑧: Re(𝑧) = 𝑎 
Parte imaginária de 𝑧: Im(𝑧) = 𝑏 
 
 Devemos observar também que: 
 Se 𝑏 = 0, temos 𝑧 = 𝑎, portanto, 𝑧 é número 
real. 
 Se 𝑎 = 0 e 𝑏 ≠ 0, temos 𝑧 = 𝑏𝑖, portanto, 𝑧 é 
número imaginário puro. 
 
Exemplos: 
a) Em 𝑧 = 2 + 3𝑖, temos Re(𝑧) = 2 e Im(𝑧) = 3. 
b) Em 𝑧 = 3, temos Re(𝑧) = 3, Im(𝑧) = 0, portan-
to, 𝑧 é número real. 
c) Em 𝑧 = −2𝑖, temos Re(𝑧) = 0, Im(𝑧) = −2, por-
tanto, 𝑧 é um imaginário puro. 
 Conclusão: Todo número real é um número 
complexo. Já sabemos que ℂ é o símbolo do con-
junto dos números complexos, segue as represen-
tações em digramas, abaixo: 
 
 
 
Agora, resolvendo a equação 𝑥2 + 4𝑥 + 5 =
0 do início do tópico e dando a resposta em ℂ: 
 
𝑥 =
−4 ± 16 − 20
2
=
−4 ± −4
2
=
−4 ± 4(−1)
2
= 
 
𝑥 =
−4 ± 2 −1
2
= −
4
2
±
2𝑖
2
= −2 ± 𝑖 
 
S = {−2 − 𝑖,−2 + 𝑖} 
 
Podemos efetuar as operações de adição, 
multiplicação e subtração entre números comple-
xos usando as propriedades das operações. Veja: 
 
a)(2 + 3𝑖) + (−3 + 4i) = (2–3) + (3 + 4)i = −1 +
7i. 
 
b)(1 + 𝑖)– (3 + 2𝑖) = (1–3) + (1– 2)𝑖 = −2 − 1𝑖 =
2– 𝑖. 
 
c)(1 + 2𝑖)(2– 3𝑖) = 1 ∙ 2 + 1 ∙ (−3𝑖) + 2𝑖 ∙ 2 + 2𝑖 ∙
(−3𝑖) = 2– 3𝑖 + 4𝑖– 6𝑖2 = 2 + 𝑖–6(−1) = 2 + 𝑖 + 6 =
8 + 𝑖. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Dados os números complexos z1 = 1 + 3i e 
z2 = -2 + i, calcule: 
a) z1 + z2 R: −1 + 4𝑖 c) z1
2 R: −8 + 6𝑖 
 
b) z1z2 R: −5 − 5𝑖 d) z1
2 + z2 R: −10 + 7𝑖 
 
2) Determine o valor real de x para que o número 
complexo: 
a) z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário 
puro. R: 𝑥 = 1
2
 
b) z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imagi-
nário puro. R: 𝑥 = 8 
c) z = 6 – (3x – 5)i seja um número real. R: 𝑥 = 5
3
 
d) z = (1 – x) + (x – 1)i seja o número real 0.R: 𝑥 = 1 
 
3) Efetue as operações indicadas 
a) (6 + 5i) + (3 – 4i) R: 9 + 𝑖 
b) (1 – i) – (3 – 2i) R: −2 + 𝑖 
c) (1 + i)(1 – i) R: 2 
d) i2, i3, i4, i5, i6, i7, i8 R: −1,−𝑖, 1, 𝑖, −1,−𝑖, 1 
e) (3 – i)3 R: 18 − 26𝑖 
f) (2 – 3i)2 – (3 – i)2i R: −7 − 18𝑖 
 
4) Calcule o valor de: 
a) i49 R: 𝑖 b) i100 R: 1 c) 3i15 – i16 R: −1–3𝑖 
 
5) Calcule os valores de: 
 
 
4 
a) (2i)4 R: 16 c) i-1 R: −𝑖 
 
b) (-i)23 R: 𝑖 d) 2
5i
 R: −1 
 
6) Determine o valor de: 
a)(1 – i)2 R: −2𝑖 c)(1 – i)11 R: −32 − 32𝑖 
 
b)(1 – i)10 R: −32𝑖 
 
7) Encontre a solução da equação x2 – 2x + 6 = 
0 em ℂ. S = {1 − 5𝑖, 1 + 5𝑖} 
 
8) Resolva em ℂ a equação x2 – 6x + 10 = 0. 
S = {3– 𝑖, 3 + 𝑖} 
9) Como seria resolvido o problema proposto por 
Gerônimo Cardano: “Divida 10 em duas partes tais 
que o produto seja 40.” (início do Tópico 2 da 
apostila) 
 
10) Determine uma equação do 2º grau que, em 
ℂ, tenha como raízes -5 + 2i e -5 – 2i. 
R: 𝑥2 + 10𝑥 + 29 = 00 
11) Determine equações do 2º grau com raízes: 
a) 3 – 2i e 3 + 2i b) -2i e i. 
R: 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 R: 𝑥2 + 𝑖𝑥 + 2 = 0 
 
12) Encontre o número complexo z tal que: 
a) 4z = z – (9 + 6i) b) z – i36 = i43 – z 
 R: 3 − 2𝑖 R: 𝑧 = 1
2
−
1
2
𝑖 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
13)(UEPA-2004) Calculando-se corretamente as 
raízes da função f(x) = x2 + 4x + 5, definida de 
ℝ em ℝ, encontra-se valores complexos de x 
iguais a: R: (a) 
 
(a) – 2 + i e – 2 - i (d) i + 2i e i - 2i 
 
(b) – 2 + 2i e – 2 - 2i (e) 2 + i e 2 – i 
 
(c) – 1 + 2i e – i – 2 
 
4 . O CONJUNTO DOS NÚMEROS COM-
PLEXOS 
 O conjunto dos números complexos, indi-
cado por ℂ, é o conjunto de números da forma 
𝑎 + 𝑏𝑖, tais que 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ e 𝑖 = −1, em que estão 
definidas: 
 Igualdade: 
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⟺ 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑. 
 
 Adição: 
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) ⟺ (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖. 
 
 Multiplicação: 
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) ⟺ (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖. 
 
 As operações de adição e multiplicação as-
sim definidas satisfazem as seguintes proprieda-
des, para quaisquer 𝑧, 𝑣 e 𝑤 pertencentes a ℂ: 
Adição: 
 Comutativa 
𝑧 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑧 
 
 Elemento neutro 
Existe 𝑧0 ∈ ℂ, 𝑧0 = 0 + 0𝑖 
𝑧 + 𝑧0 = 𝑧0 + 𝑧 = 𝑧 
 
 Inverso aditivo 
Existe 𝑧′ ∈ ℂ tal que: 
𝑧 + 𝑧′ = 𝑧′ + 𝑧 = 𝑧0 = 0 + 0𝑖 
 
 
Multiplicação: 
 Comutativa 
𝑧𝑣 = 𝑣𝑧 
 
 Associativa 
(𝑧𝑣)𝑤 = 𝑧(𝑣𝑤) 
 
 Elemento neutro 
Existe 𝑧1 ∈ ℂ, 𝑧1 = 1 + 0𝑖 tal que: 
𝑧𝑧1 = 𝑧1𝑧 = 𝑧 
 
 Inverso multiplicativo 
Existe 𝑧′ ∈ ℂ, 𝑧1 = 1+ 0𝑖 tal que: 
𝑧𝑧′ = 𝑧′𝑧 = 𝑧1 para 𝑧 ≠ 0 + 0𝑖 
 
 A multiplicação é distributiva em relação à adi-
ção 
𝑧(𝑣 + 𝑤) = 𝑧𝑣 + 𝑧𝑤 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
14) Determine x e y reais para que se verifique 
as igualdades: 
a) 3x + 2i = 1 + (5y)i R: x = 1/3 e y = 2/5 
 
b) 2 + 3i = (x – 1) + (2y – 3)i R: x = 3 e y = 3 
 
c) 1 – 5i = (x + y) + (x – y)i R: x = -2 e y = 3 
 
d) (x – 2) + (y + 1)i = 1 R: x = 3 e y = -1 
 
e) (x – 3) + yi = 0 R: x = 3 e y = 0 
 
f) [(x + 2) + (3x + y)i] + [x – 4yi] = 4 – 3i 
R: x = 1 e y = 2 
 
5 . REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 Cada número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 está as-
sociado o par de números reais (𝑎, 𝑏). Por outro 
lado, sabemos que a cada par de números reais 
(𝑎, 𝑏) está associados um único ponto no plano 
cartesiano. Logo, podemos associar a cada núme-
ro complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 o ponto P do plano de co-
ordenadas 𝑎 e 𝑏, isto é, P(𝑎, 𝑏). 
 
 O plano cartesiano no qual estão represen-
tados os números complexos é denominado plano 
complexo ou plano de Argand-Gauss. Dizemos 
que o ponto P(𝑎, 𝑏) é o afixo do número complexo 
𝑎 + 𝑏𝑖. 
 
Exemplos: Representar geometricamente os nú-
meros complexos 𝑧1 = 3 − 2𝑖, 𝑧2 = 5, 𝑧3 = −2𝑖, 
𝑧4 = 2 + 𝑖 e 𝑧5 = −2 + 𝑖. 
 
Resolução: 
 
𝑧1 = 3 − 2𝑖 ⟹ (3,−2) 
𝑧2 = 5 ⟹ (5, 0) 
𝑧3 = −2𝑖 ⟹ (0,−2) 
𝑧4 = 2 + 𝑖 ⟹ (2, 1) 
𝑧5 = −2 + 𝑖 ⟹ (−2, 1) 
 
x 
y 
b 
a 
P(a, b) 
 
 
5 
 
 
Observações: 
a) Os números complexos reais pertencem ao eixo 
𝑥, mantendo a correspondência segundo a qual 
para cada número real existe um ponto da reta. 
b) Os números imaginários puros pertencem ao 
eixo 𝑦. 
c) Os demais números complexos (𝑎 + 𝑏𝑖, com 
𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0) pertencem aos vários quadrantes, de 
acordo com os sinais 𝑎 e 𝑏. 
d) Para cada número complexo existe um único 
ponto no plano e vice-versa. 
e) Podemos associar a cada complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 
um único vetor com extremidades no ponto 
O(0, 0) (origem do sistema de coordenadas) e no 
ponto P(𝑎, 𝑏). 
 
 Nesse plano complexo, além do número 
complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, estão representados outros 
dois números complexos 𝑧1 e 𝑧2 e, a soma deles, 
𝑧1 + 𝑧2 – que é a diagonal do paralelogramo for-
mado por 𝑧1 e 𝑧2. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
15) Dados os números complexos z1 = -4 + 2i, 
z2 = -3i e z3 = 4, localize, no plano complexo os 
pontos correspondentes. 
 
16) Determine os números complexos correspon-
dentes aos pontos A, B, C, D e E na figura abaixo. 
 
R: 𝑧𝐴 = 3; 𝑧𝐵 = 2𝑖; 𝑧𝐶 = 2 + 𝑖; 𝑧𝐷 = −2 − 𝑖; 𝑧𝐸 = 1 − 𝑖 
17) Dados os pontos correspondentes aos núme-
ros z1 = -1 - i e z2 = -2 – i. 
a) Descubra os pontos correspondentes aos nú-
meros -z1 e -z2. R: -𝑧1 = 1 + 𝑖; −𝑧2 = 2 + 𝑖 
b) Faça os esboços no plano complexo de z1, z2, 
-z1 e -z2. 
 
18) Efetue algebricamente e geometricamente a 
adição dos números complexos z1 = 1 + 2i e 
z2 = 4 + i. R: 𝑧1 + 𝑧2 = 5 + 3𝑖 
 
6 . CONJUGADO DE NÚMERO COMPLEXO 
 A propriedade do inverso multiplicativo po-
de ser escrita da seguinte maneira: Se 𝑧 ≠ 0, exis-
te um único número complexo 
1
𝑧tal que 𝑧 ∙
1
𝑧
= 1. 
 Como podemos determinar o número 
1
𝑧
 na 
forma algébrica? 
 Para isso, precisamos definir o que vem a 
ser o conjugado de um número complexo. 
 O conjugado de um número complexo 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é o número complexo 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖. 
 
Exemplos: 
a) Se 𝑧 = 2 + 3𝑖, então 𝑧̅ = 2 − 3𝑖 
 
b) Se 𝑧 = −3 − 4𝑖, então 𝑧̅ = −3 + 4𝑖 
 
c) Se 𝑧 = 2, então 𝑧̅ = 2 
 
d) Se 𝑧 = 5𝑖, então 𝑧̅ = −5𝑖 
 
6.1 Interpretação geométrica do conju-
gado 
 
 
6.2 Propriedade de conjugado 
a) Se 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, então: 
 
 
𝑧𝑧̅ = 𝑎2 + 𝑏2 
 
 
b) Para o número complexo 𝑧, temos que: 
 
 
𝑧 = 𝑧̅ ⇔ 𝑧 é número real 
 
 
c) Se z1 e z2 são números complexos, então: 
 
 
𝑧1 + 𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑧1̅ + 𝑧2̅ 
 
 
d) Se z1 e z2 são números complexos, então: 
 
 
𝑧1𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧1̅ ∙ 𝑧2̅ 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
19) Se z1 = 2 - 3i e z2 = 3 + 5i, determine: 
a) 
1z
, 
2z
, 
1z
 + 
2z
 e 
1 2z z
 R: 𝑧1̅ = 2 + 3𝑖; 𝑧2̅ = 3 − 5𝑖; 𝑧1̅ +
𝑧2̅ = 5 − 2𝑖; 𝑧1 + 𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 5 − 2𝑖 
b) 
1z
 + 
2z
 R: 𝑧 = 5 − 8𝑖 
 
20) Calcule 
zz
 nos casos: 
a) z = 3 – 4i 25 c) z = -1 – i 2 
 
b) z = 7i 49 
 
x 
y 
1 
1 
2 
-2 
3 
-1 -2 
Z 1 Z 3 
0 4 5 
Z 2 
Z 5 Z 4 
x 
y 
Z 1 
Z 2 
Z 1 Z 2 + 
P(a, b) 
a 
b 
0 
x 
y 
1 
1 
2 
-1 
3 
-1 -2 
0 
C 
B 2 
A 
E D 
x 
y 
0 
z = a + bi 
z = a - 
bi 
-b 
b 
a 
 
 
6 
21) Dado z 

 0, determine 
1
z
 na forma a + bi de 
tal modo que z . 
1
z
 = 1 (questão proposta na pá-
gina 4, tópico 6). R: 𝑎
𝑎2+𝑏2
−
𝑏
𝑎2+𝑏2
𝑖 
 
22) Encontre 
1
z
, dado z = 1 + 2i. R: 1
5
−
2
5
𝑖 
 
7 . DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
O quociente 
1
2
z
z
, entre dois números com-
plexos, com 
0 z2 
, dado por 
1 1 2
2 2 2
z z z
 
z z z

. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
23) Efetue 
1
2
z
z
 sabendo que 
1z
 = 1 + 2i e 
2z
 = 2 
+ 5i. R: z = 12
29
−
1
29
𝑖 
 
24) Efetue as divisões indicadas: 
 
a) 
2 3i
1 2i


 R: z = 8
5
−
1
5
𝑖 c) 
1 3i
1 - i

 R: 𝑧 = −1 + 2𝑖 
 
b) 
1
3 2i
 R: z = 3
13
−
2
13
𝑖 d) 
1 i
i

 R: 𝑧 = 1 − 𝑖 
 
25) Em que quadrante fica o ponto corresponden-
te ao número complexo 𝑧 =
2−𝑖35
3+𝑖
? R = I quadrante (𝑍 = 7
10
+
7
10
𝑖) 
 
26) Calcule: 
a) 
i 1
i - 1

 + 
i 1
i 1


 b) 
i
i 2 
 - 
i 1
2i) - (1 2

 
R = 0 R: z = 
9
2
−
3
2
𝑖 
 
8 . MÓDULO DE NÚMERO COMPLEXO 
 Geometricamente, o módulo de um número 
complexo é a distância da origem do sistema de 
coordenadas O(0, 0) ao afixo P de z. 
 Aplicando o teorema de Pitágoras no triân-
gulo OAP, temos: 
 
|z|2 = a2 + b2 ⟹ |z| = 
22 b a 
 
 
 
 
 Podemos dizer que, dado um número com-
plexo z = a + bi, chama-se módulo de z e indica-
se por 
z
 o número real positivo ou nulo dado 
por: 
 
z
 = 
22 b a 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
27) Determine o módulo dos seguintes números 
complexos: 
a) z = 2 + 3i R: |z| = 13 d) z = 
1
2
 R: |z| = 1
2
 
 
b) z = 3i R: |z| = 3 e) z = -3 R: |z| = 3 
 
c) z = -1 – 2i R: |z| = 5 f) z = 0 R: |z| = 0 
 
8.1 Propriedade de módulo 
a) Se z é um número complexo, então: 
 
 
z
z
 = 
2
z
 
 
 
b) Se z é um número complexo, então: 
 
 
z
 = 
z
 
 
 
c) Se z é um número complexo, então: 
 
 
21zz
 = 
21 zz
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
28) Determine z tal que: 
a) z – i27 = 2z + i20 b) 2
z
 + i4 = z – 6i28 
R: 𝑧 = −1 + 𝑖 R: z = -7 
 
29) Trace o vetor correspondente a cada um dos 
números complexos abaixo e determine seu mó-
dulo: 
a) z = 1 + 4i R: |z| = 17 c) z = 
2
2
 + 
2
2
i R: |z| = 1 
b) z = 5 – 3i R: |z| = 34 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
30)(UEPA-2014) O matemático suíço Leonhard 
Euler (1707–1783) foi um dos mais profícuos ma-
temáticos de todos os tempos. Dentre suas contri-
buições tem-se ex.i = cos(x) + i.sen(x), conhe-
cida como relação de Euler. Nessa relação, quando 
x for igual a . obtém-se e .i + 1 = 0, identidade 
que relaciona alguns dos mais importantes núme-
ros da matemática. O módulo de e( /4).i, é: R: (c) 
 
(a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) 3/2 (e) 2 
 
31)(UFPA-2004) Sabe-se que o beijo pode fazer 
você viajar sem sair do lugar e aumentar o seu 
batimento cardíaco. Se considerarmos que a rela-
ção intensidade do beijo (i) e batimento cardíaco 
(B) pode ser representado pela função B(i) = - i2 
+ 16i + 90, o batimento cardíaco máximo atingi-
do será: R: (c) 
 
(a) 90 (b) 136 (c) 154 (d) 106 (e) 144 
 
32)(UFRA-2004) Z1 e Z2 são números complexo 
tais, que z1 = 1 + 3i e z2 = 1 – i. O quociente 
entre Z1 e Z2 é igual a: R: (e) 
 
(a) i - 1 (c) 2 + 2i (e) 2i - 1 
 
(b) 1 + i (d) 1 + 3i 
 
33)(MARCK-SP) A solução da equação |z| + z = 
2 + i é um número complexo cujo módulo é: 
 
(a) 
5
4
 (b)
5
 (c) 1 (d) 
5
5
 (e) 
5
2
 
R: (a) 
x 
y 
b 
a 
P(a, b) ou 
afixo de z = a + bi 
A 0 
 
 
7 
34)(Vunesp-SP) Seja L o afixo do número com-
plexo a = 
8
 + i em um sistema de coordenadas 
cartesianas xOy. Determine o número complexo b, 
de módulo igual a 1, cujo afixo M pertence ao 
quarto quadrante e é tal que o ângulo LOM é reto. 
R: 
1
3
−
2 2
3
𝑖 
 
9 . FORMA TRIGONOMÉTRICA DOS NÚ-
MEROS COMPLEXOS 
 Sabemos que um número complexo 𝑎 + 𝑏𝑖 
é representado por um ponto P do plano, de coor-
denadas (𝑎, 𝑏). Essas são as coordenadas do ponto 
P. Veremos agora que esse mesmo ponto pode ser 
representado por suas coordenadas polares, 
que são: 
 O módulo do vetor 
Oz
, indicado por |z| ou 
ρ
, 
representando a distância do ponto P à origem 
do plano (supondo |z| 

 0); 
 O ângulo 
θ
, em que 0 

 
θ
 < 2

, que o vetor 
Oz
 forma com o eixo x. Esse ângulo 
θ
 é cha-
mado argumento z e indicado por arg(z). 
 
 
Já vimos em trigonometria que: 
 
 
a
cos θ 
|z|

 
b
sen θ 
|z|

 , com 0 

 
θ
 

 
2
 
 
 
Essas igualdades levam a: 
 
 cos 
θ
 = 
a
|z|
 ⟹ a = |z| . cos 
θ
 
 sen 
θ
 = 
b
|z|
 ⟹ b = |z| . sen 
θ
 
substituindo esses valores em z = a + bi, temos: 
z = a + bi = |z| . cos 
θ
 + |z| . sen 
θi
 = 
= |z|(cos 
θ
 + i . sen 
θ
) 
Portanto: 
 
z = |z|(cos 
θ
 + i . sen 
θ
) 
 
 
que é chamada forma trigonométrica ou forma 
polar de z. 
 
Exemplo: Determine a representação geométrica 
e a forma trigonométrica do número complexo 
z = 1 + i. 
 
Resolução: 
 
z = 1 + i 
a = 1 e b = 1 
Então: 
|z| = |1 + i| = 
2 21 1
 = 
2
 
a 1 2
cos θ 
|z| 22
b 1 2
sen θ 
|z| 22

   



   

 ⟹ 
θ
 = arg(z) = 
4

 
Assim a forma trigonométrica de z é dada por: 
 
z = |z|(cos 
θ
 + i . sen 
θ
) = 
2







4
 sen . i 
4
 cos

 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
35) Dê a representação geométrica e a forma 
trigonométrica dos seguintes números complexos: 
a) 
3
 + i R: 𝑧 = 2 (cos 𝜋
6
+ 𝑖 ∙ sen
𝜋
6
 ) 
 
b) -
3
 + i R: 𝑧 = 2 (cos 5𝜋
6
+ 𝑖 ∙ sen
5𝜋
6
 ) 
 
c) 
3
 - i R: 𝑧 = 2 (cos 11𝜋
6
+ 𝑖 ∙ sen
11𝜋
6
 ) 
 
d) -
3
 - i R: 𝑧= 2 (cos 7𝜋
6
+ 𝑖 ∙ sen
7𝜋
6
 ) 
 
e) 6i R: 𝑧 = 6(cos 𝜋
2
+ 𝑖 ∙ sen
𝜋
2
 ) 
 
f) 2 + 2i R: 𝑧 = 8(cos 𝜋
4
+ 𝑖 ∙ sen
𝜋
4
 ) 
 
g) 4 R: 𝑧 = 4(cos 0 + 𝑖 ∙ sen0 ) 
 
h) -i R: 𝑧 = (cos 3𝜋
2
+ 𝑖 ∙ sen
3𝜋
2
 ) 
 
i) (1 + i)(1 – i) R: 𝑧 = 2(cos 0 + 𝑖 ∙ sen0 ) 
 
36) Escreva na forma algébrica os seguintes nú-
meros complexos: 
a) 2
cos i.sen 
6 6
  
 
 
 R: z = 3 + 1 
b) 5
 0 i.sen 0 cos 
 R: z = 5 
c) 
3
cos 
2

 + i.
3
sen 
2

 R: z = -i 
d) 
3 3
2 cos i.sen 
4 4
  
 
 
 R: z = -1+i 
e) 3
cos i.sen 
2 2
  
 
 
 R: z = 3i 
 
37) Determine o valor do arg(z) de z = 
-2
1 i 3
. 
R: 𝜃 =
2𝜋
3
 
38) Dados os números complexos z1 = 1 + 
3
i e 
z2 = 3i: 
a) Coloque-os na forma trigonométrica; 
R: 𝑧1 = 2 (cos
𝜋
3
+ 𝑖 ∙ sen
𝜋
3
 ); 𝑧2 = 3 (cos
𝜋
2
+ 𝑖 ∙ sen
𝜋
2
 ) 
b) Efetue o produto z1z2 e coloque-o na forma 
trigonométrica. R: 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 6 (cos 5𝜋6 + 𝑖 ∙ sen
5𝜋
6
 ) 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
39)(Vunesp-SP) Considere o número complexo 
u = 
3 1
 + i
2 2
, em que i = 
-1
. Encontre o número 
complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argu-
mento principal é o triplo do argumento de u. R: u = 2i 
 
10 . MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COM-
PLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 
 Consideremos os números complexos z1 e 
z2, dados na forma trigonométrica: 
 
z1 = |z1|(cos 
1θ
 + i . sen 
1θ
) 
 
z2 = |z2|(cos 
2θ
 + i . sen 
2θ
) 
 
O produto z1z2 é dado por: 
 
 
z1z2 = |z1||z2|[cos (
1θ
+
2θ
) + i.sen (
1θ
+
2θ
)] 
 
 
 
 
8 
Exemplo: Calcule o produto z1z2 com z1 = 
2 cos i . sen 
4 4
  
 
 
 e z2 = 
3 cos i . sen 
2 2
  
 
 
. 
 
Resolução: 
 
Substituindo os dados do problema na fórmula, 
temos: 
z1z2 = 
2 . 3 cos i . sen 
4 2 4 2
       
      
    
 = 
= 
3 3
6 cos i . sen 
4 4
  
 
 
. 
 
11 . DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
NA FORMA TRIGONOMÉTRICA 
 Dados os números complexos z1 e z2, da-
dos na forma trigonométrica: 
 
z1 = |z1|(cos 
1θ
 + i . sen 
1θ
) 
 
z2 = |z2|(cos 
2θ
 + i . sen 
2θ
) 
 
O quociente 
1
2
z
z
 é dado por: 
 
 
2
1
z
z
 = 
1
2
|z |
|z |
[cos (
1θ
 - 
2θ
) + i.sen (
1θ
 - 
2θ
)] 
 
 
Exemplo: Calcule o quociente 
1
2
z
z
 com z1 = 
2 cos i . sen 
4 4
  
 
 
e z2 = 
4 cos i . sen 
2 2
  
 
 
 
 
Resolução: 
 
Substituindo os dados do z1 e z2 na fórmula 
dada temos: 
1
2
z
z
 = 
2
cos i . sen 
3 4 2 4 2
       
      
    
 = 
= 
2
cos i . sen 
3 4 4
     
      
    
 = 
= 
2 7 7
cos i . sen 
3 4 4
  
 
 
. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
40) Dados os números complexos z = 
5 5
6 cos i . sen 
6 6
  
 
 
 e w = 
3 cos i . sen 
4 4
  
 
 
, calcule: 
 
a) zw R: 𝑧 = 18 (cos 13𝜋
12
+ 𝑖 ∙ sen
13𝜋
12
 ) 
 
b) w2 R: 𝑧 = 9(cos 𝜋
2
+ 𝑖 ∙ sen
𝜋
2
 ) 
c) 
z
w
 R: 𝑧 = 2(cos 7𝜋
12
+ 𝑖 ∙ sen
7𝜋
12
 ) 
d) 
w
z
 R: 𝑧 = 1
2
(cos
17𝜋
12
+ 𝑖 ∙ sen
17𝜋
12
 ) 
 
41) Determine o número complexo z1, sabendo 
que z2 = 
10 cos i . sen 
9 9
  
 
 
 e z1z2 = 20
3
17 17
cos i . sen 
18 18
  
 
 
. R: 𝑧1 = 2 3(cos 5𝜋6 + 𝑖 ∙ sen
5𝜋
6
 ) 
12 . POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS COM-
PLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA – 
A FÓRMULA DE DE MOIVRE1 
A potência zn, 𝑛 ∈ ℕ∗, dada por 𝑧𝑛 =
𝑧 ∙ 𝑧 ∙ 𝑧 …𝑧⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
. 
 Assim, se um número complexo z está es-
crito na forma trigonométrica z = |z|(cos 
θ
 + i . 
sen 
θ
), temos: 
 
𝑧𝑛 = 𝑧 ∙ 𝑧 ∙ 𝑧 …𝑧⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
= |𝑧| ∙ |𝑧| ∙ |𝑧| … |𝑧|⏟ 
𝑛 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑠
[cos (𝜃 + 𝜃 +⋯+ 𝜃)⏟ 
𝑛 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
+ 𝑖 ∙
 sen (𝜃 + 𝜃 + ⋯+ 𝜃)⏟ 
𝑛 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
⟹ 
 
 
⟹ zn = 
n|z|
[cos(
nθ
) + i.sen(
nθ
)] 
(fórmula 
de De 
Moivre) 
 
 
Exemplo: Dado o número complexo z = 
2 cos i . sen 
4 4
  
 
 
, determine z7. 
 
Resolução: 
 
z7 = 7
2 cos i . sen 
4 4
   
  
  
 = 
= 
72 cos 7. i . sen 7.
4 4
  
 
 
 = 
= 
7 7
128 cos i . sen 
4 4
  
 
 
. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
42) Calcule os valores das potências z2, z3 e z9, 
sabendo que z = 
2 cos i . sen 
3 3
  
 
 
. R: 𝑧2 = 4(cos 2𝜋
3
+ 𝑖 ∙
sen
2𝜋
3
 ) ; 𝑧3 = 8(cos 𝜋 + 𝑖 ∙ sen𝜋 ); 𝑧9 = 512(cos 3𝜋 + 𝑖 ∙ sen3𝜋 ) 
43) Usando a fórmula de De Moivre, calcule as 
potências: 
a)(1 – i)3 R: 𝑧 = 2 2(cos 5𝜋
4
+ 𝑖 ∙ sen
5𝜋
4
 ) ou −2 − 2𝑖 
 
b)(3 – 3i)5 R: 𝑧 = 972 2(cos 3𝜋
4
+ 𝑖 ∙ sen
3𝜋
4
 ) ou −972+ 972𝑖 
 
c)
4(1 3i)
 R: 𝑧 = 16(cos 4𝜋
3
+ 𝑖 ∙ sen
4𝜋
3
 ) ou −8 + 8 3𝑖 
 
d)
100(-1 - 3i)
 R: 𝑧 = 2100 (cos 4𝜋
3
+ 𝑖 ∙ sen
4𝜋
3
 ) ou −299 − 299 3𝑖 
 
e)(-3i)17 R: 𝑧 = 317 (cos 3𝜋
2
+ 𝑖 ∙ sen
3𝜋
2
 ) ou −317𝑖 
 
44) Sabendo que z1 = 2(cos 30
º + i.sen 30º) e 
z2 = 3(cos 150
º + i.sen 150º), determine: 
a) z1z2 R: −6 c) 3
1z
 R: 8𝑖 
 
b) 
1
2
z
z
 R: − 1
3
−
 3
3
𝑖 d) 
99
2z
 R: 399𝑖 
 
45) Calcule o valor das seguintes potências: 
a) 
8
5
1 - i
i
 
 
 
 R: 8𝑖 c) 200
3 - i
1 - i
 
 
 
 
 R: -299 + 299 3𝑖 
b) 
3
2
(1 i)
(1 - i)

 R: −1 − 𝑖 
 
 
 
 
1
 Abraham de Moivre (1667-1754), matemático francês. 
 
 
9 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
46)(PUC-MG) O produto (a + bi)(3 + 2i) é um 
número real. O valor de 2a + 3b é: R: (c) 
 
(a) -3 (b) -2 (c) 0 (d) 2 (e) 3 
 
47)(EEP-SP) No conjunto dos números comple-
xos, 


1 i
1 i
 vale: R: (a) 
 
(a) i (b) - i (c) 1 + 2i (d) 1 - 2i (e) nda 
 
48)(UFRS) A forma a + bi de z = 


1 2i
1 i
 é: 
(a) 
1 3
 i
2 2

 (c) 
1 2
 i
2 3
 
 (e) 
1 3
 i
2 2

 
 
(b) 
1 3
 i
2 2
 
 (d) 
1 2
 i
2 3
 
 
R: (b) 
 
49)(UFRS) Se z1 = 
3 i
 e z2 = 
3 3i
, então 
z1z2 tem módulo e argumento, respectivamente, 
iguais a: 
 
(a) 
2 3
 e 30° (c) 
3 2
 e 60° (e) 
4 3
 e 60° 
 
(b) 
3 2
 e 30° (d) 
4 3
 e 30° R: (e) 
 
50)(Fuvest-SP) A forma algébrica do número 
complexo z = 
3
cos 
4

 + i . 
3
sen 
4

 é: 
 
(a) 
1 i
 
2 2
 
 (c) 
2 2
 i
2 2

 (e) 
-1 2
 i
22

 
 
(b) 
1 i
 
4 4
 
 (d) 
3 3
 i
2 2
 
 R: (e) 
 
51)(FEI-SP) A representação trigonométrica do 
número complexo z = 1 + i é: 
 
(a) 2(cos 0 + i.sen 0) 
 
(b) 
2 cos i . sen 
2 2
  
 
 
 
 
 
(c) 
2 cos i . sen 
4 4
  
 
 
 
 
 
(d) 
2 cos i . sen 
4 4
  
 
 
 
 
 
(e) 
2 cos i . sen 
2 2
  
 
 
 
R: (d) 
 
52)(Cefet-PR) A expressão 

1 - i
1 i
 - 

2i
1 3i
, na 
qual ié a unidade imaginária, é igual a : 
 
(a) 
3 6i
-
5

 (c) 1 + 2i (e) 
2 4i
5

 
 
(b) 
3 i
2

 (d) -1 - 2i 
R: (a) 
 
53)(FEI-SP) Escrevendo o número complexo 
z = 

1
1 i
 + 

1
1 i
, na forma algébrica, temos: 
 
(a) 1 - i (b) i - 1 (c) 1 + i (d) i (e) 1 
R: (e) 
54)(FGV-SP) Seja o número complexo 
z = (x – 2i)2, no qual x é um número real. Se o 
argumento principal de z é 90º, então 
1
z
 é: 
(a) 
i
8

 (b) – 8i (c) 4i (d) -1 + 4i 
R: (a) 
55) (FEI-SP) O módulo do número complexo z = 
 
 
 
2
1 + i
1 - 2i
 é: R: (e) 
 
(a) 
6
5
 (b) 1 (c) 
4
5
 (d) 
3
5
 (e) 
2
5
 
 
56)(USJT-SP) Se z = 1 + 
3
i, em que i é a 
unidade imaginária, a forma algébrica de z6 é: 
 
(a) 40 (b) 48 (c) 56 (d) 64 (e) 72 
R: (d) 
57)(UFMG) O conjunto de todas as raízes com-
plexas da equação x3 = -1 é: 
 
(a) {-1} 
 
(b) {1, -1} 
 
(c) 
-1, cos i . sen 
3 3
  
 
 
 
 
(d) 
3 i 3 i
-1, , - 
2 2 2 2
  
  
  
 
 
(e) 
5 5
-1, cos i . sen , cos i . sen 
3 3 3 3
    
  
 
 
R: (e) 
58)(UFPA-2005) As raízes da equação 
 
4 2z z 1 0  
 
 
em conjunto com os números 1 e -1 formam os 
vértices de um hexágono regular no plano com-
plexo, inscrito no círculo de raio 1 e de centro na 
origem. Um modo algébrico de calcular as raízes 
dessa equação começa com a representação do 
primeiro membro como diferença de dois quadra-
dos: 
4 2 2(z 2z 1) z 0   
 
 
As raízes da equação 
4 2z z 1 0  
 ou de sua 
equivalente 
4 2 2(z 2z 1) z 0   
 são: 
 
(a) 
1 5i, 1 5i, 1 2 5i, 1 2 5i    
 
 
(b) 
1 3 1 3 3 1 3 1
i , i , i , i
2 2 2 2 2 2 2 2
     
 
 
(c) 
3 1 3 1 3 1 3 1
i , i , i , i
2 2 2 2 2 2 2 2
     
 
 
(d) 
2 2 2 2 2 2 2 2
i , i , i , i
2 2 2 2 2 2 2 2
     
 
 
(e) 
1 3 1 3 1 3 1 3
i , i , i , i
2 2 2 2 2 2 2 2
     
 
R: (e) 
59)(UFPA-2009) Um estudante aplicou a fórmu-
la x = (-b±

)/(2a) para encontrar raízes x1 e x2 
da equação x² - 3x + (3+i) = 0, e ao calcular o 
termo 

 = b² - 4ac, obteve -3 - 4i. Para extrair a 
raiz quadrada deste número procurou números 
reais r e s de modo que (r + is)² = -3 - 4i. Após 
 
 
10 
resolver o sistema real gerado por essa equação 
complexa, obteve como solução: 
 
(a) r + is = ±(1 + 2i), x1 = 2 + i, x2 = 1 + i. 
 
(b) r + is = ±(2 - i), x1 = 2-i, x2 = 1+i. 
 
(c) r + is = ±(1 - 2i), x1 = 1+i, x2 = 2-i. 
 
(d) r + is = ±(1 + 2i), x1 = 2+i, x2 = 1-i. 
 
(e) r + is = ±(2 - 2i), x1 = 2-i, x2 = 1+i. 
R: (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravi-
lhosa ciência aplicada que economiza trabalho e 
torna a vida mais fácil? A resposta é simples: por-
que ainda não aprendemos a nos servir dela com 
bom senso”. 
Albert Einstein. 
Para que serve a Matemática? 
 
-“Para que este sonho se torne realidade”, diz o 
arquiteto olhando a planta na sua prancheta de 
trabalho. 
-“Para interpretar os dados do computador de 
bordo e determinar a posição do avião”, observa o 
piloto. 
-“Necessito dela para estabelecer uma relação 
entre o mundo físico e sua representação gráfica 
quando faço um mapa”, responde o cartógrafo. 
-“Preciso investigar mediante procedimentos ma-
temáticos a situação da empresa e do mercado 
antes de sugerir algum investimento”, exclama o 
administrador de empresas. 
-“Para interpretar estatisticamente os resultados 
de testes sobre o comportamento humano, como 
aprendizado, memória, motivação”, relata o psicó-
logo. 
-“Para planejar a comida do paciente cujo médico 
prescreveu uma dieta com proteínas e hidrato de 
carbono na razão 7 : 4”, conclui o nutricionista do 
hospital. 
-“Para observar e acompanhar o registro das ativi-
dades do coração do meu paciente” pensa o médi-
co olhando um eletrocardiograma. 
-“Com auxílio de análises matemáticas posso su-
gerir modificações que levem harmonia às popula-
ções das grandes cidades, como o estudo dos flu-
xos de trânsito para prevenir acidentes”, afirma o 
urbanista. 
-“Para planejar as vastas e complexas redes de 
comunicação modernas”, se orgulha o engenheiro. 
-“Para organizar o orçamento doméstico, acompa-
nhar, interpretar e participar ética e consciente-
mente da política do dia-a-dia responde o cidadão 
comum. 
 
TODA PROFISSÃO PRECISA DE MATEMÁTICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila atualizada em 4/2/2018 
 
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