Apostila de Polinômios (8 páginas, 62 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 POLINÔMIOS
 
1 . INTRODUÇÃO 
Observe as figuras seguintes e suas di-
mensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 A primeira figura é um retângulo de di-
mensões x e x + 3, cujo perímetro é indicado 
pela expressão: 
 
 
2x + 2(x + 3) 4x + 6 
 
 
e cuja área é indicada por: 
 
 
x(x + 3) x2 + 3x 
 
 
 A segunda figura é um cubo com aresta 
de medida x, cuja área total é indicada por: 
 
 
6x2 
 
 
e cujo volume é expresso por: 
 
 
x3 
 
 
 A terceira figura é outro cubo com ares-
tas x + 2, cuja área total é: 
 
 
6(x + 2)2 6(x2 + 4x+ 4) 6x2 + 24x+ 24 
 
 
e cujo volume é expresso por: 
 
 
(x + 2)3 x3 + 6x2 + 12x+ 8 
 
 
Todas essas expressões são chamadas expres-
sões polinomiais ou polinômios e serão obje-
to de estudo dessa apostila. 
 
2 . DEFINIÇÃO 
 Chamamos de expressão polinomial na 
variável real x toda expressão da forma: 
 
 
anx
n + an - 1x
n – 1 + an – 2x
n – 2 + … + a2x
2 + a1x + a0 
 
 
em que: 
 an, an - 1, an - 2, ..., a2, a1, a0 são números re-
ais denominados coeficientes; 
 n é um número inteiro positivo ou nulo; 
 O maior expoente de x, com coeficiente não 
nulo, é o grau da expressão; 
Veja, por exemplo, as expressões poli-
nomiais apresentada na introdução do capítulo: 
1ª) 4x + 6: expressão polinomial do 1º grau 
(grau 1). 
2ª) x2 + 3x: expressão polinomial do 2º grau 
(grau 2). 
3ª) x3: expressão polinomial do 2º grau (grau 
3). 
4ª) 6x2 + 24x + 24: expressão polinomial do 2º 
grau (grau 2). 
 Pela definição não são exemplos de ex-
pressão polinomial: 
1ª) x-2 + 3x-1 + 1, pois o expoente da variável 
x não pode ser negativo. 
2ª) x3 + 
2x
1
 + 
x
1
, pois a variável x não pode 
aparecer no denominador. 
 
3 . FUNÇÃO POLINOMIAL 
 As funções definidas por expressões poli-
nomiais são denominadas funções polinomi-
ais. Assim: 
1ª) f(x) = 2x – 1 é um função polinomial de 
grau 1. 
2ª) g(x) = 3x2 – 2x – 1 é um função polinomial 
de grau 2. 
3ª) h(x) = x3 - 6x2 + x – 1 é um função poli-
nomial de grau 3. 
4ª) p(x) = x4 - x2 é um função polinomial de 
grau 4. 
 Então, toda função polinomial definida 
por: 
 
 
f(x) = anx
n + an - 1x
n – 1 + … + a2x
2 + a1x + a0 
 
 
para todo x real, é denominada função polino-
mial de grau n, em que n é um número inteiro 
positivo ou nulo. 
 Se o grau de uma função polinomial for 
0, então a função é definida por f(x) = a0, com 
a0  , que é uma função constante. 
 
Exemplos: 
1º) f(x) = 5 2º) f(x) = -2 
x + 3 
x 
x 
x 
x 
x + 2 
x + 2 
x + 2 
 
 
2 
3.1 Polinômios 
 Polinômio é o nome dado à expressão 
que define a função polinomial. Assim, na fun-
ção f(x) = 2x + 1, o polinômio é a expressão 
2x + 1 e, na função g(x) = x2 – 3x – 4, o poli-
nômio é x2 – 3x – 4. 
 Como é corrente o uso da palavra poli-
nômio em lugar de função polinomial, daqui em 
diante chamamos as funções polinomiais sim-
plesmente de polinômios. 
 
Exemplos: 
1º) p(x) = 5 é um polinômio de grau 0 ou poli-
nômio constante. 
 
2º) p(x) = 2x + 1 é um polinômio do 1º grau. 
 
3º) p(x) = x2 – 5x + 6 é de grau 2. 
 
3.2 Polinômio zero ou nulo 
 Se considerarmos o polinômio constante 
especial p(x) = 0 como função polinomial, então 
p(x) será denominado polinômio zero ou nulo. 
Dizemos que o polinômio zero ou nulo não tem 
grau. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Verifique se são polinômios: 
a) p(x) = 2x3 + x + 4 sim 
 
b) s(x) = 
3x
 + 2
x
 - 1 não 
 
c) r(x) = x-2 + 3x-1 + 4 não 
 
d) h(x) x5 – 1 sim 
 
e) q(x) = 4x5 – 1 sim 
 
f) p(x) = 2 sim 
 
g) g(x) = 
2x
1
 - 3x não 
 
h) q(x) = x3 – x2 + 2x – 2 sim 
 
2) Para que valores de a 

 o polinômio p(x) 
= (a2 – 9)x2 + (a + 3)x + 5 é do 1º grau? 
R: a = 3. 
3) Em que condições o grau do polinômio p(x) 
= (a + 2)x2 + (b – 3)x + (c – 1) é 0? R: a = -2 e b = 
3. 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
4)(UEPA-2014) Uma empresa que fornece 
serviços de transporte rápido de São Paulo para 
Belém dispõe de três tamanhos de caixas para 
envio de objetos, conforme ilustrado abaixo. 
 
O polinômio de variável x, indicado por C(x) que 
representa a soma dos volumes das três 
caixas dessa empresa é: 
a) C(x) = x3 + 2x2 + x 
 
b) C(x) = x3 + 4x2 + x 
 
c) C(x) = x3 + 2x2 + 8x 
 
d) C(x) = x3 + 2x2 + 16x 
 
e) C(x) = x3 + 4x2 + 32x x 
5)(MARK-SP) Determine m 

 R para que o 
polinômio p(x) = (m – 4)x3 + (m2 – 16)x2 + (m 
+ 4)x + 4 seja de grau 2. R: Não existe m 
 
6)(MARK-SP) Calcule os valores de m, n e 

 
para os quais o polinômio p(x) = (2m -1)x3 – 
(5n – 2)x2 + (3 - 2

) é nulo. 
R: m = 1/2, n = 2/5, 

 = 3/2 
 
4 . VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔ-
MIOS 
 Considere um polinômio p(x) e um nú-
mero real 

. 
 O valor numérico do polinômio p(x) para 
x = 

 é o número que se obtém substituindo x 
por 

 e efetuando os cálculos necessários. Indi-
ca-se por p(

). 
 Então, p(

) é o valor numérico de p(x) 
para x = 

. 
 
Exemplos: 
1º) O valor numérico de p(x) = 2x2 – 3x + 5 
para x = 4 é: 
 
P(4) = 2(4)2 – 3(4) + 5 = 32 – 12 + 5 = 25 
Logo, p(4) = 25. 
 
2º) Dado p(x) = 4x3 – 3x2 + 5x – 10, o valor de 
p(x) para x = 3 é: 
 
P(3) = 4(3)3 – 3(3)2 + 5(3) – 10 = 108 – 27 + 
15 – 10 = 86. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
7) Dado p(x) = x4 – x - 3, calcule p(- 2). R: 15 
 
8) Dados p(x) = -3x3 + x2 + x – 2 e g(x) = x3 – 
x2 + x – 1, calcule p(-1) + g(1). R: 1 
 
9) Determine o polinômio p(x) do 1º grau tal 
que p(5) = 13 e p(3) = 7. R: p(x) = 3x – 2 
 
10) Um polinômio p(x) é do 2º grau. Sendo 
p(1) = 0, p(2) = 7 e p(-1) = 4, escreva o poli-
nômio p(x) e calcule p(0). R: p(x) = 3x2 – 2x – 1; p(0) = -1 
 
11) Consideremos o polinômio p(x) = 2x3 – 6x2 
+ mx + n. Se p(2) = 0 e p(- 1) = -6, calcule os 
valores de m e n. R: m = 2 e n = 4 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
12)(FEI-SP) Sendo p(x) = ax4 + bx3 + c e 
q(x) = ax3 – bx – c, determine os coeficientes a, 
b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 
2. R: a = 1, b = -1 e c = 0 
 
5 . IGUALDADE DE POLINÔMIOS 
 Dizemos que dois polinômios são iguais 
ou idênticos se, e somente se, seus valores nu-
méricos são iguais para todo 

 

 . Assim: 
 
 
p(x) = q(x) 

 p(

) = q(

) 
R) ( 
 
 
 
Em consequência, dois polinômios são 
iguais ou idênticos se, e somente se, têm o 
mesmo grau e os coeficientes dos termos de 
mesmo grau são iguais. 
 
 
 
3 
Exemplo: Dados os polinômios p(x) = ax3 + bx2 
+ cx + d e q(x) = 2x3 + 5x2 – 4x + 3, temos: 
p(x) = q(x) 

 a = 2, b = 5, c = -4 e d = 3. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
13) Determine os valores de a, b, c, d e e de 
modo que os polinômios p(x) = ax4 + 5x2 + dx 
– b e g(x) = 2x4 + (b – 3)x3 + (2c – 1)x2 + x + 
e sejam iguais. R: a = 2, b = 3, c = 3, d = 1, e= -3 
 
14) Dados p(x) = (mx2 + nx +p)(x + 1) e g(x) 
= 2x3 + 3x2 – 2x – 3 determine os valores de 
m, n e p para que se tenha p(x) = g(x). 
R: m = 2, n = 1, p = -3 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
15)(PUC-SP) Determine os valores de m, n e 
p de modo que se tenha (m + n + p)x4 – (p + 
1)x3 + mx2 + (n – p)x + n = 2mx3 + (2p + 7)x2 
+ 5mx + 2m. R: m = 1, n = 2, p = -3 
 
5 . RAIZ DE POLINÔMIOS 
 Já sabemos que p(
α
) é o valor numérico 
do polinômio p(x) para x = 

. 
 Se p(

) = 0, então o número 

 é raiz 
do polinômio p(x). 
 
Exemplos: 
1º) Dado o polinômio p(x) = x2 – 7x + 10, te-
mos: 
P(5) = 0 

 5 é raiz de p(x) 
P(3) = -2 
 3 não é raiz de p(x).2º) Dado o polinômio p(x) = x3 – 3x2 + 2, te-
mos: 
P(1) = 0 

 1 é raiz de p(x) 
P(3) = 2 

 3 não é raiz de p(x). 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
16) Verifique se o número 3 é raiz do polinômio 
p(x) = x3 – 3x2 + 2x – 6. R: sim 
 
17) Sabendo que -3 é raiz de p(x) = x3 – 4x2 – 
ax + 48, calcule o valor de a. R: a = 5 
 
18) O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx admite 
as raízes 6 e 1. Calcule os coeficientes a e b. 
R: a = -7, b = 6 
 
6 . OPERAÇÃO COM POLINÔMIOS 
 Por meio de exemplos, vamos retomar 
operações conhecidas no estudo de expressões 
algébricas, como adição, subtração e multiplica-
ção de polinômio. Em seguida, estudaremos 
mais detalhadamente a divisão de polinômios. 
1ª) Se p(x) = 3x2 + 2x – 1 e q(x) = -x3 + 4x2 – 
2x – 5, temos: 
p(x) + q(x) = -x3 + (3 + 4)x2 + (2 – 2)x + (-1 
– 5) = -x3 + 7x2 – 6. 
 
2ª) Se p(x) = 3x2 - 4x + 1 e q(x) = 5x2 – 3x + 
4, temos: 
p(x) – q(x) = 3x2 - 4x + 1 - 5x2 + 3x – 4 = -2x2 
- x – 3. 
 
3ª) Se p(x) = 2x3 - 4x2 + 5x - 3, temos: 
7.p(x) = 7(2x3 - 4x2 + 5x – 3) = 14x3 - 28x2 + 
35x - 21. 
 
4ª) Se p(x) = 3x - 4 e q(x) = –2x + 5, temos: 
p(x) . q(x) = (3x – 4)(–2x + 5) = -6x2 + 15x + 
8x – 20 = -6x2 + 23x – 20. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
19) Dados os polinômios p(x) = x2 – 4x + 3, 
q(x) = -2x + 4 e r(x) = 2x3 – 4x + 5, calcule: 
a) p(x) + r(x) R: 2x3 + x2 – 8x + 8 
b) q(x) – p(x) R: -x2 + 2x + 1 
 
c) -4r(x) R: -8x3 + 16x - 20 
 
d) p(x) . q(x) R: -2x3 + 12x2 – 22x + 12 
 
e) (q(x))2 R: 4x2 - 16x + 16 
 
20) Determine os valores de a, b, e c para que 
se verifique a igualdade [ax2 + (2a + b)x + 2b] 
+ [cx2 + (3 – 2c)x – 6] = 2x2 – 4. 
R: a = 0, b = 1, c = 2 
21) Sabendo que 
a
x 2
 + 
b
x - 1
 = 
2
7x 8
x x - 2


, 
determine os valores de a e b. R: a = 2, b = 5 
 
22) Sabendo que p(x) = 
x1-0
0x1-
cba e 
g(x) = 
4
1
(x – 3)(x + 5), determine os valores 
de a e b para que p(x) = g(x). R: a = 1/4, b = ½, c = -
15/4 
 
6 . DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
 Dados dois polinômios p(x) e h(x), com 
h(x) não nulo, dividir p(x) por h(x) significa 
encontrar dois polinômios q(x) e r(x) que sa-
tisfaçam as seguintes condições: 
1ª) p(x) = h(x)q(x) + r(x); 
2ª) o grau de r(x) não pode ser igual nem mai-
or que o grau de h(x) ou então r(x) = 0. 
 Assim dizemos que: 
 p(x) é o dividendo; 
 h(x) é o divisor; 
 q(x) é o quociente; 
 r(x) é o resto. 
Para efetuar a divisão de polinômios usa-
remos o método da chave, semelhante ao 
empregado para números inteiros. 
 
6.1 Método da chave 
 Consideremos a divisão de 337 por 8: 
 
1º) 337 8 2º) 337 8 
 4 - 32 4 
 1 
 
 33 : 8 

 4 4 . 8 = 32 
 
 33 – 32 = 1 
 (subtraindo ou somando com 
sinal trocado) 
3º) 337 8 4º) 337 8 
 - 32 42 - 32 42 
 17 17 
 -16 
 1 
 
 17 : 8 

 2 2 . 8 = 16 
 17 – 16 = 1 
 
 
 
4 
Observemos que: 
 

dividendo

337
 = 

divisor

8
 . 

quociente

42
 + 

resto

1
 
 
Vamos utilizar a mesma técnica para a 
divisão de polinômios: 
 
1º) x2 – 5x + 6 x - 3 
 x 
 
 x2 : x = x 
 
 
2º) x2 – 5x + 6 x - 3 
 - x2 + 3x x 
 – 2x + 6 
 
 Trocando o sinal: - x2 + 3x 
 
 
3º) x2 – 5x + 6 x - 3 
 - x2 + 3x x - 2 
 – 2x + 6 
 
 -2x : x = -2 
 
 
4º) x2 – 5x + 6 x - 3 
 - x2 + 3x x - 2 
 – 2x + 6 
 2x - 6 
 0 
 
 -2(x – 3) = -2x + 6 
 Trocando o sinal: 2x - 6 
 
Verificamos que: 
 

dividendo

 6 5x- x2
 = 

divisor

 3) (x
 . 

quociente

2) - (x
 
 
 Quando r(x) = 0, dizemos que a divisão 
é exata e o polinômio p(x) é divisível pelo poli-
nômio h(x). 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
23) Usando o método da chave, efetue a divi-
são de p(x) por h(x) quando: 
a) p(x) = x2 + 4x + 3 e h(x) = x + 1. 
R: q(x) = x + 3; r(x) = 0 
b) p(x) = x3 + x2 - x + 1 e h(x) = x + 4. 
R: q(x) = x2 – 3x + 11; r(x) = -43 
c) p(x) = 2x3 + x - 1 e h(x) = x - 1. 
R: q(x) = 2x2 + 2x + 3; r(x) = 2 
d) p(x) = 7x3 + 30x2 – 40x + 15 e h(x) = x2 + 
5x - 6. R: q(x) = 7x - 5; r(x) = 27x - 15 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
24)(Cesgranrio-RJ) Sabendo que polinômio 
p(x) = x3 + 2x2 + mx + n é divisível por h(x) 
= x2 + x + 1, calcule o valor de m + n. R: 3 
 
6.2 Divisão por x – a – Dispositivo prá-
tico de Brio-Ruffini 
 Usando o método da chave, vamos efe-
tuar a divisão de p(x) = 3x2 – 5x2 + x – 2 por 
h(x) = x – 2. 
 
 3x3 - 5x2 + x - 2 x - 2 
 - 3x3 +6x2 3x2 + x + 3 
 x2 + x - 2 
 -x2 + 2x 
 3x - 2 
 -3x + 6 
 4 
 
Assim temos: 
 
 q(x) = 3x2 + x + 3 
 
r(x) = 4. 
 
 Há, porém, um dispositivo que permite 
efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a 
de uma maneira mais simples e rápida: é o 
chamado dispositivo prático ou algoritmo de 
Briot-Ruffini. 
 
termo 
constante 
do divisor, 
com sinal 
trocado a 
coeficiente de x do 
dividendo p(x) 
Termo 
constante 
do dividen-
do P(x) 
 coeficiente do quociente 
 
Vejamos o roteiro desse dispositivo práti-
co, efetuando a divisão de p(x) = 3x3 – 5x2 + 
x – 2 por h(x) = x – 2. 
 
1º) 
2 3 -5 1 -2 
 
 
2º) 
2 3 -5 1 -2 
 

 
 
 
 3 
 
3º) 
2 3 -5 1 -2 
 

 
6+(-5) 
 

 
 3 1 
 
4º) 
2 3 -5 1 -2 
 

 
6+(-5) 2+1 
 

 

 
 3 1 3 
 
5º) 
2 3 -5 1 -2 
 

 
6+(-5) 2+1 6+(-2) 
 

 

 

 
 3 1 3 4 
 
Pelo quadro, temos: 
 
q(x) = 3x2 + x + 3 
 
r(x) = 4 
 
O mesmo resultado obtido pelo método 
da chave. 
Logo: 
 
 
 
5 
3x3 – 5x2 + x – 2 = (x – 2)(3x2 + x + 3) + 4 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
25) Aplicando o dispositivo prático de Briot-
Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão 
de: 
a) p(x) = 5x2 - 3x + 2 por h(x) = x + 3. 
R: q(x) = 5x - 18; r(x) = 56 
 
b) p(x) = 2x4 + 7x3 – 4x + 5 por h(x) = x + 3. 
 R: q(x) = 2x3 + x2 - 3x + 5; r(x) = -10 
 
c) p(x) = x4 + 3x2 + x - 5 por h(x) = x + 2. 
R: q(x) = x3 - 2x2 + 7x - 13; r(x) = 21 
 
d) p(x) = 2x3 - 7x2 + 2x + 1 por h(x) = x - 4. 
R: q(x) = 2x2 + x + 6; r(x) = 25 
 
e) p(x) = 2x3 - 10x2 + 8x - 3 por h(x) = x - 5. 
R: q(x) = 2x2 + 8; r(x) = 37 
 
f) p(x) = x2 - 2x + 1 por h(x) = 3x + 1. 
R: q(x) = x/3 – 7/9; r(x) = 16/9 
 
g) p(x) = 2x3 - 3x2 + x + 2 por h(x) = 2x - 1. 
R: q(x) = x2 - x; r(x) = 2 
26) Calcule o valor de a, sabendo que: 
a) p(x) = 2x3 + 4x2 - 5x + a é divisível por 
h(x) = x - 1. R: a = -1 
 
b) p(x) = 2x3 + ax2 + (2a +1)x + a + 3 é divi-
sível por x + 4. 
 
6.3 Teorema de D’Alembert 
 
 
O resto da divisão de um polinômio p(x) por 
x – a é p(a). 
 
 
Exemplo: Vamos determinar o resto da divisão 
p(x) = x3 – x2 – 2x + 3 por x + 2 pelo dispositi-
vo prático de Briot-Ruffini: 
 
-2 1 -1 -2 3 
 1 -3 4 -5 
 
 Verificando o teorema de D’Alembert: 
p(x) = x3 – x2 – 2x + 3 

 

 p(-2) = (-2)3 – (-2)2 – 2(-2) + 3 = 
= -8 – 4 + 4 + 3 = -5 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
27) Calcule o resto da divisão de: 
a) p(x) = 2x3 – 4x2 + x – 1 por h(x) = x – 1; 
R: r(x) = -2 
b) p(x) = 2x3 – x2 + 5x – 3 por h(x) = x – 4; 
R: r(x) = 129 
c) p(x) = x4 + 2x2 - x – 5 por h(x) = x + 3; 
R: r(x) = 97 
28) Verifique se o polinômio p(x) = x2 – 3x + 
2 é divisível por x + 3. Não, r(x) = 20 
 
29) Calcule o valor de a para que o polinômiop(x) = x2 – ax + 2 seja divisível por h(x) = x – 
2. R: a = 3 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
30)(PUC-SP) Calcule o valor de a para que o 
resto da divisão do polinômio p(x) = ax3 – 2x + 
1 por h(x) = x – 3 seja igual a 4. R: a = 1/3 
 
31)(ITA-SP) Determine os valores de a e b 
para que os polinômios p(x) = x3 – 2ax2 + (3a 
+ b)x e g(x) = x3 – (a + 2b)x + 2a sejam divi-
síveis por h(x) = x + 1. R: a = -3/7, b = 8/7 
6.4 Teorema do fator 
 
 
Se c é uma raiz de um polinômio p(x), de 
grau n > 0, então x – c é um fator de p(x). 
 
 
Demonstração: Pelo teorema de D’Alembert, a 
divisão de p(x) por x – c resulta um quociente 
q(x) e um resto p(c) tal que: 
 
p(x) = (x – c)q(x) + p(c) 
 
Se c é uma raiz de um polinômio p(x), 
então p(c) = 0 e temos: 
 
p(x) = (x – c)q(x) 
 
 Portanto, x – c é um fator de p(x). 
 
 
Como consequência, podemos dizer que 
p(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), 
com a 

 b, se, e somente se, p(x) for divi-
sível por (x – a)(x – b). 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
32) Mostre que x – 6 é um fator de 
p(x) = x3 – 6x2 + x – 6 e calcule o quociente de 
p(x) por x – 6. R: basta mostrar que p(6) = 0, q(x) = x2 + 1 
 
33) Mostre que x + 4 é fator do polinômio 
p(x) = x3 – x2 – 18x + 8 e calcule o quociente 
de p(x) por x + 4. R: basta mostrar que p(-4) = 0, q(x) = x2 - 5x 
+ 2 
34) Dado p(x) = x3 + x2 – 10x + 8, determine 
p(x) para x = 3, x = 2 e x = 0. A seguir, escre-
va p(x) como produto de dois fatores. R: p(3) = 14; 
p(2) = 0; p(0) = 8, q(x) = x2 + 3x – 4, logo x3 – x2 – 10x + 8 = (x – 2)(x2 + 3x 
– 4) 
35) Dado p(x) = 2x3 + x2 – 5x + 2, determine 
p(x) para x = -2, x = -1, x = 0, x = 1 e x = 2. 
A seguir, escreva os fatores de p(x). R: p(-2) = 0; 
p(-1) = 6; p(0) = 2, p(1) = 0, p(2) = 12; 2x3 + x2 – 5x + 2 = (x + 2)(x – 1)(2x 
– 1) 
36) Verifique se é exata a divisão de 
p(x) = x3 + 2x2 – x – 2 por (x + 2)(x + 1). R: Sim 
a divisão é exata 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
37)(Fumec) Determine m e n de modo que 
p(x) = 2x4 – x3 + mx2 – nx + 2 seja divisível 
por (x - 2)(x + 1). R: m = -2; n = 0 
 
38)(UFPB) O polinômio p(x) = x4 – 4x3 + mx2 
+ 4x + n é divisível por (x - 1)(x - 2). Calcule o 
valor de 5m + 2n. R: 7 
 
39)(FEI-SP) Dado o polinômio p(x) = 4x4 – 
5x2 – 3bx + a, calcule os valores de a e b de 
modo que p(x) seja divisível por g(x) = x2 – 1. 
[sugestão: faça x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)] 
R: a = 1; b = 0 
40)(Unicamp-SP) Determine o quociente e o 
resto da divisão de x100 + x + 1 por x2 – 1. 
R: q(x) = x98 + x96 + x94 + ... + 1; R(x) = x + 2 
 
6.5 Polinômios de Coeficiente e Variá-
veis Complexos 
 No estudo dos polinômios foram conside-
rados como coeficientes números reais para 
uma variável também real. 
 
 
6 
 Podemos ampliar esse estudo para poli-
nômios com coeficientes complexos para uma 
variável complexa. 
 
Exemplos: 
1º) p(x) = 3x2 + 4x + (3 – 2i) é um polinômio. 
2º) O número i é raiz do polinômio p(x) = x2 + 
1, ou seja, p(i) = 0. 
3º) Se p(x) = x3 – (4 + 2i)x2 + 9ix + 2 e 
h(x) = x – 2i, podemos efetuar p(x):h(x) usan-
do o algoritmo de Briot-Ruffini: 
 
2i 1 -4 - 2i 9i 2 
 1 -4 i 0 
 
Então, p(x):h(x) = x2 – 4x + 1 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
41) Dado o polinômio p(x) = x3 – 2x2 + 3x – 
2i, calcule p(i) e p(2). R: 2 e 6 – 2i 
 
42) Efetue a divisão de p(x) = 3x3 – 2x2 + ix – 
3i por (x + i). R: h(x) = 3x2 + (-2 – 3i)x + (-3 + 3i); r(x) = 3 
 
43) Determine o valor de a para que o número 
1 – i seja raiz do polinômio p(x) = x2 – 2x + a. 
R: a = 2 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
44)(UFPA-2006) O polinômio P(x) de menor 
grau, de coeficientes reais, com coeficiente da 
variável de maior grau igual a 1, que tem 3 e (2 
– i) como raízes, sendo i a unidade imaginária, 
terá o resto de sua divisão por (x – 1) igual a 
R: (a) 
 
(a) – 4 (b) - 2 (c) - 1 (d) 2 (e) 4 
 
7 . EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
7.1 Definição 
 Denomina-se equação polinomial ou al-
gébrica toda equação que pode ser escrita na 
forma: 
 
anx
n + an - 1x
n - 1 + ... + a1x + a0 = 0, 
 
com an  0, em que os ai (an, an – 1, ..., a2, a1, 
a0) são elementos do conjunto dos números 
complexos, n 

 
*
 e n é o grau da equação. 
Exemplos: 
1º) 3x + 1 = 0 é uma equação do 1º grau. 
2º) x2 – 3x – 4 = 0 é uma equação do 2º grau. 
3º) x3 - 2x2 + x – 2 = 0 é uma equação do 3º 
grau. 
4º) x4 - 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0 é uma equação 
do 4º grau. 
5º) 3x2 – 2ix + 1 = 0 é uma equação do 2º 
grau. 
 
7.2 Raiz ou Zero de uma equação poli-
nomial 
 Denomina-se raiz ou zero da equação 
polinomial 
 
anx
n + an - 1x
n - 1 + ... + a1x + a0 = 0, 
 
o valor 

 de x que satisfaz a igualdade, ou se-
ja, o valor tal que: 
 
an

n + an - 1

n - 1 + ... + a1

 + a0 = 0, 
Exemplos: 
1º) x2 – 7x + 10 = 0 admite x = 5 como raiz, 
segue 52 – 7.5 + 10 = 25 – 35 + 10 = 0. 
 
2º) x4 + x3 - x2 – 4 = 0 admite x = -2 como 
raiz, segue 
(-2)4 + (-2)3 – (-2)2 – 4 = 16 + 8 – 4 – 4 = 0. 
 
7.3 Determinação das raízes de uma 
equação 
 O objetivo é determinar o conjunto solu-
ção formado pelas raízes de uma equação, ou 
seja, resolver equações da forma p(x) = 0, em 
que p(x) é um polinômio. 
 Já sabemos resolver equações do 1º e 2º 
grau por meio de simples fórmulas, além de 
algumas de grau maior que 2 por meio de fato-
ração ou outro artifício. 
 ax + b = 0 (com a 

 0) 

 x = 
a
b
 -
 (raiz da 
equação de 1º grau); 
 ax2 + bx + c = 0 (com a 

 0) 

 

 x = 
2a
 b - 
 (raiz da equação de 2º 
grau), em que 

 = b2 – 4ac. 
 Durante muito tempo, esforços foram 
feitos ara encontrar fórmulas que permitissem 
resolver qualquer equação de grau maior que 2. 
Como exemplos: 
 x3 – 6x2 – 7x + 60 = 0 
 x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. 
Verificou-se, por fim, que o melhor meio 
de resolver essas equações polinomiais seria 
fazer estimativas de possíveis soluções. 
 
7.4 Decomposição em fatores de pri-
meiro grau 
 Em 1799, Gauss demonstrou o teorema 
fundamental da Álgebra, que admitiremos 
sem demonstração: 
 
 
Toda equação p(x) = 0 de grau n (n 

 1) 
possui pelo menos uma raiz complexa. 
 
 
Utilizando esse teorema podemos mos-
trar que os polinômios de grau n > 1 podem ser 
decompostos num produto de fatores do 1º 
grau. 
 
Exemplos: 
1º) 2 é raiz de p(x) = x2 + 3x – 10, pois 
p(2) = 0. Então, pelo teorema de D’Alembert, 
p(x) é divisível por x – 2 e temos: 
 
2 1 3 -10 
 1 5 0 
 
 Logo q(x) = x + 5. Daí vem: 
 
p(x) = x2 + 3x – 10 = (x – 2)(x + 5). 
 
2º) -1 é raiz de p(x) = x3 - 2x2 - x + 2, pois 
p(-1) = 0. Então, pelo teorema de D’Alembert, 
p(x) é divisível por x + 1 e temos: 
 
-1 1 -2 -1 2 
 1 -3 2 0 
 
 
 
7 
Logo q(x) = x2 - 3x + 2. Daí vem: 
 
p(x) = x3 - 2x2 - x + 2 = (x + 1)(x2 – 3x + 2). 
 
Resolvendo x2 – 3x + 2 = 0, usando a fórmula 
de Báskara (por exemplo), obtemos 1 e 2, ou 
seja: 
 
x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) 
 
Daí: 
 
p(x) = x3 - 2x2 - x + 2 = (x + 1)(x – 1)(x + 2). 
 
Seguindo esse processo n vezes, chega-
mos a: 
 
 
p(x) = an(x – x1)(x – x2)(x – x3) ... (x – xn) 
 
 
em que xi são as raízes de p(x) e an é o coefi-
ciente de xn. 
 Naturalmente: 
 
 
p(x) = 0 

 an(x – x1)(x – x2)(x – x3) ... (x – xn) = 0 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
45) Calcule as raízes das seguintes equações: 
a) 3x – 12 = 0 R: S = {4} 
b) 
2
x – 1 = 0 R: S = {
2
/2} 
c) -x2 + 9 = 0 R: S = {-3, 3} 
d) x2 – 6x + 10 = 0 R: S = {3 – i, 3 + i} 
e) x2 + 4x + 4 = 0 R: S = {-2} 
f) x2 - 2x + 2 = 0 R: S = {1 – i, 1 + i} 
 
46) Utilizando fatoração, calcule as raízes dasequações: 
a) x3 – 4x2 + 3x = 0 R: S = {0, 1, 3} 
b) x3 + 2x2 + x + 2 = 0 R: S = {-2, -i, i} 
c) x3 + 2x2 + 9x + 18 = 0 R: S = {-2, -3i, 3i} 
d) x3 – 2x2 + 2x = 0 R: S = {0, 1 - i, 1 + i} 
 
47) Resolva as equações em : 
a) x4 – 5x2 + 4 = 0 R: S = {-2, -1, 1, 2} 
b) x6 – 3x3 + 2 = 0 R: S = {1, 
3
2
} 
 
48) Uma das raízes da equação 2x3 – 4x2 – 2x 
+ 4 = 0 é 1. Resolva a equação. R: S = {-1, 1, 2} 
 
49) Resolva a equação x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 
0, sabendo que -2 e 1 são raízes da equação. 
R: S = {-2, -1, 1, 3} 
 
50) Sabendo que 2 é raiz da equação x3 + 2x2 
– 5x + c = 0, calcule o valor de c e o conjunto 
solução da equação. R: c = -6; S = {-3, -1, 2} 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
51)(PUC-SP) Dado o polinômio 
f(x) = 
10x
1 - x2-1 x
xxx

, pedem-se: 
a) as raízes de f; R: S = {0, -
3
, 
3
} 
b) o quociente e o resto da divisão de f por 
x2 – 1. R: q(x) = x; r(x) = -2x 
 
52)(PUC-SP) Sabendo que -2 é raiz do poli-
nômio f(x) = 
xk0
0x1
11-x , em que x 

 e k 

 
, determine: 
a) o valor de K; R: k = 10 
b) as demais raízes do polinômio. 
R: S = {-2, 1 + 2i, 1 – 2i} 
53)(Vunesp-SP) Se m é raiz do polinômio real 
p(x) = x6 – (m + 1)x5 + 32, determine o resto 
da divisão de p(x) por x – 1. R: r(x) = 30 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
54)(UEPA-2014) Girolamo Cardano (1501–
1576) apresentou no livro Ars Magna, demons-
trações sobre como resolver equações cúbicas. 
Ele propôs para equações da forma x3 + px+ q 
= 0 a solução 
3
32
3
32
27
p
4
q
 
2
q
-
27
p
4
q
 
2
q
- x 
 
Sabe-se que Rafael Bombelli (1526–1572) 
estendeu às ideias de Cardano e encontrou uma 
das raízes da equação x3 – 15.x – 4 = 0, o 
número 4. Nessas condições, a soma dos 
inversos das outras raízes dessa equação é: 
 
 
(a) 4 (b) 2 (c) 0 (d) -2 (e) -4 
 
R: (e) 
7.5 Pesquisa de raízes racionais de 
uma equação de coeficientes inteiros 
 Vimos que as equações polinomiais de 
grau maior que 2 não têm um processo deter-
minado de resolução por meio de fórmulas. De-
vemos procurar, então, uma ou mais raízes para 
com elas encontrar todas as raízes. 
 Propriedade que nos auxiliará na pesqui-
sa das raízes: 
 
Se o número racional 
q
p
, com p e q primos 
entre si, é raiz de uma equação de coeficien-
tes inteiro: 
 
anx
n + an - 1x
n - 1 + ... + a1x + a0 = 0 
 
então p é divisor de a0 e q é divisor de an. 
 
 
Exemplo: Pesquise as raízes da equação 3x3 + 
2x2 – 7x + 2 = 0 
Resolução: 
Na equação dada, temos a0 = 2 e an = 3. 
p é divisor de 2 

 p 

 {-1, 1, -2, 2} 
q é divisor de 3 

 q 

 {-1, 1, -3, 3} 
Pela propriedade, as prováveis raízes racionais 
são: 







3
2
 ,
3
2
- ,
3
1
 ,
3
1
- 2, 2,- 1, 1,- 
q
p
 
Fazendo a verificação: 
p(-1) = 8 
 -1 não é raiz; 
p(1) = 0 
 1 é raiz, então p(x) é divisível por 
x – 1. 
A partir da descoberta, vem: 
 
1 3 2 -7 2 
 3 5 -2 0 
 
 
 
8 
Logo, 
3x3 + 2x2 – 7x + 2 = (x – 1)(3x2 + 5x – 2). 
 
Resolvendo 3x2 + 5x – 2 = 0 
x’ = 
3
1
 e x” = -2 
então, 
3x3 + 2x2 – 7x + 2 = (x – 1)






3
1
 - x
(x + 2). 
Logo, s = 






1 ,
3
1
 2,-
. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
55) Resolva a equação x4 + x3 – 7x2 –x + 6 = 
0. R: S = {-3, -1, 1, 2} 
 
56) Determine as raízes de 2x3 + 5x2 – x – 6 = 
0. R: S = {1, -2} 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
57)(PUC-SP) Quais são as raízes da equação 
3x3 – 13x2 + 13 x – 3 = 0? R: S = {1, 3, 1/3} 
 
58)(FEI-SP) Resolva a equação cúbica x3 – 
2x2 – 3x + 6 = 0. R: S = {2, 
3
, -
3
} 
 
59)(ITA-SP) Quais são as raízes inteiras da 
equação x3 + 4x2 + 2x – 4 = 0? R: -2 
 
60)(EEM-SP) Determine as raízes da equação 
7 2) (x 4x 
1 - x
1 - x 2
4

. R: S = {2, -1 + 2i, -1 - 2i} 
 
61)(Unicamp-SP) Ache todas as raízes (inclu-
sive as complexas) da equação x5 – x4 + x3 – x2 
+ x – 1 = 0. R: S = {1, 1/2 – 
3
/2.i, 1/2 + 
3
/2.i, -1/2 – 
3
/2.i, -
1/2 + 
3
/2.i} 
 
62)(Fuvest-SP) Resolva a equação x4 - 5x3 + 
13x2 - 19x + 10 = 0, sabendo que o número 
complexo z = 1 + 2i é uma das suas raízes. 
R: s = {1 – 2i, 1 + 2i, 1, 2} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Por que nos torna tão pouco felizes esta mara-
vilhosa ciência aplicada que economiza trabalho 
e torna a vida mais fácil? A resposta é simples: 
porque ainda não aprendemos a nos servir dela 
com bom senso”. 
 
Albert Einstein. 
 
 
 
"A educação não transforma o mundo, a educação trans-
forma as pessoas e as pessoas transformam o mundo" 
Paulo Freire 
 
 
Atualizada em 26/3/2016 
 
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