cad c5 curso a prof teoria matematica

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Álgebra FRENTE 1
1. Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B de um
espaço amostral S ≠ Ø, chama-se
proba bilidade de A condicionada a B 
a probabilidade de ocorrer A, saben -
do-se que já ocorreu ou vai ocorrer o
evento B.Indica-se por P(A/B).
Observe que 
P(A/B) = ⇔
⇔ P(A/B) = ⇔
⇔ P(A/B) =
2. Eventos Independentes
Os eventos A e B de um espaço
amos tral S são independentes se
.
3. Intersecção de Dois Eventos
Propriedade
Se A e B são independentes,
então P(B/A) = P(B) e
.
P(A ∩ B)
P(A/B) = –––––––––––
P(B)
n(A ∩ B)
–––––––––
n(B)
n(A ∩ B)
–––––––––
n(S)
––––––––––––
n(B)
––––
n(S)
P(A ∩ B)
––––––––
P(B)
P(A/B) = P(A) ou P(B/A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) =
= P(B) . P(A/B)
A e B independentes ⇔
⇔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
A e B dependentes ⇔
⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B) 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Considere uma experiência que é
realizada várias vezes, sempre nas
mes mas condições, de modo que o
resul tado de cada uma seja indepen -
dente das demais. Considere, ainda,
que cada vez que a experiência é rea -
li zada ocorre, obrigatoriamente, um
evento A cuja probabili da de é p ou
o complemento A
—
cuja probabili da -
de é 1 – p.
1. Problema
Realizando-se a experiência des -
cri ta exatamente n vezes, qual é a
probabilidade de ocorrer o evento A
somente k vezes?
2. Resolução do Problema
a) Se ocorre apenas k vezes o
evento A, num total de n experiên -
cias, então deverá ocorrer exata men -
te n – k vezes o evento A
—
.
b) Se a probabilidade de ocorrer o
evento A é p e do evento A
—
é 
1 – p, então a probabilidade de ocor -
rer k vezes o evento A e n – k vezes
o evento A
—
, numa certa ordem, é
p . p . p . ... . p .
k fatores
. (1 – p) . (1 – p) . (1 – p) . ... . (1 – p) =
(n – k) fatores
= pk . (1 – p)n – k
c) As k vezes em que ocorre o
evento A são quaisquer entre as n
vezes possíveis. O número de manei -
ras de escolher k vezes o evento A é,
pois, Cn, k.
d) Existem, portanto, Cn,k even -
tos diferentes, todos com a mesma
probabilidade pk . (1 – p)n – k e, assim
sendo, a probabilidade procu ra da é
Observações
a) Fala-se em lei binomial de pro -
ba bilidade, porque a fórmula repre sen -
ta o termo Tk + 1 do de sen vol vi men to
de [p + (1 – p)]n.
b) O número Cn, k pode ser subs -
tituído por Cn, n – k ou Pn
k, n – k, já que
Cn, k = Cn, n – k = Pn
k, n – k = .
Cn,k . p
k . (1 – p)n – k
n!
–––––––––
k! (n – k)!
MÓDULO 38 Lei Binomial de Probabilidade
MÓDULO 37 Probabilidade Condicional e Intersecção de Eventos
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O número real x que substitui ca da um dos números
reais x1, x2, x3, … xn é a sua média. Podemos ter:
 Média aritmética
x1 + x2 + x3 + … + xn =
= x + x + x + … + x ⇒
⇒
 Média geométrica
x1 . x2 . x3 . … xn =
= x . x . x . … x ⇒
⇒
 Média harmônica
1 1 1 1
––– + ––– + ––– + … + ––– = 
x1 x2 x3 xn
1 1 1 1
= –– + –– + –– + … + –– ⇒
x x x x
⇒
 Média aritmética ponderada
P1 . x1 + P2 . x2 + … + Pn . xn =
= P1 . x + P2 . x + … + Pn . x ⇒
⇒
x1 + x2 + x3 +…+ xnx = –––––––––––––––––––––
n
xn = x1 . x2 . x3 . … xn
1
x = –––––––––––––––––––––––––––––
1 1 1 1
––– + ––– + ––– + … + ––– 
x1 x2 x3 xn–––––––––––––––––––––––––n
P1 . x1+P2 . x2 +… +Pn . xn
x = –––––––––––––––––––––––––––
P1 + P2 + … + Pn
1. Conceito
Estatística é um ramo da Mate -
mática Aplicada. A palavra Estatística
provém da palavra latina Status e é
usada em dois sentidos:
• Estatísticas (no plural) refe rem-se
a dados numéricos e são infor mações
sobre determinado as sunto, coisa,
grupo de pessoas etc. obtidas por um
pesquisador.
• Estatística (no singular) sig nifica
o conjunto de métodos usa dos na
condensação, aná li ses e inter -
pretações de dados numéri cos.
De um modo geral, conceitua-se
Estatística da seguinte forma:
É ciência, quando estuda popu la -
ções; é método, quando serve de
instrumento a uma outra ciência. É
tam bém arte, ciência-método e mé to -
do-ciência, segundo vários trata dis -
tas, daí advindo uma varie dade de de -
finições. Eis algumas:
“Conjunto dos processos que
tem por objeto a observação, a clas si -
ficação formal e a análise dos fenô -
menos coletivos ou de massa, e por
fim a indução das leis a que tais fe -
nômenos obedecem globalmente”
(Mil ton da Silva Rodrigues).
“A Estatística é a parte da Mate -
mática Aplicada que se ocupa em ob -
ter conclusões a partir de dados ob -
ser vados” (Ruy Aguiar da Silva Leme).
“A Estatística é o estudo numé -
rico dos fatos sociais” (Levasseur).
“É observação metódica e tão
uni versal quanto possível dos fatos
con siderados em globo, reduzidos a
grupos homogêneos e interpretados
mediante a indução matemática”
(Ferraris).
2. População e Amostra
População
É um conjunto de elementos
com uma característica comum.
O termo é mais amplo que no
sen so comum, pois envolve aglo me -
ra do de pessoas, objetos ou mesmo
ideias. 
Exemplo
Todos os alunos do Ensino Médio
do Brasil.
Amostras 
São subconjuntos da população,
que conservam, portanto, a carac te -
rís tica comum da população e são re -
tira das por técnicas adequadas, cha -
madas de amostragem. 
Exemplo
500 alunos do Ensino Médio do
Brasil.
Parâmetros
São características numéricas da
população. 
Exemplo
QI médio dos estudantes do En -
sino Médio do Brasil.
Estimativas
Em geral, por problemas de tem -
po e dinheiro, trabalha-se com amos -
tras e não com a população.
MÓDULO 39 Médias
MÓDULO 40 Noções de Estatística – I
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Os elementos numéricos carac-
terísticos de uma amostra são esti -
ma tivas dos elementos corres pon -
dentes na população, que são os
parâ me tros.
3. Distribuição de Frequências
Quando se vai fazer um levan ta -
men to de uma população, um dos
pas sos é retirar uma amostra dessa
população e obter dados relativos à
variável desejada nessa amostra.
Cabe à Estatística sintetizar es ses
dados na forma de tabelas e gráficos
que contenham, além dos va lores das
variáveis, o número de ele mentos
correspondentes a cada variável.
Ilustramos, a seguir, esse proce -
dimento, acompanhando com um
exem plo.
Dados brutos
É o conjunto dos dados numéri -
cos obtidos e que ainda não foram
organizados.
Exemplo
A partir de uma lista de chama da,
em ordem alfabética, obteve-se o
con junto de alturas, em cm, de 20
es tudantes:
168, 168, 163, 164, 160, 160,
164, 166, 169, 169, 166, 168,
162, 165, 165, 164, 168, 166,
161, 168.
Rol
É o arranjo dos dados brutos em
ordem crescente (ou decrescente).
No exemplo apresentado, temos
o seguinte rol:
160, 160, 161, 162, 163, 164,
164, 164, 165, 165, 166, 166,
166, 168, 168, 168, 168, 168,
169, 169.
Amplitude total (H)
É a diferença entre o maior e o
me nor dos valores observados. No
exemplo: 
H = 169 – 160 H = 9
Frequência absoluta ( fi ) 
É o número de vezes que o
elemento aparece na amostra:
Frequência relativa ( fr )
É dada por:
em que n é o número de elementos
da amostra ( n = ∑ fi )
Observe que ∑ fr = 1
Frequência relativa 
percentual ( ƒ% )
Frequência absoluta 
acumulada (fa)
É a soma da frequência do valor
da variável com todas as frequências
anteriores:
Frequência relativa 
acumulada ( fra )
É a soma da frequência relativa
do valor da variável com todas as
frequências relativas anteriores.
Frequência percentual
acumulada ( ƒ%a )
Distribuição de
frequências
É o arranjo dos valores da variável
e suas respectivas frequências.
xi fi
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
∑ 20
fi
fr = –––n
xi fi fr
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
2 ÷ 20 = 0,10
1 ÷ 20 = 0,05
1 ÷ 20 = 0,05
1 ÷ 20 = 0,05
3 ÷ 20 = 0,15
2 ÷ 20 = 0,10
3 ÷ 20 = 0,15
0 ÷ 20 = 0
5 ÷ 20 = 0,25
2 ÷ 20 = 0,10
∑ 20 1,00
ƒ% = fr . 100
xi fi fr f%
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
10
5
5
5
15
10
15
0
25
10
∑ 20 1,00 100
xi fi fr f% fa
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
10
5
5
5
15
10
15
0
25
10
0 + 2 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4
4 + 1 = 5
5 + 3 = 8
8 + 2 = 10
10 + 3 = 13
13 + 0 = 13
13 + 5 = 18
18 + 2 = 20
∑ 20 1,00 100
ƒ%a = fra . 100
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4. Classes
O número de elementos de uma
amostra, de um modo geral, é gran de.
Para condensá-los, os valo res obtidos
devem ser, normalmente, distribuídos
em classes.
A distribuição de frequências 
dos dados de uma amostra distri -
buídos em classes é idêntica à que é
feita com cada valor da variável, ado -
tan do-se as seguintes normas:
O número de classes (nc)
É da ordem de ���n, em que n é o
número total de elementos da amos -
tra.
A amplitude da classe (h)
É, aproximadamente, o quocien te
entre a amplitude total (H) e o número
de classes (nc).
O ponto médio da classe (PM)
É a média aritmética entre o limi -
te inferior e o limite superior de cada
classe. É o valor da variável que re pre -
senta a classe: PM = Xi.
Exercício
Num teste de raciocínio numéri -
co, obtiveram-se os seguintes da dos
brutos:
xi fi fr f% fa fra f%a
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
10
5
5
5
15
10
15
0
25
10
2
3
4
5
8
10
13
13
18
20
0,10
0,15
0,20
0,25
0,40
0,50
0,65
0,65
0,90
1,00
10
15
20
25
40
50
65
65
90
100
∑ 20 1,00 100
nc � ���n
H
h � ––––
nc
76 – 60 – 41 – 55 – 78 – 48 –
69 – 85 – 67 – 39 – 60 – 85 – 
57 – 74 – 65 – 84 – 77 – 65 –
52 – 33 – 80 – 61 – 45 – 77 – 
53 – 59 – 73 – 55 – 91 – 41 –
94 – 65 – 94 – 98 – 89 – 88 –
66 – 66 – 73 – 42 – 71 – 35 – 
68 – 54 – 47 – 74 – 64 – 35 –
50 – 61
Fazer a distribuição de fre quên -
 cias dos dados dessa amos tra,
distribuindo-os em classes.
Resolução
• Cálculo do rol
33 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 –
42 – 45 – 47 – 48 – 50 – 52 –
53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 –
60 – 60 – 61 – 61 – 64 – 65 –
65 – 65 – 66 – 66 – 67 – 68 –
69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 –
76 – 77 – 77 – 78 – 80 – 84 –
85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 –
94 – 98
 Cálculo da 
amplitude total
H = 98 – 33 = 65
 Cálculo do 
número de classes
nc � ���n 
nc � �����50 � 7
 Cálculo da 
amplitude de classe
h = = � 9,3 
Adotaremos h = 10.
65
––––
7
H
––––
nc
 Distribuição de frequências
Classes PM fi fr f% fa fra f%a
30 � 40
40 � 50
50 � 60
60 � 70
70 � 80
80 � 90
90 � 100
35
45
55
65
75
85
95
4
6
8
13
9
6
4
0,08
0,12
0,16
0,26
0,18
0,12
0,08
8
12
16
26
18
12
8
4
10
18
31
40
46
50
0,08
0,20
0,36
0,62
0,80
0,92
1,00
8
20
36
62
80
92
100
∑ 50 1,00 100
5. Representação Gráfica da
Distribuição de Frequências
As tabelas de distribuição de fre -
quências vistas no item 4 podem ser
representadas graficamente. 
A finalidade principal disso é for -
necer as infor mações analíticas de
uma maneira mais rápida. Descre ve -
re mos apenas três tipos de grá ficos:
histogramas, polí gonos de fre quên -
cias e polígonos de frequên cias acu -
muladas.
Histogramas
É a representação gráfica de uma
distribuição de frequências por meio
de retângulos justapostos. No eixo
das abscissas, temos os limi tes das
classes e no eixo das or de nadas, as
frequências (fi ou fr ou ƒ%).
Polígono de frequências
É um gráfico de linhas que se
obtém unindo os pontos médios dos
pa tamares dos retângulos do his to -
grama.
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Polígono de frequências acumuladas
Polígono de frequências acu mu ladas ou OGIVA DE
GALTON é uma representação gráfica que tem no eixo
das abscissas os limites das classes e no eixo das
ordenadas, as fre quências acumuladas (fa ou fra ou ƒ%a)
que se situam abaixo de um determinado limite superior.
Exemplo
Fazer a representação gráfica da distribuição de
frequências apresen tada na tabela a seguir:
Observações
– Conforme vemos na figura, o his to grama e o polí -
gono de fre quên cias em termos de fi, fr e ƒ% têm
exatamente o mesmo as pec to, mudando apenas a
es cala vertical.
– Observe que, como o 1o. valor é bem maior que
zero, adotamos aproximá-lo do zero segundo a con -
venção:
Classes PM fi fr f% fa fra f%a
30 £ 40
40 £ 50
50 £ 60
60 £ 70
70 £ 80
80 £ 90
90 £ 100
35
45
55
65
75
85
95
4
6
8
13
9
6
4
0,08
0,12
0,16
0,26
0,18
0,12
0,08
8
12
16
26
18
12
8
4
10
18
31
40
46
50
0,08
0,20
0,36
0,62
0,80
0,92
1,00
8
20
36
62
80
92
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∑ 50 1,00 100
6. Medidas de Posição
As medidas de posição servem para localizar os
dados sobre o eixo da variável em questão. As mais im -
por tantes são: a média, a me dia na e a moda.
A média e a mediana tendem a se localizar em
valores centrais de um conjunto de dados. Por essa ra -
zão, costuma-se dizer que são me didas de ten dên cia
central. A moda, por sua vez, indica a posição de maior
concentração de dados.
Média aritmética
– Dados não agrupados
Sendo X1, X2, X3, ..., Xn os n valo res de uma variável
X, define-se mé dia aritmética, ou simplesmente mé dia,
como sendo:
Exemplo
A média aritmética dos valores 3; 5; 7; 8 é
–– 3 + 5 + 7 + 8
X = ––––––––––––– = 5,75
4
– Dados agrupados
Sendo X1, X2, X3, ..., Xn os n va lores da variável X com
frequên cias f1, f2, f3, ..., ƒn, respectiva mente, de fine-se
média aritmética, ou sim ples mente média, como sendo
n
∑ Xi— i = 1
X = –––––––
n
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sendo ∑ fi = n.
Exemplo
A média aritmética da distribui ção
de dados a seguir é:
1 . 1 + 3 . 2 + 5 . 3 + 1 . 4—
X = ––––––––––––––––––––––––– 
10
—
X = 2,6
– Dados agrupados 
em classes
A média aritmética é calculada
co mo no item anterior, lembrando
que cada classe é representada pelo
seu ponto médio (Xi = PM).
Exemplo
5. 3 + 10 . 5 + 14 . 7 + 8 . 9 + 3 . 11—
X = –––––––––––––––––––––––––––––––– ⇒
40
⇒ 
—
X = X = 6,7
Moda (Mo)
Define-se moda (ou modas) de
um conjunto de valores dados como
sendo o valor de frequência má xi -
ma (ou os valores da frequência
máxima).
Exemplos
a) A moda do conjunto de dados 2,
2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12 é 9.
Observe que 9 é o elemento
mais frequente. 
b) O conjunto de dados 2, 3, 3, 3, 4,
4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10 
tem duas modas:
e 
c) Para a distribuição
a moda é 248, pois é o valor de
frequência máxima (23).
d) Para os dados agrupados em
classes, a seguir, podemos dizer,
pelo menos, que a classe modal
é 2 � 3.
Mediana (Md)
Colocando-se os valores da va riá -
vel em ordem crescente,a me diana
é o elemento que ocupa a posição
cen tral. Em outras palavras: a media -
na divide um conjunto de n dados em
dois subconjuntos com igual número
de elementos.
 Cálculo da mediana para 
dados não agrupados
– Se n for ímpar, a mediana é o
valor central dos n dados do rol. É
o elemento de ordem .
Exemplo
A mediana dos dados 5; 7; 8; 10;
15 é 8, que é o 3o. termo do rol. 
– Se n for par, a mediana é a mé dia
aritmética dos dois dados cen -
trais do rol. É a média ari t mé tica
entre os dados de ordem
e + 1 
Exemplo
Os valores centrais do rol 5; 7; 8;
10; 14; 15 são o 8 e o 10. 
A mediana dos valores deste rol é
• Cálculo da mediana 
para dados agrupados em
classes
Calcula-se e, pela frequência
acumulada, identifica-se a classe que
contém a mediana. Em seguida, cal -
cula-se a mediana usando uma fór -
mula. O mais prático, porém, é usar o
gráfico de frequências acu muladas
percentuais (OGIVA DE GALTON).
Exemplo
xi fi
1
2
3
4
1
3
5
1
∑ 10
Classes PM = xi fi
2 � 4
4 � 6
6 � 8
8 � 10
10 � 12
3
5
7
9
11
5
10
14
8
3
∑ 40
268
––––
40
Mo = 9
Mo1
= 3 Mo2
= 8
xi 243 245 248 251 307
fi 7 17 23 20 8
Mo = 248
Classes fi
0 � 1
1 � 2
2 � 3
3 � 4
4 � 5
3
10
17
8
5
n + 1–––––
2
5 + 1�––––––� = 32
n––
2
n––
2
8 + 10
Md = –––––––– = 92
n––
2
Classes fi fa
34 � 45
45 � 55
55 � 65
65 � 75
75 � 85
85 � 95
5
12
18
14
6
3
5
17
35
49
55
58
n∑ fiXi
i = 1X
–
= ––––––––––n
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T
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A
 A
B
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T
EM
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A
 A
B
 
1o.) no ponto B, temos 
fa = 58, que corres -
ponde a ƒ%a = 100.
2o.) o ponto A é médio de OB
e, nesse ponto, temos 
fa = 29, que correspon de a
ƒ%a = 50.
3o.) o valor da variável asso -
ciado a ƒ%a = 50 é a
media na.
4o.) da OGIVA, concluímos,
pois, que Md ≅ 62.
Construída a OGIVA, a partir dos dados, note que: 
1. Medidas de Dispersão
Introdução
As medidas de posição vistas até
aqui, média, mediana e moda, têm
con ceitos diferentes, detalhes pró -
 prios, que ajudam semelhan te men te
a representar um conjunto de dados.
Entretanto, a informação forneci -
da pelas medidas de posição, em
geral, necessita ser completada pe las
MEDIDAS DE DISPERSÃO. Estas
servem para indicar o quanto os da -
dos se apresentam dispersos em tor -
no da região central. Carac terizam,
portanto, o grau de variação existen te
no conjunto de valores e, por isso,
são também chamadas MEDIDAS DE
VARIABILIDADE.
MÓDULO 41 Noções de Estatística – II
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A
 A
B
Exemplo
Suponha que as notas de 2 alu -
nos no decorrer do ano foram:
Aluno A: 2; 3; 4; 3; 8;10 →
—
X = 5
Aluno B: 5; 6; 4; 5; 4; 6 →
—
X=5
Ambos obtiveram a mesma mé -
dia (X
–
= 5), entretanto percebe-se
claramente que o aluno A, de péssi -
mos resultados iniciais, conseguiu
recuperar-se no fim, enquanto o aluno
B manteve-se praticamente no mes -
mo nível.
Isso significa que as notas do alu -
 no B não foram dispersas como as
no tas do aluno A.
Portanto, a medida de posição
po derá ser completada por uma me -
dida de dispersão (amplitude, desvio
médio, desvio padrão, variância) que
passaremos a descrever.
Amplitude
Amplitude (H), ou intervalo
total, é definida como a diferença
en tre os valores extremos da série,
ou seja:
Exemplo
Sejam os valores 4; 5; 7; 9; 10; 13
Por depender de apenas dois va -
lores do conjunto de dados, a ampli -
tude contém relativamente pouca
informação quanto à dispersão, pois
se sujeita a grandes flutuações de
uma amostra para outra. 
Suponhamos que numa classe,
os pesos dos alunos se distribuam
entre 45 e 75 kg, a amplitude seja
H = 75 – 45 = 30 kg. Se entrar nessa
classe um aluno com 100 kg, a nova
am plitude será 100 – 45 = 55kg,
quase o dobro da anterior apenas por
causa de um aluno.
Desvio
Uma maneira de medir o grau de
dispersão ou concentração de cada
valor da variável em relação às me -
didas de tendência central é fazer a
diferença entre o valor da variável e a
média. 
Esta diferença é chamada des vio
e representada por D.
Exemplo
Um aluno que obteve as notas 2,
3, 4, 3, 8, 10 conseguiu uma média
X
–
= = 5.
Os desvios de cada uma das no -
tas são: 
Observe que ∑Di = 0.
Observação
Ao calcular a média dos desvios,
para conhecer um desvio global do
conjunto, o resultado é sempre ZE -
RO, pois ∑Di = 0.
Assim, para obter um resultado
que exprima a média dos desvios,
costuma-se proceder de dois modos:
a) calcular a média dos módulos
de cada desvio;
b) calcular a média dos quadra -
dos dos desvios e em se gui da
extrair a raiz quadrada.
O primeiro é chamado desvio
médio (Dm) e o segundo é chamado
desvio padrão (s).
Desvio médio (Dm)
ou
Desvio padrão (s)
Variância
É o quadrado do desvio padrão.
H = Xmáx – Xmín
H = 13 – 4 = 9
Di = Xi – X
—
2 + 3 + 4 + 3 + 8 + 10
––––––––––––––––––––––
6
xi Di = Xi –
—
X
2
3
4
3
8
10
– 3
– 2
– 1
– 2
3
5
∑ �Di �
Dm = –––––––
n
∑ fi �Di �
Dm = ––––––––n
∑ fi D i2
s = ––––––––
n
∑ fi Di2
s2 = ––––––––––
n
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T
EM
Á
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A
 A
B
 
1. Razão
Razão entre dois números a e b
(b ≠ 0), nessa ordem, é o quociente
(ou a : b). O número a é cha mado
de primeiro termo ou antecedente, e
o número b é chamado segundo
termo ou consequente. A razão in -
versa de a e b é (a ≠ 0).
2. Proporção
Dizemos que os números a, b, c
e d (b ≠ 0 e d ≠ 0), nessa ordem,
formam uma PROPORÇÃO se, e so -
men te se, a razão entre a e b é igual
à razão entre c e d. Indicação:
= (ou a : b = c : d), 
em que a e d são chamados extre -
mos e b e c são chamados meios.
3. Propriedades das Proporções
Dados os números a, b, c e d
(b ≠ 0 e d ≠ 0), então:
1) (Fundamental)
⇔
3) ⇔ 
(b + d ≠ 0)
4) ⇔
(se ab tem o mesmo sinal de cd)
4. Grandezas Proporcionais
Notação
Em geral, letras maiúsculas do
nos so alfabeto representam GRAN -
DEZAS QUAISQUER, e letras minús -
culas do nosso alfabeto, cada uma
com um índice numérico, represen -
tam os VALORES dessas grandezas.
Assim, quando escrevemos:
A = (a1, a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...),
estamos referindo-nos às grande zas A
e B e aos seus valores a1, a2, a3, ... e
b1, b2, b3, ... num dado pro ble ma.
Estamos dizendo ainda que, nesse
problema, “quando a gran deza A
assume o valor a1(ou a2 ou a3 ou ...), a
grandeza B assume o valor b1(ou b2
ou b3 ou ...), respec ti va mente”, e que
“a1 e b1 (ou a2 e b2 ou a3 e b3
ou ...) são VALORES COR RES PO N -
DENTES das grandezas A e B”.
Grandezas Diretamente 
Proporcionais (GDP)
Uma grandeza A é DIRETAMEN-
TE PROPORCIONAL a uma gran de za
B se, e somente se, AS RAZÕES
entre os valores de A e os corres -
pon dentes valores de B forem CONS -
TANTES, isto é, se A = (a1, a2, a3, ...)
e B = (b1, b2, b3, ...); então:
⇔
⇔
em que k é constante.
Grandezas Inversamente 
Proporcionais (GIP)
Uma grandeza A é INVER SA -
MEN TE PROPORCIONAL a uma
gran deza B se, e somente se, OS
PRO DUTOS entre os valores de A e
os corres pon dentes valores de B fo -
rem CONS TAN TES, isto é, se A = (a1,
a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...); então:
⇔
⇔
em que k é constante.
Observações
1) É evidente que, “se A é GDP (ou
GIP) a B, então B é GDP (ou GIP,
respectivamente) a A”.
2)Quando dizemos que “A e B são
gran dezas diretamente (ou inver -
sa men te) proporcionais”, esta -
mos querendo dizer que “A é
uma gran deza diretamente (ou
inver sa men te, respectivamente)
pro por cio nal à grandeza B”.
3) Quando dizemos que “A e B são
gran dezas proporcionais”, omi tin -
do a especificação “DIRETA -
MENTE” ou “INVERSAMENTE”,
é porque ou essa especificação
está suben tendida no problema,
ou o problema não depende des -
sa es pecificação.
4) É evidente que duas grandezas
quaisquer podem NÃO SER dire -
tamente NEM inversamente pro -
porcionais.
5) PROPRIEDADE: se a grandeza
A = (a1, a2, a3, …) É INVERSA -
MEN TE PROPORCIONAL à gran -
deza B = (b1, b2, b3, …), então a
grandeza A = (a1, a2, a3, …) é DI -
RETAMENTE PROPORCIONAL à
grandeza
( 1 1 1 )B' = –––, –––, –––, … , b1 b2 b3
com b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, b3 ≠ 0, …
Demonstração
Se A = (a1, a2, a3, … ) e B = (b1,
b2, b3, …) são GIP, então temos que:
a1b1 = a2b2 = a3b3 = … ⇒
a
––
b
b
––
a
c––d
a––b
ad = bc
a c–– = ––
b d
a c a ± b c ± da) –– = –– ⇔ –––––– = ––––––
b d a c
(a ≠ 0 e c ≠ 0)
a c a ± b c ± db) –– = –– ⇔ –––––– = ––––––
b d b d
�2)
a + c c c–––––– = –– = ––
b+ d b d
a c–– = ––
b d
ac a2 c2–––– = –––– = –––
bd b2 d2
a c–– = ––
b d
A é GDP a B
a1 a2 a2–––– = –––– = –––– = ... = k
b1 b2 b3
A é GIP a B
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = k
MÓDULO 42 Grandezas Proporcionais
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A
 A
B
a1 a2 a3
⇒ ––––– = ––––– = ––––– = … ⇒
1 1 1
–––– –––– ––––
b1 b2 b3
⇒ A = (a1, a2, a3, …) e
1 1 1
B' = ( –––, –––, –––, …), com b1, b1 b2 b3
b2 e b3 ≠ 0, são GRANDEZAS DI -
RETAMENTE PRO POR CIONAIS.
5. Divisão Proporcional
a) DIVIDIR um número N em
PARTES (suponhamos: x, y e z)
DIRETAMENTE PROPOR CIO -
NAIS aos núme ros a, b e c
significa deter minar os núme -
ros x, y e z, de tal modo que:
(I) as sequências (x, y, z) e (a, b, c)
sejam diretamente propor cio -
nais;
(II) x + y + z = N.
Para isso, usando a definição
de GDP e as propriedades das
proporções, podemos usar a
seguinte TÉCNICA OPERA TÓ -
RIA:
x y z
––– = ––– = –––
a b c� ⇔
x + y + z = N
x + y + z x y z
–––––––––– = –– = –– = ––
a + b + c a b c⇔ � ⇔
x + y + z = N
N x
––––––––– = ––
a + b + c a
N y
⇔ � ––––––––– = ––a + b + c bN z
––––––––– = ––
a + b + c c
e então calculamos x, y e z.
b) DIVIDIR um número M em PAR -
TES INVERSAMENTE PROPOR -
CIONAIS aos números m, n e p É
O MESMO QUE DIVIDIR M em
PARTES DIRETAMENTE PRO -
POR CIO NAIS aos INVERSOS:
, , ,
com m ≠ 0, n ≠ 0 e p ≠ 0.
1––m
1––n
1––p
1. Regra de Três Simples (R3s)
Definição
É o método prático empregado
para resolver o seguinte problema:
“Quando comparamos duas
gran dezas A e B propor cio nais,
relacio nando dois valores de A com
dois valores corres pondentes de B,
determinamos um dos qua tro va lo -
res, uma vez que se jam conhe cidos
os outros três.”
Técnica operatória
a1 ................ b1Valores � a2 ................ b2
(um dos quatro é a incógnita do pro -
ble ma). Se A e B forem GDP, mon -
tamos a proporção:
=
(da qual calculamos o valor desco nhe -
cido).
Se A e B forem GIP, montamos
uma das proporções:
= ou =
(invertemos uma das razões e calcu -
lamos o valor desconhecido).
2. Regra de Três Composta (R3C)
Definição
É o método prático empregado
para resolver proble ma análogo ao da
regra de três simples, só que en vol -
vendo MAIS DE DUAS GRAN DEZAS
PROPOR CIONAIS.
Propriedades
Se uma grandeza A(a1, a2, ...) é
diretamente proporcional a uma gran -
 deza B(b1, b2, ...) e a uma gran deza
C(c1, c2, ...), então:
Técnica operatória
(fundamental)
a1 ..... b1 ..... c1 ..... d1
Valores � x ..... b2 ..... c2 ..... d2
Comparamos cada grandeza (B,
C, D etc.) com a grandeza funda men -
tal A (a que contém a incógnita) sepa -
ra damente.
Suponhamos que ocorram:
B e A (GDP), C e A (GIP) e D e A
(GDP).
Nesse caso, montamos a propor -
ção:
a1 b1 c2 d1
––– = ––– . ––– . –––, com base na qual
x b2 c1 d2
calculamos x.
Grandeza 
A
Grandeza 
B
a1–––a2
b1–––b2
a2–––a1
b1–––b2
a1–––a2
b2–––b1
a1 b1 c1–––– = –––– . ––––
a2 b2 c2
Grandeza
A
Grandeza
B
Grandeza
C
Grandeza
D
MÓDULO 43 Regra de Três
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A
 A
B
 
1. Porcentagem
Noção intuitiva
Exemplo
“O índice de analfabetismo da cidade X é de 12%
(lê-se 12 por cento)” significa que, em média, 12 de cada
100 habitantes são anal fa betos.
Nomenclatura usual
Exemplo
Em “25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”, temos:
o PRINCIPAL é P = 80� a TAXA é i = 25(%)
a PORCENTAGEM é p = 20
Observação
Usa-se também o símbolo “ ‰ ”, que significa “por
mil”.
Exemplos
1) “O índice de mortalidade infantil do país Y é de 15‰
ao ano” significa que, em média, de cada 1000 crian -
ças que nascem por ano, 15 morrem.
2) Em “25‰ de R$ 80,00 é R$ 2,00”, temos:
o PRINCIPAL é P = 80� a TAXA é i = 25(‰)
a PORMILAGEM é p = 2
Técnica operatória
Para resolver problemas, estabe lecemos a seguinte
REGRA DE TRÊS SIMPLES:
100 (ou 1000) ..............................P
i ................................................... p'
da qual, por REGRA DE TRÊS SIM PLES, obtemos o valor
desconhecido.
Exemplo
Calcule 25% de 80.
Temos:
100% correspondem a 80
25% correspondem a x
Então:
100 80 25 . 80
–––– = ––– e, portanto, x = ––––––––, isto é, x = 20.
25 x 100
Ao escrevermos p%, estamos representando o
número ou p : 100. 
Assim, temos:
a) (20%)2 = 4%, pois: (20%)2 =
20 2 2 2 4
= �––––� = �–––� = –––– = 4%100 10 100
b) 25% de 400 é igual a 100, pois:
25
25% . 400 = –––– . 400 = 100
100
c) 32 é 80% de 40, pois:
32 ––– p 
GDP 32 40	⇒ ––– = –––– ⇒p 100
40 ––– 100
⇒ p = 80 ou 32 = p% . 40 ⇒
p
⇒ 32 = –––– . 40 ⇒ p = 80
100
d) 40 é 125% de 32, pois:
40 ––– p 
GDP 40 32	⇒ ––– = –––– ⇒p 100
32 ––– 100
⇒ p = 125 ou 40 = p% . 32 ⇒
p
⇒ 40 = –––– . 32 ⇒ p = 125
100
e) Um valor, ao passar de 32 para 40, aumentou 25%,
pois:
(100 + p)% . 32 = 40 ⇒
100 + p
⇒ ––––––––. 32 = 40 ⇒ p = 25
100
f) Um valor, ao passar de 40 para 32, decresceu 20%,
pois:
(100 – p)% . 40 = 32 ⇒
100 – p
⇒ –––––––– . 40 = 32 ⇒ p = 20
100
Grandeza
do problema
Grandeza
% (ou ‰)
p
––––
100
MÓDULO 44 Porcentagem e Juros
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g) Um valor de 50, após um aumento de 15%, passa a
ser 57,5, pois: 
115
(100 + 15)% . 50 = –––– . 50 = 57,5
100
h) Um valor de 50, após um decrés cimo de 15%, passa
a ser 42,5, pois: 
85
(100 – 15)% . 50 = –––– . 50 = 42,5
100
i) Um valor de 50, após um au mento de 15% e, em
seguida, um desconto de 15%, passa a ser 48,875,
pois:
(100 + 15)% . 50 . (100 – 15%) = 
115 85
= ––––– . 50 . –––– = 48,875
100 100
j) Um aumento de 10% seguido de um aumento de
10% não é um aumento de 20%, pois:
110% . 110% . x = 121% x =
= (100 + 21)% . x
Corresponde a um único aumen to de 21%!
k) Um desconto de 10% seguido de um desconto de
10% não é um desconto de 20%, pois:
90% . 90% . x = 81% x =
= (100 – 19)% . x
Corresponde a um único descon to de 19%!
2. Juros Simples
Denominamos juros simples aqueles que não são
somados ao ca pital durante o tempo de seu em prego.
Assim, a taxa incide apenas sobre o capital aplicado
inicialmente.
Sendo
J = juros,
C = capital,
i = taxa,
t = tempo,
M = montante, 
temos:
e
3. Juros Compostos
Neste sistema, após cada perío do (dia, mês, ano
etc.),os juros são somados ao capital acumulado até
então (juros sobre juros). Em se guida, a taxa incide sobre
o novo valor obtido, e assim suces siva mente.
Então:
e
Exemplo
Calcule o montante ao final de três meses, com a
aplicação de um capital de R$ 10 000,00 à taxa de 4% ao
mês, pelo sistema:
a) de juros simples;
b) de juros compostos.
Resolução:
a) J = 
J = = 1200
M = C + J =
= 10000 + 1200 = 11200
b) M = C . (1 + i)t
M = 10000 . 1 + 
3
=
= 10000 . (1,04)3 =
= 10000 .1,124864 = 11248,64
Obs.: J = M – C = 11248,64 – 10000 = 1248,64
Respostas: a) R$ 11200,00
b) R$ 11248,64 
Cit
J = –––––––
100
M = C + J
M = C . (1 + i)t
J = M – C
Cit
–––––
100
10000 . 4 . 3
––––––––––––
100
� 4–––––100 �
– 89
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A
 A
B
 
1. Números Naturais
O Conjunto �
Os números naturais são 0, 1, 2, 3, ... , n, ... e o con -
junto formado por esses números é chamado conjun to
dos números naturais.
É indica do por �.
Divisão Euclidiana em �
Teorema
Se a ∈ � e b ∈ �*, então existe um único par (q, r)
de números natu rais, tais que
Dispositivo prático
Se , diz-se que a divisão é exata.
Se , então: q = 0 e r = a
2. Números Inteiros
O Conjunto �
Os números inteiros são ..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...
O conjunto formado por esses nú me ros é chamado
conjunto dos nú me ros inteiros. É indicado por �
� = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}
�* = {..., – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, ...} = � – {0}
�+ = {0, 1, 2, 3, ... } = �
�+* = {1, 2, 3, ...} = �*
�–* = {– 1, – 2, – 3, ... }
Múltiplo e divisor em Z
Definição
Sejam a e b dois números intei ros. Diz-se que b é
divisor (ou fator) de a e que a é múltiplo de b se, e
somente se, existe c inteiro, tal que 
Assim, sendo a, b, c números inteiros, temos
Número par e número ímpar
Um número inteiro a é par se, e somente se, a for
múltiplo de 2.
Um número inteiro a é ímpar se, e somente se, a
não for múltiplo de 2.
Em símbolos
Os números pares são, portanto, 0, ± 2, ± 4, ± 6, ... 
Os números ímpares são, por tanto, ± 1, ± 3, ± 5, 
± 7, ... 
3. Número Primo
Um número inteiro p, com p � 0, p � 1 e p � – 1,
é primo se ele pos sui exatamente 4 divisores inteiros,
que são 1, – 1, p e – p.
Em símbolos:
4. Número Composto
Um número inteiro a, com a � 0, a � 1 e a � – 1, é
composto se ele tem mais de 4 divisores inteiros.
Em símbolos:
5. Decomposição em Fatores Primos, Teorema
Fundamental da Aritmética
“TODO número composto pode ser decomposto
(ou fatorado) num produto de fatores primos. A menos
da ordem dos fatores e do “sinal”, tal decomposição é
única.”
� = {0, 1, 2, 3, ... , n, ... }
�* = {1, 2, 3, 4, ... , n, ... } = � – {0}
a = b . q + r e r < b
⇔ � a = b . q + rr < b
r = 0
a < b
a = b . c
a é múltiplo de b e c.
a = b . c ⇒ �b e c são ambos divi sores (ou fatores) de a.
a ∈ � é PAR ⇔ a ∈ M(2) ⇔ ∃ k ∈ � � a = 2k
a ∈ � é ÍMPAR ⇔ a ∉ M(2) ⇔ ∃ k ∈ � � a = 2k + 1
p � 0, p � –1, p � 1
p ∈ � é primo ⇔ �D (p) = { –1, 1, – p, p}
a � 0, a � – 1, a � 1
a ∈ � é composto⇔ � n[D(a)] > 4
a b � 0
r q
MÓDULO 45 Divisão em �, Múltiplos e 
Divisores em �, Número Primo e Composto
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IC
A
 A
B
1. Máximo Divisor Comum
Definição
Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente
nulos. O máxi mo divisor comum de a e b é o máximo
elemento do conjunto [D(a) ∩ D(b)].
Representa-se mdc(a, b).
Assim sendo
2. Mínimo Múltiplo Comum
Definição
Sejam a e b dois inteiros não nulos. O mínimo múl -
tiplo comum de a e b é o menor elemento do conjun to
[M*+(a) ∩ M*+(b)].
Representa-se mmc(a, b).
Assim sendo:
Observações
Se a e b são dois inteiros não nulos, então,
a) Os divisores comuns de a e b são os divisores do
máximo divisor comum de a e b.
Em símbolos:
b) Os múltiplos comuns, estrita mente positivos, de
a e b são os múltiplos, estritamente positivos, do míni -
mo múltiplo comum de a e b.
Em símbolos:
c) 
Determinar o máximo divisor dos números 12 e 18.
Resolução
1o. Processo:
Utilizar a definição de m.d.c.
D(12) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12} 	 ⇒D(18) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18}
⇒ D(12) � D(18) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 6} ⇒
⇒ máx. [D(12) � D(18)] = 6 ⇒ mdc(12, 18) = 6
2o. Processo:
É o produto dos fatores primos comuns e com o
menor ex poen te
12 = 22 . 3
	 ⇒ mdc (12, 18) = 2 . 3 = 618 = 2 . 32
3o. Processo:
Método das divisões sucessivas
⇒ mdc (18, 12) = 6
Resposta: mdc(12, 18) = 6
mdc (a, b) = máx [D(a) ∩ D(b)]
mmc (a, b) = mín [M*+(a) ∩ M*+(b)]
D(a) ∩ D(b) = D[mdc (a; b)]
M*+(a) ∩ M*+(b) = M*+[mmc(a; b)]
mdc(a; b) .mmc(a; b) = a . b, ∀a, b ∈ �*
Exercício Resolvido
12
6
3
1
2
2
3
1
2
4
3, 6, 12
18
9
3
1
2
3
3
1
2
3, 6
9, 18
18
6
1
12
0
2
6
6. Número de Elementos de D(a)
Indicando por D(a) o conjunto dos divisores in teiros
e por D+ (a) o conjunto dos divisores naturais do nú -
mero inteiro a, temos:
1. D(a) = D(– a), ∀a ∈ �
2. D(0) = � e D(1) = D(– 1) = {– 1; 1}
3. Se a ∈ �*, o número de elemen tos de D(a) é finito.
Além disso, se a ∈ �* e se a = p .p .p ...p , em
que os inteiros p1, p2, p3, ..., pn são os divisores primos
naturais de a e os na turais k1, k2, k3, ..., kn os respec tivos
expoentes, então
k1
1
k2
2
k3
3
kn
n
n [D+(a)] = (k1 + 1)(k2 + 1)(k3 + 1)...(kn +1)
n [D (a)] = 2. (k1 + 1)(k2 + 1)(k3 + 1)...(kn +1)
MÓDULO 46
Máximo Divisor Comum, 
Mínimo Múltiplo Comum e Propriedades
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92 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
1. Definição
Multiplicação (de matriz por matriz)
Sendo A = (aik)mxp, B = (bkj)pxn e C = (cij)mxn, define-se:
Assim sendo:
2. Propriedades
• De um modo geral, valem para as operações
vistas até aqui com as matrizes AS MESMAS PROPRIE -
DADES das operações correspondentes com NÚME -
ROS REAIS.
• Na MULTIPLICAÇÃO DE MA TRIZES, NÃO
VALEM as propriedades comutativa, anulamento do
produto nem cancelamento, ou seja,
– a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é,
EXISTEM MA TRI ZES A e B, CONFORMES PARA A MUL TI -
PLICAÇÃO, TAIS QUE A . B � B . A.
– Na multiplicação de matrizes, NÃO VALE A LEI DO
ANULAMENTO DO PRODUTO, isto é, SENDO A e B DUAS
MATRIZES CONFORMES PA RA A MULTIPLI CAÇÃO,
PODEMOS TER A . B = 0, MESMO COM A � 0 e B � 0.
– Na multiplicação de matrizes, NÃO VALE A LEI
DO CAN CELA MENTO, isto é, SENDO A e B CON FOR -
MES PARA A MULTIPLICAÇÃO E O MESMO ACON -
 TECENDO COM A e C, PODEMOS TER A . B = A . C,
MESMO COM B � C e A � 0.
P
C = AB ⇔ cij = 
 (aik  bkj)
k = 1
1. Definição
Seja M o conjunto das matrizes quadradas e � o
conjunto dos números reais. Chama-se função determi -
nante a função: det: IM → �
Mn → det Mn, tal que:
• n = 1 → det Mn = a11
• n ≥ 2 → det Mn = ∑ (–1)p . a1α1 . a2α2 ... anαn,
em que α1, α2, α3, ... , αn é uma permutação genérica
dos segundos índices e p o número de inversões em
relação à fundamental 1, 2, 3, ..., n.
2. Regras Práticas
Determinante de ordem 2
Determinante de ordem 3 (Regra de Sarrus)
a11 a12 a13
a21 a22 a23 =|a31 a32 a33 |
= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 –
– a31 . a22 . a13 – a32 . a23 . a11 – a33 . a21 . a12
Dispositivo prático
3. Propriedades
"Determinante igual a zero"
O determinante de uma matriz qua drada é igual a zero,
se a matriz possui:
• uma fila nula;
• duas filas paralelas iguais;
• duas filas paralelas proporcionais;
• uma fila que é combinação linear de outras fi las paralelas.
Álgebra FRENTE 2MÓDULO 19 Multiplicação de Matrizes
MÓDULO 20 Definição e Propriedades dos Determinantes I
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– 93
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
Alterações no Determinante
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n
altera-se,
• trocando de sinal, quando duas filas paralelas tro -
cam entre si de posição;
• ficando multiplicado por α, quan do os elementos de
uma fila são multiplicados por α;
• ficando multiplicado por αn, quando a matriz é
multiplicada por α.
Determinante não se altera
O determinante de uma matriz quadrada não se
altera se:
• trocarmos ordenadamente as linhas pelas colu nas
(det M = det Mt);
• somarmos a uma fila uma combinação linear de
outras filas paralelas (Teorema de Jacobi).
Teoremas de Laplace e de Cauchy
Numa matriz quadrada, a soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer
• pelos respectivos cofatores é igual ao deter -
minante da matriz (Teorema de Laplace).
• pelos cofatores dos elementos correspondentes
de outra fila paralela é zero (Teorema de Cauchy).
1. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem,
então: det(A . B) = det(A) . det(B)
2. Determinante de Vandermonde
3. Determinante Soma
4. Diagonal Principal
5. Diagonal Secundária
1
a1
a
1
2
.
.
.
a
1
n – 1
1
a2
a
2
2
.
.
.
a
2
n – 1
1
a3
a
3
2
.
.
.
a
3
n – 1
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
1
an
a
n
2
.
.
.
a
n
n – 
1
= (a2 – a1) . (a3 – a1) . (a3 – a2) . ... .
 . (an – a1) . (an – a2) . ... . (an – an – 1)
a11
a21
.
.
.
an1
a12
a22
.
.
.
an2
x1j
x2j
.
.
.
xnj
...
...
...
...
...
...
a1n
a2n
.
.
.
ann
...
...
...
...
...
...
+
=
=
a11
a21
.
.
.
an1
a12
a22
.
.
.
an2
y1j
y2j
.
.
.
ynj
...
...
...
...
...
...
a1n
a2n
.
.
.
ann
...
...
...
...
...
...
a11
a21
.
.
.
an1
a12
a22
.
.
.
an2
(x1j + y1j)
(x2j + y1j)
.
.
.
(xnj + ynj)
...
...
...
...
...
...
a1n
a2n
.
.
.
ann
...
...
...
...
...
...
a11
a21
a31
.
.
.
an1
...
...
...
...
...
...
...
= a
=
11 . a22 . a33 ... ann
0
0
a33
.
.
.
an3
0
a22
a32
.
.
.
an2
0
0
.
.
.
.
ann
0
0
.
.
.
an – 1,2
an, 2
a1n
a2n
.
.
.
an – 1,n
an,n
...
...
...
...
...
...
...
= (– 1)
= 
0
0
.
.
.
0
an,1
n (n – 1)
––––––––
2
 . an,1 . an – 1,2 ... a2, n – 1 . a1,n
MÓDULO 21 Propriedades dos Determinantes II
MÓDULO 22 Teorema de Jacobi
MÓDULO 23 Teorema de Laplace, Regra de Chió e Propriedades Complementares
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Geometria Analítica FRENTE 3
94 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
1. Teorema
A toda reta r do plano cartesiano associa-se uma
equação do tipo ax + by + c = 0, com a e b não
simultaneamente nulos. 
2. Determinação da Equação Geral
Seja r a reta do plano cartesiano determinada pelos
pontos A(xA; yA) e B(xB; yB); sendo P(x; y) um ponto
qual quer de r, teremos
P, A e B alinhados ⇔ 
Desenvolvendo-se o determinan te, resulta
(yA – yB) x + (xB – xA) y + (xAyB – xByA) = 0.
a b c
A equação ,com a e b não simul -
ta nea mente nulos, é chamada Equação Geral da reta.
Observação
• Lembre-se sempre que,na equação ax+by+c = 0, x
e y são as coordenadas de um ponto qualquer dessa
reta. Isso significa que, se um ponto P(xp; yp) per tence
à reta, então suas coordenadas satisfazem a equação da
reta, isto é: axp + byp + c = 0 e reciprocamente.
3. Casos Particulares da Equação da Reta
Na equação geral da reta, se os coeficientes a, b ou
c forem iguais a zero, temos os seguintes casos parti -
culares:
Se a � 0, b = 0 e c � 0, então:
a.x+c = 0 ⇔ x = ou , que é a equação
de uma reta paralela ao eixo y;
Se a = 0, b � 0 e c � 0, então:
b. y + c = 0 ⇔ y = ou , que é a equação 
de uma reta paralela ao eixo x;
Se a � 0, b = 0 e c = 0, então:
a . x = 0 ⇔ , que é a equa ção do eixo y;
x y 1| xA yA 1 | = 0xB yB 1
ax + by + c = 0
x = k
– c
–––
a
y = k
– c
–––
b
x = 0
MÓDULO 19 Estudo da Reta: Equação Geral – Casos Particulares
C5_AB_MAT_TEO 2016_Rose 09/05/16 09:49 Página 94
Se a = 0, b � 0 e c = 0, então:
b . y = 0 ⇔ , que é a equação do eixo x;
Se a � 0, b � 0 e c = 0, então
, que é a equação de uma reta que
passa pela origem.
y = 0 ax + by = 0
– 95
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
1. Coeficiente Angular (ou Declividade)
Chama-se inclinação (θ) de uma reta, o menor ân -
gulo entre a reta e o eixo dos x, orientado no sen -
tido anti-h orário, do eixo para a reta, conforme a figura 
(0° ≤ θ < 180°).
Chama-se coeficiente angular (ou declivida de), de
uma reta não vertical, a tangente trigonométrica da sua
inclinação.
Observações
Para 0° ≤ θ < 180°, resulta
• θ = 0° ⇔ tg θ = tg 0° = 0 ⇔ m = 0
• 0° < θ < 90° ⇔ tg θ > 0 ⇔ m > 0
• 90° < θ < 180° ⇔ tg θ < 0 ⇔ m < 0
• θ = 90° ⇔ ∃/ tg 90° ⇔ m não está definido
Determinação do coeficiente angular
• Seja r uma reta não vertical e sejam A(xA; yA)
e B(xB; yB) dois de seus pontos.
No triângulo ABC, temos
m = tg θ = ⇒ 
• Seja a equação geral da reta: a . x + b . y + c = 0.
Como: (yA – yB) x + (xB – xA) y + (xAyB – xByA) = 0
a b c
e m = , vem 
2. Equação Reduzida da Reta
Seja a reta r não vertical (b � 0), cuja equação geral
é ax + by + c = 0.
Então by = – ax – c ⇔ y = – . x – 
Sendo m = – (coeficiente angular) e fazendo 
– = h (coeficiente linear), teremos: , 
que recebe o nome de equação reduzida da reta r.
Observação
Na equação ax + by + c = 0, se x = 0, tere mos
by + c = 0 ⇔ y = – (coeficiente linear). Assim na
equação reduzida, o valor h = – (coeficiente linear da
reta) representa a ordenada do ponto de intersecção da
reta com o eixo Oy.
m = tg θ
yB – yA
m = ⎯⎯⎯⎯
xB – xA
CB
–––
AC
– a
m = –––– 
b
yB – yA––––––––xB – xA
c––
b
a––
b
a
––
b
y = mx + h 
c
––
b
c––b
c––
b
MÓDULO 20 Declividade – Formas da Equação da Reta
C5_AB_MAT_TEO 2016_Rose 09/05/16 09:49 Página 95
96 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
3. Equação Segmentária da Reta
Seja r uma reta não paralela a nenhum dos eixos coor -
 de nados e que não passa pela origem. Sendo P(p; 0) e
Q(0; q) os interceptos em Ox
→
e Oy
→
, obtém-se a equação
denominada EQUAÇÃO SEG MEN TÁ RIA da reta r:
4. Equações Paramétricas da Reta
Essas equações dão as coordenadas (x; y) de um
ponto qualquer da reta, em função de um parâmetro t.
Observação
A partir das equações paramétricas, pode-se obter
a equação geral da reta eliminando-se o parâ metro t.
x y
– – + –– = 1p q
x = f(t)� y = g(t)
1. Introdução
Da geometria plana, sabemos que duas retas r e s (no
plano) po dem assumir as seguintes posições relativas:
• concorrentes (caso particular importante: perpen -
diculares);
• paralelas (distintas);
• coincidentes.
2. Relações entre os Coeficientes
As retas r e s (não verticais), cujas equações redu -
zidas são, respectivamente,
(r) : y = mrx + hr
(s) : y = msx + hs, têm as seguintes relações:
Retas concorrentes
Caso particular: retas perpendiculares
 
mr � ms
Se duas retas são con cor ren tes, seus coe ficientes
an gu la res são diferentes, e vi ce-versa.
– 1ms = –––––mr
Se duas retas são perpendiculares, o coeficiente
angular de uma é o oposto do in verso do
coeficiente angular da outra, e vice-versa.
MÓDULO 21 Posição Relativa de 2 Retas
C5_AB_MAT_TEO 2016_Rose 09/05/16 09:49 Página 96
Retas paralelas (distintas)
Retas coincidentes
A partir das condições acima, podemos esta belecer
relações entre os coeficientes da equação geral das retas r
e s, lembrando que m = – e h = – . 
Sendo (r) a1 . x + b1 . y + c1 = 0 e 
(s) a2 . x + b2 . y + c2 = 0, obtemos
Retas concorrentes
Retas perpendiculares
Retas paralelas (distintas)
Retas coincidentes
3. Posição Relativa de Duas Retas (Resumo)
Exemplos
Estudo das posições relativas das seguintes retas:
3x + 6y + 7 = 0
•
2x + 4y – 1 = 0
Como = � , as retas são paralelas dis-
tintas, pois 
3x + 6y + 7 = 0
•
2x – y + 2 = 0
Como 3 . 2 + 6 . (– 1) = 0, as retas são per -
pendiculares, pois: a1 . a2 + b1 . b2 = 0
y = – 3 . x + 5
•
y = 2 . x – 1
Como os coeficientes angula res das retas são
iguais a – 3 e 2, as retas são concorrentes e não per -
pendicula res, pois 
mr = ms hr � hs
Se duas retas são paralelas dis tintas, seus
coeficientes angulares são iguais e seus coe -
ficientes li neares são di feren tes, e vice-versa.
mr = ms hr = hs
Se duas retas são coin ciden tes, seus coe fi cien -
tes angulares são iguais e seus coefi cientes
lineares são iguais, e vice-versa.
a––
b
c––
b
a1 b1
⎯⎯ � ⎯⎯a2 b2
a1 . a2 + b1 . b2 = 0
a1 b1 c1
⎯⎯ = ⎯⎯ � ⎯⎯
a2 b2 c2
a1 b1 c1
⎯⎯ = ⎯⎯ = ⎯⎯
a2 b2 c2
3
––
2
6
––
4
7
–––
– 1
a1 b1 c1
––– = ––– � –––
a2 b2 c2
– 1
mr � ms e mr � –––––ms
– 97
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
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1. Feixe de Retas Concorrentes 
Seja C(x0; y0) um ponto do pla no, e r uma reta (não
perpendicular ao eixo →Ox) que passa pelo ponto C.
Sendo m o coeficiente angular da reta r e P(x; y) um
pon to genérico dessa reta, temos:
m = ⇔ y – y0 = m . (x – x0)
Dessa forma, a equação da reta r, conhecidos um
ponto C(x0; y0) e o coeficiente angular m, resulta
Obs.: Atribuindo todos os valores possíveis ao
coeficiente an gular m(m ∈ �), obtemos as equa ções de
to das as retas que passam pelo ponto C(x0; y0), com ex -
ce ção da reta vertical, que é obtida pela equa ção
.
A equação do feixe de retas con correntes, de centro
C(x0; y0), é:
2. Feixe de Retas Paralelas
Seja a reta r, de equação geral a . x + b . y + c = 0.
Sabendo-se que retas paralelas têm o mesmo coefi -
ciente angular m = – e coeficientes lineares dife -
rentes h = – , a obtenção de uma reta paralela a r é
feita man tendo-se os valores de a e b e mudando-se o
valor de c.
Portanto, a equação de uma reta paralela a r é do tipo:
 
y – y0–––––––
x – x0
y – y0 = m . (x – x0)
x = x0
y – y0 = m . (x – x0), com m ∈ �
ou 
x = x0 (reta vertical).
a
––
b
c
––
b
a . x + b . y + k = 0
� �
��
98 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
1. Ângulo entre duas Retas
No plano cartesiano, sejam as re tas r e s, não ver ti -
cais nem perpen diculares entre si, com declivi dades mr
e ms (mr � ms), respectivamente:
Adotaremos para os ângulos entre r e s, a seguinte
nomenclatura:
• sr
^
→ ângulo da reta s para a reta r (orientado no
sentido anti- horário)
• rs^ → ângulo da reta r para a reta s (orientado no
sentido anti -horário)
Cálculo do ângulo sr^
Sendo mr = tg θr, ms = tg θs e da figura: sr
^ = θr – θs,
temos:
tg sr
^
= tg (θr – θs) ⇒ tg sr
^
= ⇔
⇔
Analogamente, obteríamos:
 
Obs.: Obtido o valor da tangente, pela trigonome tria,
obtém-se o valor do ângulo.
tg θr – tg θs
––––––––––––––
1 + tg θr . tg θs
mr – ms
tg sr^ = ––––––––––––
1 + mr . ms
ms – mr
tg rs^ = ––––––––––––
1 + ms . mr
MÓDULO 22 Feixe de Retas
MÓDULO 23 Ângulo entre duas Retas
C5_AB_MAT_TEO 2016_Rose 09/05/16 09:49 Página 98
1. Definição e Propriedades
• Polígono regular é aquele cu jos
lados são res pec tivamente côn gruos
e cujos ângulos internos tam bém são
respectivamente côngruos.
• Todo polígono regular é ins -
critível e circuns critível a uma circun -
ferência.
0 é o centro da circun ferência
inscrita (interna), circunscrita (exter -
na), e do polígono.
OM = a é o raio da cir cunferên cia
inscrita no po lígono e é deno mi nado
apó tema do polígono.
2. Triângulo Equilátero Inscrito
Sendo R o raio da circunferência
circunscrita, � o lado e a o apótema
de um triângulo equilátero, temos
• 0 é o baricentro ⇒ 
• No Δ AMC, retângulo em M,
te mos AM2 + MC2 = AC2 ⇒
⇒ (R + )
2
+ ( )
2
= �2 ⇒
⇒
3. Quadrado Inscrito
Sendo R o raio da circunferência
circunscrita, � o lado e a o apótema
do quadrado inscrito, temos
• O triângulo OAB é re tân gulo
em O, assim:
AB2 = OA2 + OB2 ⇒
⇒ �2 = R2 + R2 ⇒
AB• OM = –––– ⇒ ou 
2
ou
4. Hexágono Regular Inscrito
Sendo R o raio da circunferência
inscrita, � o lado e a o apótema do he -
 xá gono regular inscrito, temos:
• O triângulo ABO é equi látero ⇒
⇒ 
—
AB �
—
OA ⇒
• OM é altura do triân gulo equi -
láte ro ⇒ OM = ⇒
5. Área dos Polígonos Regulares
Sendo � a medida do lado de um
polígono regular de n lados, cujo
apótema mede a, sobre cada lado
podemos construir um triângulo de
base � e altura a. Assim, a área do
polígono será igual à soma das áreas
dos n triângulos construídos, ou seja,
p é semiperímetro
R
a = ––
2
R–––
2
�–––
2
� = R���3 
� = R���2 
�
a = ––
2
R���2a = ––––––
2
� = R
AB���3––––––2
R���3a = ––––––
2
S = p . a
– 99
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
Geometria Métrica FRENTE 4
MÓDULO 19 Polígonos Regulares
C5_AB_MAT_TEO 2016_Rose 09/05/16 09:49 Página 99
1. Definição e Elementos
Consideremos uma região poligo nal com n lados e
uma reta não paralela nem contida no plano do polígono. 
Chama-se PRISMA à união de todos os segmentos
congruentes com um extremo na região e paralelos à reta.
A1 A2 A3 … An e B1 B2 B3 … Bn são polígonos
côngruos e paralelos chamados BASES.
A1B1
––––––
, A2B2
––––––
, …, AnBn
––––– 
são segmen tos côngruos e
para lelos cha mados ARESTAS LATERAIS.
A1 A2
––––––
, A2 A3
–––––––
, …, An–1 An
–––––––
, B1 B2
––––––
, B2 B3
–––––– 
, … Bn–1 Bn
–————
são
chamados ARESTAS DAS BASES.
A1 A2 B2 B1, A2 A3 B3 B2, … são paralelogramos
chamados FACES LATERAIS.
h, distância entre as duas bases, é chamada de
ALTURA DO PRISMA.
2. Classificação
Os prismas podem ser RETOS OU OBLÍQUOS, confor -
me as arestas late rais sejam ou não perpendiculares às
bases.
Nos prismas retos, as faces late rais são retângulos.
Os prismas retos, cujas bases são polígonos re gu -
lares, são deno mi nados PRISMAS REGULARES.
3. Natureza
Os prismas são triangulares, quadrangulares,
pentagonais, he xa gonais etc., conforme suas ba ses
sejam triângulos, quadri lá te ros, pen tágonos, hexágo -
nos etc.
4. Áreas e Volumes
Sendo Al a área lateral de um prisma (soma das
áreas de cada face lateral), Ab a área de uma de suas
bases e At a sua área total, temos:
Num prisma, cuja área da base é Ab e a altura é h, o
volume é dado por:
At = Al + 2 . Ab
V = Ab . h
100 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
MÓDULO 20 Prismas
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– 101
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
1. Paralelepípedos
São prismas cujas bases são pa ra le lo gramos.
2. Paralelepípedo Reto Retângulo
Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo re -
tângulo é todo paralelepípedo reto (prisma reto) cujas
bases são retângulos.
As suas seis faces são retân gulos. AG
___
é uma de
suas diagonais.
Num paralelepípedo reto-retân gulode dimensões a,
b, e c, sendo D a medida de uma de suas diagonais, At
sua área total e V o seu volume, têm-se:
3. Hexaedro Regular (cubo)
É o paralelepípedo reto-retân gu lo (prisma) cujas
seis faces (duas ba ses e quatro laterais) são qua dra -
dos.
Num cubo de aresta a, têm-se:
D = �������������������a2 + b2 + c2
At = 2 (ab + ac + bc)
V = a . b . c
Af = a
2
(área da face)
At = 6 a
2
(área total)
D = a���3 
(diagonal)
V = a3
(volume)
MÓDULO 21 Casos Particulares de Prismas
C5_AB_MAT_TEO 2016_Rose 09/05/16 09:49 Página 101
102 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
1. Definição e Elementos
Dados um plano α, um ponto V, tais que V ∉ α e
uma região poligonal S do plano α, chama-se pirâmide a
união de todos os segmentos 
—
VP onde P ∈ S.
O ponto V é denominado vértice e a região poligonal
S é denominada base da pirâmide.
Na pirâmide da figura, temos
• Arestas laterais: 
—
VA, 
—
VB, 
—
VC, …
• Faces laterais: ΔVAB, ΔVBC, Δ VCD, …
• Arestas da base: 
—
AB, 
—
BC, 
—
CD, …
• Altura da pirâmide: h (distân cia de V a α)
2. Natureza
As pirâmides são triangulares, quadrangu lares,
pentagonais, hexagonais etc., conforme suas bases
sejam triângulos, quadri láte ros, pentágonos,
hexágo nos etc.
3. Pirâmide Reta e Pirâmide Regular
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do
vértice incide sobre o centro do polígono da base.
Uma pirâmide é denominada re gular quando é reta
e o polígono da base, regular.
Na pirâmide regular da figura, temos
• OA = R é o raio da circun ferên cia circunscrita à
base e é deno mi n a do simplesmente raio da base;
• OM = a é denominado apóte ma da base;
• VM = g é denominado apóte ma da pirâmide
(altura de uma face lateral);
• ;
• .
4. Cálculo de Áreas e Volumes
Para qualquer pirâmide, tem-se
 Área lateral (A�)
É a soma das áreas das faces laterais da pirâmide.
Assim:
A� = A1 + A2 + A3 …, + An, onde
A1, A2, A3, …, An são as áreas das faces laterais.
 Área total (At)
É a soma da área lateral e a área da base.
Assim, 
 Volume (V)
É a terça parte do volume de um prisma de mesma
base e mesma altura.
Assim,
1
V = –– Ab . h
3
At = A� + Ab
g2 = a2 + h2
(VA)2 = R2 + h2
MÓDULO 22 Pirâmide
C5_AB_MAT_TEO 2016_Rose 09/05/16 09:49 Página 102
1. Determinar a área lateral de uma pirâmide quadran -
gular regular cuja base tem 64 m2 de área e cuja
altura mede 3 m.
Resolução
Ab = l
2 = 64 ⇒ l = 8 m
No triângulo VOH, temos
g2 = a2 + 32 e a = = 4 m, então:
g2 = 42 + 32 ⇒ g = 5 m
Al = 4 . = 2 . 8 . 5 ⇒ Al = 80 m
2
Resposta: 80 m2
2. Calcular o volume de uma pirâmide hexagonal
regular de aresta da base l e altura l.
Resolução
Ab = 6 . = 
h = l
V = . Ab . h
Assim: V = . . l ⇔ V =
Resposta:
5. Tetraedro Regular
É a pirâmide triangular que pos sui as seis arestas
congruentes entre si.
A área total e o volume de um te trae dro regular de
aresta a são da dos, respectivamente, por
e
6. Secção Paralela à Base de uma Pirâmide
Quando interceptamos todas as arestas laterais da
pirâmide por um plano paralelo à base, que não a contém
nem ao vértice, obtemos uma secção poligonal, tal que
• As arestas laterais e a altura ficam divididas na
mesma razão.
• A secção obtida e a base são polígonos seme lhan tes.
• A razão entre as áreas da sec ção (As) e da base
(Ab) é igual ao quadrado da razão entre suas distân cias
ao vértice.
VA’ VB’ VC’ H
–––– = –––– = –––– = … = –––
VA VB VC H
As h
2
–––– = ––––
Ab H
2
a3���2
V = –––––––
12 
At = a
2���3
l–––
2
l . g
–––––
2
l2���3
––––––
4
3���3l2
–––––––
2
1––
3
1––3
3���3l2––––––2
���3l3–––––2
���3l3
–––––
2
Exercícios Resolvidos
– 103
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
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104 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
1. Definição e Elementos
Sejam α e β planos paralelos (distintos), uma reta r
interceptando os planos α e β e S uma região circular
contida em α, que não tem ponto em comum com r.
Chama-se cilindro de base circu lar a união de todos os
segmentos QQ
—–
’ paralelos a r, com Q ∈ S e Q’ ∈ β.
h é altura do cilindro (distância entre α e β);
S é base do cilindro;
—
AA’ é geratriz.
2. Cilindro Circular Reto (Cilindro de Revolução)
Definição e Elementos
Cilindro Circular Reto ou Cilindro de Revolução é o
sólido gerado por uma rotação completa de uma região
de retângulo em torno de um de seus lados. 
↔
BC é o eixo do cilindro;
—
AD é a geratriz da superfície
lateral;
AB = DC = R é o raio da base.
 Secção Meridiana
É a intersecção do cilindro com
um plano que con tém o seu eixo (
↔
BC na figura anterior).
O retângulo AEFD é uma secção meridiana do
cilindro circular reto da figura.
 Cálculo de Áreas e Volumes
– Área da Base (Ab)
É a área de um círculo de raio R.
Assim,
– Área Lateral (A�)
A superfície lateral é equivalente a um retângulo de
dimensões 2πR (com primento da circunferência da base)
e h.
Assim:
– Área Total (At)
É a soma das áreas das bases com a área lateral.
Assim,
– Volume (V)
Todo cilindro é equivalente a um prisma de mesma
altura e mesma área da base. Assim 
⇔
3. Cilindro Equilátero
É todo cilindro de base circular cu ja secção meridiana
é um quadra do.
A secção me ri diana A’ABB’ é um
quadrado.
Assim, 
Observação
Num cilindro equilátero de raio R e altura h, temos
1o.) Ab = π R
2
2o.) A� = 2π R . h = 2π R . 2R = 4π R
2 
3o. ) At = A� + 2Ab = 4π R
2 + 2πR2 = 6π R2 
4o. ) V = Ab.h = π R
2 . 2R = 2π R3
Ab = π R2
A� = 2π R h
At = A� + 2 . Ab
V = Ab . h V = π R2 h
h = 2 R
MÓDULO 23 Cilindro de Base Circular
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